DIDATTICA DELLA MATEMATICA - 11 Lezione 20/11/2017

DIDATTICA DELLA
 MATEMATICA
 11° Lezione
 20/11/2017

«La mente intuitiva è un dono sacro
 e la mente razionale
 è un fedele servo.
 Noi abbiamo creato una società
 che onora il servo
 e ha dimenticato il dono.»
 (Albert Einstein)

I PROBLEMI
“… per quanto attiene alla matematica e al suo
apprendimento, è ormai formalizzato, anche nei
programmi scolastici fin dalla scuola elementare, che il
pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di
risoluzione dei problemi. Come a dire che pensare, in
tale disciplina, è pensare per problemi, anzi per
soluzioni.”
( D. Lucangeli – Perché i problemi matematici
sono difficili? in Età Evolutiva nr. 67)

Problema: etimologia
Dal greco próblēma "sporgenza, promontorio, impedimento, ostacolo", dal
verbo προβάλλω (probállō) "mettere davanti"

«Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da
una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per
raggiungere uno scopo che non sia immediatamente
raggiungibile. Risolvere problemi è un’impresa specifica
dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere
umano»
George Polya – La scoperta matematica

«Se ho trovato delle nuove verità nelle scienze, posso dire che
sono tutte derivate, o che dipendono, da cinque o sei problemi
principali che sono riuscito a risolvere e che io considero come
altrettante battaglie in cui la fortuna della guerra è stata dalla mia
parte.»
(Descartes – Discorso sul metodo)

«Un problema è una questione posta, la cui
soluzione ci appare prima difficile o
irraggiungibile, e che quindi ci invita alla ricerca,
alla formulazione di una strategia per ‘misurarsi’
con la sfida. Infatti, è il problema, la questione
aperta, la ‘provocazione’ rappresentata da una
sfida intellettuale non immediatamente
raggiungibile, ciò che interessa il bambino e che
rende la matematica attraente e fonte di
soddisfazione intellettuale»
(Gasca, Numeri e forme)

«Un problema è come un sasso gettato nello
stagno: esso muove le acque, introduce il
dinamismo dove prima era la quiete. Ovviamente
ogni ‘provocazione’ ha i suoi rischi. Non vi è dubbio
che il problema suscita sia la curiosità e il desiderio
di misurarsi con una sfida, sia la diffidenza, la
vertigine di fronte al vuoto (la soluzione sembra
irraggiungibile) e la paura di sbagliare o di fallire.
Infatti, è l’insegnante la persona che deve essere in
grado di scegliere i problemi, saper proporre i
problemi e orientare la discussione in classe e
insegnare a sviluppare un metodo di lavoro per
affrontare i problemi.»
(Gasca, Numeri e forme)

Il ruolo dell’insegnante:
 che problema si vuole dare?
• Per applicare una tecnica.
• Per utilizzare una conoscenza.
• Per interpretare una o più informazioni.
• Per analizzare una situazione e organizzare
 un procedimento risolutivo.
• Per dare un senso ad un risultato.

La risoluzione dei problemi secondo Polya
«Un’idea geniale risolve spesso un grande
problema, ma nella risoluzione di tutti i problemi
interviene un pizzico di genialità. Può trattarsi di un
problema modesto; tuttavia se esso stuzzica la
nostra curiosità ed eccita le nostre facoltà mentali e,
soprattutto, se si riesce a risolverlo da soli, si
scoprirà l’ansia della ricerca e la gioia della scoperta.
Simili esperienze, fatte a tempo opportuno,
possono rappresentare un vero e proprio esercizio
dello spirito e lasciare un’impronta nell’animo e nel
carattere per tutta la vita»
 (Polya, ‘Come risolvere i problemi di matematica. Logica ed
euristica nel metodo matematico’)

Le quattro fasi nella risoluzione dei problemi
 (adattamento dello schema di George Polya, tratto da ‘Numeri e forme’)

 Prima fase: capire il problema
 • Cosa si deve trovare
 • Quali sono i dati? (anche da immagini o
 tabelle)
 • Quali sono le condizioni
 • E’ possibile soddisfare le condizioni?
 • Prova a dare una stima del risultato
 • Disegna una figura. Prepara uno
 schema o diagramma
 • Introduci una notazione appropriata

Seconda fase: elaborare un piano
 • Esiste un problema analogo al tuo e già risolto in
 precedenza?
 • Puoi formulare il problema in modo diverso?
 • Puoi risolvere un problema più semplice connesso
 con questo?
 • Puoi risolvere una parte del problema?
 • Puoi suddividere un problema in parti,
 preparando alcune domande intermedie?
 • Rifletti sulle operazioni che risolvono alcune delle
 domande intermedie.
 • Hai usato tutti i dati?

Terza fase: mettere in pratica il piano

• Procedi con pazienza e precisione: il piano
 fornisce un abbozzo generale; ci si deve
 convincere che i dettagli rientrano
 necessariamente in tale traccia, in modo tale che
 non resti nessun punto oscuro dove possa celarsi
 qualche errore.
• Sei capace di spiegare il tuo piano e come lo hai
 attuato?
• Elenca tutte le possibili soluzioni.

Quarta fase: verificare

• Puoi pensare ad un piano alternativo ? Se ottieni
 una soluzione diversa forse vi è qualche errore
 nel piano, oppure nella esecuzione del piano.
• Puoi confrontare il piano con quello dei tuoi
 compagni?
• Valuta il risultato: se non è possibile forse hai
 fatto qualche errore

I problemi
nella scuola
dell’infanzia

I problemi e la loro risoluzione
rappresentano un elemento costitutivo
nella vita di ognuno di noi, a partire dalla
più tenera età, come per un bambino di
poco più di un anno che vuole scendere da
solo dal suo lettino.
E come pensare che tale problema non sia
pertinente alla matematica? Il bambino
deve compiere delle stime metriche per
ottenere il risultato che desidera.

Per i bambini piccoli il risolvere problemi
è caratteristica costante del loro agire
perché il mondo a cui si affacciano è
assolutamente nuovo e molto spesso
sono nuove le situazioni che si trovano ad
affrontare; l’assumere decisioni è perciò
connaturato alla loro esistenza.

Si può quindi operare nella scuola dell’infanzia
per aiutare il bambino a sviluppare un
atteggiamento positivo verso la risoluzione dei
problemi imparando a costruire ed utilizzare
strategie e abituandosi a controllare e
correggere il proprio operare sulla base degli
effetti prodotti dalle sue azioni.

Non è difficile trovare attività normalmente svolte nella
scuola dell’infanzia che siano ricche di situazioni
problematiche, ma esse possono essere pianificate in
modo tale che ogni problema sia già risolto all’origine;
se il docente invece ne riconosce la potenzialità può
utilizzarle nel senso detto precedentemente.

Si possono comunque costruire giochi o situazioni ad
hoc per mettere i bambini di fronte a problemi da
risolvere ed osservare le modalità di risposta che
utilizzano.

Non si tratta di ‘precocizzare’ in senso
disciplinare l’approccio, ma di far leva su attività
fortemente ancorate a contesti significativi,
basate sul fascino della scoperta e in un
contesto libero e ‘seriamente’ giocoso.

L’esempio che presento è tratto dal testo
«Infanzia e matematica» di D’Amore, Pinilla,
Gabellini, Marazzani, Masi, Sbaragli.

Proposta: prepariamo un braccialettino di
perle da regalare alla mamma.
L’attività è rivolta a bambini di 5 anni, che sono radunati
attorno a dei tavoli in gruppi di 3, 4; su un altro tavolo sono
disposti:
• tre recipienti di vetro contenenti perline di forma diversa:
 rotonde, allungate, sfaccettate;
• vasetti di yogurt vuoti;
• un gomitolo di filo e un pezzo di filo che fa da modello;
• quadrati di carta bianca 20 × 20 e rettangoli di carta da
 regalo 30 × 40;
• nastri da regalo lunghi 8 ;
• scatoli e vassoi di carta per trasportare il materiale.

Dopo aver fatto manipolare il materiale ai bambini, in
modo che essi sappiano distinguerle.
Viene poi stabilito che il braccialetto sarà formato da:
• tre perle allungate
• sei perle sfaccettate
• otto perle rotonde
L’insegnante precisa che ciascuno avrà bisogno di tre
vasetti di yogurt per deporre separatamente i tre tipi di
perle, un filo per infilare le perline, carta da regalo e
nastro per la confezione del regalo.

Le consegne:
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere tre
 vasetti di yogurt per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere tre perle
 allungate per sé e per ciascuno dei compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere sei perle
 sfaccettate per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere otto
 perle rotonde per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;

• due bambini per ciascun tavolo devono prendere
 il filo necessario per sé e per ciascun compagno
 ritagliando dalla matassa pezzi lunghi come il
 campione.
Alla fine del confezionamento del braccialetto:
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 foglio di carta bianca per sé e per ciascuno dei
 compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 foglio di carta da regalo per sé e per ciascuno dei
 compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 nastro per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo

OSSERVARE!
È molto interessante notare (ed annotarsi) quali modalità
strategiche i bambini mettono in atto per eseguire le
consegne:
• nel contare le perline, le contano a gruppi o in sequenza?
• Nel distribuire le perle si danno una per una o ad ognuno
 si assegna da subito la quantità prestabilita?
• I bambini si accorgono di eventuali errori ? Se vedono
 che il loro compagno fa un errore come reagiscono?
 Propongono strategie alternative?
• ….

Operazioni di tipo aritmetico e logico
 connesse all’attività
 • Numerazione
 • Conteggio
 • Addizione , moltiplicazione ( e sottrazione in
 caso di errori)
 • Distribuzione di quantità
 • Ordinamento
 • Successione
 • Classificazione in base ad un attributo
 • Riconoscimento di attributi
 • Corrispondenza uno ad uno
 • Costruzione di insiemi equinumerosi
 • Situazioni di distribuzione di quantità
 • Confronto tra grandezze

I problemi nella
scuola primaria

Dalle Indicazioni Nazionali
La costruzione del pensiero matematico è un
processo lungo e progressivo nel quale
concetti, abilità, competenze e atteggiamenti
vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e
sviluppati a più riprese; è un processo che
comporta anche difficoltà linguistiche e che
richiede un’acquisizione graduale del
linguaggio matematico.

Caratteristica della pratica matematica è la
risoluzione di problemi, che devono essere
intesi come questioni autentiche e
significative, legate alla vita quotidiana, e
non solo esercizi a carattere ripetitivo o
quesiti ai quali si risponde semplicemente
ricordando una definizione o una regola.

Gradualmente, stimolato dalla guida
dell’insegnante e dalla discussione con i pari,
l’alunno imparerà ad affrontare con fiducia e
determinazione situazioni problematiche,
rappresentandole in diversi modi, conducendo
le esplorazioni opportune, dedicando il tempo
necessario alla precisa individuazione di ciò che
è noto e di ciò che s’intende trovare,
congetturando soluzioni e risultati, individuando
possibili strategie risolutive.

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al
 termine della scuola primaria

• Legge e comprende testi che coinvolgono
 aspetti logici e matematici.
• Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli
 ambiti di contenuto, mantenendo il controllo
 sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.
 Descrive il procedimento seguito e riconosce
 strategie di soluzione diverse dalla propria.

Prima premessa: esercizi o problemi?
• Gli esercizi possono essere risolti utilizzando
 regole o nozioni già apprese e in via di
 consolidamento e quindi rientrano nelle
 categorie: rafforzamento e verifica.
• I problemi coinvolgono o l’uso di più regole o
 nozioni ( alcune anche in via di esplicitazione
 proprio in quell’occasione), o la successione di
 operazioni la cui scelta è atto strategico, talvolta
 creativo, dell’allievo stesso.
(tratto da ‘Problemi di matematica nella scuola primaria’ di
Bruno D’Amore)

(Immagine tratta da un lavoro di Marisa Magnan , scuola primaria ‘Da Vinci’,
Albisengo , PD)

Nota bene

Uno stesso quesito può
essere un problema in classe
prima e un esercizio in
classe quinta

Seconda premessa: il problema ha
 sempre una soluzione?
«Su una nave ci sono 26 montoni e 10 capre; quanti
anni ha il capitano?»
I bambini rispondono. «36!»
Perché? Scatta il cosiddetto ‘contratto
didattico’: se la maestra dà un problema questo deve
essere risolto con i numeri che ci dà.
Tale comportamento va sotto il nome di: effetto ‘Età del
capitano ’; mutando la richiesta tale comportamento si
ritrova in ogni ordine di scuola.

Altro esempio:
 bisogna fare sempre i calcoli?
«Giovanna e Paola vanno a fare la spesa; Giovanna spende
10 euro e Paola 20 euro. Alla fine chi ha più soldi nel
borsellino?»
III primaria: 58,4% ha risposto «Giovanna»; perché?
Siccome il problema deve avere sempre una soluzione lo
studente introduce implicitamente un dato: «Giovanna e
Paola partivano dalla stessa somma», ma non basta: per un
problema di matematica si devono fare sempre i calcoli
(contratto didattico!), alcuni bambini corredano la risposta
con calcoli del tipo: 10+20=30, o 20-10=10.
(gli esempi sono tratti da ‘Problemi di matematica nella scuola primaria’ di
Bruno D’Amore)

Gli studi inerenti ai meccanismi cognitivi implicati nella
“soluzione di problemi” dettagliano le abilità implicate
distinguendo cinque processi fondamentali:

a) comprendere sia il testo verbale sia gli schemi matematici
sottostanti;
b) rappresentare cognitivamente le “situazioni problema”;
c) categorizzare attraverso il riconoscimento di somiglianze e
differenze tra schemi di soluzione;
d) pianificare adeguati e congruenti piani d’azione traducibili in
sequenze di operazioni concrete (procedure risolutive);
e) monitorare e autovalutare il processo complessivo e ogni
singola sua fase.
( cfr. Daniela Lucangeli in Perché i problemi matematici sono difficili? Età evolutiva nr.
67)

(tratto da ‘Il problem solving matematico: analisi delle componenti
implicate e proposta di potenziamento’ Daniela Lucangeli )

Come si evince dalla rappresentazione, secondo
Lucangeli la comprensione è condizione necessaria per
l’attivazione delle altre componenti, che contribuiscono
separatamente alla soluzione.

Comprensione del testo

 Quali testi?

Il prezioso libretto del prof. Giorgio
Bolondi, dal titolo «La matematica
quotidiana», pone una questione didattica
molto interessante e profondamente
significativa in relazione ai testi dei
problemi.
Molte osservazioni e problemi che
seguono sono tratti dal testo indicato.

Quali testi?
Esaminando i testi dei problemi in molti
sussidiari, appare spesso evidente che la parola
viene usata per indicare nient’altro che un
esercizio di calcolo, superficialmente ricoperto
da un contesto.
La conseguenza è che i bambini spesso non si
accorgono di dare risposte non ragionevoli,
perché si focalizzano sull’operazione
dimenticando completamente la situazione
problematica.

Esempio
Un camion dell’esercito può trasportare 36
soldati. Quanti camion occorrono per
trasportare 1.128 soldati dalla caserma al
campo di addestramento?

Su un campione di 45.000 scolari, il 29% ha
risposto «31 con il resto di 12» e il 18% «31» : il
testo è diventato qualcosa di superfluo, che si
dimentica appena viene individuata l’operazione

«Caratteristica della pratica matematica è
la risoluzione di problemi, che devono
essere intesi come questioni autentiche e
significative, legate alla vita quotidiana, e
non solo esercizi a carattere ripetitivo o
quesiti ai quali si risponde semplicemente
ricordando una definizione o una regola.»
(Indicazioni Nazionali)

Se vogliamo educare la razionalità
del bambino il testo del problema
non può essere un elemento
accessorio, un contenitore di dati,
altrimenti il problema diventa un
semplice esercizio di calcolo.

Precisazione

La parola «testo» va intesa in senso
ampio, come l’insieme delle forme
attraverso le quali si può presentare
una situazione da analizzare, con i
dati da gestire e le domande cui
viene chiesto di dare risposta.

Testo è tutto ciò che veicola
 informazione.

Oltre quindi ai testi ‘discorsivi’ ci
possono essere tabelle, grafici, figure e
tutte le possibili forme di testi
strutturati (orari, calendari…) nei quali
parte dell’informazione è contenuta
nella stessa struttura.

Esaminiamo i testi delle prove
Invalsi del 2016 e del 2017,
relative ai traguardi sui
problemi, con particolare
attenzione alla forma con cui il
quesito viene presentato.

Riesce a risolvere facili
problemi in tutti gli
ambiti di contenuto,
mantenendo il controllo
sia sul processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive il
procedimento seguito e
riconosce strategie di
soluzione diverse dalla
propria. .

Riesce a
risolvere facili
problemi in
tutti gli ambiti
di contenuto,
mantenendo il
controllo sia
sul processo
risolutivo, sia
sui risultati.

Riesce a
risolvere facili
problemi in
tutti gli ambiti
di contenuto,
mantenendo il
controllo sia
sul processo
risolutivo, sia
sui risultati.

SECONDA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgono
aspetti logici
e
matematici.

SECONDA PRIMARIA

Legge e comprende testi che coinvolgono
aspetti logici e matematici.

SECONDA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgon
o aspetti
logici e
matematici.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo, sia
sui risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere facili
problemi in tutti gli
ambiti di contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo, sia
sui risultati.

SECONDA
PRIMARIA
Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati.

Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati.

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

QUINTA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgono
aspetti logici
e matematici

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

PROPOSTE

I brani che seguono sono tratti dall’articolo
sottocitato e allegato come materiale alla lezione

 La dimensione narrativa
 di un problema:
 il modello C&D per l'analisi
 e la (ri)formulazione del testo
 Rosetta Zan
 Dipartimento di Matematica,
 Università di Pisa

«Per analizzare le caratteristiche del testo di un problema
standard è necessario sottolineare quella che a nostro parere
è la differenza intrinseca più significativa fra problemi reali e
problemi scolastici: a differenza dei problemi reali i problemi
che gli allievi affrontano a scuola sono eteroposti, nel senso
che chi pone il problema (insegnante o libro di testo) è
persona diversa da chi lo deve risolvere.
Da qui il fatto che i problemi a scuola sono espressi
attraverso un testo (per lo più scritto), e la necessità di
comunicare a chi deve risolvere cosa deve risolvere: questa è
appunto la funzione di una richiesta esplicita, in genere
formulata come domanda.

Inoltre, dati gli obiettivi che l'insegnante si
pone con l'attività di soluzione di problemi,
l'attenzione prioritaria dell'autore di un
problema va alla sua struttura matematica: a
partire da tale struttura egli sceglie una
situazione in cui contestualizzarla, in genere
inserendo solo le informazioni qualitative e
quantitative necessarie per la soluzione
(Nesher, 1980).

Proprio il testo sintetico del problema secondo Nesher può
spiegare il fatto che molti allievi seguono scorciatoie
cognitive (quali inferire direttamente dal testo le
operazioni da fare) invece che rappresentarsi la situazione
descritta e su tale rappresentazione costruire il processo
risolutivo. D'altra parte, il fatto che tale strategia abbia
successo in molti dei problemi della pratica scolastica a
causa della loro struttura stereotipata fa sì che tale
abitudine si consolidi in un atteggiamento verso il testo dei
problemi: l'allievo si abitua a una lettura selettiva,
caratterizzata dall'individuazione dei dati numerici e delle
parole chiave, che suggeriscono come 'combinare' i numeri
presenti nel testo.»

«In un lavoro precedente (Zan, 2011) abbiamo proposto
un'interpretazione di questo fenomeno, suggerendo di
considerare accanto alla dimensione matematica del
problema un'altra dimensione: quella narrativa, che riguarda
le caratteristiche della storia in cui la struttura matematica è
contestualizzata e il legame di tale storia con la domanda
posta.»
Dalla ricerche condotte Rosetta Zan desume che «i legami
narrativi fra le parti del testo - in particolare i legami di
causalità - sono importanti per comprendere la storia
narrata» e per costruire adeguate rappresentazioni del
problema

ESEMPIO
(Da una ricerca di D’Amore et al. : La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici
standard,1995)

Formulazione classica di un problema classico:

«Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto
impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?»

Si richiede agli allievi – senza risolverlo! – di riformularlo per proporlo
ad altri allievi… nel modo che ritengono migliore. Ecco la formulazione
che emerge più frequentemente:

«Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e
ogni volta impiegano 6 ore. Ma uno di loro si ammala e non va a
lavorare. Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro. Secondo te, impiegheranno più
tempo o meno tempo? Perché ? Calcola quanto tempo
impiegheranno.»

Il collegamento fra domanda e contesto
«Finora ci siamo occupati della comprensione della storia,
quindi del contesto. Ma c'è un altro elemento importante
in un problema: la domanda. Come abbiamo già
osservato la presenza di tale elemento è legata al fatto
che i problemi scolastici sono eteroposti: chi pone il
problema (insegnante o libro di testo) è persona diversa
da chi lo deve risolvere.
Da questa struttura 'contesto + domanda' segue che la
comprensione del problema implica non solo la
comprensione del contesto - della storia - ma anche
quella della domanda. Maggiore è il collegamento fra la
domanda e la storia narrata nel contesto, più la
comprensione della storia favorirà la comprensione della
domanda e in definitiva del problema.»

ESEMPIO
«Per il compleanno di Ciancicasorci, uno dei gattini gialli, sono
venuti tanti amici. Nel cortile del castello ci sono 40 gattini in
festa. Pasticcia fa avanti e indietro dalla cucina portando frittelle
di alici e succo di erba gatta. Ha preparato tavoli rotondi, coperti
di tovaglie fatte di mortadella. Intorno a ogni tavolo c’è posto per
5 gattini. Quanti sono i tavoli?»

Il contesto narra un fatto già avvenuto: la strega ha già invitato i gattini,
ha già preparato la quantità di tavoli necessari. La storia è chiusa: a chi
serve adesso sapere quanti sono i tavoli?
In definitiva la domanda non ha una relazione narrativa con una storia
già chiusa, se non quella di utilizzare (alcuni) elementi della storia
stessa per controllare le conoscenze e abilità di chi deve rispondere.

‘Aprire’ la storia
Per 'aprire' la storia e poter immaginare che i protagonisti
possano incidere sugli eventi, possano fare scelte e prendere
decisioni che ne modificano il corso dobbiamo quindi introdurre
degli scopi, ma anche trasformare il resoconto di un fatto
accaduto nella descrizione di un progetto da realizzare.

Per il compleanno di Ciancicasorci, uno dei gattini gialli, la
strega Pasticcia vuole invitare 40 gattini.
Nel giardino ha dei tavoli rotondi. Intorno a ogni tavolo c’è
posto per 5 gattini. La strega vuole coprire i tavoli con
tovaglie fatte di mortadella. Quanti tavoli deve preparare?

Ancora un esempio
Per preparare la marmellata di pesche la nonna ha usato 10 kg di
pesche e 5 kg di zucchero. La marmellata che si ottiene
(togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del
peso iniziale di pesche e zucchero. Quanti vasetti della capacità
di 250 grammi ha utilizzato la nonna?
Apriamo la storia:
La nonna deve preparare la marmellata di pesche con 10 kg di
pesche e 5 kg di zucchero. La marmellata che si ottiene
(togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del
peso iniziale complessivo di pesche e zucchero.
Quanti vasetti della capacità di 250 grammi servono alla nonna?

O ancora di più:
Anche quest'anno la nonna vuole preparare insieme alla sua nipotina Martina la
marmellata con la frutta del suo giardino che le piace tanto: hanno raccolto ben
10 kg di pesche, e per fare la marmellata bisogna aggiungere 5 kg di zucchero,
come dice la ricetta.
Martina è tutta contenta: "Nonna, ti immagini? Quanta marmellata solo per me!"
E la nonna le dice: "Vedi di non mangiartela tutta in un mese! Comunque quando
avremo tolto gli scarti e avremo cotto tutto, ci rimarrà all'incirca i 3/5 del peso
iniziale complessivo di pesche e zucchero! Anzi, fammi un piacere. Vai a prendere
in cantina i barattoli così li lavo per bene prima di metterci la marmellata: prendi
quelli dello scaffale in basso, da 250 grammi."
Martina è contenta di fare un piacere alla nonna, ma non ha voglia di fare viaggi
inutili. Deve trovare il modo per capire quanti barattoli servono: puoi aiutarla?

Modello C&D
 per la
formulazione
 o
 ri-
formulazione
 di
un problema