Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Dualismo onda-particella - Fisica II ...
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Relatività speciale (o ristretta)
Radiazione di corpo nero
Effetto fotoelettrico
Effetto Compton
Dualismo onda-particella
Fisica II - Chimica
Teoria della Relatività La teoria della relatività studia la misura di eventi (cose che accadono): dove e quando accadono e quanto tali eventi sono separati nello spazio e nel tempo. Inoltre la relatività analizza come tali misure si trasformano tra sistemi di riferimento che si muovono relativamente uno rispetto all’altro (da qui la denominazione relatività). Einstein dimostrò che lo spazio ed il tempo sono entangled, cioè correlati (ovvero non-separabili): il tempo che intercorre tra due eventi dipende da quanto essi sono distanti tra loro (e viceversa). Questo effetto (entanglement) è diverso per osservatori in moto relativo uno rispetto all’altro. Fisica II - Chimica
Relatività galileiana
Principio di relatività: Le leggi della fisica rimangono
inalterate in sistemi di riferimento inerziali (sistemi che
si muovono a velocità costante uno rispetto all’altro)
Assunzioni: La lunghezza di
un oggetto e gli intervalli di
tempo sono grandezze
assolute (valore non muta
passando da un sistema di
riferimento all’altro)
Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti !
Anomalia:
Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della
luce sia costante (c=3108m/s) !
Apparentemente esse non obbediscono al principio di relatività.
Fisica II - Chimica
Teoria della relatività speciale
Postulati di Einstein (1905)
I postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono
le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
II postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel
vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento
inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o
dalla velocità della sorgente di luce.
Il primo è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo generalizza
l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una
velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le
supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell'eccitazione si muove
rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio,
non essendovi l'etere, è omogeneo e isotropo.
Il II postulato contraddice il “senso comune”: un osservatore che
si allontana ed uno che sta fermo rispetto alla medesima sorgente
luminosa, misureranno la medesima velocità della luce ! (ricordare
l’esperimento di Michelson-Morley)
La teoria è definita “speciale” per distinguerla dalla successiva,
cosiddetta “generale” che tratta di sistemi di riferimento non
Fisica II - Chimica inerziali, cioè soggetti ad accelerazioni.
Simultaneità
Due navi spaziali con osservatori (Sally e
Sam) posti al centro della navi si
allontanano con velocità v (Sally rispetto
a Sam).
Due meteoriti colpiscono le navi
provocando un bagliore rosso (R) e uno
blu (B) e una traccia permanente su esse.
Gli eventi sono simultanei per Sam.
Gli eventi non sono simultanei per Sally.
Gli intervalli di tempo tra due eventi
dipendono dalla distanza a cui avvengono
sia nello spazio che nel tempo:
le loro separazioni spaziali e temporali
sono entangled.
La simultaneità non è un concetto assoluto, ma relativo
Fisica II - Chimica
Dilatazione dei tempi
Dentro la nave spaziale
Sulla terra (v=velocità nave spaziale) 2D
D t0
2 L vDt e il percorso luce 2 D 2 L2 c
2 D 2 L2 4 D 2
Dilatazione dei tempi
c c2 v2
Dt Dt
2 Orologi in moto rispetto ad un
osservatore sono visti
2D Dt0 (dall’osservatore) muoversi più
Dt lentamente.
1 v2 c2 1 v2 c2
Tempo proprio: tempo misurato
1 in un sistema di riferimento
fattore di
solidale al fenomeno di cui si
1 v2 c2 Lorentz
Fisica II - Chimica misura la durata.
Contrazione delle lunghezze
L0
Dalla terra Dt
v
Dentro la nave
spaziale, il tempo
proprio è
D t0 D t
deve quindi essere L vDt0 vDt 1 v 2 c 2 L0
1
Contrazione delle lunghezze
1 v2 c2
La lunghezza di un oggetto è minore quando esso si muove rispetto
all’osservatore, rispetto al caso in cui è a riposo (la contrazione si
osserva solo nella direzione del moto).
L0=lunghezza propria: lunghezza di un oggetto determinata da
osservatori a riposo rispetto ad essa.
Fisica II - Chimica
Spazio-Tempo quadrimensionale
In un certo senso la dilatazione dei tempi e la
contrazione delle lunghezze si “controbilanciano”: visto
dalla Terra, un oggetto ciò che perde in dimensioni lo
“guadagna” nella dilatazione della durata dell’evento.
Ciò conduce all’idea di uno spazio-tempo
quadridimensionale , ovvero lo spazio ed il
tempo sono intimamente connessi (entangled).
Questo non vuol dire che non vi è distinzione tra
spazio e tempo, piuttosto la relatività mostra che
la determinazione dello spazio e del tempo non sono
tra loro indipendenti.
Fisica II - Chimica
Trasformazioni di Lorentz
In un caso unidimensionale le
trasformazioni Galileiane prevedono:
x x vt Il tempo scorre allo stesso ritmo
per tutti. Questa affermazione
t t è vera solo per v
Momento ed energia relativistici
Dx Dx Dt Dx m0 v
p m0 v m0 m0 m0
Dt0 Dt Dt0 Dt 1 v2 c2
m0 v m0
p m0 c mrel m0
2 2 2 2
1 v c 1 v c
momento relativistico massa relativistica
m0 c 2
KE m0 c 2 m0 c 2 m0 c 2 1 m0 c 2
1 v2 c2
energia relativistica
m0 c 2
E m0 c 2 m0 c 2 KE
1 v2 c2
energia della
Fisica II - Chimica massa a riposoTransizione Fisica Classica Quantistica
1873 Maxwell: teoria dell’elettromagnetismo
1880 Michelson-Morley: nessun etere
1885 Balmer: righe emissione H in serie (curiosa)
1897 Thomson: scoperta elettrone
1901 Planck: discretizzazione energia oscillatori
(corpo nero)
1905 Einstein: quantizzazione energia radiazione
(effetto fotoelettrico)
1911 Rutherford: atomo dotato di nucleo
1913 Bohr: quantizzazione energia elettroni nell’atomo
1923 Compton: aspetto corpuscolare della radiazione
1924 De Broglie: onde di materia
1926 Schroedinger: meccanica quantistica ondulatoria
Fisica II - ChimicaFisica Quantistica
Su scala microscopica gli oggetti (corpi) si comportano
in modo MOLTO diverso !
L’energia è discreta, non è più continua
Si può calcolare solo la probabilità che un evento
avvenga (non vale il determinismo Newtoniano)
Le particelle “sembrano” essere in due posti
contemporaneamente
Se cerchiamo di “misurare” un fenomeno ne
alteriamo totalmente lo stato
Tutto ciò è contrario al “senso comune” (intuito),
tuttavia l’intuizione è basata sulla nostra diretta
percezione, ma noi non abbiamo una diretta percezione
del mondo microscopico .....
Fisica II - ChimicaRadiazione di Corpo Nero
La potenza totale di radiazione emessa
aumenta con la temperatura P AeT 4
Il picco della distribuzione delle lunghezze
d’onda si sposta verso lunghezze d’onda più
corte al crescere della temperatura (legge di
Wien) 3
lmaxT 2. 898 10 m K
Fisica II - ChimicaRadiazione di Corpo Nero
Teoria classica: energia equipartita tra i modi di oscillazione (che
crescono in numero con la frequenza) ed associata all’intensità dell’onda
elettromagnetica) “catastrofe ultravioletta” in disaccordo con
l’esperienza
Ipotesi di Planck (1900): energia associata ad oscillatori sulla superficie
del corpo nero (cariche elettriche) che però è quantizzata (discreta)
En = n h
n numero quantico (n=1,2, ...)
h = costante di Planck
f = frequenza di oscillazione dell’oscillatore
Gli oscillatori emettono e assorbono energia in quantità discrete, ovvero,
un oscillatore irradia o assorbe solo quando cambia stato quantico
Il modello funziona ! (Ottimo accordo con l’andamento sperimentale della
emissione di corpo nero)
Tuttavia Planck stesso lo considerò quasi un espediente matematico per
risolvere una discrepanza.
Solo anni più tardi l’idea fu ripresa e sviluppata da Einstein
Fisica II - ChimicaRadiazione di Corpo Nero
Planck definì la funzione emissione spettrale R(l), tale che il
potere emissivo I(T) del corpo nero sia:
2p c 2 h 1
I T R l , T d l essendo R l , T
0 l5 e hc l kT 1
La costante h (6.6310-34J·s)fu introdotta da Planck supponendo
che l’energia dei moti oscillatori degli atomi della parete interna
della cavità fosse quantizzata con valore pari a multipli di h,
essendo la frequenza della radiazione emessa e assorbita dagli
Fisica II - Chimica
oscillatori.Esperimento:
Effetto fotoelettrico
luce incidente su superfici metalliche emissione fotoelettroni
sia 1 l’istante di fuoriuscita dell’elettrone
sia 2 l’istante di arrivo sulla placca
l’energia si deve conservare: E1 = E2 cioè K1 + U1 = K2 + U2
Kmax + 0 = 0 + (-e)(-DVa) Kmax = eDVa
Potenziale di arresto
Va
Fisica II - ChimicaEffetto fotoelettrico Dipendenza energia cinetica fotoelettroni dall’intensità di luce Esperimento: Energia cinetica max indipendente dall’intensità (potenziale d’arresto indipendente dall’intensità) Previsione Classica: Energia elettroni Intensità luminosa • Ritardo temporale emissione fotoelettroni Esperimento: praticamente istantaneo Previsione Classica: con luce debole ci deve essere un ritardo Dipendenza dell’emissione di elettroni dalla frequenza della luce Esperimento: se < min nessuna emissione Previsione Classica:nessuna dipendenza specifica Dipendenza energia cinetica elettroni dalla frequenza della luce Esperimento: energia cinetica cresce con la frequenza della luce Previsione Classica: nessuna relazione (dipende solo dall’intensità della luce) Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico: modello di Einstein
Ipotesi dei fotoni: la luce di frequenza può essere considerata come
una corrente di quanti altrimenti detti fotoni che si muovono a velocità
della luce c = 3.0 x 108 m/s
Ciascun fotone ha una energia E = h, h è la costante di Planck
Nel modello di Einstein un fotone cede tutta la sua energia ad un singolo
elettrone del metallo: l’assorbimento non è un processo continuo !
Gli elettroni saranno emessi con energia K
f è l’energia di estrazione del metallo max h f
lunghezza d’onda di taglio c c hc
lt
Fisica II - Chimica t f h fEffetto Compton (1923)
Secondo Einstein il
fotone trasporta una
quantità di moto
E/c = hf/c Diffusione di raggi X
da elettroni di un
Compton verificò bersaglio di grafite
impossibilità teoria
classica di spiegare la
diffusione di raggi X
da parte di elettroni
Fisica II - ChimicaEffetto Compton
Ipotesi di Compton: il fotone si
comporta come una particella di
energia h e quantità di moto
h/c, l’esperimento è descritto
come un urto tra tra due particelle
(elettrone/fotone)
2
mv h
Einiz E fin h mc h K rel pelettr p fot
1 v c
2 l
hc hc 1 h h mv
mc 2 1 asse x : cos f cos
l l 1 v c 2 l l 1 v c
2
h mv
asse y : 0 sin f sin
l 1 v c
2
eliminando v e , e risolvendo
h
Fisica II - Chimica
Dl l l 1 cos f
mcEffetto Compton
Verifica sperimentale:
h
l ' l0 1 cos
me c
h
lC 0.00243 nm
me c
L’effetto Compton comporta l’analisi sia
dell’energia che del momento del fotone,
costituendo un supporto ancora più solido alla
teoria del fotone.
Nel 1927 fu dimostrato che lo “spostamento”
Compton poteva essere previsto senza
introdurre il concetto di fotone.
Fisica II - ChimicaEsistenza del Fotone
Benchè il concetto di fotone fu introdotto nel 1905 la prova
sperimentale (totalmente convincente) fu ottenuta solo nel 1986 !
Anticoincidenza
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Problemi di fluttuazioni d’intensità della luce
emessa dalla sorgente
Fisica II - ChimicaFotoni “designati” (1986)
50%
sorgente debole
(fotoni singoli)
Fisica II - ChimicaFotoni e onde Togliendo/inserendo il beamsplitter (divisore di fascio) si commuta tra comportamento corpuscolare e ondulatorio !!! Scelta differita: finchè la luce è un ente in transito non ha senso adottare un modello descrittivo (corpuscolare/ondulatorio), ma dipenderà solo dalla successiva interazione con uno o più oggetti. Fisica II - Chimica
La luce è un’onda o una particella ?
• Onda
– I campi elettrico e magnetico si comportano come onde
– Sovrapposizione, Interferenza e Diffrazione
• Particella
– Fotoni
– Collisioni con elettroni nell’effetto fotoelettrico e Compton
Quindi: tavolta Particella, talvolta Onda
La teoria del fotone e la teoria ondulatoria della
luce sono complementari !
Fisica II - ChimicaProprietà ondulatorie delle particelle
Ipotesi di De Broglie: poichè i fotoni hanno caratteristiche ondulatorie e
corpuscolari, forse tutte le forme di materia hanno sia proprietà
ondulatorie che corpuscolari
La relazione tra energia e quantità di moto per un fotone vale p = E/c
quindi usando la relazione di Einstein si ha
E hf hc h
p
c c cl l
Poichè il modulo della quantità di moto di una particella non relativistica è
p = mv, la lunghezza d’onda di De Broglie della particella è
h h E
l e, in analogia con il fotone ( Einstein) f
p mv h
Nel 1927, tre anni dopo la formulazione dell’ipotesi di De Broglie,
Davisson e Germer riuscirono a misurare sperimentalmente la lunghezza
d’onda degli elettroni, confermando tale ipotesi, anche se lo scopo
originario del loro esperimento non era questo.
La natura ondulatoria di altre particelle, quali neutroni e atomi di elio e
idrogeno fu anche osservata successivamente.
Fisica II - ChimicaDoppia fenditura di Young
d
Sorgente di
elettroni
monoenergetici L
2 fenditure
separate da d Schermo a
distanza L
Fisica II - ChimicaDoppia fenditura di Young Fisica II - Chimica
Natura Ondulatoria della Materia
Anche se passa un solo elettrone alla volta si osservarà una figura di
diffrazione
Se osserviamo (“misuriamo”) da quale fenditura passa l’elettrone (cioè
le fenditure sono abbastanza separate) si “distrugge” la figura di
interferenza (cioè l’aspetto ondulatorio)
Fisica II - ChimicaDiffrazione di raggi X e elettroni da cristalli
Apparato sperimentale
Elettroni di eguale lunghezza d’onda
Raggi X di lunghezza d’onda l l=h/p
(ottenuti accelerandoli a velocità appropriata)
Pressochè
identici !
Fisica II - ChimicaEsempio
Valutare gli effetti di diffrazione cui può essere soggetto uno studente del peso di
80 kg nell’attraversare una apertura larga 75 cm (si assuma significativo l’effetto
quando la larghezza dell’apertura è 10 volte inferiore a l). Determinare:
a) Velocità min con cui attraversare l’apertura
b) Tempo per l’attraversamento (apertura di spessore 15 cm)
c) Lo studente si deve preoccupare ?
h h
a) lunghezza d’onda studente l
e w = apertura porta, deve essere
p mv
h h 6.626 1034 J s
w 10l 10 v 10 10 1.110 34 m s
mv mw 80 kg 0.75m
b) d 0.15m 33
Dt 34
Dt 1.36 10 s
v 1.1 10 m s
c) NO ! Il tempo minimo per osservare effetti di diffrazione dello studente
(«sparpagliamento» della sua funzione d’onda) è 1015 volte più lungo dell’età
dell’universo (stimata 4 x 1017 s)
Fisica II - ChimicaConseguenze della teoria quantistica:
Energia-Momento del Fotone + Dualismo Onda-Particella
Principio di Indeterminazione di Heisenberg
Fisica II - ChimicaPrincipio di indeterminazione di
Heisenberg
Se si esegue una misura di posizione di una particella con
indeterminazione Dx e una simultanea di quantità di moto con
indeterminazione Dpx, allora il prodotto delle due
indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2
Dx Dpx
2
È fisicamente impossibile misurare
contemporaneamente la posizione esatta e la
quantità di moto esatta di una particella
Addio descrizione deterministica !!!
Fisica II - ChimicaPrincipio di indeterminazione di Heisenberg
Concetto di traiettoria:
Infinito è il numero di traiettorie che
congiungono A con B, però solo le onde
che seguono cammini molto prossimi
alla congiungente presentano
interferenza costruttiva nel punto B.
Fisica II - ChimicaEstensione del principio di
indeterminazione di Heisenberg
Sostituendo Dx con Dt e Dp con D (localizzazione nel tempo):
D 2pD e E h
h
DE Dt
2p
Non è possibile determinare contemporaneamente, con
precisione illimitata, sia l’energia sia la coordinata
temporale di una particella.
Mentre, in un atomo, lo stato fondamentale ha una energia ben
precisa (il tempo di permanenza in tale stato è lunghissimo)
l’energia degli stati superiori (“eccitati”) è definita con minor
precisione (tempo di esistenza più limitato).
Tempo di misura finito indeterminazione DE (h/2p)/Dt
Fisica II - ChimicaIl gatto di Schroedinger
• un paradosso della meccanica quantistica
ovvero
• quando il “senso comune” non ci aiuta a risolvere i
problemi !
veleno
Fisica II - ChimicaIl gatto di Schroedinger • Alcuni elementi sono “instabili” e decadono (si trasformano) in altri dopo un certo tempo • Queste sostanze sono dette radioattive. • esempio: 13N (azoto) decade in 13C (carbonio) + 1 elettrone + 1 anti- neutrino Il tempo caratteristico di queste reazioni è detto tempo di dimezzamento (half-life): tempo necessario perchè avvengano la metà degli eventi di decadimento Il tempo di dimezzamento di 13N è 10 minuti ! Se abbiamo un gran numero di atomi di 13N , allora, dopo 10 min, vi è per un generico atomo una probabilità del 50% di essersi trasformato in 13C (equivalente a giocare con una moneta a testa o croce). Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
• Domanda: dati due atomi 13N, che differenza c’è tra loro dopo 10 min ?
• Risposta: uno è diventato 13C, l’altro no. (banale !!!)
• Domanda: quale è la differenza tra i due atomi, prima dei 10 min ?
• Risposta (meccanica quantistica, scuola di Copenaghen): Nessuna
• Risposta (Einstein): Dio non gioca a dadi ! (la meccanica quantistica o
meglio le sue conseguenze sono errate !)
Fisica II - ChimicaIl gatto di Schrödinger • Immaginiamo che esista un apparato contenente atomi di 13N ed un rivelatore che rivela quando uno degli atomi è decaduto radiativamente • Connesso al rivelatore vi è un relè connesso ad un martello che, all’atto del decadimento di un atomo, si attiva facendo cadere il martello che colpisce un’ampolla contenente del gas velenoso. • Tutto l’apparato è posto in un contenitore insieme ad un gatto, ed aspettiamo 10 minuti • Allo scadere esatto dei 10 min ci chiediamo: Il gatto è vivo o morto ? • Risposta (meccanica quantistica): è 50% vivo e 50% morto Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger • Conclusioni: • Fintantochè non apriamo la scatola non possiamo conoscere quale delle due possibilità si è verificate • In gergo quantistico si dice che il sistema è collassato in uno stato • È l’interazione con l’osservatore (misura) che fa collassare il sistema in uno dei due stati • In un certo senso è una conclusione molto spiacevole perchè si perde il senso della certezza che un evento avvenga. • Bisogna imparare a descrivere i fenomeni in termini di probabilità degli stessi ! Fisica II - Chimica
Una interpretazione della meccanica quantistica
• Consideriamo le onde elettromagnetiche come particelle (fotoni):
• La probabilità di trovare un fotone in una certa regione dello spazio è
probabilità N fotoni
inoltre
volume V
N fotoni probabilità
I E2 quindi E2
V volume
• La probabilità per unità di volume di trovare una particella associata con
la radiazione (fotone) è al quadrato dell’ampiezza dell’onda
• Sulla base del dualismo onda-corpuscolo riteniamo che la stessa cosa
debba valere anche per una particella
• Esisterà un’onda associata ad ciascuna particella, la cui ampiezza è
associata alla probabilità di trovarla in una certa regione dello spazio
• Chiamiamo questa onda: funzione d’onda
• In generale potrà avere valori anche complessi ma ||2= * sarà
sempre un numero reale positivo, proporzionale alla probabilità
Fisica II - ChimicaEquazione di Schrödinger
2 2
i r, t 2
V (r ) r, t
t 2m r
• Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
• Noto U e si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.
Fisica II- ChimicaEffetti quantistici
• La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico
NON È totalmente deterministica (probabilistica)
• L’osservazione stessa influisce sull’esperimento
• Le particelle si comportano come onde e le onde come
particelle
– Effetto Foto-elettrico
» Elettroni espulsi dal metallo dai fotoni
» Fotoni di comportano come particelle
– Generalizzazione di De Broglie:
» la materia si comporta come un’onda
» diffrazione elettronica
» qualunque cosa possiede una lunghezza d’onda l=h/p
– Equazione di Schrödinger, per la descrizione della
dinamica quantistica
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