Imprecisioni storico-matematiche - Angolo Acuto

Imprecisioni storico-matematiche

                                            Jacopo Giaconi1

I libri a carattere divulgativo relativi alla Matematica e alla sua Storia, così come gli studi o i saggi
facilmente comprensibili a lettori mediamente istruiti in tale materia, costituiscono indubbiamente
un importante mezzo per trasmettere conoscenze e idee comunemente relegate ad ambienti
universitari o ad appassionati specialisti. Tuttavia il ben più ampio pubblico al quale si rivolgono
merita sicuramente di ricevere informazioni che, per quanto semplificate e frammentarie, siano
comunque corrette e soprattutto non alimentino idee distorte o errate della realtà storico-
matematica.
Scopo di questo lavoro è segnalare alcune ricorrenti inesattezze, esponendo dettagliatamente le
motivazioni che ci inducono a considerarle tali. L’auspicio è che queste osservazioni possano
contribuire, se pur modestamente, ad una corretta divulgazione della matematica e della sua storia.

Le cifre arabe
La prima delle questioni affrontate è legata in realtà quasi solamente all’immaginario collettivo (è
comunque molto comune sentire parlare di “cifre arabe”, meno trovarlo scritto in libri o articoli)
perché divulgatori e studiosi sembrano generalmente molto attenti nel puntualizzare l’origine
indiana delle nostre cifre2.
Il sistema di numerazione che utilizziamo quotidianamente presenta alcune importanti peculiarità
che lo hanno reso funzionale per eseguire calcoli e hanno contribuito alla sua diffusione ormai
mondiale, facendolo diventare al tempo stesso pietra d’angolo ed emblema della Matematica.
Innanzitutto il sistema che comunemente impieghiamo è a base decimale, ovvero dieci unità di un
determinato ordine corrispondono ad una unità dell’ordine immediatamente successivo. È ormai
un’idea condivisa che questi raggruppamenti di dieci elementi alla volta siano una diretta
conseguenza dell’abitudine, risalente agli arbori dell’umanità, di enumerare oggetti con le dita3.
Probabilmente però questa sola caratteristica non sarebbe stata sufficiente a creare il moderno
sistema di numerazione, come avvenne ad esempio presso gli antichi Egizi che, pur adottando la
nostra stessa base decimale, non riuscirono mai, a differenza dei Babilonesi, a dare alle cifre un
valore posizionale. Ciò significa che uno stesso simbolo acquisisce valori diversi in virtù della
propria posizione ed è questo l’aspetto che più di ogni altro ci permette ancora di svolgere calcoli
con minore difficoltà. Come diretta conseguenza si ha la diminuzione del numero di simboli che si
possono utilizzare (ad esempio scriviamo dieci, cento e mille servendoci di due soli simboli,
anziché tre distinti) e soprattutto la necessità di indicare chiaramente quando una particolare
posizione non è occupata da alcuna cifra. Per fare ciò si passò dal lasciare uno spazio vuoto in una
posizione, a indicarlo con un punto, fino a marcarlo con un cerchio e a dare così origine allo zero4,

1
  Desidero esprimere i miei più sinceri ringraziamenti al Dott. Roberto Natalini, direttore dell’IAC-
CNR, per i preziosi consigli e l’assoluta disponibilità dimostrata.
2
  Così in Piergiorgio Odifreddi, Il museo dei numeri, Rizzoli, Milano 2014, pp. 55-56 e 59 (nota);
Angelo Guerraggio, Matematica, Egea, Milano 20162, p. 28; John Derbyshire, Ignote quantità,
Bollati Boringhieri, Torino 2011, p. 78; Keith Devlin, I numeri magici di Fibonacci, Rizzoli,
Milano 20143, pp. 24 e 27. Da notare il caso di Alex Bellos, Il meraviglioso mondo dei numeri,
Einaudi, Torino 20132 che per due volte parla di “numeri arabi” (pp. 17 e 140) e solo a p. 149
spiega “conosciuti, erroneamente, come arabi”.
3
  Non a caso l’aggettivo digitale è etimologicamente collegato al termine latino digitus, ovvero dito,
transitato recentemente nel linguaggio tecnologico dall’inglese digit, cioè cifra.
4
  Ad avvalorare la tesi della correttezza del termine “indo-arabo” è anche l’origine etimologica
dello zero. A tal proposito si veda Umberto Bottazzini, Numeri, il Mulino, Bologna 2015, p. 113.

all’inizio avente un valore unicamente posizionale e solo in seguito, grazie agli Indiani, con un
significato autonomo ad indicare l’assenza di oggetti, il numero di elementi di un insieme vuoto.
Il sistema descritto, noto correttamente come “indo-arabo” o “indo-arabico” (allo stesso modo
dovrebbero essere chiamate le cifre), fu sviluppato appunto in India presumibilmente tra i secoli VII
e VIII d.C. o forse, più verosimilmente, venne formalizzato intorno a questa epoca ed era già noto,
almeno in parte, in precedenza. Il termine “arabo” col quale ci riferiamo a esso comunemente,
deriva dall’opera dei mercanti arabi che lo appresero dagli Indiani e iniziarono a utilizzarlo e, a loro
volta, a insegnarlo negli scambi commerciali in Medio Oriente e nell’Africa settentrionale.
Pur riconoscendo che la dizione “cifre arabe” è ormai universalmente accettata, aggiungere
l’aggettivo “indiane”, soprattutto a livello scolastico, nel riferirsi alla nostra rappresentazione
simbolica dei numeri costituirebbe di sicuro un semplice modo per sottolinearne sinotticamente
l’origine. In ogni modo, le «nove figure degli Indiani»5 e lo zero divennero comuni in Europa grazie
al matematico Leonardo Pisano (detto Fibonacci) che nel suo Liber Abbaci ne espose l’utilizzo e i
metodi di calcolo servendosi, nel rappresentarle, della cosiddetta grafia araba occidentale, molto
simile a quella che ci è oggi assai familiare.

Il Liber Abaci
La seconda imprecisione esaminata appare invece molto più radicata ed è assai frequente
incontrarla leggendo un qualunque libro6 che affronti la diffusione del sistema indo-arabo in Europa
e la figura di Fibonacci. La questione di per sé sembrerebbe trascurabile e in fondo può anche
esserlo, trattandosi semplicemente di una grafia che differisce da quella più corretta per una sola
lettera, ovvero Liber Abaci anziché Liber Abbaci7. Tuttavia la nuova forma utilizzata da studiosi e
divulgatori rischia di essere fuorviante e non di rado ha portato a considerazioni e ipotesi del tutto

5
  Dal capitolo di apertura del Liber Abbaci, 1202-1228.
6
  Si veda in proposito Umberto Bottazzini, ibidem, pp. 50, 113-116, 119-120; Angelo Guerraggio,
ibidem, p.30; Alex Bellos, ibidem, p. 149 e 170; Raffaella Franci (a cura di), Giochi matematici alla
corte di Carlomagno, ETS, Pisa 20162, pp. 149-150; particolare la questione in Lucio Lombardo
Radice, La matematica da Pitagora a Newton, Editori Riuniti, Roma 1971, in quanto a p. 12
leggiamo “il Libro dell’abbaco (in latino: Liber abaci), nel quale [Fibonacci] spiega genialmente il
comodissimo sistema degli arabi per scrivere i numeri e le sua applicazioni”; singolare anche il caso
di Paolo Caressa, Piccola storia della matematica 1, Alpha Test, Milano 2012 nel quale troviamo,
forse per un errore di stampa, entrambe le forme Liber Abaci (pp. 151-152, 182) e Liber Abbaci (p.
40). Non mancano tuttavia opere nelle quali è presente la corretta forma, come John Derbyshire,
ibidem, p. 76 (nota) “Non, come spesso è scritto, Liber abaci [nell’edizione italiana, per un errore
tipografico, è stato scritto in questo punto con due «b», ma il contesto lascia facilmente intendere il
contrario], e in ogni caso in conformità con la voce relativa a Fibonacci scritta da Kurt Vogel sul
DSB [Dictionary of Scientific Biography], alla quale rimando i lettori polemici. Il titolo si traduce
come «Il libro del calcolo», e non come «Il libro dell’abaco»” e anche Keith Devlin, ibidem, pp.21-
22 “Liber abbaci si traduce come «Libro del calcolo»; la traduzione intuitiva «Libro dell’abaco»
sarebbe scorretta e priva di senso. […] Questa distinzione si riflette nella grafia del termine usato da
Leonardo, con due «b»”. In particolare queste due opere hanno costituito un’importante fonte per il
presente articolo.
7
  È comunque importante precisare che anche utilizzando la forma con una sola «b» il riferimento
all’opera di Fibonacci rimane univoco, considerando anche che nel Medioevo grafie simili erano
spesso interscambiabili. Infatti già all’epoca di Fibonacci con il termine abacus si intendeva, oltre
allo strumento, anche l’atto stesso del calcolo o un compendio di aritmetica elementare. Tuttavia il
fatto che tale vocabolo nel linguaggio corrente abbia perso molti dei significati originari e che
Fibonacci utilizzi la grafia con due «b» ci spinge a ritenere più corretta questa forma, tanto più che
Liber Abbaci non si presta alla traduzione “Libro dell’abaco” che rischia di fornire un’idea alquanto
distorta dell’opera del matematico pisano, almeno se non corredata da opportune precisazioni.

sbagliate sull’opera e sul metodo del matematico pisano. Prima però di esporre le conclusioni (a
nostro avviso inverosimili) di un celebre storico della matematica del secolo scorso, analizziamo
più in dettaglio il fine e il vero senso del lavoro di Fibonacci.
Abbiamo già visto che a Leonardo Pisano si deve il merito di aver reso accessibile ai mercanti
europei il sistema di numerazione ancora oggi utilizzato e che all’epoca era conosciuto già da alcuni
studiosi che tuttavia non sembravano averne compreso l’utilità nel commercio e anzi preferivano
continuare a servirsi dell’abaco. Questo strumento non era però come quello che ci è oggi familiare
(il cosiddetto “abaco cinese” tuttora noto in Asia come soroban) perché era costituito da una tavola
con delle scanalature parallele tra loro sulle quali erano fatti scorrere dei gettoni ed era all’epoca il
supporto più importante nell’eseguire calcoli, diffusosi in maniera capillare a partire dall’Impero
Romano. L’abaco costituiva senza dubbio un aiuto negli scambi di valuta, nel pagamento delle tasse
o nei rapporti commerciali, sebbene avesse almeno due considerevoli svantaggi: per prima cosa
rendeva assai laborioso operare con numeri relativamente grandi e ancor più eseguire
moltiplicazioni e divisioni con essi, dovendosi ricondurre sempre a lunghe e ripetute serie di
addizioni o sottrazioni; in secondo luogo l’abaco non permetteva di lasciare traccia scritta dei
calcoli che si volatilizzavano letteralmente al termine di un’operazione, rendendo necessario, in
caso di controversie, effettuare nuovamente tutti i conti. Leonardo era a conoscenza di questi
svantaggi quando il padre, pubblico notaio per la repubblica marinara di Pisa a Bugia (antica
colonia romana nota come Saldae) nell’attuale Algeria, lo invitò a raggiungerlo in Africa e ad
apprendere l’uso delle «nove figure degli Indiani» e dello zero. Fu in questo modo che Fibonacci
venne a conoscenza di un nuovo sistema di calcolo e continuò ad apprendere viaggiando a lungo
per tutto il Mediterraneo. Decise infine di esporre quanto imparato sull’aritmetica indo-araba e su
alcuni princìpi di matematica applicata e algebra nella sua opera oggi conosciuta come Liber
Abbaci. In realtà nel Medioevo spesso non veniva dato un titolo ed era consuetudine, per riferirsi a
un’opera, indicarla con le parole con cui si apriva il volume (analogamente sonetti o poesie
medievali sono di solito conosciuti con il primo verso della prima strofa e ancora oggi i documenti
pontifici o le encicliche sono denominati con le prime parole del testo). L’opera di Fibonacci si apre
con le seguenti parole
                                            Incipit Liber Abbaci
                               compositus a Leonardo, filio Bonacci, Pisano
                                              in anno MCCII8

pertanto dovrebbe essere menzionata secondo la corretta grafia riportata dallo stesso autore. La
traduzione corretta in italiano del titolo sarebbe quindi “Libro del calcolo” e non certo “Libro
dell’abaco”9perché, come abbiamo visto, l’intento di Fibonacci era superare la dipendenza
dall’abaco nell’eseguire operazioni per adottare invece il sistema impiegato da Arabi e Indiani.
Suppongo che l’errore sia dovuto in particolar modo a due fattori: il termine abbacus ci è
oggettivamente meno familiare, anche perché è una parola che nel latino classico non esiste10 e che,
fino a prova contraria, è attestato per la prima volta, con la grafia e il significato visti, proprio

8
  Inizia il Libro del calcolo composto da Leonardo Pisano, figlio di Bonacci, nell’anno 1202. Da
notare, come sottolinea Devlin, ibidem, pp. 22-23, che il genitivo latino di abbacus (con la stessa
grafia con due «b») compare in altri tre passi del volume: nel prologo (studium abbaci), nel capitolo
12 (de quaestionibus abbaci) e verso la fine del libro (secundum abbaci materiam).
9
  Eppure questa traduzione intuitiva e fallace continua a essere adottata anche da stimati divulgatori.
Si veda, a titolo di esempio, Piergiorgio Odifreddi, ibidem, p. 56.
10
   È sufficiente consultare un vocabolario di lingua latina per accorgersene. Nel celebre Castiglioni–
Mariotti, IL-Vocabolario della lingua latina, Loescher, Torino 1966 si trova solo abacus col
significato di credenza, tavolo, tavolo da gioco, tavolo per fare calcoli, lista per ornare pareti e parte
superiore del capitello.

nell’opera di Fibonacci; inoltre l’unica traduzione in una lingua moderna del testo latino raccolto da
Boncompagni11 riporta come titolo la forma Liber Abaci12.
Per tornare a quanto accennavamo a inizio del paragrafo, Carl Benjamin Boyer, uno dei massimi
studiosi di storia della matematica, in un suo celebre libro diventato una pietra miliare nella
storiografia scientifica moderna, afferma che «Il libro in cui Fibonacci descriveva il nuovo
algoritmo [il sistema indo-arabo] venne completato nel 1202 e diventò un celebre classico. Esso ha
però un titolo inesatto: Liber abaci, ossia libro dell’abaco; in realtà non tratta dell’abaco, ma discute
in maniera esauriente metodi e problemi algebrici, difendendo decisamente l’uso delle cifre indo-
arabiche»13. Non è però il titolo a essere inesatto, bensì la deduzione dello studioso che arriva
perfino a ipotizzare che l’errore di cui abbiamo parlato sia dovuto a Fibonacci e non a una fallace, o
per lo meno imprecisa, grafia che si è diffusa indipendentemente in un periodo molto più recente14.

La sezione aurea
A differenza degli altri paragrafi, questo titolo non presenta né costituisce di per sé un errore,
poiché sia nell’arte sia nella matematica la sezione aurea ha una precisa definizione. È invece da
considerare incorretto o in certi ambiti solo da ridimensionare il ruolo che alla sezione aurea è stato
attribuito dall’antichità fino a oggi. Partiamo quindi dal definire questo concetto matematico per poi
passare a un’analisi più precisa del ruolo effettivo e delle reali applicazioni che essa riveste nel
nostro mondo.
Parlando di «sezione» si intende letteralmente un «taglio» (così in geometria descrittiva si può
sezionare un solido, cioè “tagliarlo” con un piano) proprio perché in greco il termine corrispondente
era tomé con il significato di “taglio”, “divisione”15. Tale accezione è effettivamente collegata con
la sezione aurea, in quanto dato un segmento lo si deve “tagliare”, “dividere” in due parti cosicché
siano rispettate particolari proporzioni tra esse. Più precisamente, la sezione aurea di un segmento
AB si ottiene determinando un punto C, appartenente ad AB e con AC > BC, in modo tale che
valga la seguente proporzione: AB:AC = AC:BC. In altre parole, consiste nel determinare due
segmenti tali che il rapporto tra la somma dei due segmenti e il maggiore sia uguale al rapporto tra
il segmento maggiore e il minore. I rapporti visti si definiscono rapporti aurei e, per quanto detto,
possiamo affermare che il segmento maggiore deve essere medio proporzionale tra il minore e la
somma dei due segmenti. Non è difficile accorgersi che il rapporto aureo conduce a un numero ben
definito. Riformulando infatti il problema da un punto di vista algebrico e indicando AC con a e BC
con b otteniamo (a+b):a = a:b e quindi 1+b/a = a/b. Ponendo a/b = µ si ricava 1+1/µ = µ ovvero µ2-
µ-1 = 0. Trattandosi di un’equazione di secondo grado, applichiamo la formula risolutiva trovando
come soluzioni µ1 = (1-√5)/2 e µ2 = (1+√5)/2. Sviluppando i calcoli con una calcolatrice e
approssimando si ha µ1 = -0,61803 e µ2 = 1,61803 ma poiché stiamo operando con segmenti non

11
   Baldassarre Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano, Roma 1862 in cui è contenuto il testo
latino tratto dai più antichi manoscritti pervenutici (copie della seconda edizione del 1228).
12
   Laurence Sigler , Fibonacci’s Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo
Pisano’s Book of Calculation, Springer Verlag, New York 2002.
13
   Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics, Wiley, New York 1968 [trad. it. Storia della
matematica, Mondadori, Milano 1976] p. 296.
14
   Curioso osservare come Raffaella Franci, studiosa di matematica medievale, nel suo articolo Il
Liber Abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002, tratto dal Bollettino dell’Unione Matematica
Italiana, Serie 8, Vol. 5-A – La Matematica nella Società e nella Cultura (2002), n. 2, pp. 293-328,
citi a p. 308 il nostro stesso esempio di Boyer ma adotti ugualmente in tutto l’articolo la forma
Liber Abaci.
15
   Dalla stessa radice è derivato il termine a-tomo che a partire da Democrito indica una particella di
materia “non divisa”, “indivisibile”. Per approfondire l’argomento, si veda ad esempio Citti-Casali-
Fort-Taufer, Dialogoi-Percorsi di lessico greco, SEI, Torino 2012, pp. 36-37 liberamente
consultabile su internet.

possiamo accettare valori negativi e di conseguenza l’unica soluzione è µ2. Nel mondo
contemporaneo però la soluzione che abbiamo chiamato µ2 è detta numero aureo ed è comunemente
indicata con un’altra lettera greca φ (phi)16, ad essa attribuita dal matematico americano Mark Barr
intorno al 1909. La scelta fu dovuta al fatto che φ in greco è l’iniziale del celeberrimo architetto e
scultore ateniese Fidia che all’epoca, come adesso, si supponeva se ne fosse servito per realizzare il
Partenone… ma procediamo con ordine.
La più antica definizione di sezione aurea di cui siamo a conoscenza risale al celebre matematico
Euclide di Alessandria ed è contenuta nel sesto dei tredici libri che compongono il suo più
importante trattato, gli Elementi. Nella trentesima proposizione del sesto libro (dedicato quasi
unicamente all’applicazione della teoria delle proporzioni alla geometria) Euclide definisce la
proporzione che abbiamo scritto in precedenza sezione estrema e media (akron kai meson)17senza
utilizzare alcun aggettivo che ne esalti l’importanza e la grandiosità, come avviene invece oggi
(aurea, divina…). Anche se non sappiamo con certezza l’anno in cui vennero realizzati gli Elementi,
possiamo supporre, d’accordo con gli storici della matematica, che il periodo di attività di Euclide e
quindi anche la stesura del suo trattato sia da collocare tra il IV e III secolo a.C.18 Tutte le questioni
relative al periodo antecedente gli Elementi sono quindi, in gran parte, da ridimensionare perché
non possono essere considerate delle certezze trattandosi di semplici ipotesi o di pseudo-teorie
basate su osservazioni spesso superficiali che non sono avvalorate da alcuna fonte scritta. Rientrano
in questo campo tutte le idee concernenti la sezione aurea nella scuola pitagorica, nelle piramidi
egizie e nel Partenone19. È possibile che Pitagora e la sua scuola (il cui motto, secondo la tradizione,
fu «tutto è numero») a partire dal VI secolo a.C. siano entrati in contatto con la sezione aurea, forse
inconsapevolmente, osservando la suddivisione della diagonale di un pentagono nel quale era
inscritta la cosiddetta stella (o anche pentagramma) pitagorica o piuttosto determinando il rapporto
tra il lato e la diagonale di un pentagono. La questione resta tuttavia incerta e gli studiosi non
sembrano concordi, anche se appare poco probabile che i Pitagorici, paladini della rappresentazione
del mondo con i numeri naturali (in termini di arithmos), si siano confrontati serenamente con un
numero irrazionale come φ20. È quasi certo invece che non vi sia alcun legame diretto tra la sezione
aurea e le piramidi di Giza (soprattutto quella di Cheope, spesso impropriamente citata a proposito),
poiché un testo greco di Erodoto21 su cui molti phi-fili (o phi-edeli) basavano le proprie
supposizioni, pur non presentando un riferimento esplicito al rapporto aureo, si prestava a
molteplici traduzioni e conseguenti interpretazioni. Questa traduzione molto soggettiva risaliva
all’Ottocento e non era certo un tentativo isolato di dimostrare la veridicità di alcune supposizioni
che proprio in quell’epoca andavano aumentando esponenzialmente. Fra queste ebbe particolare
successo, sul finire del secolo XIX, l’idea del tedesco Adolf Zeising che descrisse la sezione aurea
come una legge universale che incarnava un ideale di bellezza e che si realizzava pienamente in

16
   È utilizzata in realtà, se pur raramente, anche un’altra lettera greca τ (tau) iniziale di tomé che
abbiamo già incontrato.
17
   Così il matematico bresciano Niccolò Tartaglia curerà nel 1565 una traduzione degli Elementi di
Euclide e in questa edizione nel passo citato (VI.30) troviamo “Puotemo seghare qualunque
proposta retta linea terminata secondo la proportione hauente il mezzo & duoi estremi” tratto
dall’ed. elettronica LiberLiber, 2005, p. 223 [p. 33 del Libro Sexto].
18
   Secondo quanto sostiene Proclo, Euclide fu attivo sotto il regno di Tolomeo I (367-283 a.C.).
19
   Per una più completa trattazione si veda la chiara e dettagliata esposizione di Manuel Bastioni, La
favola della sezione aurea, 2001, pp. 5-6, 9-14.
20
   Si pensi al triste epilogo del pitagorico Ippaso di Metaponto che, secondo Giamblico, avendo
divulgato la sua scoperta dell’incommensurabilità del lato e della diagonale di un quadrato, sarebbe
morto annegato dai suoi stessi compagni in un naufragio.
21
   Erodoto, Storie, par. 124.

ogni struttura esistente e soprattutto nella forma umana. Furono proprio le ricerche di Zeising22 a
evidenziare per prime un presunto rapporto tra la sezione aurea e la facciata del Partenone. L’ipotesi
che ormai si è diffusa come certezza afferma che Fidia si sia servito del numero aureo per definire
le dimensioni del fronte orientale (quello principale) e occidentale del tempio dedicato ad Atena
Parthenos sull’Acropoli di Atene. I lavori di ricostruzione iniziarono presumibilmente nel 447 a.C.
e si conclusero nel corso del V secolo a.C., cioè prima del trattato di Euclide: ribadiamo quindi che
questa ipotetica correlazione non può essere accreditata da alcuna documentazione originale. Ciò
sarebbe sufficiente per smentire queste credenze infondate, tuttavia le nostre argomentazioni sono
facilmente verificabili con un’altra semplice prova. Per Ziesing la facciata del Partenone sarebbe
inscritta in un rettangolo aureo, cioè un rettangolo nel quale il rapporto tra le due dimensioni
corrisponde a φ. Per fare ciò ci si serve spesso erroneamente di un’immagine, di un disegno o di una
fotografia in cui però non si tengono in considerazione gli espedienti visivi e le correzioni ottiche
adottati dagli architetti e assai comuni all’epoca, come la curvatura dello stilobate, l’entasi,
l’inclinazione verso l’interno o la variazione del diametro delle colonne, oltre a commettere
imprecisioni per ottenere il rapporto cercato (frequentemente i bordi del basamento sporgono dal
rettangolo in cui è inscritta la facciata). Occorre al contrario utilizzare le misure dirette della
larghezza e dell’altezza della facciata per ottenere dei risultati più vicini al vero. Con una breve
ricerca su internet si trovano dei valori che in generale corrispondono ai seguenti: larghezza allo
stilobate di 30,9 m e altezza di 14 m. Se Ziesing avesse ragione, il rapporto tra l’altezza e la
larghezza dovrebbe essere, anche trascurando gli errori, prossimo a 1,61803: si ottiene invece circa
2,2071. Probabilmente, come suppone Paolo Caressa, “le proporzioni del Partenone sono
verosimilmente basate sulla terna pitagorica (3,4,5) che come sappiamo era nota anche a Egizi e
Babilonesi”23.
Le idee errate dello studioso tedesco finirono purtroppo per prendere il sopravvento, promuovendo
anche alcune ricerche che evidenziassero il valore estetico del rettangolo aureo (fra queste merita
almeno di essere menzionata quella di Gustav Fechner, uno dei fondatori della psicologia
sperimentale) e arrivando a influenzare perfino l’attuale opinione di alcuni matematici, storici della
matematica e divulgatori24.
Fino a qui abbiamo trattato il periodo pre-Elementi e qualche vicissitudine successiva relativa
sempre a quell’epoca. Il periodo post-Elementi è caratterizzato da un numero crescente di
documenti cui possiamo facilmente fare riferimento in caso di dubbio, senza dover dare una
spiegazione dettagliata di ogni possibile controversia in questa sede. Infatti, contrariamente a
quanto si potrebbe credere, il fatto che non vi siano correlazioni accertate tra la sezione aurea e le
nostre preferenze estetiche o che essa non sia riscontrabile con certezza in un periodo precedente
agli Elementi, non significa che studiosi o artisti non se ne siano mai serviti esplicitamente nelle
loro opere. È probabile, ad esempio, che Piero della Francesca abbia fatto uso in qualche modo
della sezione aurea nello schema compositivo di alcuni suoi dipinti, come nella nota Flagellazione
di Cristo, forse venendo a conoscenza delle numerose proprietà matematiche e geometriche del

22
   Fra le sue opere le più significative Neue Lehre von den Proportionen des menschlischen Körpers
(Nuova teoria sulle proporzioni del corpo umano), Weigel, Lipsia, 1854 e Der goldene Schnitt (La
sezione aurea), Englemann, Lipsia, 1884.
23
   Paolo Caressa, ibidem, p. 63. Significativa anche la frase con cui si apre il paragrafo nella stessa
pagina: “Si tratta di uno degli argomenti matematici che più affascina i non matematici, e questo è
spesso fonte di miti e leggende duri a morire, come l’idea che la sezione aurea sia stata usata nella
costruzione della grande piramide di Cheope e del Partenone”.
24
   Vi sono comunque alcune eccezioni. Oltre ai già citati Bastioni e Caressa anche Alex Bellos,
ibidem, pp. 374-379 e Keith Devlin, ibidem, pp. 185-186 che in diversi articoli tratta la questione,
come nel recente Fibonacci and Golden Ratio Madness, Devlin’s Angle, 2017.

rapporto aureo25. Qualche anno dopo, nel 1509, il frate e matematico Luca Pacioli pubblicherà
l’opera De divina proportione che, al di là dei collegamenti spesso inverosimili con altre materie
(Philosophia, Perspectiva, Pictura, Sculptura, Architectura, Musica et altre Matematiche), può
essere considerato, con le dovute premesse, il primo scritto che tende a legittimare lo studio della
sezione aurea anche, ma purtroppo non solo, da un punto di vista strettamente matematico.
Infine occorre precisare che il termine con cui ci siamo riferiti alla proporzione di media ed estrema
ragione è relativamente moderno (solo con Pacioli, Keplero e Leonardo da Vinci si inizia a parlare
di divina proportione, sectio divina e sectio aurea) mentre nell’antichità, come abbiamo potuto
osservare, non esisteva un nome particolare, forse perché già gli antichi avevano capito che non c’è
niente che renda la sezione aurea così sovrumana e speciale rispetto al resto della matematica.

Abū Ja’far Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī
L’ultima imprecisione che tratteremo sintetizza in realtà una categoria di errori relativi alla
trascrizione di nomi di matematici non italiani nella nostra lingua. Anche in questo caso, piuttosto
che stilare un elenco dei nomi corretti da utilizzare nelle ricerche e nella divulgazione, esporremo
un esempio che ben rappresenta l’evoluzione di una semplice imprecisione che ha però reso
ambigui tutti i riferimenti a questo personaggio26.
Nella Baghdad degli Abbasidi, grande centro culturale, tra i secoli VIII e IX d.C. fu fondata
un’accademia, simile a un centro universitario attuale, dove era possibile consultare documenti e
tenere o assistere a lezioni e conferenze. Fu proprio in questo ambiente, mentre la «Casa della
Sapienza» di cui abbiamo parlato viveva la sua età dell’oro, sotto il regno del settimo califfo
abbaside, che operò al-Khwārizmī, uno degli studiosi più importanti del Medioevo. Costui si
occupò di astrologia, astronomia e geografia, ma è noto soprattutto per essere l’autore di uno dei più
antichi trattati di algebra27 giunto fino a noi e per aver descritto, circa quattro secoli prima di
Fibonacci, il sistema di numerazione posizionale adottato dagli Indiani.
Recentemente la studiosa Nobuo Miura, confrontando alcuni passi del Liber Abbaci con le opere
del matematico arabo, si è trovata in difficoltà nel risalire al nome completo di al-Khwārizmī, vista
la confusione della letteratura matematica e scientifica28. Infatti, tralasciando la grafia da preferire
su cui anche i linguisti sono discordi, il matematico è spesso indicato (se non semplicemente al-
Khwārizmī) come Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. Potrebbe apparire solo un espediente per
riferirsi al personaggio più concisamente (così raramente indichiamo papa Leone XIII con il nome
completo Vincenzo Gioacchino Raffaele Luigi Pecci) tuttavia costituisce un’approssimazione
grossolana. Muḥammad al-Khwārizmī corrisponde a «Muḥammad nativo della città di al-

25
   È importante sottolineare che questi legami restano spesso delle semplici ipotesi se non si è in
possesso di documenti che ne possano confermare la veridicità. Inoltre, come mi ha fatto
giustamente notare Graziano Gentili, docente di Geometria all’Università di Firenze, al termine di
una sua conferenza sulla pittura e la geometria proiettiva in Piero della Francesca, il lavoro
dell’artista di Borgo Sansepolcro si concentra, anche grazie agli studi sulla prospettiva lineare, non
tanto su precisi rapporti estetici, quanto piuttosto nel rappresentare sulla tela ciò che realmente si
vede.
26
   È chiaro che i riferimenti ambigui possono riguardare solo gli specialisti, ma in ogni modo si è
voluto presentare la questione per evidenziare come a volte sia più importante spendere qualche
parola sulla biografia o sul contesto storico in cui operò un personaggio piuttosto che limitarsi a
trascrivere un nome lungo e complesso, che non chiarisce niente, come quello di al-Khwārizmī.
27
   Dal nome del matematico arabo con cui si aprivano le sue opere nelle traduzioni latine (Dixit
Algorithmi …) deriverà il moderno termine «algoritmo» con cui indichiamo oggi un processo di
calcolo eseguibile in un numero finito di passi ben definiti. La stessa parola «algebra» deve la sua
origine al termine al-jabr (traducibile come “completamento”) utilizzato da al-Khwārizmī.
28
   Per una trattazione più completa della questione si veda Keith Devlin, I numeri magici di
Fibonacci, op. cit., pp. 67-76.

Khwārizmī» (come il nostro Leonardo da Vinci) mentre ibn Mūsā significa «figlio di Mosè»: fin
qui apparentemente nessun problema. Se però nella cittadina di Vinci fossero nati più scienziati e
studiosi con il nome di Leonardo, non sarebbe più stato possibile riferirsi univocamente a ciascuno
indicandone solo l’origine, come è avvenuto invece per al-Khwārizmī. Sono infatti accertati due
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, il primo (il matematico di cui abbiamo parlato) Abū
‘Abdallāh, cioè «Padre di ‘Abdallāh» mentre il secondo Abū Ja’far, cioè «Padre di Ja’far» e
anch’esso matematico e astronomo. È possibile anche che il Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, al
quale più spesso ci si riferisce, avesse due figli e fosse quindi padre sia di ‘Abdallāh che di Ja’far,
ma esistendo un omonimo al-Khwārizmī vissuto tra il IX e il X secolo d.C., la versione con Abū
Ja’far sarebbe da evitare se non corredata da una precisa distinzione tra i due matematici. Allo
stesso tempo, risulta ancor più approssimativa e imprecisa la forma Muḥammad ibn Mūsā al-
Khwārizmī che non indica chiaramente nessuno dei due studiosi. Per riassumere, la forma più
corretta del nome del matematico vissuto tra VIII e IX secolo sarebbe quindi Abū ‘Abdallāh
Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, per quanto siano pochi gli studiosi che la usano29.

29
   Troviamo solo al-Khwārizmī o Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī in Umberto Bottazzini,
ibidem, p. 111; Paolo Caressa, ibidem, p. 137; Piergiorgio Odifreddi, ibidem, p. 55; Alex Bellos,
ibidem, pp. 222-223; Carl Benjamin Boyer, ibidem, pp. 266-267. In John Derbyshire, ibidem, p. 56
è usata invece l’altra forma ambigua Abū Ja’far Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī tratta dalla
voce di al-Khwārizmī riportata nel Dictionary of Scientific Biography (New York, 1970-1990) al
quale volume si deve probabilmente la propagazione dell’errore nella letteratura. Da considerare
anche, per inciso, che i nomi arabi che iniziano con «al-» andrebbero elencati sotto la prima lettera
che segue, quindi al-Khwārizmī dovrebbe trovarsi alla lettera K in un indice analitico (non sempre
però avviene).