PMP Compendium PROBABILITÀ E STATISTICA A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT
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PROBABILITÀ E STATISTICA A SUPPORTO
DEL PROJECT MANAGEMENT
ESPM- European School of Project Management 1
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
SOMMARIO
1. GESTIONE DEL DOCUMENTO............................................................................. 4
1.1 Storia del documento ................................................................................................................................ 4
1.2 Gestione delle modifiche ......................................................................................................................... 4
1.3 Confidenzialità e proprietà ...................................................................................................................... 4
2. PREMESSA .................................................................................................... 5
3. INTRODUZIONE .............................................................................................. 6
3.1 Struttura ........................................................................................................................................................ 6
3.2 Simboli .......................................................................................................................................................... 6
4. VARIABILI ................................................................................................. 7
4.1 Variabili qualitative e variabili quantitative ........................................................................................ 7
4.2 Variabili aleatorie ....................................................................................................................................... 7
5. MEDIA, MEDIANA, MODA .............................................................................. 10
5.1 Media ...........................................................................................................................................................10
5.2 Mediana ......................................................................................................................................................10
5.3 Moda ............................................................................................................................................................11
6. MISURE DI VARIABILITÀ A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT... 14
6.1 Range ...........................................................................................................................................................14
6.2 Varianza......................................................................................................................................................14
6.3 Deviazione Standard .............................................................................................................................15
6.4 Deviazione Standard come misura dell'incertezza sulle stime di durata e costi di
progetto ...................................................................................................................................................................16
6.4.1 Stime con la tecnica a 3 punti ....................................................................................................16
6.4.2 Stime con la tecnica PERT...........................................................................................................16
7. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ E LORO APPLICAZIONI IN PROJECT
MANAGEMENT ................................................................................................. 20
7.1 Distribuzione Uniforme........................................................................................................................20
7.2 Distribuzione Triangolare ...................................................................................................................21
7.3 Distribuzione Beta ..................................................................................................................................22
7.4 Distribuzione Normale .........................................................................................................................23
7.5 La Distribuzione Lognormale (Lognormal) ..................................................................................24
7.6 Teorema del limite centrale ...............................................................................................................25
7.7 Il ruolo delle distribuzioni di probabilità nella gestione dei rischi .....................................25
8. TECNICHE DI SCHEDULING DEL PROGETTO........................................... 29
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8.1 Reticolo logico di schedulazione (scheduling network) ..........................................................29
8.2 Critical Path Method (CPM) ................................................................................................................30
8.3 Critical Chain Method (CCM) ..............................................................................................................36
8.4 Analisi Monte Carlo applicata ai progetti ......................................................................................38
9. DESIGN OF EXPERIMENT (DOE) IN PROJECT MANAGEMENT .................................. 43
10. GLOSSARIO ............................................................................................. 48
INDICE DELLE FIGURE
Figura 1: Schema riassuntivo variabili .............................................................................................................. 9
Figura 2: Schema riassuntivo Media, Mediana, Moda ................................................................................13
Figura 3: Range di un insieme di dati ...............................................................................................................14
Figura 4: Distribuzione Uniforme discreta.....................................................................................................20
Figura 5: Distribuzione Uniforme continua ...................................................................................................21
Figura 6: Distribuzione Triangolare .................................................................................................................21
Figura 7: Distribuzione Beta ................................................................................................................................22
Figura 8: Distribuzione Normale (Gaussiana) ..............................................................................................23
Figura 9: Deviazioni Standards dalla media ..................................................................................................24
Figura 10: Distribuzione lognormale ...............................................................................................................25
Figura 11: Metodo CPM e CCPM a confronto.................................................................................................38
Figura 12: Schema Design of Experiment .......................................................................................................44
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1. GESTIONE DEL DOCUMENTO 1.1 Storia del documento Data Autore(i) Versione Stato Commenti 12/05/2013 MGV 0.0 Draft Versione iniziale 06/07/2013 MGV 0.1 Draft Versione completa 1.2 Gestione delle modifiche Il presente documento è gestito dal processo di gestione dei cambiamenti. I cambiamenti apportati devono essere approvati da ESPM (European School of Project Management) via il processo di gestione dei cambiamenti. 1.3 Confidenzialità e proprietà Questo documento e tutti gli allegati associati sono di proprietà di ESPM spa, delle società sue consociate e affiliate (Projectize srl, YLUM srl). ESPM- European School of Project Management 4 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
2. PREMESSA L'obiettivo primario per il Project Manager è il successo del progetto. Essere efficaci, arrivare all'obiettivo, non basta! Bisogna anche essere efficienti e arrivare all'obiettivo con il minore dispendio e spreco di risorse, mantenendo alti gli standard qualitativi. Per essere efficaci, quindi, non è sufficiente "misurare", occorre anche elaborare le misurazioni effettuate e utilizzarle a scopi previsionali sempre nell'ottica dell'efficienza e della sostenibilità del progetto. Questo compendium ha lo scopo di spiegare i concetti base e alcuni metodi della probabilità e della statistica che possono essere di supporto al Project Manager. È esclusa una trattazione completa e rigorosa delle discipline della Statistica e della Probabilità, per una conoscenza approfondita delle quale si rimanda a corsi specialistici. ESPM- European School of Project Management 5 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
3. INTRODUZIONE
La conoscenza di base e la comprensione di alcuni elementi delle discipline della Statistica e della
Probabilità sono di supporto al Project Manager nello svolgere le attività di gestione di un
progetto, tra le quali citiamo: la gestione dei rischi, la capacità di predire in maniera oggettiva
l'andamento dei costi e delle tempistiche, la misurazione degli indici di performance del progetto e
la loro analisi necessaria per capire l'andamento del progetto stesso. Inoltre, durante la fase del
Monitoring & Controlling, sono numerosi i metodi statistici che supportano una comprensione
analitica (qualitativa e quantitativa) dell'andamento del progetto. Tale comprensione permette di
avere gli strumenti necessari per intraprendere eventuali correzioni (di costo, di risorse, di budget,
di tempistiche, di qualità, di scopo) durante le varie fasi del progetto.
3.1 Struttura
La struttura del presente compendium è la seguente:
– Breve spiegazione teorica
– Esempi di applicazione
– 1 minuto di riflessione
– Verifica
– Test di comprensione
– In conclusione
3.2 Simboli
Attenzione! 1 minuto di riflessione
Ricorda!
Domande di verifica
Esempio Definizione
Test di comprensione Per l'esame
Riferimenti In conclusione
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4. VARIABILI
In Statistica una variabile ha due caratteristiche:
– è un attributo che descrive una persona, un posto, un oggetto o un idea;
– ha un valore che dipende dal tipo di entità cui si riferisce.
4.1 Variabili qualitative e variabili quantitative
Le variabili sono classificate in due modi: qualitative e quantitative.
– Variabili qualitative (o categoriche): il valore è un testo, un aggettivo. Per esempio: il colore dei
capelli di una persona è una variabile qualitativa.
– Variabili quantitative (o numeriche): il valore è un numero. Per esempio: l'altezza di una persona,
espressa in centimetri, è una variabile quantitativa.
Le variabili quantitative sono a loro volta classificate come discrete o continue.
– Discrete: le variabile discrete assumono solo numeri interi.
Esempio: la popolazione del pianeta Terra è un numero discreto.
– Continue: le variabili continue assumono qualsiasi valore tra un minimo e un massimo.
Esempio: Il budget previsto per l'acquisto di una nuova automobile della famiglia Bianchi, può
assumere qualsiasi valore tra il minimo di 15.000 € e il massimo di 20.000 €.
4.2 Variabili aleatorie
Una variabile aleatoria (casuale, random) è una variabile che assume determinati valori in
modo casuale (non deterministico).
Esempi:
– il lancio di un dado;
– l’esito di una estrazione del Lotto;
– il risultato di una partita di calcio;
– il voto di un esame.
Dato che ciascuno dei valori ha una probabilità di verificarsi, ci sarà anche una funzione detta
distribuzione di probabilità P(x) della variabile aleatoria x.
Le variabili aleatorie possono essere sia discrete che continue.
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Riprenderemo il concetto di variabili aleatorie nel capitolo 7 quando approfondiremo le
Distribuzioni di Probabilità.
Esempio di applicazione
Una piccola azienda ha deciso di investire in un progetto che prevede la ristrutturazione
e riqualificazione dei locali situati al piano terra di un edificio di 3 piani per la realizzazione di un
centro ricreativo e culturale che ha l'obiettivo di erogare corsi di: lingua, teatro, musica, arte e
doposcuola. Il Project Manager fa un elenco delle seguenti variabili qualitative e quantitative che
intende tenere sotto controllo durante le varie fasi del progetto.
Variabili qualitative:
– risposta della popolazione alla proposta dei corsi;
– tempi di realizzazione struttura.
Variabili quantitative:
– popolazione potenziale interessata ai corsi
– tra 4 e 6 anni
– tra 7 e 11 anni
– tra 12 e 14 anni
– tra 14 e 25 anni
– tra 25 e 55 anni
– tra 55 e 65 anni
– > 65 anni
– percentuale di persone che hanno espresso interesse per i corsi di lingua
– percentuale di persone che hanno espresso interesse per i corsi di teatro
– percentuale di persone che hanno espresso interesse per il servizio di doposcuola e tutoraggio
I valori delle suddette variabili permetteranno di valutare il numero dei corsi da erogare e il numero dei
docenti esterni da reclutare sul territorio.
1 minuto di riflessione
Rifletti su quali possano essere le variabili quantitative principali che caratterizzano un individuo.
"Alto" è una variabile qualitativa, "178 cm" è una variabile quantitativa.
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euDomande di verifica
Tra le variabili quantitative che hai individuato nel minuto di riflessione precedente, quali sono le
variabili continue?
Test di comprensione
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
[A] Tutte le variabili possono essere classificate come numeriche o qualitative.
[B] Le variabili categoriche possono essere variabili continue.
[C] Le variabili qualitative possono essere variabili discrete.
[D] Le variabili discrete assumono qualsiasi valore tra un minimo e un massimo.
Soluzione Test di comprensione
La risposta corretta è [A]. Tutte le variabili possono essere classificate come qualitative o numeriche. Le variabili
categoriche (dette anche qualitative), non possono essere numeriche e quindi non possono essere classificate come
continue. Le variabili discrete sono una categoria di variabili quantitative e assumono solo valori interi tra un minimo e
un massimo.
In conclusione
Figura 1: Schema riassuntivo variabili
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu5. MEDIA, MEDIANA, MODA
5.1 Media
La media aritmetica di un set di dati è la somma numerica di tutti i valori dei dati diviso il numero
dei dati.
In simboli matematici:
Dove:
è la media del set di x valori
è la somma di tutti gli x valori facenti parte del set
n è il numero di x valori del set
5.2 Mediana
La mediana di un insieme di dati è il valore del dato centrale dell'insieme dopo che questi sono
stati ordinati in ordine crescente.
mediana = ½ (n + 1) -esimo valore del set di dati
Dove: n è il numero dei dati
Nota: Se è il numero dei dati è pari, allora la mediana è calcolata come la media di due valori
centrali di un insieme di dati.
La mediana indica il numero che occupa la posizione centrale in un insieme di numeri, ovvero una
metà dei numeri ha un valore superiore rispetto alla mediana, mentre l'altra metà ha un valore
inferiore.
La media e la mediana sono misure usate per descrivere il valore "più tipico" di una popolazione.
Gli Statistici li definiscono come misure della tendenza centrale.
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu5.3 Moda
La moda indica il valore più ricorrente in un insieme di dati. In alcune distribuzioni, la moda può
mancare, oppure essere presente per più di un valore; in questo caso, si hanno distribuzioni
bimodali (due mode), trimodali (tre mode), plurimoldali.
Moda = valore che compare con maggior frequenza
La moda, ad esempio, di 2, 3, 3, 5, 7 e 10 è 3.
Esempio di applicazione
In un progetto si registra un aumento dei costi mensile. Dopo una analisi sui costi, il PM decide di
calcolare l'over-costo medio settimanale dovuto alle ore di straordinario richieste negli ultimi due
mesi (1 ora di straordinario costa all'azienda 122 euro).
1. Settimana 1 = 25 ore
2. Settimana 2 = 21 ore
3. Settimana 3 = 15 ore
4. Settimana 4 = 28 ore
5. Settimana 5 = 21 ore
6. Settimana 6 = 32 ore
7. Settimana 7 = 17 ore
8. Settimana 8 = 22 ore
Media
=25+21+15+28+21+32+17+22=181 ore
n 8
22,625 ore
Costo medio settimanale 2760,25€
imputabile alle ore di
straordinario
Mediana
Ordiniamo le ore settimanali in ordine crescente: 15, 17, 21, 21, 22, 25, 28, 32
Valori centrali: 21, 22
Mediana: (21+22)/2 = 21,5 ore
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euModa
Il valore più ricorrente è 21 ore.
1 minuto di riflessione
Nell'esempio precedente quali delle 2 misure della centralità meglio risponde alle esigenze del
Project Manager?
Domande di verifica
Quando è meglio usare la media e quando la mediana?
Usiamo la media quando abbiamo un campione grande di dati. Usiamo la mediana quando
abbiamo un campione piccolo di dati e il campione presenta un valore che differisce moltissimo da
tutti gli altri dati. Tale valore si chiama outlier (dato erratico). Questo perché il dato erratico può
falsare la media.
Test di comprensione
Il punteggio di 4 test di IQ è il seguente: 96, 100, 106, 114. Quale delle seguenti affermazioni è
vera?
[A] La media è 103
[B] La media è 104
[C] La mediana è 100
[D] La mediana è 106
Soluzione
La risposta corretta è [B]. Infatti:
Media = Σx / n = (96 + 100 + 106 + 114) / 4 = 104
Dal momento che ci sono un numero pari di punteggi (4), la mediana è la media dei due punteggi centrali.
Mediana = (100 + 106) / 2 = 103
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euIn conclusione
Figura 2: Schema riassuntivo Media, Mediana, Moda
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu6. MISURE DI VARIABILITÀ A SUPPORTO DEL PROJECT MANAGEMENT
6.1 Range
Il Range è la differenza tra valore massimo e valore minimo di un insieme di dati.
Nell'intervallo di Figura 3 i valori sono {4, 6, 9, 3, 7}. Il valore minimo è 3, il valore massimo
9, il range = 9 - 3 = 6.
Figura 3: Range di un insieme di dati
6.2 Varianza
Nel capitolo precedente abbiamo visto come la media sia una misura della centralità del nostro
insieme di dati (popolazione). Utilizziamo ora la media come punto di riferimento per calcolare la
deviazione (o variabilità) di ciascun valore dal valore centrale (media).
Questa deviazione si chiama scarto.
Le deviazioni sono numeri positivi per tutti i valori al di sopra della media e numeri negativi per
tutti i valori al di sotto della media.
Sommando queste deviazioni il risultato è 0 (i valori positivi sono elisi dai valori negativi).
Quest'approccio non ci consente quindi di ottenere una misura della variabilità dei dati. Il
problema si risolve elevando al quadrato le deviazioni dalla media (il quadrato di un numero
negativo è un numero positivo).
Sommando i quadrati delle deviazioni (o “scarti”) dalla media e dividendo questa somma per il
numero delle osservazioni, otteniamo la deviazione quadratica media (o scarto quadratico
medio) o varianza.
Data una popolazione, la varianza è una funzione che fornisce una misura di quanto i valori
assunti dalla variabile si discostano dal valore medio.
La varianza è quindi definita come lo scarto quadratico medio dalla media della
popolazione, secondo la seguente formula:
=
dove
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euσ2 è la varianza μ è la media Xi è l'i-esimo elemento della popolazione N è il numero degli elementi della popolazione. In sintesi, la varianza dice come sono distribuiti i valori attorno alla media. Per esempio: prendiamo l'età di una popolazione di 3 gruppi di individui adulti in 3 ospedali diversi per sperimentare un nuovo protocollo di cura. Età gruppo 1 (anni): 20, 30, 40, 50, 60. Età gruppo 2 (anni): 10, 25, 40, 55, 70. Età gruppo 3 (anni): 35, 37, 40, 43, 45. L'età media (media aritmetica) è pari a 40 anni per tutti e tre i gruppi, ma nel secondo gruppo i dati sono più dispersi attorno alla media. È per questo che, accanto ai valori medi, vanno introdotti anche indici di misura della variabilità (o dispersione o scarto) dei dati. Nota: Nella formula della varianza, il denominatore è pari ad N quando si calcola la varianza di una popolazione, si usa invece (n-1) quando si calcola la varianza di un campione di dati (sample). 6.3 Deviazione Standard Il limite della varianza come misura di dispersione è quella di avere una unità di misura espressa al quadrato rispetto all'unità di misura originale. Essa indica quanto, in media, ciascun elemento si discosta dalla media aritmetica. La radice quadrata della varianza, chiamata deviazione standard, ci riporta i valori nell'unità di misura di partenza: dove: σ è la deviazione standard σ2 è la varianza μ è la media Xi è l'i-esimo elemento della popolazione N è il numero degli elementi della popolazione. La Deviazione Standard è l'indice di variabilità più "reale" e, quindi, più utilizzato per misurare l'incertezza di una misura. Quanto più elevata è la deviazione standard, tanto più i dati si discostano dal valore medio. ESPM- European School of Project Management 15 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
Nel paragrafo seguente vedremo come il valore della varianza e della deviazione standard possono dare al Project Manager una indicazione sulle stima di durata e di costo di un progetto. La deviazione standard rappresenta l'incertezza della nostra misura centrale (media). Essendo definita come la radice quadrata della varianza assume sia valori negativi che valori positivi. 6.4 Deviazione Standard come misura dell'incertezza sulle stime di durata e costi di progetto 6.4.1 Stime con la tecnica a 3 punti Ogni attività di un progetto presenta un margine di incertezza o rischio relativamente ai parametri come la durata e i costi del progetto stesso. Nella pratica di tutti i giorni sono molti i rischi di non terminare un progetto in una determinata data ed entro un determinato budget. Valutare questi rischi permette di pianificare meglio una risposta agli stessi, aumentando così la probabilità di successo del progetto. Le stime a 3 punti sono di supporto al Project Manager per valutare i rischi di alcuni parametri fondamentali di progetto come la durata e i costi. Le stime a 3 punti usano 3 stime differenti: valore Ottimistico (caso migliore, O), valore Pessimistico (caso peggiore, P) e valore più probabile (M dall'inglese Most Likely) per stimare sia la durata che i costi di un progetto. Il modo più semplice è quello di calcolare la media semplice del parametro in esame: Tali formule derivano dalla Distribuzione di Probabilità Triangolare che vedremo nel capitolo 7.2. 6.4.2 Stime con la tecnica PERT Anche la tecnica PERT (Program Evaluation and Review Technique) è una stima dell'incertezza che usa 3 punti. ESPM- European School of Project Management 16 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
Per poter arrivare alla formula di PERT, osserviamo che la durata di un progetto è una variabile
aleatoria (rif. 4.2). Assumiamo ancora che il tempo di completamento di un progetto sia un valore
finito.
In riferimento alla durata del progetto, chiamiamo stima Ottimistica (caso migliore, O) il minimo
valore del range della durata e stima pessimistica (caso peggiore, P) il massimo valore del range.
Queste assunzioni sono anche alla base della definizione della così detta Distribuzione Beta (β)
che è una distribuzione di probabilità continua con range finito che vedremo in dettaglio nel
capitolo 7.3.
Il picco di questa distribuzione corrisponde alla moda (M), ovverosia al valore più probabile della
distribuzione.
O, P ed M sono quindi dei parametri della distribuzione di una variabile aleatoria (quale può essere
appunto la durata o il costo di un progetto).
La distribuzione Beta è caratterizzata da 4 parametri:
– un valore minimo,
– un valore massimo,
– due parametri di forma.
Indipendentemente dai valori di minimo e massimo, dando ai parametri di forma specifici valori, si
calcola:
Il valore medio µ rappresenta la stima media della durata oppure dei costi del progetto. Il valore
la varianza e il valore la deviazione standard, ossia rappresenta l'incertezza sulla stima del
valore medio µ.
Osserviamo che la differenza fra il valore pessimistico e il valore ottimistico è 6 volte la deviazione
standard e che PERT dà uno peso 4 al valore della moda (valore più probabile).
In sintesi PERT è un tipo di tecnica di stima a 3 punti e usa una stima della media "pesata" rispetto
alla stima semplice della formula a 3 punti semplice. Le stime a 3 punti sono anche usate per
l'analisi Monte Carlo (vedi xxxxxxx).
La formula PERT è detta anche EAD (Expected Activity Duration).
Affineremo e completeremo le tecniche di stima della durata e dei costi di un progetto quando
esamineremo la Distribuzione Normale (Distribuzione Gaussiana) nel paragrafo 7.4 e il metodo del
cammino critico (Critical Path Method).
ESPM- European School of Project Management 17
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euEsempio di applicazione
In seguito ad un cambiamento di un requisito software che implica l'installazione di un nuovo
plug-in, il Project Manager chiede alla risorsa interessata di stimare il tempo che gli occorre per
effettuare tale modifica. La risorsa risponde che nel caso migliore potrebbe impiegarci 6 ore, nel
caso peggiore 26 ore (problemi con l'installazione del plug-in), più probabilmente 10 ore.
Il Project Manager decide di aggiornare la schedulazione usando la stima PERT che porta al
seguente risultato: (6 + 4*10 + 26)/6 = 72/6 = 12 ore, molto vicino alla stima più probabile.
1 minuto di riflessione
Abbiamo visto che sia la varianza che la deviazione standard danno la misura dell'incertezza di una
variabile aleatoria intorno al valore medio: perché abbiamo bisogno di due variabili che ci dicono
la stessa cosa?
Domande di verifica
Un progetto è normalmente formato da più attività (scomponibili per esempio utilizzando la WBS).
Una volta calcolato la durata media e la deviazione standard di ogni attività, a cosa corrisponde la
durata totale e la deviazione standard totale del progetto?
Suggerimento: verifica la tua risposta dopo aver letto il paragrafo 7.6.
Test di comprensione
Due progetti X e Y hanno una durata prevista di 48 giorni ciascuno. La Deviazione Standard è 4
giorni per il progetto X e 8 giorni per il progetto Y. Cosa possiamo affermare in riferimento ai due
progetti?
[A] Il progetto X ha una probabilità di completarsi in metà del tempo del progetto Y
[B] Il progetto Y ha una probabilità di completarsi in metà del tempo del progetto X
[C] Il progetto X è più rischioso del progetto Y
[D] Il progetto Y è più rischioso del progetto X.
Soluzione Test di comprensione
La risposta corretta è[D]. Il progetto Y è più rischioso del progetto X. Una deviazione standard più elevata indica
maggiore incertezza sui rischi.
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euIn conclusione ESPM- European School of Project Management 19 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
7. DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ E LORO APPLICAZIONI IN PROJECT
MANAGEMENT
Nel capitolo 4 abbiamo definito le variabili aleatorie. Se disegniamo un grafico con i valori di tali
variabili lungo l'asse x e disegniamo la probabilità che ciascun di esse si verifichi lungo l'asse y,
otteniamo una distribuzione di probabilità.
La funzione matematica che descrive la forma della distribuzione di probabilità si chiama funzione
di distribuzione della probabilità.
In questo capitolo vediamo alcune tra le distribuzioni più usate nella disciplina del Project
Management e le loro applicazioni.
7.1 Distribuzione Uniforme
Nella distribuzione uniforme ogni valore della variabile aleatoria ha una uguale probabilità di
verificarsi. Per esempio, nel lancio di un dado (facce numerate da 1 a 6), ciascuna faccia ha una
uguale probabilità di occorrenza. Quindi ogni faccia del dado ha una probabilità di 1/6 di
verificarsi.
La distribuzione uniforme può essere discreta o continua. Il lancio di un dado è un esempio di
distribuzione discreta perché il risultato può assumere solo valori discreti (1, 2, 3, 4, 5, e 6). Le
variabili aleatorie continue, invece, sono quelle che possono assumere un insieme continuo di
valori tra un intervallo dato [a, b].
La distribuzione uniforme di un insieme definito di valori è la distribuzione di probabilità
che attribuisce a tutti gli elementi dell'insieme la stessa probabilità di verificarsi.
Figura 4: Distribuzione Uniforme discreta
ESPM- European School of Project Management 20
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euFigura 5: Distribuzione Uniforme continua
Utilità in Project Management
Tale distribuzione è usata in Project Management quando si hanno poche informazioni sui dati di
progetto e si vogliono determinare delle stime grossolane. È inoltre usata nel processo di Gestione
dei Rischi quando un certo numero di rischi ha una uguale probabilità di verificarsi.
7.2 Distribuzione Triangolare
La Distribuzione Triangolare è una distribuzione di probabilità continua con un valore minimo, una
moda (valore più probabile) e un valore massimo. Differentemente dalla Distribuzione Uniforme i
valori di una variabile aleatoria in questo caso NON hanno la stessa probabilità di verificarsi. La
probabilità del valore minimo (a) è 0, come pure la probabilità del valore massimo (b), la
probabilità della moda (c) invece è il valore più alto della distribuzione.
Figura 6: Distribuzione Triangolare
ESPM- European School of Project Management 21
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euUtilità in Project Management
Tale distribuzione è usata spesso come approssimazione della Distribuzione Beta che vedremo nel
prossimo paragrafo per stimare la durata delle attività di un progetto come abbiamo visto nel
paragrafo 6.4.1 (stima a 3 punti semplice). Assumendo infatti una Distribuzione Triangolare, la
durata aspettata di una attività (media della distribuzione) può essere calcolata usando il metodo
della media semplice.
7.3 Distribuzione Beta
La distribuzione Beta è determinata da 4 parametri:
a - valore minimo
b - valore massimo
α - parametro di forma
β - parametro di forma
dove a e b sono numeri finiti. Anche se gli eventi naturali raramente hanno numeri finiti, la
distribuzione Beta li approssima abbastanza bene.
La forma della Distribuzione Beta assomiglia a quella della Distribuzione Triangolare ma con la
punta del triangolo arrotondata.
I parametri di forma α e β permettono di variare la forma della distribuzione (vedi Figura 7). Per
valori di α piccoli e di β grandi, il picco della distribuzione è spostato a sinistra del grafico.
Viceversa, per valori di α grandi e di β piccoli, il picco della distribuzione è spostato a destra del
grafico. Infine, quando i valori di α e β sono paragonabili, il picco della distribuzione si situa al
centro del grafico.
Figura 7: Distribuzione Beta
ESPM- European School of Project Management 22
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euUtilità in Project Management
Come abbiamo visto nel paragrafo 6.4.2 in occasione della tecnica PERT, interpretando come
pessimistico (P) il valore minimo, Ottimistico (O) il valore massimo e più probabile (M) il valore di
moda della distribuzione Beta, possiamo ottenere delle buone stime sia per la durata delle attività
di un progetto, sia per i costi.
7.4 Distribuzione Normale
Una variabile aleatoria che può assumere qualsiasi valore tra - e segue una distribuzione
Normale (detta anche Gaussiana). Molti fenomeni naturali si distribuiscono secondo la
Distribuzione Normale. La particolarità di questa distribuzione è che è simmetrica rispetto al
valore medio (valore aspettato). Inoltre il valore medio coincide con la mediana e con al moda
(valore più probabile).
La distribuzione normale presenta la caratteristica forma a campana.
La forma più semplice di distribuzione normale si chiama Distribuzione Normale Standard ed ha
come media il valore 0 e come varianza il valore 1.
Grazie alla sua capacità di modellare bene moltissimi eventi naturali, tale distribuzione presenta
molte applicazioni pratiche in ogni disciplina di studio.
Figura 8: Distribuzione Normale (Gaussiana)
Nel capitolo 6 abbiamo visto come la varianza e la deviazione standard danno una misura della
dispersione dei valori di una variabile aleatoria.
L'asse y della curva di distribuzione dà la probabilità di verificarsi di ogni valore che può assumere
una variabile aleatoria. Il rapporto dell'area sotto la curva tra due qualsiasi punti a e b e l'area
ESPM- European School of Project Management 23
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eutotale della curva, dà la probabilità che un determinato valore della variabile aleatoria cada dentro
l'intervallo tra a e b. E qui entra in gioco la deviazione standard.
In accordo con la statistica il 68,2% dei valori di una variabile aleatoria cadono dentro 1 deviazione
standard dal valore della media, il 95,5% dentro 2 deviazioni standard dal valore della media e il
99,7% dentro 3 deviazioni standard.
In altre parole: c'è una probabilità di 68,2% che i valori di una variabile aleatoria stiano tra
, 95,5% e 99,7% .
Figura 9: Deviazioni Standards dalla media
Utilità in Project Management
Qualsiasi variabile aleatoria di un progetto può essere gestita con i livelli di confidenza dati dalle
stime di deviazione standard. Questo perché molte variabili di progetto seguono la tipica forma a
campana della Distribuzione Normale.
Molti Project Manager sono confidenti con stime di ±2 , alcuni preferiscono avere livelli di
confidenza sulle loro stime fino a 3 . Una tecnica, nota come Six-Sigma (rif. xxx), termine coniato
da Motorola nel 1985 per ridurre al minimo gli errori sul prodotto e aumentare la qualità dello
stesso minimizzando la variabilità nei processi di produzione e di business, considera livelli di
confidenza fino ±6 . In realtà sono sufficienti ±4,5 per raggiungere un livello tale di controllo del
processo da avere soltanto 3,4 parti difettose per milione (valore standard), il che porta a limiti
molto restrittivi sulla variabilità del processo produttivo.
7.5 La Distribuzione Lognormale (Lognormal)
In teoria delle probabilità la Distribuzione Lognormale, o Lognormal, è la distribuzione di
probabilità di una variabile aleatoria X il cui logaritmo segue una distribuzione normale.
Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive
indipendenti.
ESPM- European School of Project Management 24
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euFigura 10: Distribuzione lognormale 7.6 Teorema del limite centrale Il Teorema del limite centrale dice che, preso un grande campione di variabili aleatorie indipendenti (più di 30), ognuna delle quali presenta lo stesso tipo di distribuzione (come per esempio la distribuzione Beta) con una media finita e una varianza, esso si distribuisce secondo la Distribuzione Normale. Più è grande il campione, più il risultato si avvicina alla Distribuzione Normale. Abbiamo visto nel paragrafo 6.4.2 che l'assunzione di base della tecnica PERT è che ogni singola attività di un progetto sia una variabile aleatoria che segue la Distribuzione Beta. La durata totale del progetto ha una incertezza che vogliamo valutare. Consideriamo le durate delle singole attività come variabili aleatorie e le durate delle attività sul percorso critico (vedi paragrafo Errore. L'origine riferimento non è stata trovata.) come campione. Per calcolare la durata totale del progetto sommiamo le stime PERT delle attività sul percorso critico. Il Teorema del limite centrale ci assicura che il risultato, cioè la durata totale del progetto (somma delle attività sul cammino critico), sia ancora una variabile aleatoria avente distribuzione normale con media pari alla somma delle medie e varianza pari alla somma delle varianze. Il teorema del limite centrale risponde quindi alla domanda di verifica del capitolo 6. 7.7 Il ruolo delle distribuzioni di probabilità nella gestione dei rischi Nei paragrafi precedenti abbiamo visto il ruolo delle distribuzioni di probabilità per fare delle stime anche accurate di variabili aleatorie fondamentali per il progetto quali tempi e costi. Tempi e costi possono rappresentare elementi di rischio di un progetto e quindi vanno gestiti con molta attenzione. Altri parametri concorrono ad allungare la lista dei rischi di un progetto. Essi dipendono essenzialmente dal tipo di progetto e dal contesto in cui il progetto si svolge. Tutti i tipi di rischi, siano essi minacce (rischi negativi) od opportunità (rischi positivi), a differenza dei problemi che sono certi e sono quindi da risolvere, sono delle variabili aleatorie che hanno come attributo una probabilità associata. Quantificare questa probabilità permette una maggiore ESPM- European School of Project Management 25 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
consapevolezza delle criticità che potrebbero emergere in corso d’opera. La gestione dei rischi è
una attività proattiva, mentre la gestione dei problemi è una attività reattiva.
Una volta identificati i rischi e registrati nell'apposito registro, si procede alla loro analisi
qualitativa e quindi all'analisi quantitativa. Dopo di che si procede con il piano di risposta
ai rischi (cfr. PMBOK - 5° edizione, cap. 11 - "Project Risk Management").
L'analisi quantitativa dei rischi, ragionando in termini probabilistici, si serve delle
distribuzioni di probabilità.
Ma quali funzioni di probabilità usare?
Dipende dal tipo di rischio, dalla quantità di informazioni e dal livello di accuratezza che vogliamo
ottenere.
Per stime poco accurate può essere sufficiente la Distribuzione Triangolare, per stime più accurate
ci serviamo della Distribuzione Beta oppure della Distribuzione Normale che dà ottimi risultati
soprattutto per grandi numeri.
In generale le Distribuzioni Triangolari e Beta si usano al livello di working package nella WBS, cioè
quando il Project Manager ha informazioni di massima sul progetto, invece si usa la Distribuzione
Normale quando il Project Manager ha acceso ad informazioni più dettagliate di progetto.
La Distribuzione Beta ha una forma a campana come la Distribuzione Normale ma è asimmetrica.
Questa sua caratteristica la rende adatta per stimare tempi e costi. Questo perché il costo o il
tempo per completare un'attività o un progetto hanno un limite inferiore conosciuto, mentre il
limite superiore può essere anche molto alto.
Per esempio, se un'attività richiede dieci giorni per essere completata, essa non può essere
completata in meno di zero giorni (limite inferiore), ma, d'altra parte, potrebbe richiedere un
numero di giorni maggiore di dieci (limite superiore). Allo stesso modo, se un'attività ha un budget
di 5.000 euro, potrebbe richiedere alla fine un costo superiore a 5.000 euro, ma non è probabile
che sia inferiore al budget prefissato di 5.000 euro.
In conclusione, l’identificazione dei rischi e la loro probabilità di verificarsi, quindi la loro analisi
attraverso le distribuzioni di probabilità, aiutano il Project Manager a prevenirli e, laddove
possibile, a mitigarli se si tratta di minacce, a sfruttarli, se si tratta di opportunità.
Esempio di applicazione
Utilizzando la stima PERT un Project Manager stima che la durata del suo progetto è di 48 giorni e
che la deviazione standard è di 4 giorni. Quali considerazioni egli può fare in riferimento alle
probabilità di completamento date dalla deviazione standard?
Il progetto ha:
– il 50% delle probabilità che sia completato in 48 giorni (valore medio)
– il 68,2% di probabilità che sia completato tra 44 e 52 giorni (1 deviazione standard)
– il 95,5% di probabilità che sia completato tra 40 e 56 giorni (2 deviazioni stardard)
– il 99,7% di probabilità che sia completato tra 36 e 60 giorni (3 deviazioni standard).
ESPM- European School of Project Management 26
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euIl committente vuole conoscere esattamente quale è la probabilità che il progetto sia completato
in 44 giorni. Ora questo valore rappresenta -1 della curva di probabilità (dove il segno "-" indica
che ci troviamo a sinistra del valore medio della curva). Dalla Figura 9 possiamo dire che l'area
sotto la curva a sinistra del valore medio ( ) è 50% dell'area totale e che l'area tra -1 e è
34,1%. L'area a sinistra di -1 è la probabilità cercata ed è pari a 50% - 34,1% = 15,9% . Quindi la
probabilità di completare il progetto in 44 giorni è di 15,9%.
1 minuto di riflessione
Stai gestendo un progetto e hai appena disegnato la WBS. Sapendo che la durata delle attività di
un progetto è una variabile aleatoria, di quale, tra le distribuzioni esaminate, ti servi per avere una
stima del tempo totale di un progetto?
Suggerimento: rileggi con attenzione il presente capitolo.
Domande di verifica
Prendi carta e penna e tieni sottomano la Figura 9. Sulla base dell'esempio di applicazione di
questo capitolo, calcola la probabilità di completare il progetto il 52 giorni.
Test di comprensione
Quale è la percentuale corrispondente a 3 dalla media di una Distribuzione Normale?
[A] 68,2%
[B] 99.9%
[C] 95.5%
[D] 99,7%
Soluzione Test di comprensione
La risposta è D. Vedi Figura 9.
ESPM- European School of Project Management 27
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euIn conclusione ESPM- European School of Project Management 28 Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu
8. TECNICHE DI SCHEDULING DEL PROGETTO
Nei precedenti capitoli abbiamo visto come alcuni concetti di probabilità e statistica si applicano al
Project Management per risolvere problemi di incertezza sui tempi e i costi del progetto.
In questo capitolo vedremo come, oltre alla tecnica del PERT (già analizzata nel paragrafo 6.4.2), il
metodo del percorso critico (CPM dall'inglese Critical Path Method) e il metodo CCM (dall'inglese
Critical Chain Method), possono concorrere insieme per dare delle stime molto precise sulla
durata di progetti anche complessi.
Prima però bisogna introdurre i "reticoli logici di schedulazione (o programmazione)" su cui si
applicano le tecniche suddette.
8.1 Reticolo logico di schedulazione (scheduling network)
La rappresentazione grafica dell’insieme di attività fra loro correlate e sequenziate prende il nome
di “reticolo logico di schedulazione temporale (scheduling network".
Abbiamo due tipi di reticoli:
– AOA = Activity On Arch (Attività sugli Archi) --> orientato agli eventi
– AON = Activity On Node = (Attività sui Nodi o Diagrammi di Precedenza) --> orientato alle attività
AOA: Il primo approccio mette nei nodi gli “eventi” mentre impiega gli archi (collegamenti tra i
nodi) per indicare le attività.
Evento = il punto in cui una o più attività devono essere completate e una o più attività devono
iniziare.
Significato: l’attività “B” può iniziare solo quando si verifica l’evento 2 il quale segna anche la
conclusione dell’attività “A” o, anche, sinteticamente “A precede B”.
AON: I nodi rappresentano le attività mentre gli archi indicano i rapporti di precedenza tra le
attività.
Significato: l’attività “C” può iniziare solo dopo la fine dell’attività “B”. Quest’ultima può essere
svolta solo dopo la conclusione dell’attività ”A” o, anche, “A precede B che precede C”.
ESPM- European School of Project Management 29
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu– Attività iniziale (Start): un’attività che non subisce alcun condizionamento all’inizio. Le attività che
iniziano senza “predecessori”, sono rappresentate in uscita dal nodo comune “Start”.
– Attività finale (Finish): un’attività che non condiziona con la sua fine alcuna attività.
– Attività fittizia (indicata con freccia tratteggiata): attività che non richiede tempo e non necessita di
risorse, spesso serve semplicemente a collegare tra loro dei sottoreticoli.
– Percorso o Cammino (Path): sequenza di tutte le attività-legami da un’attività iniziale ad
una attività finale.
– Percorso critico: la sequenza di attività che condiziona in modo determinante il conseguimento
degli obiettivi del progetto (normalmente il cammino più lungo in termini di tempo). Un ritardo o
anticipo di tempi, un extracosto o un risparmio in un'attività del cammino critico non possono
essere compensati da variazioni di segno opposto di altre attività e inevitabilmente comportano
una variazione di analoga entità per l'intero progetto.
Date due attività A e B, abbiamo quattro tipi di legami che individuano le dipendenze tra di esse.
F-S = Finish - Start = B non può iniziare se non è finita A
S-S = Start - Start = B non può iniziare se non è iniziata A
F-F = Finish - Finish = B non può finire se non è finita A
S-F = Start - Finish = B non può finire se non è iniziata A.
Ogni legame può avere una durata. Una durata positiva è un ritardo (lag), una durata negativa un
anticipo (lead).
8.2 Critical Path Method (CPM)
Osserviamo che PERT è un metodo probabilistico che stima la durata delle attività sulla base di
probabilità, mentre CPM è un metodo deterministico che assume che le durate delle attività siano
fisse.
Abbiamo visto che le attività sono variabili aleatorie e la loro probabilità segue una funzione di
distribuzione che NON è fissa. Per calcolare il percorso critico usando il metodo CPM, dobbiamo
trattare le stime di durata delle attività come se fossero fisse.
La tecnica CPM è usata per individuare, nell'ambito di un diagramma a rete (o reticolo logico), la
sequenza di attività più critica (massima durata) ai fini della realizzazione di un progetto.
Individuato il percorso critico, si tengono sotto stretto controllo le attività che lo compongono, in
quanto un ritardo (maggiore durata del previsto) di una qualsiasi di queste attività comporta
inevitabilmente un ritardo dell'intero progetto.
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euPer ogni attività definiamo quanto segue:
– Early Start (ES) = primo inizio possibile (al più presto può iniziare)
– Late Start (LS) = ultimo inizio possibile (al più tardi può iniziare)
– Duration = durata
– Early Finish (EF) = prima fine possibile (al più presto può finire)
– Late Finish (LF) = ultima fine possibile (al più tardi può finire)
– Activity Name = Nome attività
– Float (detta anche slack time) = ammontare di tempo di cui può essere ritardata una attività senza
causare ritardo rispetto:
all'attività successiva (Free Float) -->ES dell'attività successiva - EF dell'attività attuale
al progetto totale (Total Float) --> LF - EF (oppure LS - ES).
La flessibilità tra il primo momento in cui un'attività PUÒ terminare e il momento più remoto in
cui DEVE terminare si chiama float (oppure slack time).
Per definizione, se l’attività ha flessibilità, o float, associata alla sua data di inizio e data di
fine, allora NON è sul percorso critico. Il percorso critico consiste nella sequenza più lunga
di attività che deve essere avviata e terminata rigidamente come schedulato.
In altre parole, è la sequenza più lunga di attività con ZERO float.
Esempio di applicazione
Vediamo ora in dettaglio il Critical Path Method lavorando su un esempio e seguendone le fasi.
Fase 1: Listiamo le attività, la loro durata e le loro dipendenze.
Attività Durata Dipendenza
A 7
B 3
C 6 A
D 3 B
E 3 D,F
F 2 B
G 3 C
H 2 E,G
ESPM- European School of Project Management 31
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euFase 2: Costruiamo il reticolo.
FINISH
Fase 3: Programmazione in avanti (Forward)
START FINISH
1. Si inizia da 0 con le attività A e B perché queste due attività iniziano simultaneamente.
2. Ricordando che "EF = ES+Duration" si procede in avanti per tutte le attività.
3. ES del successore = EF del predecessore.
4. Quando ad una attività si arriva da due predecessori, come EF si prende il predecessore
con valore più alto (esempio: attività E e attività H).
ESPM- European School of Project Management 32
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euFase 4: Programmazione all'indietro (Backward).
START FINISH
1. Si inizia dall'ultima attività (H nel nostro esempio) e si torna indietro.
2. LF dell'attività precedente (predecessore) = LS dell'attività seguente (successore).
3. Ricordando che "LS = LF-Duration" si procede indietro per tutte le attività.
4. Quando ad una attività si arriva da due attività seguenti, come LS si prende il seguente con
valore più basso (esempio: attività B).
ESPM- European School of Project Management 33
Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.euFase 5: Identificazione del cammino critico.
START END
Total Float = LF - EF (oppure LS - ES).
Le attività sul Cammino Critico, sono le attività con Total Float = 0, quindi nel nostro esempio: A, C,
G, H. Ma vediamo perché!
Se una qualsiasi attività del Percorso Critico finisce in ritardo, l'intero progetto finirà in ritardo
(a meno che non venga recuperato successivamente con qualche iniziativa a favore delle
attività sul percorso critico).
La fine del progetto corrisponde alla fine delle attività sul percorso critico. Se non c'è un
percorso critico, allora c’è flessibilità (float) in tutte le sequenze di attività dall'inizio alla fine.
Se c'è float ovunque, possiamo ridurlo e completare il progetto in anticipo.
Per anticipare la data di ultimazione del progetto, dobbiamo rimuovere parte del float. Ma,
quando ad un certo punto scomparirà tutto il float, avremo trovato il punto dove ogni attività
sul percorso ha data di inizio e data di fine contigue su tutte le attività. Quando non c’è più
flessibilità sulla sequenza di attività più lunga, vuol dire che quello è il percorso critico.
Per l'esame
Nella percorso avanti-indietro, la prima attività inizia dal giorno 0 o dal giorno 1?
Formalmente entrambe gli approcci sono corretti, ma portano a risultati diversi. Quale è
l'approccio giusto per l'esame di certificazione PMP?
Il PMBOK suggerisce di partire dal giorno 1.
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Via Crimea, 27 - Collegno (TO) - www.espm.eu1 minuto di riflessione
Perché il percorso critico è importante?
Confronta la tua risposta con la spiegazione seguente.
Su progetti piccoli non è necessario determinare il percorso. Per progetti grandi e complessi il
metodo si può rivelare invece molto utile.
Se il progetto tende ad essere in ritardo e vogliamo accelerare l'intera schedulazione (in altre
parole cerchiamo di anticipare la fine del progetto) è molto importante identificare le attività
sul percorso critico.
Se non siamo in grado di accelerare le attività sul percorso critico, la data finale dell'intero
progetto resta la stessa.
Aggiungendo altre risorse su attività che sono fuori dal percorso critico consente di completare
prima quelle attività, senza influenzare la data di ultimazione dell’intero progetto.
L’unica possibilità di influenzare la data di fine progetto sta nell’abilità di comprimere il
percorso critico.
Aggiungiamo che, fortunatamente, molti pacchetti software di schedulazione di project
management calcolano il percorso critico. Tutti i progetti medi e grandi hanno bisogno, in
qualche modo, di utilizzare un applicativo software per gestire la schedulazione. Il
suggerimento è sfruttare questo applicativo software se disponibile per il progetto.
Per un piccolo progetto, ci può essere soltanto una sequenza principale di attività facilmente
identificabile anche senza un software di schedulazione.
Test di comprensione
Un'attività ha un ES di 3 giorni, un LS di 13 giorni, un EF di giorni 9 e un LF di giorni 19. L'attività:
[A] è sul cammino critico
[B] ha un lag
[C] sta procedendo bene
[D] non è sul cammino critico
Soluzione Test di comprensione:
La risposta è D. Quando un'attività è sul percorso critico, il Total Float (LF-EF oppure LS-ES) è zero.
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