Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Dualismo onda-particella - Fisica II ...

 
Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Dualismo onda-particella - Fisica II ...
 Relatività speciale (o ristretta)
                       Radiazione di corpo nero
                       Effetto fotoelettrico
                       Effetto Compton
                       Dualismo onda-particella
Fisica II - Chimica
Relatività speciale (o ristretta) Radiazione di corpo nero Effetto fotoelettrico Effetto Compton Dualismo onda-particella - Fisica II ...
Teoria della Relatività
   La teoria della relatività studia la misura di eventi
   (cose che accadono): dove e quando accadono e quanto
   tali eventi sono separati nello spazio e nel tempo.
   Inoltre la relatività analizza come tali misure si
   trasformano tra sistemi di riferimento che si
   muovono relativamente uno rispetto all’altro (da qui la
   denominazione relatività).
   Einstein dimostrò che lo spazio ed il tempo sono
   entangled, cioè correlati (ovvero non-separabili):
   il tempo che intercorre tra due eventi dipende da quanto essi
   sono distanti tra loro (e viceversa).
   Questo effetto (entanglement) è diverso per
   osservatori in moto relativo uno rispetto all’altro.
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Relatività galileiana
  Principio di relatività: Le leggi della fisica rimangono
  inalterate in sistemi di riferimento inerziali (sistemi che
  si muovono a velocità costante uno rispetto all’altro)
                                            Assunzioni: La lunghezza di
                                            un oggetto e gli intervalli di
                                            tempo sono grandezze
                                            assolute (valore non muta
                                            passando da un sistema di
                                            riferimento all’altro)

  Tutti i sistemi di riferimento inerziali sono equivalenti !

  Anomalia:
  Le equazioni di Maxwell prevedono che la velocità della
  luce sia costante (c=3108m/s) !
   Apparentemente esse non obbediscono al principio di relatività.
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Teoria della relatività speciale
  Postulati di Einstein (1905)
  I postulato (principio di relatività): tutte le leggi fisiche sono
  le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
  II postulato (invarianza della luce): la velocità della luce nel
  vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento
  inerziali, indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o
  dalla velocità della sorgente di luce.
  Il primo è un'estensione di quello di Galilei. Il secondo generalizza
  l'osservazione che tutte le oscillazioni meccaniche si propagano con una
  velocità che dipende solamente dalle caratteristiche del mezzo che le
  supporta e non dalla velocità con cui la sorgente dell'eccitazione si muove
  rispetto a tale mezzo. Questo non avviene per la luce in quanto lo spazio,
  non essendovi l'etere, è omogeneo e isotropo.
  Il II postulato contraddice il “senso comune”: un osservatore che
  si allontana ed uno che sta fermo rispetto alla medesima sorgente
  luminosa, misureranno la medesima velocità della luce ! (ricordare
  l’esperimento di Michelson-Morley)
                      La teoria è definita “speciale” per distinguerla dalla successiva,
                      cosiddetta “generale” che tratta di sistemi di riferimento non
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Simultaneità
                      Due navi spaziali con osservatori (Sally e
                      Sam) posti al centro della navi si
                      allontanano con velocità v (Sally rispetto
                      a Sam).
                      Due meteoriti colpiscono le navi
                      provocando un bagliore rosso (R) e uno
                      blu (B) e una traccia permanente su esse.
                      Gli eventi sono simultanei per Sam.
                      Gli eventi non sono simultanei per Sally.
                      Gli intervalli di tempo tra due eventi
                      dipendono dalla distanza a cui avvengono
                      sia nello spazio che nel tempo:
                      le loro separazioni spaziali e temporali
                      sono entangled.

 La simultaneità non è un concetto assoluto, ma relativo
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Dilatazione dei tempi

                                                              Dentro la nave spaziale
      Sulla terra (v=velocità nave spaziale)                               2D
                                                                    D t0 
   2 L  vDt e il percorso luce  2 D 2  L2                                c
      2 D 2  L2         4 D 2
                                                         Dilatazione dei tempi
   c             c2            v2
         Dt              Dt 
                               2                        Orologi in moto rispetto ad un
                                                        osservatore sono visti
                 2D                Dt0                  (dall’osservatore) muoversi più
   Dt                                                 lentamente.
              1  v2 c2        1  v2 c2
                                                        Tempo proprio: tempo misurato
                               1                        in un sistema di riferimento
                                         fattore di
                                                        solidale al fenomeno di cui si
                           1  v2 c2       Lorentz
Fisica II - Chimica                                     misura la durata.
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Contrazione delle lunghezze
                         L0
 Dalla terra Dt 
                         v
 Dentro la nave
 spaziale, il tempo
 proprio è
        D t0  D t 

 deve quindi essere           L  vDt0  vDt 1  v 2 c 2  L0 
                                                                       1
               Contrazione delle lunghezze                        
                                                                1  v2 c2
 La lunghezza di un oggetto è minore quando esso si muove rispetto
 all’osservatore, rispetto al caso in cui è a riposo (la contrazione si
 osserva solo nella direzione del moto).
 L0=lunghezza propria: lunghezza di un oggetto determinata da
 osservatori a riposo rispetto ad essa.
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Spazio-Tempo quadrimensionale
 In un certo senso la dilatazione dei tempi e la
 contrazione delle lunghezze si “controbilanciano”: visto
 dalla Terra, un oggetto ciò che perde in dimensioni lo
 “guadagna” nella dilatazione della durata dell’evento.

       Ciò conduce all’idea di uno spazio-tempo
       quadridimensionale , ovvero lo spazio ed il
       tempo sono intimamente connessi (entangled).

    Questo non vuol dire che non vi è distinzione tra
    spazio e tempo, piuttosto la relatività mostra che
    la determinazione dello spazio e del tempo non sono
    tra loro indipendenti.

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Trasformazioni di Lorentz
                                         In un caso unidimensionale le
                                         trasformazioni Galileiane prevedono:

                                        x  x  vt   Il tempo scorre allo stesso ritmo
                                                      per tutti. Questa affermazione
                                        t  t        è vera solo per v
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Momento ed energia relativistici
                           Dx       Dx Dt       Dx      m0 v
             p  m0 v  m0      m0         m0    
                           Dt0      Dt Dt0      Dt    1  v2 c2
                       m0 v                                        m0
        p                          m0 c            mrel                     m0
                          2   2                                      2    2
                  1 v c                                        1 v c
         momento relativistico                         massa relativistica
                         m0 c 2
         KE                         m0 c 2   m0 c 2  m0 c 2     1 m0 c 2
                        1  v2 c2
                                       energia relativistica

                                         m0 c 2
                      E   m0 c 2                  m0 c 2  KE
                                        1  v2 c2
                                                                         energia della
Fisica II - Chimica                                                      massa a riposo
Transizione Fisica Classica  Quantistica
    1873 Maxwell: teoria dell’elettromagnetismo
    1880 Michelson-Morley: nessun etere
    1885 Balmer: righe emissione H in serie (curiosa)
    1897 Thomson: scoperta elettrone
    1901 Planck: discretizzazione energia oscillatori
     (corpo nero)
    1905 Einstein: quantizzazione energia radiazione
     (effetto fotoelettrico)
    1911 Rutherford: atomo dotato di nucleo
    1913 Bohr: quantizzazione energia elettroni nell’atomo
    1923 Compton: aspetto corpuscolare della radiazione
    1924 De Broglie: onde di materia
    1926 Schroedinger: meccanica quantistica ondulatoria
Fisica II - Chimica
Fisica Quantistica
  Su scala microscopica gli oggetti (corpi) si comportano
   in modo MOLTO diverso !
        L’energia è discreta, non è più continua
        Si può calcolare solo la probabilità che un evento
         avvenga (non vale il determinismo Newtoniano)
        Le particelle “sembrano” essere in due posti
         contemporaneamente
        Se cerchiamo di “misurare” un fenomeno ne
         alteriamo totalmente lo stato
  Tutto ciò è contrario al “senso comune” (intuito),
   tuttavia l’intuizione è basata sulla nostra diretta
   percezione, ma noi non abbiamo una diretta percezione
   del mondo microscopico .....
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
                             La potenza totale di radiazione emessa
                              aumenta con la temperatura       P   AeT 4
                             Il picco della distribuzione delle lunghezze
                              d’onda si sposta verso lunghezze d’onda più
                              corte al crescere della temperatura (legge di
                              Wien)                       3
                                     lmaxT  2. 898  10 m  K

Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
  Teoria classica: energia equipartita tra i modi di oscillazione (che
   crescono in numero con la frequenza) ed associata all’intensità dell’onda
   elettromagnetica)  “catastrofe ultravioletta” in disaccordo con
   l’esperienza
  Ipotesi di Planck (1900): energia associata ad oscillatori sulla superficie
   del corpo nero (cariche elettriche) che però è quantizzata (discreta)
                            En = n h 
         n numero quantico (n=1,2, ...)
         h = costante di Planck
         f = frequenza di oscillazione dell’oscillatore
  Gli oscillatori emettono e assorbono energia in quantità discrete, ovvero,
   un oscillatore irradia o assorbe solo quando cambia stato quantico
  Il modello funziona ! (Ottimo accordo con l’andamento sperimentale della
   emissione di corpo nero)
  Tuttavia Planck stesso lo considerò quasi un espediente matematico per
   risolvere una discrepanza.
  Solo anni più tardi l’idea fu ripresa e sviluppata da Einstein
Fisica II - Chimica
Radiazione di Corpo Nero
  Planck definì la funzione emissione spettrale R(l), tale che il
  potere emissivo I(T) del corpo nero sia:
                                                         2p c 2 h        1
       I T    R  l , T  d l essendo R  l , T  
                0                                           l5       e hc l kT  1

 La costante h (6.6310-34J·s)fu introdotta da Planck supponendo
 che l’energia dei moti oscillatori degli atomi della parete interna
 della cavità fosse quantizzata con valore pari a multipli di h,
 essendo  la frequenza della radiazione emessa e assorbita dagli
Fisica II - Chimica
 oscillatori.
Esperimento:
                           Effetto fotoelettrico
   luce incidente su superfici metalliche  emissione fotoelettroni
   sia 1 l’istante di fuoriuscita dell’elettrone
   sia 2 l’istante di arrivo sulla placca
   l’energia si deve conservare: E1 = E2 cioè K1 + U1 = K2 + U2
   Kmax + 0 = 0 + (-e)(-DVa)  Kmax = eDVa

                                               Potenziale di arresto

                      Va

Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico
  Dipendenza energia cinetica fotoelettroni dall’intensità di luce
   Esperimento: Energia cinetica max indipendente dall’intensità
   (potenziale d’arresto indipendente dall’intensità)
   Previsione Classica: Energia elettroni  Intensità luminosa

 • Ritardo temporale emissione fotoelettroni
   Esperimento: praticamente istantaneo
   Previsione Classica: con luce debole ci deve essere un ritardo

  Dipendenza dell’emissione di elettroni dalla frequenza della luce
   Esperimento: se  < min  nessuna emissione
   Previsione Classica:nessuna dipendenza specifica

  Dipendenza energia cinetica elettroni dalla frequenza della luce
   Esperimento: energia cinetica cresce con la frequenza della luce
   Previsione Classica: nessuna relazione (dipende solo dall’intensità
   della luce)
Fisica II - Chimica
Effetto fotoelettrico: modello di Einstein
  Ipotesi dei fotoni: la luce di frequenza  può essere considerata come
   una corrente di quanti altrimenti detti fotoni che si muovono a velocità
   della luce c = 3.0 x 108 m/s
  Ciascun fotone ha una energia E = h, h è la costante di Planck
  Nel modello di Einstein un fotone cede tutta la sua energia ad un singolo
   elettrone del metallo: l’assorbimento non è un processo continuo !
  Gli elettroni saranno emessi con energia K
   f è l’energia di estrazione del metallo    max  h  f

 lunghezza d’onda di taglio          c         c        hc
                              lt                  
Fisica II - Chimica                  t       f h       f
Effetto Compton (1923)

       Secondo Einstein il
        fotone trasporta una
        quantità di moto
        E/c = hf/c              Diffusione di raggi X
                                da elettroni di un
       Compton verificò        bersaglio di grafite
        impossibilità teoria
        classica di spiegare la
        diffusione di raggi X
        da parte di elettroni

Fisica II - Chimica
Effetto Compton
 Ipotesi di Compton: il fotone si
 comporta come una particella di
 energia h e quantità di moto
 h/c, l’esperimento è descritto
 come un urto tra tra due particelle
 (elettrone/fotone)

                            2
                                                         mv                         h
Einiz  E fin  h  mc  h   K rel   pelettr                         p fot 
                                                     1 v c
                                                                  2                 l
                                   
      hc hc              1                           h       h            mv
            mc 2               1    asse x :              cos f             cos 
      l l          1   v c 2                   l       l         1 v c
                                                                                 2
                                   
                                                             h             mv
                                         asse y : 0             sin f             sin 
                                                             l          1 v c
                                                                                  2

                                         eliminando v e  , e risolvendo
                                                        h
Fisica II - Chimica
                                         Dl  l   l     1  cos f 
                                                        mc
Effetto Compton
                        Verifica sperimentale:
                                    h
                      l '  l0         1  cos  
                                   me c
                              h
                      lC          0.00243 nm
                             me c

   L’effetto Compton comporta l’analisi sia
   dell’energia che del momento del fotone,
   costituendo un supporto ancora più solido alla
   teoria del fotone.
   Nel 1927 fu dimostrato che lo “spostamento”
   Compton poteva essere previsto senza
   introdurre il concetto di fotone.

Fisica II - Chimica
Esistenza del Fotone
    Benchè il concetto di fotone fu introdotto nel 1905 la prova
    sperimentale (totalmente convincente) fu ottenuta solo nel 1986 !
                                  Anticoincidenza
                                     50%

                      sorgente debole
                      (fotoni singoli)

           Problemi di fluttuazioni d’intensità della luce
           emessa dalla sorgente

Fisica II - Chimica
Fotoni “designati” (1986)

                                              50%

                               sorgente debole
                               (fotoni singoli)

Fisica II - Chimica
Fotoni e onde

 Togliendo/inserendo il beamsplitter
 (divisore di fascio) si commuta tra
 comportamento corpuscolare e
 ondulatorio !!!
 Scelta differita: finchè la luce è un ente in transito non ha senso adottare
 un modello descrittivo (corpuscolare/ondulatorio), ma dipenderà solo dalla
 successiva interazione con uno o più oggetti.
Fisica II - Chimica
La luce è un’onda o una particella ?
    •      Onda

          – I campi elettrico e magnetico si comportano come onde
          – Sovrapposizione, Interferenza e Diffrazione

    •      Particella
          – Fotoni
          – Collisioni con elettroni nell’effetto fotoelettrico e Compton

    Quindi: tavolta Particella, talvolta Onda
           La teoria del fotone e la teoria ondulatoria della
           luce sono complementari !
Fisica II - Chimica
Proprietà ondulatorie delle particelle
  Ipotesi di De Broglie: poichè i fotoni hanno caratteristiche ondulatorie e
   corpuscolari, forse tutte le forme di materia hanno sia proprietà
   ondulatorie che corpuscolari
  La relazione tra energia e quantità di moto per un fotone vale p = E/c
   quindi usando la relazione di Einstein si ha
                                                       E hf hc h
                                                  p         
                                                       c   c cl l
  Poichè il modulo della quantità di moto di una particella non relativistica è
   p = mv, la lunghezza d’onda di De Broglie della particella è
            h   h                                                            E
     l              e, in analogia con il fotone ( Einstein)         f 
            p mv                                                             h
  Nel 1927, tre anni dopo la formulazione dell’ipotesi di De Broglie,
   Davisson e Germer riuscirono a misurare sperimentalmente la lunghezza
   d’onda degli elettroni, confermando tale ipotesi, anche se lo scopo
   originario del loro esperimento non era questo.
  La natura ondulatoria di altre particelle, quali neutroni e atomi di elio e
   idrogeno fu anche osservata successivamente.

Fisica II - Chimica
Doppia fenditura di Young

                                d

    Sorgente di
    elettroni
    monoenergetici                    L

                      2 fenditure
                      separate da d       Schermo a
                                          distanza L
Fisica II - Chimica
Doppia fenditura di Young

Fisica II - Chimica
Natura Ondulatoria della Materia

    Anche se passa un solo elettrone alla volta si osservarà una figura di
     diffrazione
    Se osserviamo (“misuriamo”) da quale fenditura passa l’elettrone (cioè
     le fenditure sono abbastanza separate) si “distrugge” la figura di
     interferenza (cioè l’aspetto ondulatorio)
Fisica II - Chimica
Diffrazione di raggi X e elettroni da cristalli

     Apparato sperimentale

                                          Elettroni di eguale lunghezza d’onda
     Raggi X di lunghezza d’onda l                        l=h/p
                                          (ottenuti accelerandoli a velocità appropriata)

                                     Pressochè
                                     identici !

Fisica II - Chimica
Esempio
 Valutare gli effetti di diffrazione cui può essere soggetto uno studente del peso di
 80 kg nell’attraversare una apertura larga 75 cm (si assuma significativo l’effetto
 quando la larghezza dell’apertura è 10 volte inferiore a l). Determinare:
 a) Velocità min con cui attraversare l’apertura
 b) Tempo per l’attraversamento (apertura di spessore 15 cm)
 c) Lo studente si deve preoccupare ?

                                 h    h
 a) lunghezza d’onda studente     l
                                         e w = apertura porta, deve essere
                                 p mv
                    h            h       6.626  1034 J  s
       w  10l  10     v  10      10                      1.110 34 m s
                    mv          mw        80 kg  0.75m
  b)                         d     0.15m                    33
                      Dt            34
                                            Dt  1.36  10    s
                             v 1.1 10 m s
  c) NO ! Il tempo minimo per osservare effetti di diffrazione dello studente
  («sparpagliamento» della sua funzione d’onda) è 1015 volte più lungo dell’età
  dell’universo (stimata 4 x 1017 s)

Fisica II - Chimica
Conseguenze della teoria quantistica:
Energia-Momento del Fotone + Dualismo Onda-Particella
                                 
             Principio di Indeterminazione di Heisenberg

Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di
                         Heisenberg
    Se si esegue una misura di posizione di una particella con
     indeterminazione Dx e una simultanea di quantità di moto con
     indeterminazione Dpx, allora il prodotto delle due
     indeterminazioni non può mai essere minore di ħ/2

                                  
                         Dx Dpx 
                                  2
    È fisicamente impossibile misurare
     contemporaneamente la posizione esatta e la
     quantità di moto esatta di una particella

        Addio descrizione deterministica !!!
Fisica II - Chimica
Principio di indeterminazione di Heisenberg

                      Concetto di traiettoria:
                      Infinito è il numero di traiettorie che
                      congiungono A con B, però solo le onde
                      che seguono cammini molto prossimi
                      alla congiungente presentano
                      interferenza costruttiva nel punto B.

Fisica II - Chimica
Estensione del principio di
               indeterminazione di Heisenberg
    Sostituendo Dx con Dt e Dp con D (localizzazione nel tempo):
                      D  2pD e E  h
                               h
                      DE Dt 
                              2p
   Non è possibile determinare contemporaneamente, con
   precisione illimitata, sia l’energia sia la coordinata
   temporale di una particella.
   Mentre, in un atomo, lo stato fondamentale ha una energia ben
   precisa (il tempo di permanenza in tale stato è lunghissimo)
   l’energia degli stati superiori (“eccitati”) è definita con minor
   precisione (tempo di esistenza più limitato).
   Tempo di misura finito  indeterminazione DE  (h/2p)/Dt
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
     • un paradosso della meccanica quantistica
                           ovvero
     • quando il “senso comune” non ci aiuta a risolvere i
       problemi !

                                        veleno

Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
 • Alcuni elementi sono “instabili” e decadono (si trasformano) in altri dopo
   un certo tempo
 • Queste sostanze sono dette radioattive.
 • esempio: 13N (azoto) decade in 13C (carbonio) + 1 elettrone + 1 anti-
   neutrino

  Il tempo caratteristico di queste reazioni è
   detto tempo di dimezzamento (half-life):
   tempo necessario perchè avvengano la metà
   degli eventi di decadimento
  Il tempo di dimezzamento di 13N è 10 minuti !
  Se abbiamo un gran numero di atomi di 13N ,
   allora, dopo 10 min, vi è per un generico
   atomo una probabilità del 50% di essersi
   trasformato in 13C (equivalente a giocare con
   una moneta a testa o croce).

Fisica II - Chimica
Il gatto di Schroedinger
 •   Domanda: dati due atomi 13N, che differenza c’è tra loro dopo 10 min ?
 •   Risposta: uno è diventato 13C, l’altro no. (banale !!!)
 •   Domanda: quale è la differenza tra i due atomi, prima dei 10 min ?
 •   Risposta (meccanica quantistica, scuola di Copenaghen): Nessuna
 •   Risposta (Einstein): Dio non gioca a dadi ! (la meccanica quantistica o
     meglio le sue conseguenze sono errate !)

Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger

 • Immaginiamo che esista un apparato contenente atomi di 13N ed un
   rivelatore che rivela quando uno degli atomi è decaduto radiativamente
 • Connesso al rivelatore vi è un relè connesso ad un martello che, all’atto
   del decadimento di un atomo, si attiva facendo cadere il martello che
   colpisce un’ampolla contenente del gas velenoso.
 • Tutto l’apparato è posto in un contenitore insieme ad un gatto, ed
   aspettiamo 10 minuti
 • Allo scadere esatto dei 10 min ci chiediamo: Il gatto è vivo o morto ?
 • Risposta (meccanica quantistica): è 50% vivo e 50% morto
Fisica II - Chimica
Il gatto di Schrödinger
 • Conclusioni:
 • Fintantochè non apriamo la scatola non possiamo conoscere quale delle
   due possibilità si è verificate
 • In gergo quantistico si dice che il sistema è collassato in uno stato
 • È l’interazione con l’osservatore (misura) che fa collassare il sistema in
   uno dei due stati
 • In un certo senso è una conclusione molto spiacevole perchè si perde il
   senso della certezza che un evento avvenga.
 • Bisogna imparare a descrivere i fenomeni in termini di probabilità degli
   stessi !

Fisica II - Chimica
Una interpretazione della meccanica quantistica
 • Consideriamo le onde elettromagnetiche come particelle (fotoni):
 • La probabilità di trovare un fotone in una certa regione dello spazio è

                      probabilità N fotoni
                                          inoltre
                        volume          V
                      N fotoni                       probabilità
                                I  E2    quindi                 E2
                       V                               volume

 • La probabilità per unità di volume di trovare una particella associata con
   la radiazione (fotone) è  al quadrato dell’ampiezza dell’onda
 • Sulla base del dualismo onda-corpuscolo riteniamo che la stessa cosa
   debba valere anche per una particella
 • Esisterà un’onda associata ad ciascuna particella, la cui ampiezza è
   associata alla probabilità di trovarla in una certa regione dello spazio
 • Chiamiamo questa onda: funzione d’onda 
 • In generale potrà avere valori anche complessi ma ||2=  * sarà
   sempre un numero reale positivo, proporzionale alla probabilità
Fisica II - Chimica
Equazione di Schrödinger

                           2  2           
          i   r, t         2
                                      V (r )    r, t 
             t             2m r            

 • Tale eq. differenziale ha, in meccanica quantistica, la stessa funzione
   svolta dalla II legge della dinamica (F=ma) nella meccanica classica
 • Noto U e  si ricava E l’energia, cioè lo stato dinamico del sistema.

Fisica II- Chimica
Effetti quantistici
     • La descrizione fisica dei fenomeni a livello microscopico
       NON È totalmente deterministica (probabilistica)
     • L’osservazione stessa influisce sull’esperimento
     • Le particelle si comportano come onde e le onde come
       particelle
            – Effetto Foto-elettrico
                      » Elettroni espulsi dal metallo dai fotoni
                      » Fotoni di comportano come particelle
            – Generalizzazione di De Broglie:
                » la materia si comporta come un’onda
                » diffrazione elettronica
                » qualunque cosa possiede una lunghezza d’onda l=h/p
            – Equazione di Schrödinger, per la descrizione della
              dinamica quantistica

Fisica II - Chimica
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