I canali di Marte, con varianti - A fianco una mappa dei canali di Marte
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30 - giochi e curiosita’
I canali di Marte, con varianti.
A fianco una mappa dei canali di Marte
che collegano numerose grotte. Ogni grotta
è contrassegnata da una lettera dell’alfa-
beto. Parti dalla grotta che si trova al polo
Sud, contrassegnata con la lettera “N”.
Saresti capace di percorrere i canali visitan-
do tutte le grotte una volta sola in modo da
formare una frase completa con le lettere
che trovi in ciascuna grotta, nello stesso
ordine?
Quando questo indovinello comparve per la
prima volta in una rivista, più di 50.000 let-
tori risposero: “Non c’é alcuna soluzione”.
Invece il quesito è molto facile!
Il topolino in trappola.
Un topolino si è perso in una soffitta. Partendo dall’angolo
in basso a sinistra indicato con la lettera “V”, fallo uscire
formulando una frase.
Un piccolo suggerimento: che cosa starà pensando il pove-
ro topolino?
Ha perso la password!
Matteo ha dimenticato la password per accedere al suo
computer.
Vuoi aiutarlo a ricordarla?
Se parti dalla A posta nel quadro centrale e percorri
il labirinto nel modo giusto raccogliendo nell’ordine
tutte le lettere che incontri, troverai la parola cerca-
ta.
Un piccolo suggerimento: tutte le volte che Matteo
pensa alla password gli viene in mente la bandiera
della pace.
Ora tocca a te!
Inventa un gioco simile a questo.
Attenzione: la struttura deve essere simile ma il dise-
gno e la situazione devono essere completamente
diversi!
(pagina tratta da: “Base cinque - appunti di matematica ricreativa” http://utenti.quipo.it/base5/)giochi e curiosita’ - 31
Il T-puzzle e le sue sorprese.
1. Il T-puzzle.
Utilizzando i quattro pezzi a sinistra
nella figura qui a fianco, sapresti
ottenere la T che si trova a destra?
Ricopia il disegno su un foglio a qua-
dretti, ritaglia i pezzi e costruisci la
lettera T.
2. Altre figure col T-puzzle.
Con i 4 pezzi del T-puzzle si possono
ottenere molte altre insospettabili fi-
gure, come queste.
Ricopia, ritaglia e utilizza i pezzi a
destra.
Nota bene: uno dei pezzi è stato leggermente modificato. Sai
dire qual è e quale modifica è stata apportata?
Tutte le figure che hai costruito con i pezzi del T-puzzle sono equi-
valenti ed equiscomponibili.
3. Costruisci il tuo puzzle.
Scegli una lettera dell’alfabeto e prepara un puzzle simile al T-puzzle.
Il tuo puzzle deve essere IN-
TELLIGENTE ma non COMPLI-
CATO, perciò deve avere le se-
guenti caratteristiche:
• la lettera deve essere dise-
gnata in stampa-
tello maiuscolo
semplice e linea-
re, come quelle
dell’esempio ri-
portato sopra;
• la lettera deve es-
sere divisa e rita-
gliata in 4 parti,
non di più.
A destra una ver-
sione ingrandita dei
pezzi del T-puzzle.
Le risposte nella pa-
gina seguente.32 - giochi e curiosita’
Risposte & riflessioni
1. Il T-Puzzle 2. Altre figure
La difficoltà mag- col T-puzzle
giore del T-puzzle
è trovare la giusta
collocazione del
pezzo trasversale
colorato in giallo
nella figura qui sot-
to.
A che cosa è dovuta
questa difficoltà?
Al fatto che dob-
biamo superare un
blocco mentale:
tendiamo irresisti-
bilmente a disporre
i pezzi in posizio-
ne verticale oppure Costruzioni tratte dal sito: http://www.
orizzontale perché hitoyoshi.net/tokumasa/kyouzai/tan-
ci facciamo influenzare dalla forma gram.gif (2003)
della lettera T. La nostra mente evita la
disposizione obliqua.
A rendere più difficile il gioco si aggiun-
gono due elementi:
* la quadrettatura del foglio;
* la larghezza della striscia gialla che
è uguale alla larghezza delle striscie
che compongono la lettera T.
4. Il segreto del T-Puzzle
Nella figura sono indicate le misure
esatte per ottenere una striscia trasver-
sale (gialla) larga come le striscie della
T.
Per calcolare le misure esatte si applica
il teorema di Pitagora.
Un metodo più semplice e pratico con- (tratto da: “Base cinque - appunti di matema-
siste nel ritagliare una striscia di carta tica ricreativa” http://utenti.quipo.it/base5/)
larga come le strisce della T e sovrap-
porla alla T stessa, inclinata di 45°.
Dopo averla disposta nella posizione
esatta, la si utilizza come riga per trac-
ciare le due linee trasversali e si ritaglia
la T.risoluzione problemi - 33
Come affrontare un problema.
N ella tabella seguente sono elencate le fasi del metodo da applicare per risolvere un
problema, il cui testo va scritto nella prima riga. Nelle pagine seguenti ci sono quattro
problemi, e per ognuno viene mostrato come li hanno affrontati quattro ragazzi. Alla
fine non ti diciamo subito se il loro ragionamento è giusto o sbagliato, prima prova anche
tu a risolverli applicando il metodo, e poi guarda la soluzione nella pagina indicata.
Testo di un problema.
Le FASI del METODO. Passi da compiere! In caso di difficoltà...
• Conosci il significato di • Se non sei sicuro, cerca nel
tutte le parole del testo? vocabolario.
• Cosa chiede il problema? • Cerca di rendere il testo
concreto.
Cercare di capire • Quali sono i dati?
il problema: • Dai un nome o simbolo ad
DOMANDE • È possibile fare un disegno ogni parte del problema.
DA PORGERSI. per rappresentare il pro-
blema? • Schematizza con una figu-
ra o uno schema.
• Quali operazioni, formule
o proprietà,….pensi serva- • Ti sembra un problema
no per trovare la risposta? di….
• Pensa ad un problema
simile già risolto.
• Riporta tutti i dati ordinata-
mente. • Cerca di capire cosa devi
trovare, se hai la sensa-
• Fai uno schema o un dise-
zione di aver sbagliato….
gno.
ricomincia.
• Scrivi le formule che pensi
• Cerca nel tuo libro…se
Piano di azione: possano essere utili.
non ti ricordi le formule, le
COSE DA FARE.
proprietà o i teoremi.
• Svolgi le operazioni neces-
sarie.
• Spiega con semplici frasi i
vari passaggi per renderti
• Verifica passo passo tutte
conto di eventuali errori.
le operazioni svolte.
• Rileggi il testo del proble-
• Verifica il risultato.
ma per accertarti di aver
risposto bene a tutto.34 - risoluzione problemi
1 - Come ha affrontato un problema Mattia:
Testo del problema:
Ho 65 caramelle. Ne mangio una e distribuisco in parti uguali le altre tra tutti i miei
compagni di squadra. Ogni compagno riceve un numero di caramelle uguale al
numero dei miei compagni.
In quanti siamo in squadra?
Quali passi ha compiuto Come ha risolto le difficoltà
Le FASI del METODO.
Mattia. incontrate Mattia.
• Ha letto attentamente il
testo. • Conosceva tutte le parole
del testo, e ha capito che
• Ha verificato la conoscen- doveva trovare da quante
za del significato di tutte le persone era formata la
parole del testo. sua squadra.
• Ha cercato di capire che
cosa chiedeva di trovare il • Ha cercato nel vocabo-
problema. lario le parole di cui non
Ha cercato di capire
• Ha cercato di identificare conosceva il significato, o
il problema:
nel testo i dati. di cui non era sicuro.
• Ha pensato ad uno sche-
ma che potesse fargli capi- • Ha capito che doveva tro-
re meglio il problema. vare il modo di distribuire
64 caramelle (65 – 1 che
• Ha pensato a quali opera-
aveva tenuto per se).
zioni, formule o proprietà
servono per trovare la
risposta.
• Ha pensato ad una tabella
come questa e ha capito
che doveva pensare alla
divisione e alla moltiplica-
• Ha riportato tutti i dati zione:
ordinatamente. Compa- Cara- Totale
Ha applicato un piano
gni melle
di azione: • Ha fatto uno schema.
1 64 64
• Ha fatto le operazioni. 2 32 64
3 /
... ...
8 8 64
Mattia ha trovato questa risposta: In squadra siamo 8.
RISPOSTA: Sei d’accordo con la risposta di Mattia o pensi abbia sba-
gliato qualcosa? Controlla a pag. 42.risoluzione problemi - 35 Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 1.
36 - risoluzione problemi
2 - Come ha affrontato un problema Alice:
Testo del problema:
In un rombo la somma delle diagonali è cm. 34 e la maggiore supera la minore di
cm. 14. Trova il perimetro.
Le FASI del Come ha risolto le difficoltà
Quali passi ha compiuto Alice.
METODO. incontrate Alice.
• Ha letto attentamente il testo. • Conosceva tutte le parole del
• Ha verificato la conoscenza testo, e ha capito che per tro-
del significato di tutte le paro- vare la misura del perimetro
le del testo. del rombo doveva trovare la
• Ha cercato di capire che cosa misura del lato.
chiedeva di trovare il proble-
• Ha dato “un nome”, con un
ma.
Ha cercato di simbolo, alle diagonali, al
• Ha cercato di identificare nel
capire lato ed al perimetro e ha fat-
testo i dati.
il problema: to il disegno del rombo ripor-
• Ha rappresentato con un dise-
tando anche i simboli.
gno il problema per cercare
di capirlo meglio • Ha capito che si trattava di
• Ha pensato a quali operazio- un problema sul rombo e sui
ni, formule o proprietà pote- triangoli e ha cercato sul libro
vano servirle per trovare la i teoremi e le formule che le
risposta. servivano.
• Utilizzando i dati del pro-
blema ha scritto la relazione
che lega le due diagonali,
aiutandosi con i disegni:
A
• Ha scritto le formule che gli
sembrava potessero essere B C
utili.
A H D
• Ha fatto un disegno.
Ha applicato un
D B C
piano di azione:
• Ha svolto le operazioni neces- • Ha ricavato il valore delle
sarie. due diagonali.
• Ha pensato ad un teorema
• Ha verificato passo passo sui triangoli che potesse
tutte le operazioni svolte. aiutarla per trovare il valore
del lato.
• Ha fatto i calcoli per trovare
la misura del lato.
• Ha calcolato il perimetro.
RISPOSTA: Trovi la soluzione a pagina 43.risoluzione problemi - 37 Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 2.
38 - risoluzione problemi
3 - Come ha affrontato un problema Riccardo:
Testo del problema:
Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le pecore di for-
ma rettangolare; le misure dei lati sono espresse in metri da numeri interi.
Poiché ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m di rete
per ingrandire il recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne costruisce uno
nuovo ancora di forma rettangolare.
Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri di più del
primo e che l’altra dimensione è diminuita di 3 metri, mentre l’area è aumentata di
90 m2.
Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare?
Spiegate come avete trovato le vostre risposte.
Le FASI del Quali passi ha compiuto Riccar- Come ha risolto le difficoltà
METODO. do. incontrate Riccardo.
• Ha capito che doveva trovare
• Ha letto attentamente il testo. i lati del primo recinto costrui-
• Ha verificato la conoscenza to dal signore.
del significato di tutte le paro- • Non era sicuro che la parola
le del testo. recinto si riferisse al perimetro
• Ha cercato di capire che cosa e ha cercato nel vocabolario
chiedeva di trovare il proble- il significato delle due parole.
ma.
Ha cercato di • Ha pensato di dare un nome
capire • Ha cercato di identificare nel o un simbolo ai lati e all’area
il problema: testo i dati. del vecchio recinto.
• Ha rappresentato con un dise-
gno il problema per cercare • Ha pensato di fare il disegno
di capirlo meglio. sia del vecchio che del nuovo
recinto.
• Ha pensato a quali operazio-
ni, formule o proprietà pote- • Ha pensato che fosse un pro-
vano servirgli per trovare la blema di geometria dove non
risposta.. bastava applicare una formu-
la ma bisognava “ragionare”.
• Ha riportato tutti i dati ordina- • Ha disegnato i due rettango-
tamente. li.
• Ha scritto le relazioni che
• Ha fatto un disegno.
intercorrono tra i lati dei due
Ha applicato un • Ha svolto le operazioni neces- rettangoli e tra le loro aree.
piano di azione: sarie. • Ha ricavato il valore dei lati
• Ha verificato passo passo del primo recinto pensando
tutte le operazioni svolte. ad un problema simile già
risolto con una tabella dove
• Ha verificato il risultato. aveva inserito dati e calcoli.
RISPOSTA: Trovi la soluzione a pagina 44 e 45.risoluzione problemi - 39 Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 3.
40 - risoluzione problemi
4 - Come ha affrontato un problema Giulia:
Testo del problema:
100 alunni sono riuniti in assemblea. Non tutti hanno il cellulare, ma si sa che co-
munque se ne scelgano 2, almeno uno dei 2 lo ha.
Quanti sono gli alunni con il cellulare?
Le FASI del Come ha risolto le difficoltà
Quali passi ha compiuto Giulia.
METODO. incontrate Giulia.
• Ha letto attentamente il testo.
• Ha verificato la conoscenza
• Conosceva tutte le parole del
del significato di tutte le paro-
le del testo. testo, e ha capito che doveva
trovare quanti alunni hanno il
• Ha cercato di capire che cosa cellulare.
Ha cercato di chiedeva di trovare il proble-
capire ma. • Ha pensato a quale potesse
il problema: essere il significato di “alme-
• Ha cercato di identificare nel
no” nel testo
testo i dati.
• Ha pensato a quali operazio- • Ha pensato che fosse un pro-
ni, formule o proprietà pote- blema di logica.
vano servirgli per trovare la
risposta..
• Inizialmente ha diviso il
numero totale degli alunni
per 2, non tenendo in consi-
derazione il significato della
• Ha riportato tutti i dati ordina- parola “almeno”.
tamente.
• Si è resa conto che qualcosa
Ha applicato un • Ha svolto le operazioni. non andava e si è sofferma-
piano di azione: • Ha verificato passo passo ta sulla parola “almeno”.
tutte le operazioni svolte. • Ha iniziato a ragionare uti-
lizzando prima 4 alunni, poi
• Ha verificato il risultato.
8,...
• Analizzando i risultati otte-
nuti è arrivata alla soluzio-
ne.
RISPOSTA: Trovi la soluzione a pagina 46.risoluzione problemi - 41 Prova tu, usa questa pagina per risolvere il problema 4.
42 - risoluzione problemi
Ed ora vediamo le soluzioni:
Problema 1:
Ho 65 caramelle. Ne mangio una e distribuisco in parti uguali le altre
tra tutti i miei compagni di squadra. Ogni compagno riceve un numero di
caramelle uguale al numero dei miei compagni.
In quanti siamo in squadra?
Dati:
65 = numero caramelle
Numero compagni di squadra = numero caramelle per ciascuno
Soluzione:
Abbiamo 65 caramelle, una la mangio io e quindi ne restano 64.
Queste 64 le devo dividere in parti uguali tra i miei compagni.
Proviamo cercando tutti i modi per dividere 64 in modo da avere come
resto zero:
Se i compagni di squadra fossero 2.
In questo caso dividendo le 64 caramelle per due troverei 32. Quindi ad
ogni compagno di squadra spetterebbero 32 caramelle.
Il numero di caramelle per ognuno (32) non coincide col numero di
compagni di squadra (2). Siamo molto... lontani dalla soluzione.
Se i compagni fossero 4.
Dividendo avremo: 64 : 4 = 16.
Anche in questo caso il numero di caramelle per ognuno (16) non
coincide col numero di compagni di squadra (4). Ci siamo però avvicinati.
Se fossero 8.
Avremo: 64 : 8 = 8.
In questo caso il numero di caramelle per ognuno (8) coincide col numero
di compagni di squadra (8).
Ho risolto il problema?
Rileggiamo bene il testo: “mi chiede in quanti siamo in squadra” .
Quindi a questi 8 devo aggiungere me stesso.
La soluzione è quindi 9.
Mattia ha sbagliato perchè non ha verificato la sua risposta rileggendo il
testo.risoluzione problemi - 43
Problema 2:
In un rombo la somma delle diagonali è cm. 34 e la maggiore supera
la minore di cm. 14. Trova il perimetro. In un rombo la somma delle
diagonali è cm. 34 e la maggiore supera la minore di cm. 14.
Trova il perimetro.
Dati: A
D + d = 34
D = d + 14
B C
D = diagonale maggiore O
d = diagonale minore
Soluzione:
D
A H D
B C
Consideriamo i segmenti che rappresentano le diagonali del rombo AD e
BC del disegno.
Sappiamo che AD supera BC di 14 cm e quindi possiamo disegnare il
punto H e capire anche dal disegno che HD è uguale a 14cm.
Ma allora la somma di AH e BC dovrà essere uguale a 20 cm perché la
somma delle diagonali deve essere uguale a 34 cm. (AH + HD + BC = 34
cm)
Quindi siccome AH e BC sono uguali e si conclude che AH = BC = 10 cm.
Quindi la diagonale maggiore misura 24 cm e quella minore 10 cm
A
Consideriamo ora il triangolo AOC (quarta parte
del rombo) e notiamo che si tratta di un triangolo
rettangolo di cui si conoscono i due cateti AO e
OC (metà delle diagonali).
AO = 12 cm e OC = 5 cm. O C
Applichiamo ora il teorema di Pitagora: l’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui
cateti.
In questo caso quindi:
AC2 = AO2 + OC2 oppure AC = .
In questo caso quindi:
AC =  = = 13.
Il lato obliquo del rombo misura quindi 13 cm.
Il perimetro, avendo il rombo tutti e quattro i lati uguali, sarà uguale a
quattro volte AC.
Quindi: P = 4 ∙13 cm = 52 cm44 - risoluzione problemi
Problema 3:
Con 60 metri di rete, il signor Pastorelli ha costruito un recinto per le
pecore di forma rettangolare; le misure dei lati sono espresse in metri da
numeri interi.
Poiché ora ha comprato altre pecore, il signor Pastorelli acquista altri 6 m
di rete per ingrandire il recinto e con i 60 metri del suo primo recinto, ne
costruisce uno nuovo ancora di forma rettangolare.
Egli osserva che una delle dimensioni del nuovo rettangolo misura 6 metri
di più del primo e che l’altra dimensione è diminuita di 3 metri, mentre
l’area è aumentata di 90 m2.
Quanto misurano i lati del primo recinto rettangolare?
Dati:
60 m = perimetro vecchio recinto
6 m = metri di rete acquistati
6m = aumento dell’altezza o della base del nuovo recinto
3m = diminuzione dell’altezza o della base del nuovo recinto
90 m2 = aumento dell’area del nuovo recinto
Soluzione:
POSSIBILI NUOVI RECINTI
VECCHIO RECINTO
A B AI BI
AII BII
C D
CII DII
CI DI
Leggendo attentamente il testo mi rendo conto che probabilmente posso
trovare due soluzioni, una nel caso ingrandisca l’altezza e diminuisca la
base e l’altra nel caso aumenti la base e diminuisca l’altezza.
Mi costruisco una tabella per rappresentare le misure dei lati e dell’area
dei tre rettangoli considerando tutti i casi di rettangoli che hanno ilrisoluzione problemi - 45
perimetro di 60 cm, partendo dai possibili valori dei lati (in quanti modi
possibili posso ottenere 30 sommando due numeri che corrispondono ai
valori dei lati dei rettangoli?).
Escludo subito i casi di rettangolo come i primi tre perché non posso
ottenere il secondo rettangolo o perché capisco che non posso ottenere
90 come differenza delle due aree :
Vecchio recinto Nuovo recinto Nuovo recinto Area Area
Area
nuovo nuovo
Base Altezza Base Altezza Base Altezza Vecchio 1 2
29 1 26 7 35 Imp. 29 182 Imp.
28 2 25 8 34 Imp. 56 200 Imp.
27 3 24 9 33 Imp. 81 216 Imp.
26 4 23 10 32 1 104 230 32
25 5 22 11 31 2 125 242 62
24 6 21 12 30 3 144 252 90
23 7 20 13 29 4 161 260 116
22 8 19 14 28 5 176 266 140
21 9 18 15 27 6 189 270 162
20 10 17 16 26 7 200 272 182
19 11 16 17 25 8 209 272 200
18 12 15 18 24 9 216 270 216
17 13 14 19 23 10 221 266 230
16 14 13 20 22 11 224 260 242
15 15 12 21 21 12 225 252 252
Dall’analisi della tabella si vede che l’unico caso possibile è quello di:
AB = 22 m e AC = 8 m per il vecchio recinto e AIBI = 19 m e AICI = 14 m.
Infatti:
S: 22 X 8 = 176 e SI: 19 X 14 = 266.
Per cui SI supera S di 90 m2 come richiedeva il testo.46 - risoluzione problemi
Problema 4:
100 alunni sono riuniti in assemblea. Non tutti hanno il cellulare, ma si sa
che comunque se ne scelgano 2, almeno uno dei 2 lo ha.
Quanti sono gli alunni con il cellulare?
Dati:
100 = numero alunni
2 = numero degli alunni che vengono scelti a caso
Soluzione:
È fondamentale leggere bene il testo e capire bene il significato di almeno.
Con una lettura superficiale del testo saremo tentati di fare 100 : 2 e
scrivere come soluzione 50. Ma in questo caso, riflettendoci un pò, notiamo
subito che si possono scegliere parecchie coppie di alunni senza cellulare e
che quindi stiamo completamente sbagliando il ragionamento.
Procediamo cercando di partire da alcuni casi particolari diminuendo il
numero totale degli alunni.
Proviamo a risolvere il problema supponendo di considerare 4 alunni.
Chiamiamo gli alunni Piero, Sara, Riccardo e Cinzia e supponiamo che
abbiano il cellulare solo Piero e Cinzia. Vediamo subito che in questo caso
è possibile sceglier due alunni (Sara e Riccardo) che non hanno il cellulare.
È necessario quindi che tre alunni abbiano il cellulare affinché almeno uno
tra due alunni qualunque lo abbia. La risposta è 3: uno in meno di 4 che è
il numero di alunni considerato.
Proviamo ora a considerarne 8.
Facendo anche in questo caso alcuni tentativi ci si rende conto che devono
essere 7 gli alunni ad avere il cellulare. Uno in meno di 8 (numero di alunni
considerato).
Sembrerebbe quindi che sia sufficiente togliere uno dal totale degli alunni
considerati.
Facciamo un’altra prova per esserne più sicuri, consideriamo 16 alunni.
Con alcuni tentativi ci rendiamo conto che devono essere 15 gli alunni ad
avere il cellulare. Sempre uno in meno del totale considerato.
Quindi, se facciamo la congettura che questa sia la regola generale, nel
caso di 100 alunni gli alunni a possedere il cellulare devono essere 99.
Non possiamo “dimostrare” che questa è la risposta corretta, ma solo
verificare che lo è... In tanti altri casi usando questa regola “numero alunni
che hanno il cellulare (nc) = numero totale alunni (n) meno uno (nc= n -1)”
possiamo trovare la soluzione.
Questa formula somiglia a quelle che incontrerai alla scuola superiore e
che... ti aiuteranno a trovare la risposta a tanti problemi.esercizi di applicazione - 47
Test di valutazione.
1. Tra le seguenti lunghez- 4. Dato un trapezio isosce-
ze, una sola non equiva- le, conoscendo la misura
le a 21,63 cm. Quale?: delle due basi AB=18 cm
a. 2,163 dm e CD=6, la misura del
b. 0,2163 m segmento AH, dove H è
c. 0,002163 dam il piede dell’altezza re-
d. 216,3 mm lativa alla base maggio-
_____________________ re AB, è:
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
a. 6
2. Osservando il triangolo b. 18
ABC della figura, possia- c. 12
mo dire che i segmenti d. 24
CH, AK e BS sono, ri- _____________________
spettivamente:
a. CH l’altezza, AK la 5. In una circonferenza di
bisettrice, BS la biset- raggio 10 cm è inscritto
trice. un esagono regolare.
b. CH l’altezza, AK la Qual è la lunghezza del
mediana, BS la biset- lato dell’esagono?
trice. a. 5 cm
c. CH l’altezza, AK l’al- b. 10 cm
tezza, BS la bisettri- c. 60 cm
ce. d. 15 cm
d. CH l’altezza, AK la _____________________
mediana, BS la me-
diana.
6. Considera la proporzio-
ne 6 : x = 3 : 2. Quale,
fra le seguenti, non è una
proporzione equivalente
a quella data?
a. 6:3=x:2
b. 2:x=3:6
c. (6+x):x=5:2
_____________________ d. x:6=3:2
_____________________
3. In un rombo la somma
delle diagonali è cm. 34 7. Se x è un numero com-
e la maggiore supera la preso tra 4 e 10, allora
minore di cm. 14. Trova il numero (x+3) fra quali
il perimetro. numeri è compreso?
a. 13 a. 1 e 9
b. 52 b. 6 e 12
c. 26 c. 7 e 13
d. 34 d. 12 e 30
_____________________ _____________________48 - esercizi di applicazione
8. Un rettangolo ha la base 11. Il grafico seguente mo-
che supera di 5 cm il stra il numero dei CD dei
doppio dell’altezza. In- diversi generi musicali
dicando con x la misura preferiti dai giovani con-
dell’altezza, individua tenuti in uno scaffale.
quali fra i seguenti poli-
nomi esprime la misura
del perimetro del rettan-
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
golo.
a. 3x+5
b. 6x+5
c. 6x+10
d. 3x+10
_____________________
9. L’equazione 2x = 3 ha
come soluzione:
a. x = 6
b. x = 2/3 Prendendo un CD a
c. x = 3/2 caso, qual è la probabi-
d. x = 5 lità di scegliere un CD di
_____________________ musica Pop?
6
a. -----
10. Matteo, il fratellino di 14
Davide sta costruendo
6
b. -----
delle casette utilizzando
le costruzioni come indi- 40
cato nelle figure: 6
c. -----
34
1
d. -----
4
_____________________
12. Joseph si sta preparan-
do per una gara e non
Vuole continuare la se- può prendere più di 150
quenza e chiede a Davi- g di cioccolato al giorno;
de quante costruzioni gli avendo a disposizione
serviranno per la decima delle barrette da 0,6 kg
casetta, Davide rispon- ciascuna, quante barret-
de correttamente: te può mangiare?
a. 30 a. Un quarto di barretta
b. 33 b. Una barretta
c. 36 c. Due barrette e mezzo
d. 42 d. Quattro barrette
_____________________ _____________________esercizi di applicazione - 49
13. In un’indagine sul consumo 15. Se al numero 0,999 si
di bibite fra i giovani, in una aggiunge 1 centesimo,
giornata sono stati intervi- che cosa si ottiene?
stati 100 alunni di una scuo- a. 1
la superiore. La seguente b. 1,009
tabella registra le risposte: c. 1,099
Numero Numero d. 1,999
bibite alunni _____________________
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
0 9
16. Fra quali interi conse-
1 53
cutivi si trova il numero
2 21
7
3 15 ----- ?
4 0 8
5 2 a. Fra 7 e 8
Qual è la media delle bi- b. Fra 0 e 1
bite consumate in una gior- c. Fra 6 e 9
nata? d. Fra 1 e 2
a. 100 _____________________
b. 20
c. 1,5 17. In una palestra gli istrut-
d. 10,6 tori sono così suddivisi in
_____________________ base alle discipline inse-
gnate:
14. Secondo un indagine
sul numero di regali rice- Disciplina Numero
istruttori
vuti a Natale sono state
intervistate 100 perso- body building ?
ne. La seguente tabella spinning 4
registra le risposte. karate 8
judo 2
Numero regali Numero
ricevuti persone
0 9
1 50
2 31
3 8
4 2

5 0
Qual è il numero degli
Quanti intervistati han-
insegnanti di Body Buil-
no ricevuto almeno due
ding?
regali?
a. 6
a. 8
b. 5
b. 10
c. 4
c. 41
d. 7
d. 31
_____________________ _____________________50 - esercizi di applicazione
18. Ho 26 ingressi gratuiti 20. Si considerino i seguen-
per la discoteca. Uno lo ti numeri:
utilizzo io, gli altri li di-
usa questo spazio per i tuoi calcoli, e scrivi con una matita cosi’ potrai cancellare.
stribuisco in parti uguali 4/6 ; 1/2 ; 5/4 ; 7/7 ; 4
tra tutti i miei amici del ; 3,20 ; 2 ; 3,3 ; 0,45
gruppo. Ogni amico Li si vuol disporre in ordi-
riceve un numero di in- ne crescente, quale delle
gressi uguale al numero seguenti è corretta?
dei miei amici. In quanti a. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 7/7 ;
siamo nel gruppo? 5/4 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
a. 26 b. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 5/4 ;
b. 25 7/7 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
c. 5 c. 0,45 ; 4/6 ; 1/2 ; 5/4 ;
d. 6 7/7 ; 2 ; 3,3 ; 3,20 ; 4
_____________________ d. 0,45 ; 1/2 ; 4/6 ; 7/7 ;
5/4 ; 2 ; 3,20 ; 3,3 ; 4
19. Cinque amici di cui
_____________________
una ragazza e quattro
ragazzi si dividono la
Valutazione:
cifra vinta al Fantacal-
cio in questo modo: alla 16-20 - Complimenti,
ragazza spetta 1/3 del- hai affrontato i quesi-
l’intera somma, e il ri- ti senza difficoltà sei socio
manente viene diviso in onorario del gruppo Ralm.
parti uguali tra i ragaz-
zi. Quale frazione della 15-10 - Hai affrontato i
somma spetta a ognuno quesiti con qualche dif-
dei quattro ragazzi? ficoltà però possiedi cono-
a. 1/2 scenze e competenze suffi-
b. 1/3 cienti per andare avanti, sei
c. 1/4 socio ordinario del gruppo
d. 1/6 Ralm.
_____________________
9-5 - Hai affrontato
i quesiti con diverse
difficoltà devi ripassare gli
Soluzioni: argomenti ed esercitarti
20.= d 10.= b maggiormente sei socio so-
19.= d 9. = c stenitore del gruppo Ralm.
18.= d 8. = c
17.= a 7. = c 4-0 - Hai affrontato i
16.= b 6. = b quesiti con parecchie
15.= b 5. = b difficoltà, devi studiare gli
14.= c 4. = a argomenti ed esercitarti
13.= c 3. = b con costanza ed impegno;
12.= a 2. = b sei un simpatizzante Ralm,
11.= d 1. = c potrai essere dei nostri.giochi e curiosita’ - 51
Filastrocche matematiche.
I sette gatti di Ahmes.
Uno dei più antichi documenti matematici Presenta soltanto le seguenti
conosciuti è un rotolo egizio lungo circa informazioni:
5 m e alto circa 30 cm. Lo scrisse Ahmes
nel 1650 a.C. ricopiandolo in parte da case 7
testi di tre secoli prima. L’egittologo
gatti 49
scozzese Henry Rhind lo acquistò a
Luxor, sul Nilo, nel 1858. Per questo topi 343 1 2801
si chiama Papiro di Rhindo o Papiro di spighe di grano 2301 2 5602
Ahmes. Attualmente è conservato al heqat di grano 16807 4 11204
British Museum. totale 19607 19607
Ahmes, il figlio della luna, è il primo Che cosa poteva significare questa
matematico che scrisse il proprio nome scrittura misteriosa?
su un documento giunto fino a noi. E per di più, c’è un errore! Dov’è?
Una interessante citazione del testo del
papiro, come riportata nel libro di A. B. Esistono poi delle varianti:
Chase “Rhind Mathematical Papyrus”
(Reston Va. 1967), è la frase: Sette vecchie in viaggio per Roma
“Accurate reckoning: the entrance into Ci sono sette vecchie in viaggio per
knowledge of all existing things and all Roma
obscure secrets.” ossia “Calcolo esatto: Ognuna di esse ha sette muli
l’accesso alla conoscenza di tutte le cose Ogni mulo porta sette sacchi
esistenti e di tutti gli oscuri misteri.” Ogni sacco contiene sette pagnotte
Nel Papiro di Ahmes c’è anche il In ogni pagnotta ci sono sette coltelli
Problema 79, che in forma di filastrocca Ogni coltello è in sette foderi
risulta essere: Donne, muli, sacchi, pagnotte,
foderi,
In una proprietà ci sono 7 case. in quanti viaggiano per Roma?
In ogni casa ci sono 7 gatti. (Fibonacci, 1202)
Ogni gatto acchiappa 7 topi.
Ogni topo mangia 7 spighe. L’enigma di St. Ives
Ogni spiga dà 7 heqat di grano. Mentre andavo a St. Ives
Quante cose ci sono in tutto in questa Incontrai un uomo con sette mogli.
storia? Ogni moglie aveva sette sacchi,
Ogni sacco aveva sette gatti,
Nota: l’heqat era misura di capacità Ogni gatto aveva sette mici;
pari a circa 4,785 litri. Mici, gatti, sacchi e mogli,
In quanti andavano a St. Ives?
In realtà, il problema 79 del Papiro di
Rhind è più misterioso e più complesso Ragionaci, poi vai alla pagina seguente
della nota filastrocca. per conoscere le risposte.52 - giochi e curiosita’
I sette gatti di Ahmes 2801 * 7 = 19607
Case 71 = 7 1 2801
Gatti 72 = 49
2 5602
Topi 73 = 343
Spighe 74 = 2.401 4 11204
Heqat 75 = 16.807 totale 19607
Totale = 19.607 Infatti, siccome 7 = 1 + 2 + 4, per
Qualcuno potrebbe obiettare che moltiplicare un qualsiasi numero per 7 si
possono addizionare il numero stesso, il
all’inizio si parla anche di una proprietà,
perciò le cose di cui si parla in questasuo doppio e il suo quadruplo (ovvero il
storia sarebbero: 19.607+1 = 19.608. doppio del doppio).
Quindi la terza e la quarta colonna
Ma ora esaminiamo meglio questa tabella potrebbero rappresentare una verifica
(nella quarta riga, seconda colonna, il del calcolo eseguito nella prima colonna
numero esatto è 2401): o addirittura una formula per il calcolo
case 7 della somma di una serie geometrica.
gatti 49
Sette vecchie in viaggio per Roma
topi 343 1 2801 Se vogliamo calcolare il totale di tutte le
spighe di grano 2301 2 5602 cose di cui si parla, allora la soluzione
heqat di grano 16807 4 11204 è:
totale 19607 19607 71 + 72 + 73 + 74 + 75 + 76 = 134.456
Se invece facciamo attenzione alla
Nella seconda colonna c’è la sequenza domanda, che chiede il totale dei “muli,
delle prime 5 potenze di 7. Si tratta di sacchi, pagnotte, foderi”, non dobbiamo
una progressione geometrica di ragione contare i coltelli, perciò la soluzione è:
7. In fondo è scritto il totale. 71 + 72 + 73 + 74 + 76 = 117.649
Qual è la formula che usiamo oggi per
calcolare la somma dei primi n termini di L’enigma di St. Ives
una progressione geometrica di ragione r? Attenzione, questo è un indovinello col
S = r + r2 + ... + rn = r(rn-1)/(r-1) trucco! La risposta è 1.
La storia comincia così: “Mentre
Nel nostro caso r=7, n=5 quindi: ANDAVO a St. Ives, incontrai un uomo...”
S = 7(75-1)/(7-1) = 19607 Solo io andavo a St.Ives perché gli altri
Possiamo scrivere la somma anche così: li incontrai, quindi loro VENIVANO
7 + 72 + 73 + 74 + 75 = 7(1 + 7 + 72 + da St.Ives. Ma esistono altre risposte
73+74) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = altrettanto valide: una, ad esempio,
7 * 2801 potrebbe essere 2802.
Potete trovare altre informazioni sul
Ma che cosa significano i numeri scritti St.Ives Riddle in questo sito: http://utenti.
nella terza e nella quarta colonna? quipo.it/base5/penslate/stives.htm
Ora, se osserviamo attentamente la
seconda parte del testo di Ahmes (queste due pagine sono tratte da: “Base
ci rendiamo conto che è proprio la cinque - appunti di matematica ricreativa”
moltiplicazione di 2801 per 7, eseguita http://utenti.quipo.it/base5/)
col metodo egizio.giochi e curiosita’ - 53
Scacchi.
Incontro n.1 Incontro n.2
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
A B C D E F G H A B C D E F G H
Il bianco muove e matta in due mosse Il bianco muove e matta in due mosse
Incontro n.3 Incontro n.4
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
A B C D E F G H A B C D E F G H
Il bianco muove e matta in due mosse Il bianco muove e matta in due mosse
soluzioni:
2. Th8 matto
2. Cf7 matto e8 oppure in c8 2. D:h7 matto 2. e:d5 matto
1. D:g7+, D:g7 1. Tg7, R muove in 1. Cf6+, g:f6 1. Cf5, d5
Incontro n.4: Incontro n.3: Incontro n.2: Incontro n.1:54 - giochi e curiosita’
Sai che la matematica a volte puo’ essere interessante come un film
giallo? Se non ci credi, seguici mentre ti raccontiamo la storia del più
famoso teorema della matematica, quello di Fermat.
Ricordi il teorema di Pitagora?
Questo è un triangolo rettangolo di lati 3, 4, e 5 cm.
Ma l’uguaglianza che vedi sopra è vera per tutti i triangoli rettangoli,
anche se i lati misurano per esempio 5, 12, 13 (se non ci credi... fai ora
il calcolo!).
Sapevi che il teorema
di Pitagora si può
“dimostrare” come in un
gioco simile al tangram?
Guarda la figura a fianco.
E di terne di numeri che rispettano questa uguaglianza ne esistono
davvero tante.
Chi ha ricostruito la storia della matematica non crede che ad
“inventare” questo teorema sia stato proprio Pitagora, che visse
nel 400 a.C., perché in alcuni papiri egiziani già ci sono indizi che
ci dicono che anche loro sapevano dell’esistenza di tante terne di
numeri, come 3, 4, e 5, così “particolari” (prova a fare il calcolo
scegliendo tre numeri naturali a caso per renderti conto di quanto
le “terne pitagoriche” siano “speciali”).
Nel 1600, Pierre de Fermat (1601 - 1665) che non era un matematico di
professione ma faceva il magistrato, ebbe una idea.
Pensò: questa particolarità di terne di numeri sarà vera anche se
considero il cubo anziché il quadrato?
Guarda le figure per capire meglio (chissà se anche Fermat, che era un
appassionato di Matematica, ha immaginato questa idea cosi’):giochi e curiosita’ - 55
Per il quadrato è facile trovare tante terne Pitagoriche. Ma per il cubo
non è così, come mostra l’immagine seguente.
Di certo si sa che, mentre studiava l’opera di Diofanto di Alessandria, un
matematico vissuto tra il 212 d.C. e il 298 d.C., Fermat scrisse in latino,
in una nota del libro, l’enunciato del suo teorema, aggiungendo che non
aveva abbastanza spazio per scrivere la dimostrazione...
“È impossibile separare un cubo in due cubi, o una potenza quarta
in due potenze quarte, o in generale, tutte le potenze maggiori di
due come somma della stessa potenza. Dispongo di una meravigliosa
dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel
margine troppo stretto della pagina”
Tanti matematici, da allora, cercarono di dimostrare il teorema ma non ci
riuscirono o commisero errori nella dimostrazione (anche loro sbagliano
e fanno errori! Cercano però sempre di correggerli e capire perché li
hanno fatti...).
Quando tu eri piccolissimo, un matematico che si chiama Andrew Wiles
ha finalmente, dopo più di tre secoli, dimostrato che Fermat aveva
ragione.
Se vuoi saperne di più, chiedi aiuto a mamma e papà, a tuo fratello o
alla tua sorella maggiore, al tuo insegnante di inglese, a un tuo amico o
amica e vai a curiosare su questo sito, dove troverai filmati e curiosità sul
teorema piu’ famoso della storia:
http://www.simonsingh.com/The_TV_Film.htmlPuoi anche leggere
