Pannelli isolanti, coppie perfette e cartoline dallo spazio
←
→
Trascrizione del contenuto della pagina
Se il tuo browser non visualizza correttamente la pagina, ti preghiamo di leggere il contenuto della pagina quaggiù
numero 40
agosto 2013
dal mondo di MATh.en.JEANS
NASA JPL
Pannelli isolanti, coppie perfette e
cartoline dallo spazio
a cura di PAOLA TESTI SALTINI
Le vacanze sono ormai un ricordo, la scelte tra quelle che ci sono arrivate. La parte dei docenti che dei ragazzi che
scuola sta per iniziare e lo staff MeJ sta prima è della scuola secondaria di I hanno partecipato al Progetto
lavorando alacremente per avviare l’e- grado “Lucio Bruno Vassena” di Valma- 2012/13 – ricchi di indicazioni utili per
dizione 2013/14! Ivan – il nostro bra- drera (LC), la seconda del Liceo Scienti- organizzare il prossimo anno almeno
vissimo grafico – nel sommario del n. fico “A. Banfi” di Vimercate (MB) e l’ul- tanto quanto lo sono state le relazioni
39 aveva voluto dare risalto a quella tima del Liceo Scientifico Intercultura- dei ricercatori MeJ sull’esperienza
terminata da qualche mese con la foto le Collegio “San Carlo” di Milano. fatta. Un esempio di queste ultime è
della lavagna sulla quale uno studente Le altre saranno pubblicate – come nelle quella di Elena Panzeri, che trovate
ha incitato MeJ con un grande “GO!”. passate edizioni – sul sito www.xlatan- nella prossima pagina. Elena ha seguito
gente.it nella sezione Over 25. due classi MeJ di Liceo Scientifico sul
Ora qui ci guardiamo i lavori prodotti problema “Cartolina dallo spazio”, che
dai nostri ragazzi: nelle pagine che se- Oltre alle relazioni, ci sono arrivati trattava di Geometria sferica.
guono presentiamo tre relazioni finali anche parecchi commenti – sia da Buona lettura!
14
numero 40
agosto 2013
Come i ricercatori MeJ scoprirono che
la Terra non è piatta...
Anche allo studente universitario ogni una lista inizialmente ben nutrita, ho alla paura che tutte le conoscenze già
tanto fa bene tornare tra i banchi di iniziato pian piano a spuntare alcuni apprese siano da buttare via, arrivan-
scuola, e non dalla parte di chi inse- argomenti, finché, insieme alla profes- do di fronte al baratro della cono-
gna, ma da quella di chi scopre. soressa Di Sieno, si è deciso il verdet- scenza: rimanere sulla terra salda,
Lezione troppo spesso dimenticata da to finale: la Geometria Sferica. sapendo che al di là potrebbe esserci
chi, talvolta con sollievo, con un Argomento vasto e forse noto ai più, un mondo inesplorato, oppure buttar-
diploma in mano inizia gli studi uni- ma molto stimolante e concreto si in avanti, col rischio di perdersi
versitari senza alcuna intenzione di (viviamo o non viviamo su una sfera?), nello sforzo? Infine, il coraggio del
tornare in classe. Io in realtà non ho alla portata (perlomeno sotto certi salto: e dopo la fatica, la meraviglia
mai smesso di pensare a quella scuola aspetti) anche dello studente medio del nuovo mondo che si apre davanti,
a cui devo tanto, ma che non sempre delle superiori. una serie di risultati che sembrano
ricordo con piacere; credevo che pian piano prendere forma e avere un
dopo la laurea sarei diventata inse- È iniziata così la mia avventura MeJ: senso: triangoli sferici, spicchi, rette
gnante e avrei cercato di non ripetere ero ancora un po’ sprovveduta, forse sferiche, similitudine... concetti che
gli errori commessi dai professori con anche un po’ supponente nel credere credevamo di conoscere fino alla nau-
cui avevo avuto a che fare. che, una volta pensato il problema, il sea sono diventati nuovi e intriganti,
Poi capita che al termine del terzo percorso sarebbe poi stato tutto in perché visti sotto la luce di chi scopre
anno, a due passi dalla laurea trienna- discesa. Ma le sorprese dovevano e inventa nuove idee, definizioni, teo-
le, allo studente venga proposta un’at- ancora arrivare! Mi sono stati assegna- rie per spiegarsi il sapere che ha tra le
tività inaspettata: MATh.en.JEANS. Ne ti due gruppi del Liceo Scientifico: mani. Abbiamo dovuto mettere la
avevo già sentito parlare, ma mai mi uno del secondo anno e uno del trien- nostra creatività al servizio delle
sarei sentita capace di portare avanti nio. Già dal primo incontro con i osservazioni fatte per introdurre defi-
un progetto del genere! E invece quel- ragazzi di seconda mi sono resa conto nizioni che ci aiutassero a descrivere il
la proposta, buttata quasi per caso che mi sarei dovuta mettere in gioco, mondo della sfera in modo sensato,
nelle mani di chi (tra gli aspiranti “sporcare” le mani: una volta esposto magari in analogia col piano che, gra-
matematici di “Unimi”) voleva dedi- il problema, i ragazzi, inizialmente zie a Euclide, conosciamo bene. Ed è
carle un po’ di tempo, si è rivelata un timidi e un po’ straniti, hanno iniziato stato un vero piacere, una grande sod-
tesoro di esperienza per la mia forma- a chiedere, proporre, intervenire... e io disfazione, vedere che, dopo molti
zione personale e matematica. partecipavo con loro, come se non tentativi falliti, una strada buona ci si
avessi saputo la soluzione del proble- apriva davanti svelandoci proprietà
Con molto timore iniziale ho comin- ma! Insomma, da esperta ero passata del nostro amato-odiato triangolo
ciato a pensare a quale problema pro- a compagna di scoperte. Questa sferico, oggetto della nostra ricerca. E
porre agli studenti. Facile a dirsi, ma impressione è stata poi accentuata chissà dove saremmo potuti finire se
non a farsi! Già, perché la matematica dall’incontro con l’altro gruppo, mate- avessimo avuto a disposizione ancora
è costellata di problemi stimolanti, maticamente più maturo perché com- più tempo!
ma in questo caso si trattava di trova- posto da studenti con qualche anno di
re un argomento di interesse per stu- studio in più sulle spalle: con stupore Certo non è stato facile, né per me né
denti non universitari e che di mate- ho notato che molti di loro già ragio- per gli studenti, capire come lavorare:
matica sanno ancora poco. Così per navano da universitari, già avevano per me, perché ero partita troppo
qualche settimana il problema è autonomia e raffinatezza di pensiero. sicura, troppo “arrivata”; per gli stu-
stato… il mio problema! Pur non aven- Insomma, seguire questi studenti nei denti, perché pensavano di poter
do dubbi sul fatto che l’argomento mesi di MeJ è stato un po’ come riper- risolvere il problema in modo stan-
dovesse essere di tipo geometrico correre i passi di chi per primo si è dard e velocemente, davano per scon-
(amata geometria!), mi trovavo di posto il problema di una geometria tate tante cose che scontate non
fronte a una questione di metodo sulla sfera. In primo luogo lo stupore erano e pensavano che io volessi da
fondamentale: c’è un abisso che sepa- nel vedere che cose scontate (L’area loro una risposta breve, un numero,
ra chi sa da chi non sa, non certo per- del triangolo? Base per altezza diviso non un lavoro di ricerca. Ma il bello è
ché chi sa sia migliore, ma perché chi due! La somma degli angoli interni di stato proprio camminare insieme, per
sa deve imparare a ragionare come se un triangolo? 180°!) non lo sono affat- scoprire e riscoprire cose nuove:
non sapesse; mi è diventato chiaro to; poi passare dalla scoperta che anche la matematica più elementare
che solo così avrei potuto scegliere su qualcosa non torna (ahimé, sulla sfera può riprendere colore se guardata
che cosa chiedere agli studenti di la geometria euclidea, che spesso sotto la luce giusta!
“perdere” ore della loro giornata. Da diamo tanto per scontata, non vale!) Elena Panzeri
dal mondo di MATh.en.JEANS 15
numero 40
agosto 2013
Pannelli isolanti
Il signor Baldi possiede un magazzino di stagionatura del
formaggio. Per la crisi è costretto a vendere casa sua e
andare a vivere nel magazzino.
Decide quindi di creare una zona abitabile costruendo una
parete divisoria.
Per evitare di disperdere il calore della futura casa
e per non sentire l’odore del formaggio, questa
parete deve essere rivestita di pannelli isolanti.
Il signor Baldi chiama suo cugino che ha una ditta
che produce pannelli isolanti. Il cugino è
disponibile a fornirglieli di qualunque foggia e
dimensione; gli chiede soltanto di non usare le forme più comuni, ma solo quelle
che si vendono meno.
Quali forme potrebbero essere?
Scuola secondaria di I grado “Lucio Bruno Vassena” - Valmadrera
Classe MeJ formata da alunni di II A, II B, II C e II D
Insegnanti di riferimento: Angela Catalano, Cinzia Del Chiaro, Elisabetta Papini e Franca Romano
Ricercatore: Colomba Cecere
Partecipanti: Roberto Anghileri, Jaken Carvelli, Alice Cavasino, Giulia Colombo, Mattia Dell’Oro,
Riccardo Dell’Oro, Samuele Dell’Oro, Beatrice Di Pietro, Giorgia Fiorentino, Lorenzo Girelli, Valbona
Lorenci, Laura Mariella, Luna Mohsin, Aurora Muraca, Lidia Nanjintim, Eliza Niedbala, Chiara Rusconi,
Davide Rusconi, Giulia Rusconi, Francesca Vergottini
Siamo partiti esaminando alcune figure a 3 e 4 lati: trian- È possibile ottenere diversi quadrilateri utilizzando i trian-
golo rettangolo isoscele, triangolo rettangolo scaleno, goli come modulo di base:
triangolo equilatero e molti altri…
È possibile ottenere un quadrato utilizzando un triangolo
rettangolo isoscele come modulo di base:
Successivamente abbiamo usato anche poligoni regolari
con più lati (pentagono, esagono…).
È possibile ottenere un
rettangolo utilizzando
un triangolo rettangolo
scaleno come modulo di Con gli esagoni non rimangono Con gli ottagoni rimangono spazi
base: spazi vuoti vuoti
16 dal mondo di MATh.en.JEANS
numero 40
agosto 2013
Con i dodecagoni rimangono spazi vuoti Le figure a forma di “elle” formano dei rettangoli
Abbiamo capito che la domanda a cui dovevamo rispon-
dere per risolvere il problema è:
“Qual è la condizione perché dei poligoni possano rico-
prire una parete senza lasciare spazi vuoti?”
RISPOSTA: La somma degli angoli che si incontrano nello
stesso vertice deve formare un angolo giro (360°)
Figure a forma di “stella” si uniscono tra loro solo se si utilizzano anche
i rombi, mentre figure a forma di “effe” si uniscono formando dei ret-
Pentagoni regolari: ogni angolo è Esagoni regolari: ogni angolo è di tangoli
di 108° e quindi se ne possono 120°. Componendone tre non
comporre tre. Rimangono tutta- restano spazi vuoti
via non ricoperti 36° Abbiamo poi provato ad assemblare figure complesse.
Provando ad assemblare pentagoni senza lasciare spazi
In un secondo momento, abbiamo osservato che, arrivan- vuoti, ci siamo accorti che la figura si innalza dal piano;
do ai bordi della parete, alcune figure devono essere ta- quindi alla fine abbiamo formato un solido tridimensio-
gliate e altre no. Quindi, se vogliamo che le figure utilizza- nale: il dodecaedro.
te non abbiano bisogno di tagli, ci saranno delle altre con- Ci siamo chiesti, allora, come sarebbe venuta la parete se
dizioni sia sugli angoli che sui lati di tali figure. avessimo usato direttamente dei mattoni (tridimensionali)
Questo non importerebbe se la parete fosse un piano geo- di materiale isolante anziché ricoprire la parete con dei
metrico e quindi infinito. pannelli.
(dodecaedri, ottaedri, tetraedri, icosaedri) ma ci siamo ac-
Abbiamo provato a costruire diversi solidi tridimensionali
corti che tutti lasciano degli spazi vuoti.
RICAPITOLANDO…
- Per ricoprire la parete senza lasciare spazi vuoti, la
somma degli angoli (dei pannelli utilizzati) che si incontra-
no in uno stesso vertice deve essere 360°.
- Per utilizzare le figure senza tagliarle, bisogna che le mi-
sure dei lati siano sottomultipli delle dimensioni della pa-
rete.
- È inutile usare figure complesse se queste ne formano
Le figure a forma di “razzo” si uniscono tra loro altre più semplici.
dal mondo di MATh.en.JEANS 17
numero 40
agosto 2013
La coppia perfetta
Su un’isola sperduta vive un gruppo di persone, formato sia da uomini che da
donne, guidati da un capovillaggio. Per essere felice, ogni isolano vuole trovare
il partner che più gli si addica e così il capovillaggio deve cercare un metodo
per formare delle coppie in modo tale che siano il più possibile stabili ovvero
che non siano portate al tradimento
Liceo Scientifico A. Banfi – Vimercate (MB)
Classe IV G
Insegnante di riferimento: Maria Concetta D’Alessandro
Ricercatore: Giulia Bernardi
Partecipanti: Eleonora Bellani, Luca Biraghi, Giorgio Casiraghi, Mauro D’Anna, Chiara Ferraro, Ilaria
Fumagalli, Clarissa Gervasoni, Erica Gessati, Giulia Giustiniani, Andrea Gherardi, Paolo Grassi, Arianna
Lerco, Andrea Mazzei, Giorgio Mercone, Valentina Meregalli, Flavia Paganella, Davide Pellegatta, Mario
Sacchi, Alice Scotti, Silvia Spinelli, Andrea Valente, Giacomo Villa
Ad ognuno di noi nella vita potrebbe, prima o poi, capita- e quante donne ci siano sull’isola, né si specifica se qual-
re di dover formare dei gruppi o delle coppie. Decidere, cuno possa voler rimanere da solo oppure con una perso-
per esempio, con chi condividere la camera in una gita, na dello stesso sesso. L’unica certezza data è che non ci de-
creare gruppi di studio o, più banalmente, decidere il com- vono essere in alcun modo tradimenti. Per semplificare il
pagno di banco. In genere la soluzione di questi problemi problema e giungere a una soluzione, si è deciso di consi-
non è così immediata. Non è sempre semplice trovare un derare il caso in cui sull’isola vivano donne e uomini in
accordo che soddisfi tutti. Quale potrebbe essere il mi- ugual numero - cinque donne (A, B, C, D, E) e cinque uomi-
glior metodo per formare coppie senza scontentare nessu- ni (F, G, H, I, L) - che nessuno voglia stare da solo e che nes-
no? Quale la scelta migliore da poter fare? Noi ci siamo suno sia omosessuale.
occupati proprio di questo problema: trovare il metodo Un secondo problema da risolvere era quello di decidere il
migliore per formare delle “coppie perfette”, cioè delle significato matematico di un “Ti amo” o un “Mi piaci”, cioè
coppie che siano il più possibile stabili. la modalità oggettiva per esprimere le preferenze di ognu-
Il quesito propostoci rientra nello studio dei problemi af- no. Come farlo?
frontabili attraverso la “Teoria dei Giochi”, disciplina vasta, La risposta immediata è stata quella di esprimere le prefe-
il cui scopo è quello di analizzare i comportamenti strate- renze con dei valori numerici: “Ti amo” equivale a 5, “Mi
gici dei giocatori, ovvero studiare le situazioni in cui diver- piaci” a 4, fino ad arrivare a 1 che esprime “Non mi piaci”.
si giocatori interagiscono perseguendo obiettivi comuni, Così facendo abbiamo creato una sorta di graduatoria che
diversi o conflittuali. Un ruolo centrale nella Teoria dei ci permette di creare delle coppie (Tab.1).
Giochi è svolto dal concetto di soluzione di un gioco, che
è l’identificazione di una o più strategie, da parte dei di-
versi giocatori, compatibili con determinate assunzioni di
razionalità e intelligenza dei giocatori stessi.
Per rendere il tutto più chiaro, il problema ci è stato pre-
sentato nel modo indicato sopra.
Cercare il metodo adatto per il capovillaggio, a prima
vista, potrebbe sembrare semplice e quasi banale, ma dopo
un’attenta analisi si può notare che tradurre un problema
come questo in un linguaggio matematico non è facile.
Il nostro scopo era quello di cercare un algoritmo che per- Tab. 1 Vi si vede, per esempio, che F ama E, mentre B ama F
mettesse al capovillaggio di trovare un’unica soluzione al
problema, cioè di formare tra tutti gli abitanti dell’isola Dall’analisi delle coppie formate, si può notare che questo
delle coppie “stabili”. metodo porta alla formazione di coppie che definiamo
“coppie perfette” (5-5), di altre poco stabili (2-5 oppure 3-
Il primo passo è stato quello di porre delle limitazioni. 1) o addirittura instabili (1-1). Da ciò si può dedurre che l’u-
Nell’enunciato del problema non si parla di quanti uomini tilizzo dei soli valori numerici non è efficace.
18 dal mondo di MATh.en.JEANS
numero 40
agosto 2013
In realtà l’utilizzo dei numeri non era altro che l’espressio-
Foto di Jastrow
ne di una graduatoria di gradimento tra gli isolani che,
quindi, potevano essere semplicemente sostituiti da una
classifica (Tab. 2).
Tab. 2
Purtroppo anche con questa semplificazione non era sem-
pre possibile formare delle coppie stabili. Ad esempio, in
un caso più semplice (Tab. 3):
Tab. 3
Amore e Psiche, Canova - Louvre, Parigi
A ha come prima preferenza F; tuttavia non può essere ac-
coppiato con F, perché F tradirebbe A con B. Anche C ha no a considerare le preferenze dell’uomo (L: E>B>A>C>D).
come prima preferenza E, che però tradirebbe C sia con A Quindi sarà possibile formare la terza coppia guardando
che con B, perché C è l’ultima preferenza. l’ordine di preferenza dell’uomo tra quelle che lo hanno
scelto (L-E). Le donne rimaste dovranno ripiegare sulle loro
Si è deciso allora di considerare le classifiche di gradimen- seconde scelte (C-H e D-I). Nel caso in cui ci si trovi nuo-
to di uno solo dei due generi (donne oppure uomini), in vamente ad aver scelto uno stesso uomo, si valuteranno le
modo tale che la prima scelta venga fatta solo da parte di preferenze maschili e così via.
uno dei due gruppi e che solo in caso di una stessa prefe-
renza da parte di due elementi, si prendano in considera- Questo algoritmo ci porta ad una soluzione stabile del no-
zione le preferenze del secondo gruppo. stro problema. Nel caso in cui siano gli uomini a scegliere
per primi, si nota che spesso si vengono a creare coppie
Consideriamo il primo esempio proposto (Tab. 1). esattamente identiche alle precedenti oppure coppie
completamente diverse ma con la stessa stabilità.
Inizialmente formiamo coppie in cui ogni donna (A, B, C, D,
E) è legata alla sua prima scelta (rispettivamente G, F, L, L, Giunti alla soluzione del problema con un numero ristret-
L). In alcuni casi si formeranno delle coppie stabili (A-G, B- to di abitanti, non resta che divertirsi nel verificare la vali-
F), in altri (C-L, D-L, E-L) avremo situazioni in cui più donne dità dell’algoritmo con un numero superiore di elementi,
avranno scelto lo stesso uomo. A questo punto si andran- cercando tutte le possibili “coppie perfette”.
dal mondo di MATh.en.JEANS 19
numero 40
agosto 2013
Cartolina dallo spazio
Un astronauta si trova su una navicella spaziale che orbita attorno alla Terra e
deve misurare l’area di un triangolo che possiede i suoi vertici nelle città di
Milano, Berlino e Mosca. Per fare ciò ha a sua disposizione soltanto due strumenti,
uno per misurare le lunghezze e uno per misurare le ampiezze degli angoli. Può
effettuare questa operazione? Se sì, sono necessari entrambi gli strumenti?
Liceo Scientifico Interculturale Collegio “San Carlo” – Milano
Classi II B e II D
Insegnante di riferimento: Francesca Perugino
Ricercatore: Elena Panzeri
Partecipanti: Niccolò Bevacqua, Riccardo Broggi, Pietro Maronati, Ilaria Navone, Emanuele Scalfi,
Benedetta Spadaro, Giovanni Tarizzo
Durante il primo incontro conosciamo la ricercatrice Elena lorare tutta la sfera. Abbiamo notato
Panzeri, che ci pone il quesito riportato qui sopra. inoltre che il triangolo risultante dal-
Ci siamo scervellati su possibili metodi di risoluzione e subito l’intersezione degli spicchi viene co-
abbiamo capito che la geometria euclidea non era utile alla lorato tre volte. Stessa cosa avviene
soluzione del problema. per il triangolo diametralmente op-
Ci trovavamo su un terreno per noi del tutto inesplorato: la posto.
geometria su una superficie sferica.
Così abbiamo deciso di utilizzare alcuni oggetti sferici facil- In conclusione, chiamando a, b e c gli angoli del triangolo e
mente reperibili e manipolabili e abbiamo iniziato con un po- considerando la misura degli angoli in radianti:
melo per poi passare all’uso
delle arance. R Aspicchi = Asfera + 4Atriangolo
Con il pomelo ci siamo su- RAspicchi – Asfera
bito resi conto che l’area di Atriangolo =
4
due triangoli con gli stessi
lati, ma uno su un piano e 2(2ar2) + 2(2br2) + 2(2cr2) – 4rr2
Atriangolo =
uno su una sfera, non sono 4
uguali. 4r2 (a + b + c – r)
Atriangolo = = r2 (a + b + c – r).
4
Utilizzando arance ed elastici, abbiamo definito gli enti fon-
damentali della geometria sulla sfera e abbiamo capito che il Dopo questo ragionamento abbiamo potuto affermare con
corrispondente del segmento sulla sfera è un tratto di circon- certezza che il nostro astronauta può calcolare l’area del
ferenza massima. triangolo e che ha bisogno solo della misura degli angoli.
Abbiamo osservato che gli angoli sulla sfera, come sul Ci siamo chiesti allora come possano essere gli angoli del
piano, sono individuati dall’intersezione di due rette (cir- triangolo sulla sfera dato che (con quello che abbiamo appe-
conferenze massime) e anche che gli angoli sulla sfera deli- na visto) ci siamo resi conto che non è più vero che la somma
mitano una superficie limitata, che abbiamo chiamato degli angoli interni di un triangolo è di 180°.
“spicchio”. In realtà abbiamo visto che una coppia di circon- Abbiamo verificato con spilli, elastici e palla di polistirolo che
ferenze massime individua sempre quattro spicchi a due a può esistere, per esempio, un triangolo con due angoli retti. E,
due congruenti. poiché l’area non può essere negativa, la somma degli angoli
Utilizzando la proporzione: AS : ATOT = a : 360° (dove a indica interni è sicuramente maggiore di un angolo piatto.
l’angolo dello spicchio) siamo riusciti a trovare l’area AS di cia- Può esistere anche un triangolo con tre angoli retti, quindi la
scuno spicchio: somma degli angoli interni di un triangolo su una sfera non è
a · Atot costante.
AS = = a · 4rr2 = 2ar2.
2r 2r
Sempre con i nostri strumenti “pratici” siamo riusciti a com- Arriviamo così a dire che:
prendere che un triangolo su una sfera equivale all’intersezio- - sul piano i lati del triangolo ne definiscono gli angoli;
ne di tre spicchi. - sulla sfera sono gli angoli a definire i lati.
Allora sulla sfera non valgono i criteri di similitudine; infat-
Colorando gli spicchi congruenti con lo stesso colore, abbia- ti non si possono avere triangoli aventi angoli uguali ma lati
mo osservato che utilizzando tre colori diversi si riesce a co- diversi.
20 dal mondo di MATh.en.JEANS
Puoi anche leggere
