Tecnologie quantistiche - Didattica della fisica quantistica - PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica - Università degli ...
←
→
Trascrizione del contenuto della pagina
Se il tuo browser non visualizza correttamente la pagina, ti preghiamo di leggere il contenuto della pagina quaggiù
Tecnologie quantistiche Didattica della fisica quantistica Chiara Macchiavello Lidia Falomo Massimiliano Malgieri Claudio Sutrini PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Percorso 8 incontri Introduzione Costruzione Sviluppo Fisica quantistica Problema fisico del calcolo Entanglement Stern - Gerlach Dal bit al qubit Disuguaglianze di Bell Circuiti quantistici Teorema di non clonazione Protocolli quantistici Algoritmi quantistici Dense-coding, teletrasporto Crittografia
Pensiero computazionale Logica Fisica classica Logica classica classica Logica Fisica Logica Fisica “Logica quantistica quantistica” Matematica
Impostazione del problema: un caso concreto n Alice, da Amsterdam, seleziona un numero x da 0 a 2 − 1, e lo manda in una lettera a Bob che vive a Boston. Bob inserisce questo numero in una funzione f(x) e risponde con una lettera contenente il risultato che può essere solo 0 oppure 1 . Bob ha promesso di usare questa funzione che può agire solo in uno di questi due modi: o f(x) è costante per ogni valore di x , oppure è bilanciata, ossia è uguale a 1 per esattamente metà dei possibili x e 0 per la rimanente metà. L’obiettivo di Alice è quello di determinare con certezza se Bob ha scelto la funzione costante o bilanciata spedendosi meno lettere possibile. Quanto rapidamente Alice potrà stabilire che funzione sta utilizzando Bob? PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Impostazione del problema: un caso concreto Primo passo Rileggiamo quanto esposto considerando azioni macroscopi- che compiute da Alice e Bob: 4 1. Alice prende un numero e lo inserisce in una busta ; 2. Alice invia la busta a Bob che la riceve; 3. Bob senza aprirla la inserisce in un macchinario (scatola) dove agisce f ; 4. La scatola restituisce un valore 0 o 1 e lo inserisce in una busta; 5. Bob rinvia la busta ad Alice con il numero uscito dalla scatola; 6. Alice la riceve, la apre e scopre il valore corrispondente al numero che ha inviato. Risulta abbastanza immediato capire che Alice ha bisogno di inviare nel caso peggiore 2 /2 + 1 volte una lettera a Bob prima di essere certa del n PLS 2020-2021 - Università degli studi 5 di Pavia - Fisica funzionamento del macchinario di Bob . Tali considerazioni valgono anche se trasferiamo quanto detto immaginando di comunicare tramite
Impostazione del problema: un caso concreto DOMANDA: quante volte Bob deve far agire la funzione f(x) perché Alice possa comprendere se la funzione è costante o bilanciata? CLASSICAMENTE: Alice ha bisogno che Bob, nel caso peggiore, implementi la propria funzione 2n + 1 volte prima che Alice possa rispondere con certezza. 2 PROBLEMA: per n sufficientemente grande, se immaginiamo di associare un tempo finito ad ogni implementazione della macchina di Bob, per Alice risulterebbe impossibile risolvere il problema. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Risulta abbastanza immediato capire che Alice ha bisogno di inviare nel caso peggiore 2n /2 + 1 volte una lettera a Bob prima di essere certa del funzionamento del macchinario di Bob5 . Tali considerazioni valgono anche se trasferiamo quanto detto immaginando di comunicare tramite Impostazione del problema: un caso concreto computer. Secondo passo Rileggiamo ora quanto visto immaginando una comunica- zione avvenuta per mezzo di computer: 1. Alice inserisce i numeri su un computer che li codifica in sistema binario associando allo 0 un valore nullo di una corrente e 1 se la corrente non è nulla; 2. Alice invia i bit corrispondenti a Bob tramite fili e cavi che colle- gano i due computer; 3. Bob riceve i numeri sul suo computer e fa agire la funzione f (black-box) tramite apparecchiature elettriche (transistor etc.) 4. Il programma restituisce un bit alla volta per ogni numero d’in- gresso; 5. Bob invia il bit ottenuto ad Alice; 6. Alice legge il valore ottenuto da Bob sul proprio computer. 4 Possiamo anche immaginare che Alice invii tutti i numeri in una sola volta. L’elemento discriminatorio èPLS 2020-2021 quante - Università volte Bob degli deve far agire studi di Pavia il macchinario. In -questo Fisicacaso i due valori coincidono, ma non è fondamentale 5 Come osservato in precedenza, dovremmo dire "Alice deve chiederea Bob di
Impostazione del problema: un caso concreto PROBLEMA NON CAMBIA! Per n sufficientemente grande, se immaginiamo di associare un tempo finito ad ogni implementazione del programma di Bob, per Alice risulterebbe impossibile risolvere il problema. Vedremo che la possibilità di implementare algoritmi mediante sistemi fisici basati sulle leggi della fisica quantistica ci permetterà di ottenere la soluzione del problema mediante una singola implementazione dell’algoritmo, portando un tempo esponenziale di soluzione ad uno polinomiale. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Fisica - Logica - Calcolo Nel problema posto si intravede la chiave di lettura del percorso: esiste una stretta relazione, una profonda dialettica tra realtà fisica, informazione, calcolo simbolico e impostazione assiomatica. Tale legame è evidenziato anche nei primi lavori dei fisici che si sono occupati di questi aspetti sia in ambito classico che quantistico e in qualche modo è un aspetto presente costantemente nell’intero sviluppo del pensiero fisico- matematico che ha condotto alla costruzione dei primi calcolatori. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Fisica - Logica - Calcolo Deutsch(1985): “Intuitivamente una macchina di calcolo (computer) è qualsiasi sistema fisico la cui evoluzione dinamica lo porta da uno degli stati input ad uno di quelli output. Gli stati sono etichettati in qualche modo canonico, la macchina viene preparata in uno stato con una data etichetta di input e quindi, dopo una certa evoluzione, viene misurato lo stato di output. Per un sistema deterministico classico l'etichetta di output misurato è una funzione definita f dell'etichetta di input preparata; inoltre il valore di tale etichetta può in linea di principio essere misurato da un osservatore esterno (l’ "utente") e si dice che la macchina "calcola" la funzione f.” PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Fisica - Logica - Calcolo Fredkin-Toffoli(1982): “La macchina di Turing incarna in forma euristica gli assiomi della teoria della computabilità. Dalla discussione originale di Turing (Turing-Church, 1936) è chiaro che egli intendesse cogliere alcuni vincoli fisici generali a cui sono soggetti tutti i processi di calcolo concreti, così come alcuni meccanismi fisici generali di cui i processi di calcolo possono senza dubbio avvalersi. Al centro degli argomenti di Turing, o, più in generale, della tesi di Church, ci sono i seguenti presupposti fisici: P1: La velocità di propagazione delle informazioni è limitata. (Nessuna "azione a distanza": gli effetti causali si propagano attraverso le interazioni locali.)” P2: La quantità di informazioni che può essere codificata nello stato di un sistema finito è limitata. P3: È possibile costruire dispositivi fisici macroscopici e dissipativi che eseguono in modo riconoscibile e affidabile le funzioni logiche AND, NOT e FAN-OUT”. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Fisica - Logica - Calcolo Fredkin-Toffoli(1982): “È noto che AND, NOT e FAN-OUT (Copy) costituiscono un insieme universale di primitivi logici e, quindi, da un punto di vista puramente matematico, non vi sono ragioni valide per considerare diversi primitivi come base per il calcolo. Tuttavia, la funzione AND non è invertibile e quindi richiede per la sua realizzazione un dispositivo irreversibile, cioè un sistema che può raggiungere lo stesso stato finale da diversi stati iniziali. In altre parole, eseguendo l'operazione AND si cancella generalmente una certa quantità di informazioni sul passato del sistema. Contrariamente all'irreversibilità della funzione AND e di altre operazioni logiche comuni, si presume che le leggi dinamiche fondamentali alla base di tutti i fenomeni fisici siano strettamente reversibili” PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Fisica - Logica - Calcolo Bennett: “Nel diciannovesimo secolo il calcolo era pensato come un processo mentale, non meccanico. Di conseguenza, la termodinamica del calcolo, se qualcuno si fosse fermato a chiederselo, probabilmente non sarebbe sembrata più urgente come argomento di indagine scientifica della, diciamo, termodinamica dell'amore. Tuttavia, il bisogno di pensare seriamente alla termodinamica dei processi percettivi e mentali è stato imposto alla scienza dal famoso paradosso del "demone di Maxwell.” PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici “In aritmetica ci sono due tipi di problemi: da un lato di registrare dati, dall’altro quello di computare tramite algoritmi. Nella matematica moderna, dalle cifre indo-arabe al calcolo elettronico, entrambi i problemi sono risolti dai segni numerici, mentre nella matematica antica i segni numerici servivano quasi esclusivamente per registrare mentre il calcolo era affidato a pietroline o bastoncini manipolati su una tavola, un abaco in senso lato.” PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici Somma in base 2 Vogliamo determinare delle regole pratiche (approccio algoritmico) per poter effettuare la somma in base due con sassolini e strisce. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici Somma in base 2 Per prima cosa consideriamo due ulteriori strisce, una per il riporto e una per la somma. A questo punto servono delle regole per effettuare i corretti utilizzi dei sassolini: 1) se nelle due prime caselle (a destra!) degli addendi c’è un solo sassolino, inseriscine uno nella corrispondente casella della somma; 2) se ce ne sono due inserisci un sassolino nella casella del riporto successiva e nessuno nella somma; 3) se non ce ne sono passa oltre; 4) itera il procedimento spostandoti a sinistra e se c’è un sassolino nel riporto inseriscine uno nella somma e uno nel successivo riporto se ci sono due sassolini negli addendi; inseriscine uno nella somma e nessuno nel riporto se non ce ne sono negli addendi; altrimenti inseriscine uno nella casella successiva del riporto e lascia libera la casella della somma. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici Somma in base 2 D’altro canto i computer non manipolano sassi, ma segnali elettronici. Possiamo sostituire quindi al posto dei sassi, fili con alta tensione per 1 e con bassa per 0, ma il procedimento rimane lo stesso: dobbiamo assegnare delle regole per combinare pietre o voltaggi! PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
• (0, 1) 7 ! (1, 0)
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici
• (1, 0) 7 ! (1, 0)
Somma in base 2
• (1, 1) 7 ! (0, 1)
Indipendentemente dal supporto materiale (dalla fisica) la matematica
Tale definizione
ci fornisce un modo semplice per descrivere queste regole può
2 2
f : {0,1} ⟶ {0,1} A1 A2 S R
(0,0) ⟼ (0,0) 0 0 0 0
FUNZIONE TAVOLA
(1,0) ⟼ (1,0) 1 0 1 0
BOOLEANA DI VERITÀ
(0,1) ⟼ (1,0) 0 1 1 0
(1,1) ⟼ (0,1) 1 1 0 1
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaAbaco e sassi, computer e segnali elettronici Somma in base 2 Quanto abbiamo ottenuto è il primo passaggio dal mondo reale dei sassi, o dei segnali elettronici, a quello astratto, matematico, delle funzioni booleane e delle corrispondenti tavole logiche di verità. Reale Matematico Fisico Logico PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Abaco e sassi, computer e segnali elettronici Somma in base 2 Ora possiamo fare un ulteriore salto ed esprimiamo tutto mediante un diagramma di tipo circuitale, sintesi dei ragionamenti appena esposti e latore di un linguaggio che si adatterà ancora meglio alle considerazioni che seguiranno. Reale Matematico Rappresentazione Fisico Logico circuitale PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Quanto abbiamo ottenuto è il primo passaggio dal mondo reale dei sassi, o ei segnali elettronici, a quello astratto, matematico, delle Abaco e sassi, computer e segnali elettronici funzioni booleane delle corrispondenti tavole logiche di verità. Ora facciamo un ulteriore salto Somma in base 2 d esprimiamo tutto mediante un diagramma di tipo circuitale, sintesi dei agionamenti appena esposti e latore di un linguaggio che si adatterà ancora meglio a quello che verrà utilizzato in seguito: Gli input A1 e A2 (addendi - stati fisici) attraverso due fili giungono ad una A1 S black-box che rappresenta un sistema Rappresentazione Somma fisico reale in grado di implementare la circuitale binaria tavola di verità mostrata in A2 R precedenza; quindi due segnali in uscita, output (stati fisici), S (somma) e R (riporto) escono da due fili. Figura 1.4: Circuito per addizione in base 2 a 1.4 sintetizza quanto esegue un computer PLS 2020-2021 per - Università eseguire degli quel studi di Pavia tipo di som- - Fisica ma: gli input A e B (addendi) attraverso due fili giungono ad una black-box
Tavole di verità e rappresentazioni circuitali
Le due colonne della somma binaria suggeriscono l’introduzione di due
connettivi logici: rispettivamente lo XOR e l’AND. Cominceremo da quest’ultimo
per introdurre i connettivi logici universali in modo poi da derivare lo XOR.
Figura 1.6: Tavola di verità relativa all’operat
2
AND f : {0,1} ⟶ {0,1} A B A^B
(0,0) ⟼ 0 0 0 0
(1,0) ⟼ 0 1 0 0 A
(0,1) ⟼ 0 0 1 0
1 1 1
(1,1) ⟼ 1
Normalmente esiste una rappresentazione specifica
gico- Università
PLS 2020-2021 a livello distudi
degli rappresentazione
di Pavia - Fisica circuitale. Nel caso d
questa risulta essereTavole di verità e rappresentazioni circuitali
Gli altri due operatori che andremo a descrivere sono OR e NOT perché in-
sieme all’AND rappresentano un sistema universale, ossia possiamo ottenere
qualsiasi altra operazione a partire da queste tre.
2
OR f : {0,1} ⟶ {0,1} A B A_B
(0,0) ⟼ 0 0 0 0
(1,0) ⟼ 1 1 0 1 O
(0,1) ⟼ 1 0 1 1
1 1 1
(1,1) ⟼ 1
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaTavole di verità e rappresentazioni circuitali
Gli altri due operatori che andremo a descrivere sono OR e NOT perché in-
sieme all’AND rappresentano un sistema universale, ossia possiamo ottenere
Figura 1.13: Tavola di verità rela
qualsiasi altra operazione a partire da queste tre.
NOT f : {0,1} ⟶ {0,1} A A
0⟼1 0 1 N
1⟼0 1 0
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
14Tavole di verità e rappresentazioni circuitali ESERCIZIO: costruire rappresentazioni analoghe per XOR, l’identità, COPY (duplica lo stato), NAND (not-and) e SWAP (scambia tra loro gli input). PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Tavole di verità e rappresentazioni circuitali Vediamo ora una possibile rappresentazione circuitale dell’operatore XOR A C A B C N O A⊕B N A PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Tavole di verità e rappresentazioni circuitali Consideriamo il caso in cui A = 1 e B = 0; in modo analogo si ottengono gli altri tre Registro superiore (A, B) = (1,0) ⟼ (1,1) ⟼ 1 L′operatore or : (1,0) ⟼ 1 Registro inferiore (A, B) = (1,0) ⟼ (0,0) ⟼ 0 In definitiva si dimostra che il circuito rappresentato implementa l’operatore XOR per mezzo degli operatori Copy (non necessaria nella realizzazione fisica del circuito), Not, And e Or. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Termodinamica del calcolo Bennett: “Nel diciannovesimo secolo il calcolo era pensato come un processo mentale, non meccanico. Di conseguenza, la termodinamica del calcolo, se qualcuno si fosse fermato a chiederselo, probabilmente non sarebbe sembrata più urgente come argomento di indagine scientifica della, diciamo, termodinamica dell'amore. Tuttavia, il bisogno di pensare seriamente alla termodinamica dei processi percettivi e mentali è stato imposto alla scienza dal famoso paradosso del demone di Maxwell.” Bennett: “Una prova della reversibilità termodinamica del calcolo richiede non solo di mostrare che le operazioni logicamente irreversibili possono essere evitate, ma anche di mostrare che, una volta che il calcolo è stato reso nel formato logicamente reversibile, qualche hardware effettivo, o qualche modello teorico fisicamente ragionevole, può eseguire la catena risultante di operazioni logicamente reversibili in modo termodinamicamente reversibile.” PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile Fredkin-Toffoli: “… eseguendo l'operazione AND si cancella generalmente una certa quantità di informazioni sul passato del sistema. Contrariamente all'irreversibilità della funzione AND e di altre operazioni logiche comuni, si presume che le leggi dinamiche fondamentali alla base di tutti i fenomeni fisici siano strettamente reversibili.” Domanda: esiste un modo per rendere gli A operatori logici introdotti reversibili? PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile CERTAMENTE!!! L’idea è quella di introdurre input ausiliari e della “spazzatura” (garbage) in modo che la funzione associata all’operatore logico non invertibile risulti ora biettiva. Figura 1.23: Realizzazione PLS 2020-2021 - Università deglicircuitale originale studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile
Porta di Toffoli (CCNOT)
Porta Universale
3 3
f : {0,1} ⟶ {0,1}
(A, B, C) ⟼ (A, B, C ⊕ AB)
(1,1,C) ⟼ (1,1,C)
ESERCIZIO: costruire la tavola di verità della CCNOT
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaLogica reversibile ESERCIZIO (Fondamentale): ricavare per mezzo delle tavole di verità NOT, AND e OR come casi particolari di CCNOT. SOLUZIONI: NOT(A)=CCNOT(1,1,A) AND(A,B)=CCNOT(A,B,0) OR(A,B)=NOT(AND(NOT(A),NOT(B)))= =CCNOT(1,1,CCNOT(CCNOT(1,1,A),CCNOT(1,1,B),0)) PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile A questo punto siamo quasi in grado di dare una rappresentazione circuitale reversibile del nostro primo problema: la somma in base 2. Manca ancora un piccolo ingrediente! CNOT: un’altra porta logica reversibile che risulterà fondamentale in FQ è la CNOT (cambio B solo se A=1), anch’essa ottenibile come caso particolare di porta di Toffoli. CNOT(A,B)=CCNOT(1,A,B) PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile Realizzazione circuitale reversibile della somma binaria (C = 0) PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Logica reversibile
Porta di Fredkin
Universale, invertibile e conservativa (conserva 0 e 1)
3 3
f : {0,1} ⟶ {0,1}
(A, B, C) ⟼ (A, AB ⊕ AC, AB ⊕ AC)
ESERCIZIO: costruire la tavola di verità della porta di Fredkin
ESERCIZIO: ricavare per mezzo delle tavole di verità NOT, AND e OR
come casi particolari di Fradkin-gate.
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaTermodinamica della computazione Uno dei modi per inquadrare la termodinamica della computazione è pensare a un qualunque componente elettronico digitale attuale come ad un oggetto che, astrattamente, utilizza energia elettrica, e processa informazione, dissipando energia. La domanda è: se vi fosse un modo di ridurre arbitrariamente la dissipazione ??? di calore dovuta all’assorbimento di energia elettrica, vi sarebbe comunque un costo, in termini di incremento dell’entropia, dovuto solo alle operazioni computazionali in sé? PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
La situazione è spesso schematizzata pensando a “celle di memoria minimali” nelle quali i valori binari sono codificati in base alla presenza di una singola molecola in una delle due partizioni di una piccola scatola. Questi oggetti vanno pensati come scatole contenenti un gas perfetto formato da una singola molecola, e la loro origine risiede nel paradosso di Szilard, che è una versione di quello del demone di Maxwell. Da queste “celle di memoria” è possibile estrarre lavoro se il valore del bit è conosciuto. Il procedimento ipotetico consiste nel comprimere la scatola nella parte dove la molecola non è presente, rimuovere la partizione e lasciare espandere il “gas” attraverso una espansione isoterma. In questo modo, si ottiene un lavoro = ln2 alle spese di una uguale quantità di calore sottratta all’ambiente, e senza un incremento dell’entropia dell’universo. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Il paradosso di Szilard risiede chiaramente nel fatto che, se tale processo potesse essere reso ciclico, si otterrebbe una palese violazione del secondo principio della termodinamica, e la possibilità di ottenere un moto perpetuo del secondo tipo. Il punto critico risiede nel fatto che, dopo aver estratto lavoro dalla cella, per resettarla allo stato iniziale occorre reinserire la partizione e sapere in quale delle due parti si trova la molecola, altrimenti la macchina non funzionerà. Per questa ragione, per un certo tempo si è ritenuto che l’operazione in linea di principio irreversibile che inteviene nel ciclo della macchina di Szilard fosse quella della misura. Tuttavia, il lavoro dei pionieri della “computazione reversibile” ha permesso di chiarire meglio la situazione. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Per comprendere meglio il problema consideriamo di voler implementare, sulle nostre celle di
memoria, l’operazione di resettare un bit inizialmente ignoto a un valore standard, diciamo 0.
Nel linguaggio schematico che abbiamo precedentemente utilizzato, l’operazione è la seguente
: {0,1} ⟶ {0,1}
Bit reset (R) 0⟼0
1⟼0
Notiamo che la funzione che rappresenta questa operazione non è iniettiva, e
corrispondentemente, dal punto di vista matematico, non invertibile.
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaSe vogliamo che la nostra “porta logica” funzioni senza conoscere a priori il valore del bit che andrà a resettare (e questo è il punto fondamentale), quello che dobbiamo fare è l’operazione seguente 1 0 Rimozione della partizione L’ o p e r a z i o n e d i “ b i t r e s e t ” ∆ = ln2 comporta quindi un’incremento Compressione isoterma L = − ln2, netto dell’entropia dell’universo Q = − ln2, trasferimento di entropia pari a ∆ = ln2 ∆ = ln2 dal sistema all’ambiente 0 PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Tuttavia, si potrebbe pensare di implementare il “bit reset” in un modo differente. In effetti, si può mostrare che l’operazione di invertire un bit già noto non comporta in linea di principio alcuna irreversibilità: E’ sufficiente comprimere la parte di scatola in cui la molecola non si trova (zero costi energetici o entropici), rimuovere la partizione, molto lentamente spostare utilizzando entrambi i pistoni la particella da un lato all’altro mantenendo un volume costante, reinserire la partizione, riestrarre il pistone dalla parte dalla quale la particella non si trova più. E d’altra parte, fa notare Feynman, anche la funzione NOT (computazionalmente reversibile) che consiste nell’invertire un bit, quale che sia il suo valore iniziale, può essere portata a termine senza costi entropici, semplicemente ruotando la scatola o immaginando una partizione interna in grado di ruotare su se stessa (meglio se la scatola fosse sferica) PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
L’idea quindi potrebbe essere: implementiamo il “bit reset” nel modo seguente: una porta che, se il bit è già a zero, non fa nulla, mentre se è ad 1, opera una inversione di bit (reversibile). A questo punto, l’operazione di bit reset diverrebbe reversibile e opererebbe a zero costo entropico. L’intuizione di Bennett fu sostanzialmente la seguente: una macchina in grado di operare in modi diversi a seconda di una certa condizione, è una macchina a stati finiti e come tale ha bisogno di almeno un bit di memoria che rappresenti il proprio stato, ossia lo stato nel quale sta operando, o se vogliamo il valore della misura che ha portato la macchina in questo stato. La situazione della macchina per “bit reset” diverrebbe quindi la seguente: Bit in ingresso Bit stato macchina Bit in ingresso Bit stato macchina Non fare niente Inverti reversibilmente il bit PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica in ingresso
Ma a questo punto abbiamo solo spostato il problema dal bit in ingresso al bit della macchina, perché
adesso è il bit dello stato della macchina che deve essere resettato, altrimenti all’arrivo del
successivo bit da resettare, la macchina dovrebbe compiere un’operazione diversa a seconda di quale
è lo stato del bit in ingresso e di quale è lo stato del bit della macchina! Infatti, copiare il bit in
ingresso sul bit di stato della macchina è anche esso un’operazione di reset (non cambia niente se si
vuole portare uno stato ignoto a zero o a uno) controllata dal valore del bit in ingresso.
2 2
: {0,1} ⟶ {0,1} Non è una funzione iniettiva… lo
Reset controllato
(copia A su B)
(0,0) ⟼ (0,0) diventa solo se il bit di stato (B)
viene resettato inizialmente allo
(1,0) ⟼ (1,1) stato standard (0).
(0,1) ⟼ (0,0)
(1,1) ⟼ (1,1)
Dovremmo quindi aggiungere un altro bit di memoria che copi il bit di stato su un secondo bit di
stato… ma a questo punto dovremmo aver capito il meccanismo
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaSegue che, in effetti, l’operazione di “bit reset”, matematicamente non invertibile, deve essere considerata anche fisicamente irreversibile. Questo fatto è noto come principio di Landauer, del quale possiamo dare la seguente formulazione: Una macchina che compia l’operazione di riportare un bit ad un valore standard, quale che sia il suo valore iniziale, perdendo l’informazione contenuta nel bit, genera un aumento irreversibile dell’entropia dell’ambiente (cioè non compensato da una corrispondente riduzione di entropia della macchina) pari ad almeno ∆ = ln2. Tale costo entropico è generalmente associato (come nel nostro semplice esempio della macchina per il bit reset) ad una dispersione di calore nell’ambiente pari ad almeno = ln2. Abbiamo quindi ottenuto una fondamentale connessione tra la invertibilità (matematica) delle funzioni computazionali, e la reversibilità (fisica) dei processi che le realizzano: L’operazione di “bit reset“, che viene chiamata più semplicemente, per ovvi motivi, “cancellazione di un bit“, è matematicamente non invertibile, e fisicamente irreversibile. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
Bit stato macchina Bit di lavoro Bit stato macchina Quanto visto è anche la chiave per fornire la soluzione dell’apparente paradosso rappresentato dalla macchina di Szilard. Come nel caso del tentativo fallito di costruire un bit reset reversibile, la macchina deve avere uno stato che le indichi quale delle due possibii operazioni di compressione deve compiere (frecce rosse). Lo stato della macchina è ottenuto copiando il bit della scatola di lavoro sul bit della macchina, operazione che può essere reversibile solo se il bit stato macchina è inizialmente a zero. Ma al termine del ciclo, il bit di stato della macchina non è necessariamente a zero, e deve quindi essere resettato. Questo provocherà il costo entropico necessario e rendere la macchina compatibile con il secondo principio; o altrimenti, se il bit non viene resettato, lo stesso costo entropico dovrà essere fornito dall’operazione di copia (frecce blu) che in questo caso non potrà più essere reversibile. Bit reset! PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
L’unico “gap” che rimane ancora aperto nel precedentemente ragionamento è quello di mostrare che
effettivamente, l’operazione matematicamente invertibile di copiare un bit su un altro che si trova in
uno stato standard è fisicamente reversibile.
2
Copia A su B, dove
: {0,1} × {0} ⟶ {0,1}
Notiamo, di passaggio, che poiché non abbiamo
B è certamente a (0,0) ⟼ (0,0) ingressi con il bit B a 1, l’operazione può essere
realizzata da una porta CNOT
zero
(1,0) ⟼ (1,1)
Non è semplice mostrarlo in modo
convincente utilizzando la
rappresentazione dei gas in una
scatola, perché una tale
operazione richiede l’interazione
di due scatole, e il sistema fisico
disponibile è davvero troppo
idealizzato.
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaBennett (1982) ha fornito un esempio, utilizzando un sistema microscopico ma più realistico, costituito da un singolo dominio ferromagnetico. In questo caso il “movable bit” , posto inizialmente a zero, viene fatto passare attraverso un campo magnetico trasverso, che ne rompe la bistabilità portandolo in uno stato instabile, dopodichè avvicinandosi al “data bit” esso viene attirato allo stato ad esso corrispondente. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
In conclusione…. I costi entropici ineliminabili in qualunque macchina capace di processare l’informazione sono quelli dovuti alla cancellazione di informazione presente nel sistema. Gli altri costi potrebbero essere, almeno in linea di principio, ridotti arbitrariamente senza violare il secondo principio della termodinamica (Landauer, 1961). Anche se il limite di Landauer di KT ln2 Joule/bit cancellato è estremamente distante dalla dissipazione attuale dei computer (valutabile in circa 106 kT Joule/bit flip), gli argomenti teorici esposti precedentemente hanno stimolato la ricerca di architetture logiche reversibili, ossia capaci di processare informazione solo attraverso operazioni matematicamente invertibili. PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - Fisica
RIASSUMENDO
1. Informazione e calcolo sono concetti fisici.
2. La loro rappresentazione matematica fin dalle origini è descrivibile mediante la logica classica.
3. La descrizione tradizionale (FQ) degli operatori pone il problema (fisico-matematico)
della reversibilità:
n m
f : {0,1} ⟶ {0,1}
4. È possibile introdurre una nuova logica reversibile per sanare la precedente incongruenza:
f : {0,1}n+m ⟶ {0,1}m+n
5. Lo studio della termodinamica del calcolo mostra che l’unica operazione teoricamente
irreversibile è la cancellazione dell’informazione.
PLS 2020-2021 - Università degli studi di Pavia - FisicaPOSSIBILI PERCORSI Possibili approfondimenti Argomenti Concetti chiave curricolari Logica classica: operatori Logica della fisica classica. Approfondimenti sulla logica logici reversibili, circuiti logici Logica reversibile. classica. Logica reversibile. Approfondimenti sulla programmazione classica. Componenti elettronici e porte Fisica del calcolo. Approfondimenti sulla logiche: implementazione tecnologia delle porte logiche circuiti logici (cenni) classiche. Termodinamica: secondo Invertibilitá Presentazione microscopica principio, dissipazione energia, termodinamica. del secondo principio della principio di Landauer termodinamica e entropia di Boltzman. Demone di Maxwell. Billard-Ball computer.
Bibliografia essenziale Nielsen, M. A., & Chuang, I. (2002). Quantum computation and quantum information. Deutsch, D. (1985). Quantum theory, the Church–Turing principle and the universal quantum computer. Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences, 400(1818), 97-117. Bennett, C. H. (1982). The thermodynamics of computation—a review. International Journal of Theoretical Physics, 21(12), 905-940. Fredkin, E., & Toffoli, T. (1982). Conservative logic. International Journal of theoretical physics, 21(3-4), 219-253. Borzacchini, L. (2005). Il computer di Platone. Feynman, R. P. (2018). Feynman lectures on computation. CRC Press. Bennett, C. H. (1988). Notes on the history of reversible computation. ibm Journal of Research and Development, 32(1), 16-23. Orvalho, J. (2017, July). Computational thinking for teacher education. In Scratch2017BDX: Opening, inspiring, connecting (p. 6). Hill, R. K. (2016). What an algorithm is. Philosophy & Technology, 29(1), 35-59.
Puoi anche leggere
