Geometria di carta: tetraedri, cubi e piramidi
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Geometria di carta:
tetraedri, cubi e piramidi
Titolo
Origami significa piegare la car-
Geometria di carta: tetraedri, cubi e piramidi ta: piegandola si può ottenere
Autori praticamente ogni sorta di figura.
Paolo Bascetta e Francesco Decio In questo caso, il laboratorio pre-
Sede di lavoro vede la costruzione di diversi solidi.
Centro Diffusione Origami, Pavia (Italia)
Mano a mano che si piega, il gioco
Età diventa interessante anche dal punto
a partire dagli 8 anni
di vista matematico, perché i ragazzi
Parole chiave
Origami; figure solide; cubo; tetraedro
sono invitati a riflettere sulle relazioni
tra i solidi costruiti.
1
1. Presentazione
Origami significa piegare la carta e piegandola si può ottenere pra- riuscirà a “riempire” un cubo con un tetraedro e quattro piramidi!
ticamente ogni sorta di figura. Si piega la carta senza usare altro La piegatura della carta si intreccia con considerazioni geometri-
che le proprie mani e un po’ di testa. Non si usano forbici né colla. che in maniera accattivante e apparentemente lontana dalle for-
Tra la sterminata quantità di figure realizzabili, ci sono ovviamente mule scolastiche, ma a ben guardare risulterà comunque legata
anche quelle geometriche; in questo caso, il laboratorio prevede a filo doppio con i teoremi e le procedure imparate sui banchi di
la costruzione di cubi, tetraedri, piramidi e, tempo permettendo, scuola: Pitagora, Talete, enti geometrici solitamente astratti, emer- ALL
molto altro. Mano a mano che si piega, il gioco diventa interessante geranno quasi magicamente e concretamente, e potranno essere
anche matematicamente, perché i ragazzi saranno invitati a riflet- analizzati in modo tangibile e diretto oltre che rigoroso.
Relazioni tra cuboL’attività è
e tetraedro inscri
tere sulle relazioni tra i solidi costruiti. Puntualmente ci sarà sempre pensata per essere svolta da ogni singolo bambino, sotto la guida
qualcuno che indovina o intuisce e allora, come in un effetto domi- di un insegnante e con il supporto di
grafico delle istruzioni
Francesco Deciodied
piega-
Antonio Cris
no, tutti i partecipanti potranno verificare concretamente quanto
ALLEGATO 1
tura che vengono presentate nella descrizione delle fasi.
viene emergendo. La scoperta sarà certamente sorprendente: si
ALLEGATO 1
Relazioni tra cubo e tetraedro inscritto. TETRA
Relazioni tra cubo e tetraedro inscritto.
di Francesco Decio ed Antonio Criscuolo 1 2
di Francesco Decio ed Antonio Criscuolo
2. Descrizione Fasi1 ALLEGATO 1 TETRAEDRO Formato A4
(1 x 2)
TETRAEDRO
FASE 1: Costruzione del tetraedro
Relazioni tra cubo e tetraedro inscritto. 1 2 3
4
Per costruire un tetraedro, occorre avere a disposizione
1 un rettan- 2 3
4
di Francesco Decio ed Antonio Criscuolo Formato A4ottenere
golo le cui dimensioni siano fra loro in rapporto di √3 . Per
un rettangolo di tali dimensioni, occorre partire da(1A4
Formato un
x 2) foglio A4,
ALLEGATO 1 nel seguente modo (si veda(1 xAllegato
piegarlo e ritagliarlo 2) 1 per la ALLEGATO11
ALLEGATO
spiegazione): TETRAEDRO
Relazionitratracubo
Relazioni cuboe etetraedro
tetraedroinscritto.
inscritto.
dro inscritto.
1 2 3 didiFrancesco
FrancescoDecio
DecioededAntonio
AntonioCriscuolo
Criscuolo
1 2 3 4 4 55
onio Criscuolo
TETRAEDRO
TETRAEDRO
Formato A4
(1 x 2) 11 22 33
44
TETRAEDRO
5 Formato A4
Formato A4
(1 x 2)
6 7
(1 x 2)
3 5 6 7
4
1x 3
55 66 77
5 6 7
Il rettangolo così ottenuto avrà dimensioni pari a 105 x 182 mm. Si
1x 3
prosegue a piegare solo il rettangolo ritagliato, in base alle seguenti 8
istruzioni: 1x 3 9
1x 3
1x 3
66 77 8 8 9 10 11
9 10
8
88 9 10
99 1010 11
12
1x 3
8
9 10 14 3D
2 1
1. La descrizione delle seguenti fasi è stata rielaborata a partire dall’articolo di Criscuolo & Decio (2014).
2
9 10
12 13 14 15
14 3D
1212 15
1313
Il tetraedro
2 1 terminato
11
12 13
Il tetraedro
terminato
D
1515
La piega eseguita al n. 6 corrisponde
Il tetraedro ad un angolo di 60 gradi
Il tetraedro
11 (giustificazione nell’Allegato 2). Tutte
terminato quelle
Foglio
terminato successive
quadrato per realizzareformano
il cubo in cui inscrivere il tetraedro.
angoli multipli o sottomultipli di questo valore. Il lato finale del te-
2
traedro risulta per costruzione pari a del lato corto di partenza
1 3 2 3 4
(105 mm) (Allegato 3). Quindi in termini assoluti il lato finale del
2 Formato A4
tetraedro sarà pari a 70 (105 ∙ ) mm.
3
(1 x 2)
14 3D
15
drato
ato perper realizzare
realizzare il il cubo
cubo inin
cuicui inscrivere
inscrivere il il tetraedro.
tetraedro.
FASE 2: Costruzione del cubo Il tetraedro
22 2 33 1 44 terminato
È possibile orientare un tetraedro in modo che i suoi sei spigoli cor-
rispondano esattamente alle diagonali delle sei facce di un cubo.
Sappiamo che lo spigolo del tetraedro appena costruito è lungo
70 mm. Per ottenere un quadrato con la diagonale pari a 70 mm
sarà quindi necessario un quadrato con lato lungo 49.5 mm. Tale
1 297
misura è proprio pari a del lato lungo di un A4 ( = 49,5). La
6 6
costruzione modulare di un cubo secondo le istruzioni del grande
origamista Paul Jackson è ideale per ottenere questo rapporto
proprio perché tale metodo restituisce un modulo con il lato pari a
1
metà delle dimensioni di partenza. In altre parole, partendo da
3
del lato più lungo di un foglio A4, si ottiene un modulo che ci darà
Foglio quadrato per realizzare il cubo in cui inscrivere il tetraedro.
un cubo con lo spigolo pari a 49,5 mm, cioè esattamente quanto
serve. Di seguito le istruzioni che, partendo da un A4, permettono
di ricavare i sei fogli necessari per piegare un cubo.
5 5 6 6 7 7
11 22 33 44 55 6
Formato A4
(1 x 2)
8 8 10 10
6 6 77 8 9 99
8 9
3
12 12
1
La piega n. 3 determina esattamente del lato corto (Allegato 4).
3 1
9 9 La piega n. 5 serve a riportare10 10
la stessa misura ( ) sul lato11 11
lungo
3
sfruttando il teorema di Talete (Allegato 5). A quel punto si possono
facilmente ottenere altre divisioni corrispondenti ai lati dei quadrati
da usare per il cubo.
12
10
10 11
11 12
Realizzazione
fogli terminata
13
alizzazione
zzazione
gli terminata
terminata Costruzione del Cubo (met
X6
13
13
1 2
Di seguito le istruzioni per costruire, con i sei quadrati appena ri-
Costruzione
Costruzione
tagliati, un cubo deldelCubo
Cubo (metodo
(metodo di di Paul
Paul Jackson)
Jackson)
3 4
1 1 2 2
1 2 3 3 4
e del Cubo (metodo di Paul Jackson)
2
4 5
4 5
5 3D 6 6
3D
4
6
90
45 5 °90°
X6
4
3D 3D
90 90 90
X6
°
° °
90
90
° °
90
°
7
7
Montaggio dei 6
7
moduli Montaggio dei 6
per ottenere
X6 7 1 il cubomoduli per ottene
Sei moduli pronti per
X6
gio dei 6 l'assemblaggio del cubo 1 il cubo
per ottenere
7 4
X6
Montaggio dei sei moduli
per ottenere il cubo
Il cubo
terminato
5
FASE 3: Inclusione del tetraedro nel cubo
Ora che anche il cubo è pronto, è possibile provare a inserire il
tetraedro nel cubo. Innanzitutto occorre togliere un modulo del
cubo. Si consiglia di estrarre il modulo superiore e cioè quello
opposto al piano d’appoggio.
Inscrizione del tetraedro nel cubo
FASE 3: Inclusione del tetraedro nel cubo
16
Ora che anche il1 cubo è pronto, è possibile provare
2 a inserire il tetraedro nel cubo.
Innanzitutto occorre togliere un modulo del cubo. Si consiglia di estrarre il modulo
FASE 3: Inclusione del tetraedro
superiore nelquello
e cioè cubo opposto al piano d’appoggio.
Ora che anche il cubo è pronto, è possibile provare a inserire il tetraedro nel cubo.
Innanzitutto occorre togliere un modulo del cubo. Si consiglia di estrarre il modulo
superiore e cioè quello opposto al piano d’appoggio.
?
Una volta ripiegate le alette all’interno, si può inserire nel cubo il
3
Una volta ripiegate le alette all’interno, si può inserire nel cubo il tetraedro 4
tetraedro opportunamente orientato (gli spigoli del tetraedro de-
vono coincidere con le diagonali delle facce del cubo).
opportunamente orientato (gli spigoli del tetraedro devono coincidere con le diagonali
delle facce del cubo).
17 volta ripiegate le18alette all’interno, si può inserire nel cubo 19il tetraedro
Una
opportunamente orientato (gli spigoli del tetraedro devono coincidere con le diagonali
delle facce del cubo).
Realizzazione delle 4 piramidi che riempiono gli spazi vuoti del cubo
FASE 4: Costruzione delle quattro piramidi
Per completare il riempimento del cubo, occorre realizzare ancora quattro piramidi.
FASE Costruzione
Prima4: di procederedelle
allaquattro piramididelle
costruzione piramidi,
1 2 è necessario ricavare da3un foglio A4
FASE
Per 4: Costruzione
completare il delle
riempimento del quattro
cubo, piramidi
occorre realizzare ancora
quattro fogli quadrati da 70 x 70 mm adatti al successivo inserimento nel cubo:
quattro piramidi. Prima di procedere alla costruzione delle pirami-
Per completare il riempimento
Formato
di, è necessario ricavare da A4 A4del
un foglio
cubo, occorre realizzare ancora quattro piramidi.
quattro fogli quadrati da
Prima di procedere alla costruzione delle piramidi, è necessario ricavare da un foglio A4
(1 x 2) inserimento nel cubo:
70 x 70 mm adatti al successivo
quattro fogli quadrati da 70 x 70 mm adatti al successivo inserimento nel cubo:
1 2 3
6
4 5 6 7
8 9
Con questi quattro quadrati, seguendo le seguenti istruzioni si possono costruire quattro
Con
ConConquesti
questiaquattro
piramidi
questi quattro
quattro quadrati,
base triangolare
quadrati,
quadrati, seguendo
da inserire
seguendo
seguendo le seguenti
lenello spazio
seguenti
le seguenti istruzioni
lasciato si
istruzioni
istruzioni si si possono
vuoto costruire
dal tetraedro
possono quattro
costruirenel cubo.
quattro
piramidi
piramidi a base triangolare
possonoacostruire
base triangolare da inserire
da inserire
quattro piramidi nello spazio
nello spazio
a base triangolare lasciato vuoto dal tetraedro nel cubo.
lasciato vuoto dal tetraedro nel cubo.
da inserire
nello spazio lasciato vuoto dal tetraedro nel cubo.
10 11 12 13
14 15 16
7
17 18 19
Terminate
Terminatele quattro
le quattropiramidi, essepotranno
piramidi, esse potranno essere
essere inserite
inserite nel nel cubo (la lunghezza dello
spigolo del tetraedro deve coincidere con la lunghezza
cubo (la lunghezza dello spigolo del tetraedro deve coincidere del lato della base delle piramidi,
e dunque
con lacon gli spigoli
lunghezza del latodel
dellacubo):
base delle piramidi,
Terminate e dunque
le quattro con esse potranno essere inserite nel cubo (la lunghezza dello
piramidi,
Terminate
gli spigoliledel
quattro
cubo): piramidi, esse potranno essere inserite
spigolo del tetraedro deve coincidere nel cubo
con (la lunghezzadel
la lunghezza dello
lato della base delle piramidi,
spigolo del tetraedro deve coincidere con la lunghezza
e dunque con gli spigoli del cubo): del lato della base delle piramidi,
e dunque
20
con gli spigoli del cubo):
21
A questo punto, osservato che il tetraedro e le quattro piramidi
riempiono completamente il cubo, è possibile valutare il volume
del tetraedro in rapporto al cubo. E lo si può fare senza usare
strumenti né fare calcoli di sorta. Per farlo è necessario preparare
un ultimo modello pari alla metà del tetraedro inserito nel cubo e
confrontarlo con le quattro piramidi che hanno riempito gli spazi
vuoti del cubo non occupati dal tetraedro.
FASE 5: Costruzione del mezzo tetraedro e considerazioni
finali
Le prime tredici istruzioni per la costruzione del mezzo tetrae-
dro coincidono con le tredici istruzioni iniziali descritte nella fase
1: costruzione del tetraedro. Arrivati a questo punto, si procede
come segue:
8
Le prime tredici istruzioni per la costruzione del mezzo tetraedro coincidono con le
tredici
FASE 5: istruzioni iniziali
Costruzione del descritte nella fase
mezzo tetraedro 1: costruzione finali
e considerazioni del tetraedro. Arrivati a
questo punto, si procede come segue:
FASE Le prime14tredicidel
5: Costruzione istruzioni per la costruzione
mezzo tetraedro del mezzo
e considerazioni tetraedro
finali 16 coincidono con le
tredici istruzioni iniziali descritte nella fase 1: costruzione del tetraedro. Arrivati a
Le prime tredici
questo istruzioni
punto, percome
si procede la costruzione
segue: del mezzo tetraedro coincidono con le
tredici istruzioni iniziali descritte nella fase 1: costruzione del tetraedro. Arrivati a
questo punto, si procede come segue:
A questo punto, osservato che il tetraedro e le quattro piramidi riempiono
completamente il cubo, è possibile valutare il volume del tetraedro in rapporto al cubo.
E lo si può fare senza usare strumenti A néquesto
fare calcoli
punto,di osservato
sorta. Per che
farlo ilè necessario
tetraedro e le quattro p
preparare un ultimo modello pari alla metà del tetraedro inserito nel cubo e confrontarlo
completamente il cubo, è possibile valutare il volume del tetraedro i
con le quattro piramidi che hanno riempitoE lo si gli
puòspazi
fare vuoti
senzadel cubo
usare non occupati
strumenti né faredalcalcoli di sorta. Per
tetraedro.17 preparare un ultimo18modello pari alla metà del tetraedro inserito nel
con le quattro piramidi che hanno riempito gli spazi vuoti del cub
tetraedro.
FASE 5: Costruzione del mezzo tetraedro e considerazioni finali
Le prime tredici istruzioni per la costruzione del mezzo tetraedro coincidono con le
FASE 5: Costruzione del mezzo tetraedro e considerazioni finali
tredici istruzioni iniziali descritte nella fase 1: costruzione del tetraedro. Arrivati a
questo punto, si procede come segue: Le prime tredici istruzioni per la costruzione del mezzo tetraedro
19 20
tredici istruzioni iniziali descritte nella fase 1: costruzione del te
questo punto, si procede come segue:
La piramide così ottenuta ha un volume pari a metà di quello del tetraedro regolare. Si
può notare che una faccia è la stessa di una delle facce delle quattro piramidi e che
l’altezza relativa è uguale a quella delle stesse quattro piramidi. Per verificare
La piramide così
concretamente cheottenuta
le altezze ha sono
un volume
ugualipari si può a metà di quello
iniziare con il del tetraedro
disporre regolare.
tre delle Si
quattro
può
piramidinotare su che una faccia
un piano è la stessa
e appoggiare sui di una un
vertici delle facce delle
cartoncino quattro piramidi
sufficientemente e che
rigido. Il
La piramide
l’altezza cosìrelativa
ottenutaèhauguale un volume a pari a delle
quella metà di quello
stesse del tetraedro
quattro piramidi. regolare.
Per Si
verificare
cartoncino
La piramide così ovviamente poggeràpari suatutti
metà e tre i vertici perché per tre punti passa un unico
può notare che una ottenuta
concretamente faccia
che le
ha un
la volume
èaltezzestessa
sono una didelle
diuguali quello
si può
del
facce dellecon
iniziare quattro piramidi
il disporre e chequattro
tre delle
piano.
tetraedroSe ora Siaffianchiamo
regolare. può notare che una alle treè lapiramidi
faccia stessa di unail mezzo tetraedro, con la sua faccia
l’altezza relativadelleun
piramidi
delle facce su
èquattro
uguale
piano e aappoggiare
quella delle stesse
sui vertici ugualeun
quattro
a cartoncino
piramidi. Per verificare
triangolare equilatera poggiata
piramidi sul piano,
e che l’altezza relativa èvedremo che anche ilsufficientemente
vertice di questorigido.
tocca Il
il
concretamente
cartoncino che le altezze
ovviamente sono uguali
poggerà su si
tuttipuò e iniziare
tre i verticicon il disporre
perché per tre
tre delle
punti quattro
passa un unico
cartoncino piano
quella delle stesse che piramidi.
quattro passa per i vertici
Per verificare delle tre piramidi:
concretamente
piramidi suleun
piano.
che Sepiano
altezze sonoe
ora appoggiare
affianchiamo
uguali sui
alle
si può iniziare convertici
tre untrecartoncino
piramidi
il disporre delleil mezzo sufficientemente
tetraedro, conrigido.la suaIl faccia
cartoncino ovviamente
triangolare
quattro su unpoggerà
equilatera
piramidi piano epoggiatasu tuttisul
appoggiare suievertici
tre iunvertici
piano, vedremo
cartoncino perché cheper tre punti
anche passadiun
il vertice unicotocca il
questo
piano. cartoncino
Se ora affianchiamo
sufficientemente rigido. Il
piano che passa alle per
cartoncino tre i piramidi
ovviamente poggerà
vertici delle il mezzo
su tutti tetraedro, con la sua faccia
tre piramidi:
triangolare equilatera poggiata sul piano, vedremo che anche il vertice di questo tocca il
e tre i vertici perché per tre punti passa un unico piano. Se ora
affianchiamo
cartoncino piano che alle tre piramidi
passa peril mezzo tetraedro,
i vertici dellecontrela sua faccia
piramidi:
triangolare equilatera poggiata sul piano, vedremo che anche il
vertice di questo tocca il cartoncino piano che passa per i vertici
delle tre piramidi:
La piramide così ottenuta ha un volume pari a metà di quello del tetraedro regolare. Si
può notare che una faccia è la stessa di una delle facce delle quattro piramidi e che
l’altezza relativa è uguale a quellaLadelle stesse
piramide cosìquattro
ottenutapiramidi. Per verificare
ha un volume pari a metà di quello del te
concretamente che le altezze sono uguali
puòsinotare
può iniziare
che unacon il disporre
faccia tre delle
è la stessa quattro
di una delle facce delle qua
piramidi su un piano e appoggiare suil’altezza
vertici un cartoncino
relativa sufficientemente
è uguale rigido.stesse
a quella delle Il quattro piram
cartoncino ovviamente poggerà su tutticoncretamente
e tre i vertici perché per tre punti passa un unico
che le altezze sono uguali si può iniziare con il dispo
piano. Se ora affianchiamo alle tre piramidi
piramidi suil un
mezzo
pianotetraedro,
e appoggiarecon sui
la sua faccia
vertici un cartoncino sufficie
Ciò mostraequilatera
triangolare che il modello disul
poggiata “metà
piano,tetraedro”
vedremo è alto
che quanto
anche il ciascuna
vertice di delle
questo quattro
tocca
cartoncino ovviamente poggerà su tutti e tre i vertici il perché9per tre p
piramidi. piano che passa per i verticipiano.
cartoncino delle tre
Se piramidi:
ora affianchiamo alle tre piramidi il mezzo tetraedro,
Ora, due piramidi aventi una faccia etriangolare
l’altezza relativa uguali
equilatera hannosul
poggiata lo piano,
stesso vedremo
volume, che anche il verticCiò mostra che il modello di “metà tetraedro” è alto quanto cia- Materiali
scuna delle quattro piramidi. Attrezzature: cutter.
Ora, due piramidi aventi una faccia e l’altezza relativa uguali hanno Materiali cartacei: tre fogli di formato A4 per ogni studente, le
lo stesso volume, analogamente a quanto accade nella geome- istruzioni stampate (Allegato 6).
tria del piano in cui due triangoli con lati e altezze relative uguali
hanno la stessa area. In altre parole, la piramide, “metà tetraedro”
regolare, ha lo stesso volume di ciascuna delle quattro piramidi.
Poiché il cubo è completamente riempito da sei piramidi che han-
no lo stesso volume – le due metà del tetraedro regolare e le
1
quattro piramidi – ognuna di esse ha un volume pari a del cubo.
6
Quindi il tetraedro, che è costituito da due di queste piramidi,
2
ha un volume pari a di quello del cubo in cui è incluso;
6 1
cioè, semplificando, pari a di quello del cubo.
3
Una scoperta interessante cui si è giunti in modo diretto, senza
formule e senza calcolatrice.
3. Spazi necessari
Gli spazi necessari per piegare la carta si riducono allo spazio di
un’aula.
Bibliografia
Criscuolo, A. & Decio, F. (2014). Cubo x tetraedro 2014. Quadrato
magico. 111. Centro Diffusione Origami.
www.origami-cdo.it
www.paolobascetta.format.com
www.bergamorigami.it
Galleria Matematicando
1011
Geometria di carta: tetraedri, cubi e piramidi Dipartimento formazione e apprendimento, Scuola universitaria professionale della svizzera italiana (SUPSI). Autori: Paolo Bascetta e Francesco Decio Una pubblicazione del progetto Communicating Mathematics Education Finanziato dal Fondo nazionale svizzero per la ricerca scientifica. Responsabile del progetto: Silvia Sbaragli, Centro competenze didattica della matematica (DdM). I testi hanno subito una revisione redazionale curata dal Centro competenze didattica della matematica (DdM). Progetto grafico: Jessica Gallarate Geometria di carta: tetraedri, cubi e piramidi Impaginazione: Luca Belfiore è distribuito con Licenza Creative Commons Servizio Risorse didattiche, eventi e comunicazione (REC) Attribuzione - Non commerciale - Dipartimento formazione e apprendimento – SUPSI Condividi allo stesso modo 4.0 Internazionale
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