TERZI GRADI E DISFIDE MATEMATICHE - CIRCOLO MATEMATICO - TRIESTE Emilia Mezzetti - Dipartimento di Matematica e Geoscienze - Università di Trieste
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TERZI GRADI E DISFIDE
MATEMATICHE
CIRCOLO MATEMATICO - TRIESTE
mezzette@units.it
Emilia Mezzetti – Dipartimento di Matematica e
Geoscienze - Università di Trieste
Storia della risoluzione delle
equazioni di 3° grado
! Protagonisti: Niccolò Tartaglia, Gerolamo
Cardano, Ludovico Ferrari, Scipione Dal Ferro, e altri
personaggi minori
! La scena: l’Italia settentrionale del ‘500: Brescia,
Verona, Venezia, Milano, Bologna
! Lo spunto: il libro di Fabio Toscano “La formula
segreta”, Sironi
Trieste, 21 marzo 2019
Il maestro d’abaco
! Niccolò Tartaglia nacque a Brescia
nel 1499
! Fu sfregiato durante il sacco di
Brescia nel 1512 → balbuzie
! Diventò Maestro d’abaco a Verona
• Abaco: insieme delle operazioni contabili e delle
problematiche connesse alla pratica mercantile
• Scuole d’abaco in Italia a partire dal XIII secolo
• Liber abaci - Fibonacci
Trieste, 21 marzo 2019
Il maestro d’abaco
" I libri d’abaco si compongono di
molti problemi particolari – non
descrivono un metodo generale
Gli Algoritmisti contro gli Abacisti,
dalla Margarita philosophica
di Gregor Reisch (1503).
" Tendono a formare una mentalità mnemonico-
analogica, non logico-deduttiva
# Tartaglia si afferma, molti lo consultano per
risolvere problemi, altri maestri d’abaco lo sfidano
Trieste, 21 marzo 2019Le disfide matematiche
! Erano molto diffuse con regole consolidate
! Lo sfidante inviava alcuni problemi, lo sfidato
doveva cercare di risolverli entro un termine
prestabilito, proponendo allo sfidato ulteriori
problemi
! In caso di esito contrastato, pubblico dibattito
! REGOLA IMPORTANTE: Nessuno dei duellanti
poteva avanzare problemi che egli stesso non fosse
capace di risolvere
Trieste, 21 marzo 2019La sfida di Zuanne de Tonini da Coi
Nel 1530 Zuanne de Tonini da
Coi sfida Tartaglia con due
quesiti:
! Trovatime un numero qual
moltiplicato per la sua radice
più 3 mi faccia 5.
! Similemente, trovatime tre
numeri, ma che ‘l secondo sia
2 più del primo et che ‘l
terzo sia pur 2 più del
secondo, e che multiplicato el
primo fia el secondo, et quel
produtto fia el terzo faccia
1000.
Trieste, 21 marzo 2019Algebra retorica
! I testi dei problemi erano tutti
“parlati”
! I due quesiti si traducono in equazioni
di terzo grado
! Luca Pacioli nella Summa (1494)
aveva scritto che riteneva impossibile
la loro risoluzione con formule
algebriche (per regola generale)
paragonandole al problema della
quadratura del cerchio
! Tartaglia inizia a pensare…
Trieste, 21 marzo 2019I quesiti di Zuanne de Tonini da Coi
3 2
x + 3x = 5 Tartaglia dice di avere
!
una regola per
3 2
x + 6 x + 8 x = 1000 risolvere il primo caso*
ma non per il secondo
! Primo caso: cubo e
x incognita cosa censi uguali a numero
x2 quadrato censo ! Secondo caso: cubo e
x3 cubo cubo
termine noto numero
censi e cose uguali a
numero
* ma non è vero: ha solo un modo per costruire esempi!
Trieste, 21 marzo 2019Che cosa si sapeva delle equazioni?
" Equazioni di 1° grado: Ebla, Egizi, Babilonesi…
" Equazioni di 2° grado:
" Egizi: equazioni pure x2=5
" Babilonesi: danno una soluzione, metodo
geometrico→completamento del quadrato
" Arabi (∼800): al-Khwarizmi scrive L’Algebra = Regola della cosa:
classifica 6 tipi di equazioni di 2° grado e dà le regole risolutive:
SI CONSIDERANO SOLO COEFFICIENTI POSITIVI!
" Omar Khayyam (1048 – 1131): elenca 14 casi di equazioni
di 3° grado – le risolve geometricamente (intersezione di
due curve, parabola e iperbole) ma non numericamente
" “Forse uno di quelli che verranno dopo di noi riuscirà a trovare
la regola…”
Trieste, 21 marzo 2019Equazioni di 2° grado secondo al-Khwarizmi
CLASSIFICAZIONE
censi uguali a cose ax2=bx
censi uguali a numero ax2=c
cose uguali a numero ax=c
censi e cose uguali a numero ax2+bx=c
censi e numero uguali a cose ax2+c=bx
cose e numero uguali a censi bx+c=ax2
a,b,c sono sempre positivi
Trieste, 21 marzo 2019La disfida veneziana
" Nel 1534, a Venezia, Tartaglia è sfidato da
Antonio Maria Fior, mediocre maestro d’abaco
proveniente da Bologna
" Fior propone 30 problemi, Tartaglia controbatte
con altri 30 problemi
" Tartaglia risolve tutti i problemi in due ore, Fior
neanche uno
" I problemi di Fior sono tutti del tipo cubi e cose
uguali a numero
x3+bx=c
Trieste, 21 marzo 2019La scoperta di Tartaglia
" Tartaglia scrive a Tonini da Coi di aver scoperto 8
giorni prima la regola generale per cubo e cose
uguali a numero
" Fior si vanta di aver avuto la regola 30 anni prima
da “un gran matematico”
" Tartaglia si rifiuta di rivelare la sua formula a Tonini
da Coi (e anche testi e soluzioni dei problemi)
Trieste, 21 marzo 2019Gerolamo Cardano
" Nato nel 1501, Cardano è un
brillante affermato medico, ma anche
studioso di matematica, musicologo, astrologo, …
" Abile parlatore ma vanitoso, rude, aggressivo
" Sta scrivendo un libro di matematica pratica,
aritmetica, algebra e geometria, con tabelle sulle
equazioni di 1° e 2° grado
" Tonini da Coi sfida Cardano con equazioni di 3° e
4° grado, e gli parla di Tartaglia
Trieste, 21 marzo 2019Tartaglia e Cardano
# Cardano contatta Tartaglia e gli chiede la formula
# Tartaglia rifiuta
# Cardano gli chiede i 30 problemi di Fior
# Tartaglia rifiuta
# Cardano sfida Tartaglia con 7 problemi
# Tartaglia capisce che vengono da Tonini da Coi e
che Cardano non sa la risposta
# La corrispondenza tra i due ha toni ora aggressivi e
sarcastici, ora contiene lusinghe
Trieste, 21 marzo 2019L’incontro e la formula
" Cardano invita Tartaglia a Milano
" Giura di non divulgare la formula
" Tartaglia cede e mostra a Cardano la sua “poesia
algebrica”
" Contiene le regole risolutive per
$ x3+bx=c
$ x3=bx+c
All’incontro è presente
$ x3+c=bx Ludovico Ferrari, 17enne
allievo di Cardano
Trieste, 21 marzo 2019La poesia algebrica
Quando che’l cubo con De poi terrai questo per
le cose appresso consueto
Se agguaglia a qualche Che’l lor prodotto
numero discreto sempre sia eguale
Trovan dui altri differenti Al terzo cubo delle cose
in esso neto,
x3+bx=c u-v=c uv=(b/3)3
Trieste, 21 marzo 2019La poesia algebrica
El residuo poi suo generale Delle qual poi, per comun precetto
Delli lor lati cubi ben sottratti Torrai li lati cubi insieme gionti
Varrà la tua cosa principale Et cotal somma sarà il tuo concetto
x=3√u - 3√v El terzo poi de questi nostri conti
Se solve col secondo se ben guardi
In el secondo de cotesti atti Che per natura son quasi congionti.
Quando che’l cubo restasse lui solo
Tu osserverai quest’altri contratti Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecente, quatro e trenta
Del numer farai due tal part’a volo Con fondamenti ben sald’e gagliardi
Che l’una in l’altra si produca schietto
El terzo cubo delle cose in stolo Nella città dal mar intorno centa.
Trieste, 21 marzo 2019La poesia algebrica
u=v+c
v2+vc-(b/3)3=0 risolvente quadratica
(3√u - 3√v )3+b(3√u - 3√v )=
=[u-33√(u2v) + 3√(uv2) –v] +b(3√u - 3√v )=
=(u-v)+(b-3 3√(uv)) (3√u - 3√v )=
=c
Trieste, 21 marzo 2019FORMULE DI TARTAGLIA
1) ! ! + !" = ! 2) ! ! = !" + !
!−! =! ! =!+! !+! =! ! =!−!
! ! ⇒ ! ! ! ! ⇒ ! !
!" = !
! + !" − =0 !" = !! − !" + !
=0
! ! !
! ! ! !
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!=− + + , != + + != − + , != + −
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
! !
!=
!
!−
!
! != !+ !
! ! ! ! ! ! ! !
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!= + + − − + + != + − + − + −
2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3
! ! ! ! ! ! ! !
Δ= + Δ= !
− !
! !
Trieste, 21 marzo 2019ESERCIZI
1. x3+9x=26
2. x3=2x+4
3. x3=12x-16
4. x3=15x+4
Trieste, 21 marzo 2019Cardano e Ferrari
" Cardano studia la poesia e la formula
" Con Ferrari studia e risolve l’equazione generale,
riducendola al caso di Tartaglia
" Ma trova un caso in cui la regola non si applica:
caso irriducibile c
2 3
⎛c⎞ ⎛b⎞
" x3=bx+c
u = + ⎜ ⎟ −⎜ ⎟
2 ⎝2⎠ ⎝3⎠
u+v=c 2 3
c c
⎛ ⎞ b
⎛ ⎞
uv=(b/3) 3 v = − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟
2 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
3
x= u +3 v
Se (c/2)2Ludovico Ferrari
" Tonini da Coi sfida Cardano con
equazioni di 3° e 4°grado
" Ferrari rileva la sfida e vince: ha trovato un metodo
per risolvere le equazioni di 4°grado
" 1542: Cardano e Ferrari vanno a Bologna a
trovare Annibale Della Nave
" Questi mostra un taccuino del suocero Scipione Dal
Ferro, morto 15 anni prima: contiene la stessa
formula trovata poi da Tartaglia!
Trieste, 21 marzo 2019L’Ars Magna
" Cardano si sente libero dal
giuramento
" 1545: Scrive l’Ars Magna – inizio
della matematica moderna
" Tartaglia indignato e furibondo
" Scrive Quesiti et inventioni diverse in cui racconta tutta
la storia (nel frattempo aveva tradotto gli Elementi di
Euclide)
" Nuova disputa feroce fra Tartaglia e Ferrari
" Discussione pubblica a Milano – 2019
Trieste, 21 marzo Tartaglia abbandonaEpilogo
" Tartaglia muore a Venezia in solitudine e povertà
" Ferrari diventa professore a Bologna – muore
avvelenato
" Cardano condannato per eresia, poi si pente, scrive
la sua autobiografia
" Scrive anche molti altri libri – De regula aliza
" Nel caso irriducibile, sotto radice quadrata ci sono
numeri negativi, ma l’equazione ha tre radici reali –
radici sofistiche
Trieste, 21 marzo 2019Sviluppi successivi
" Nel 1572 Rafael Bombelli, professore a Bologna,
pubblica il tomo L’Algebra, in cui introduce i numeri
complessi e risolve il caso irriducibile
" Nel 1799 Paolo Ruffini, emiliano, dimostra che è
impossibile risolvere per radicali le equazioni
generali di grado superiore al quarto
Trieste, 21 marzo 2019Abel e Galois
! Nel 1824 Niels Abel ritrova il risultato di Ruffini,
studia le funzioni ellittiche, pone i problemi:
• Trovare tutte le equazioni di qualunque grado che
siano risolubili per radicali
• Decidere se una data equazione è risolubile per
radicali
! Problemi risolti da Evariste Galois
! Nasce l’algebra astratta, in particolare
la teoria dei gruppi
Trieste, 21 marzo 2019Arrivederci!
Emilia Mezzetti
Dipartimento di Matematica e Geoscienze
Sezione di Matematica e Informatica
Università degli Studi di Trieste
Via Valerio 12/1
e-mail mezzette@units.it
tel. 040 5582650
Trieste, 21 marzo 2019Puoi anche leggere
