Modelli statistici di diffusione dell'epidemia COVID-19 - Scienze ...
←
→
Trascrizione del contenuto della pagina
Se il tuo browser non visualizza correttamente la pagina, ti preghiamo di leggere il contenuto della pagina quaggiù
Modelli statistici di diffusione dell'epidemia COVID-19
Renato Guseo, 3-05-2020
Dipartimento di Scienze Statistiche,
Università degli Studi di Padova
1 Introduzione
L'epidemia di Covid-19 in Italia ha presentato i suoi primi casi, rilevati tecnicamente, il 20 febbraio
2020 in particolari aree della Lombardia, Cologno e altre città della provincia di Lodi. Oggi ci sono
prove concrete della presenza locale di almeno un contatto positivo senza sintomi espliciti
proveniente da Monaco (Germania), evento accaduto intorno al 25 gennaio. Alcune risultanze
recenti segnalano un possibile "primo contagio" già agli inizi di gennaio.
Il dati salienti sono comunque la latenza del fenomeno, la sua scarsa conoscenza in Italia ed in
Europa, il ritardo nell'acquisizione scientifica e di igiene pubblica delle esperienze cinesi, e sud
coreane.
Il contagio si è quindi auto-implementato in modo latente per settimane creando una distribuzione
policentrica. Questo aspetto ha caratterizzato la rapida esplosione dell'epidemia in Lombardia,
come evidenziato dai casi positivi osservati mediante successivi test validati intorno al 20 febbraio.
Anche in Veneto si sono avuti i primi casi rilevati di Covid-19 a Vò nei Colli Euganei. Questo
problema è stato immediatamente trattato dalla Regione Veneto con una quarantena per tutti i
residenti della cittadina, circa 3.300 soggetti. Gli appartenenti a questo cluster sono stati testati per
evidenziare una possibile positività alla Covid-19. I risultati hanno dimostrato che l'attività di
contagio di soggetti positivi senza sintomi dilata la velocità complessiva del contagio stesso,
velocità che quindi non è alimentata dai soli casi sintomatici.
L'asimmetria distributiva dei casi rilevati nelle prime tre settimane, della Lombardia rispetto al
Veneto, è stata confermata empiricamente e questo ha determinato specifici livelli nei parametri
della dinamica, parametri che possono essere correttamente interpretati.
Il picco della Lombardia anticipava, in quella logica iniziale, quello corrispondente in Veneto di
circa due settimane. Ciò è probabilmente dovuto a un controllo efficiente dei residenti di Vò e alle
successive strategie di isolamento volontario e di distanziamento sociale per tutti i residenti della
regione Veneto. Questa azione sistematica ha prodotto successivamente, in funzione delle politiche
di contenimento nazionali e regionali, una contrazione distributiva della curva dei casi in Veneto ed
un suo abbassamento assoluto.
2 Dinamica dei casi al di fuori della Cina continentale (fonte di dati: Worldometer).
La diffusione di un'epidemia, di un'informazione, di una moda, di un prodotto commerciale, di un
farmaco ecc. può essere espressa nell'ambito di un sistema complesso costituito da agenti. Questi
ultimi hanno una forte capacità di auto-orientamento, di decisione, di condivisione auto-organizzata
che spesso non dipende dalle condizioni del profilo individuale e non richiede una guida
centralizzata.
Le reti di relazioni e la loro formazione tematica su vari piani rendono il sistema complesso una
struttura macroscopica rilevante sotto il profilo evolutivo. Sociologi, fisici, biologi, esperti di
marketing quantitativo, statistici e matematici hanno dato notevoli contributi allo sviluppo di questi
temi interdisciplinari.
1
Il modello iniziale proposto per la diffusione dei casi di Covid-19 fuori della Cina appartiene alla
famiglia delle metodologie di diffusione di innovazioni. Si tratta di un modello di Bass
generalizzato, GBM, (Bass et al, 1994) dotato di una funzione di controllo e migliorato con
l'introduzione di effetti asimmetrici dovuti a Bemmaor (Bemmaor, Lee, 2004), effetti atti a spiegare
fenomeni di mistura distributiva a livello aggregato.
Tale modello assume una carrying capacity - ovvero un potenziale dei suscettibili nel caso specifico
- costante durante il ciclo evolutivo. Questa assunzione può essere un'evidente limitazione.
E' opportuno ricordare che i modelli di Bass, e le loro varianti nei modelli di diffusione di
innovazioni, differiscono sostanzialmente dal modello logistico (Verhulst, 1838) e dai paralleli
modelli SIR per un punto fondamentale che riguarda il processo di inizializzazione.
La condizione iniziale dell'equazione logistica determina un'inizializzazione localizzata
temporalmente nel processo. Il modello di Bass utilizza invece un sottomodello monomolecolare
per descrivere un'inizializzazione esogena dei casi distribuita nel tempo. In parallelo, entrambi
sviluppano il meccanismo di contagio o passaparola (word-of-mouth).
Con riferimento ai casi fuori della Cina, il primo shock esponenziale incluso nel modello di
diffusione di Bass generalizzato, GBM, è stato identificato intorno al 29 febbraio ed è riassorbibile.
L'intervento iniziale del governo italiano, ad esempio con il blocco delle attività educative standard,
può essere datato con il 24 febbraio. Il ritardo degli effetti, stimato in circa 14 giorni, è stato
cruciale. L'utilità di tali interventi, non solo per l'Italia, può essere evidenziata ed era verificabile
intorno al 9 marzo. Si osserva tuttavia, un effetto di mascheramento in Europa dovuto alle politiche
dilatorie di Francia e Germania. Questi paesi hanno riscontrato il problema, per primi in Europa e
molto prima dell'Italia, ma hanno introdotto alcuni interventi pertinenti solo intorno al 4 marzo.
Un secondo shock esponenziale crescente è stato identificato il 14 marzo. Si tratta di uno shock
assorbibile nella diffusione ed è dovuto alla ritardata espansione del contagio al di fuori della Cina
nei paesi e nelle regioni con diverse politiche di sanità pubblica. Un terzo shock è stato identificato
intorno al 19 marzo probabilmente a causa dell'espansione esponenziale dell'epidemia negli Stati
Uniti.
Come si può vedere ora nelle figure in coda, si è successivamente adottato un modello più flessibile
(GGM) che assorbe bene le dinamiche osservate in forza delle sue caratteristiche. Tale modello è
presentato qualitativamente nella sezione che segue.
3 Un modello dinamico con potenziale variabile.
Un modello alternativo, basato su un potenziale dinamico - funzione di una rete latente di relazioni
in crescita -, GGM (Guseo, Guidolin, 2009), può essere preso in considerazione per valutare la
presenza, al di fuori della Cina, di nuove ondate di casi rilevati nell'epidemia di Covid-19. Questo
modello si basa su due driver, uno latente che descrive un potenziale variabile di carattere crescente
basato su una rete di relazioni interpersonali e un secondo, nidificato nel precedente, che
implementa gli eventi di contagio. Tale modello è caratterizzato da un'inizializzazione distribuita e
può presentare uno o due picchi modali in funzione dei parametri coinvolti: due parametri per il
controllo della dinamica del potenziale qui assunto crescente, due parametri per il controllo della
dinamica dei contagi ed uno di scala. Si noti che la possibile bimodalità distributiva si è resa
evidente in alcune situazioni ad esempio in: Piemonte, Belgio, Olanda, Germania, USA, Canada.
2
Queste nuove direzioni di indagine potevano essere riconosciute o meno dopo il 15 marzo in
presenza di un'informazione sufficiente sulle caratteristiche empiriche dei cicli osservati.
Come è noto, Corea del Sud, Iran e Italia sono stati i primi tre paesi in cui è emersa l'epidemia,
probabilmente a causa delle intense attività commerciali e turistiche dirette con la Cina.
Il primo paese che ha raggiunto il picco unimodale di nuovi casi Covid-19 nella prima settimana di
marzo, è stata la Corea del Sud che ha implementato politiche innovative per il rilevamento dei
vettori asintomatici. A partire dal 14 marzo, la stessa Corea del Sud è stata caratterizzata da un
basso livello stazionario di Covid-19. Tale effetto endemico si identifica facilmente con
l'integrazione, nel ciclo principale, di un modello di diffusione locale specifico, un sottomodello di
Bass. In alternativa si è adottato un semplice modello GGM che è in grado di esprimere anche
l'effetto endemico a destra.
L'Iran ha avuto un primo picco locale nella prima settimana di marzo. Sulla base dei dati del 12/3 e
utilizzando un modello GGM, un secondo picco sarebbe potuto apparire nella terza settimana di
marzo. Questa previsione non è stata confermata il 24 marzo. Di fatto, quattro grandi incrementi
successivi di nuovi casi hanno rinviato l'evento di una settimana. L'inserimento di un solo shock
esponenziale che realizza il cambio di regime, GGM + e1P, ha consentito successivamente una
descrizione quasi senza errore dei nuovi casi di Covid-19 degli ultimi 25 giorni.
4 Modellistica statistica dei casi di COVID-19 in Italia, Lombardia, Veneto, provincia di
Padova, Piemonte, Puglia e altri paesi.
Il modello iniziale proposto per i casi italiani di Covid-19 - basato sui dati del Ministero della Salute
- è stato un modello di diffusione Bass-like con l'inclusione degli effetti di Bemmaor (Bemmaor,
Lee, 2004). In questo caso, la coda destra più lunga è dovuta ad un effetto delle politiche attuate per
contrastare la diffusione. Ciò implica quindi un ritardo distribuito.
A causa di un grande aumento di casi in Lombardia, il governo italiano ha introdotto l'8 marzo un
nuovo decreto legge con forti restrizioni della mobilità individuale per quanto riguarda la
Lombardia e altre 14 province. Un successivo decreto del 9 marzo ha esteso le restrizioni a tutte le
regioni d'Italia fino al 3 aprile. Ulteriori misure hanno inasprito i vincoli con controlli crescenti sul
territorio.
Intorno al 16 marzo, l'Italia avrebbe potuto raggiungere il suo picco sulla base delle dinamiche
precedenti non ancora soggette agli effetti delle iniziative di contenimento. Questa ipotesi poteva
essere confermata l'11-13 marzo se le precedenti restrizioni fossero state applicate sistematicamente
della popolazione. Sfortunatamente, a partire dal 16 marzo, ci sono state evidenze sulla diffusione
geografica al di fuori delle regioni della Lombardia e del Veneto con un'espansione dinamica del
potenziale nazionale.
Questa nuova situazione ha suggerito, dal punto di vista tecnico, l'introduzione di un GGM con due
shock esponenziali per recuperare i significativi cambi di regime dovuti alle principali azioni
politiche di contenimento. Nello stesso periodo, la Lombardia ha raggiunto livelli elevatissimi di
crescita dei casi soprattutto a Bergamo, Brescia e in altre città collegate.
La distribuzione GGM dei casi nel tempo (Guseo, Guidolin, 2011) presenta due fattori distributivi
che agiscono congiuntamente sul processo di diffusione: la "Comunicazione", C e l' "Adozione", A.
3
I picchi di tempo corrispondenti sono indicati con tC e tA, rispettivamente.
Nell'epidemia di Covid-19 l'"Adozione" rappresenta principalmente la capacità individuale di
sviluppare la patologia, l'infettività. La "Comunicazione" indica invece la predisposizione al
contagio, la trasmissibilità. I tempi di picco precedenti sono indipendenti dalla scala assoluta del
fenomeno.
Il 22 marzo, i tempi stimati per il Veneto (in giorni dall'origine dei dati) sono stati tA = 18 e tC =
46. La Lombardia ha avuto un comportamento ben differente: tA = 23 e tC = 34. In altre parole, il
Veneto ha una minore resistenza all'infettività (frazione della popolazione anziana più elevata?), ha
tuttavia sviluppato un'efficace resistenza al contagio con un tempo più lungo tC rispetto alla
Lombardia.
Il 30 di marzo diviene evidente nella modellazione dei dati a livello nazionale e nelle regioni del
nord Italia il pieno effetto delle misure governative e regionali. Risultano ben evidenziati intorno al
23/3 i picchi medi dei casi in Lombardia e Veneto. In particolare, il Veneto ottiene una contrazione
della distribuzione temporale dei casi con una parallela riduzione degli eventi assoluti.
A livello nazionale la dinamica dell'epidemia è più complessa e bimodale. Si tratta della mistura di
due eventi principali imputabili, da un lato, all'espansione nel nord Italia con il picco del 22/3, e
dall'altro, alla successiva espansione nella restante parte d'Italia, con il picco del 28/3.
La versione attuale del modello dei casi giornalieri di Covid-19 per l'Italia si basa su un semplice
GGM. Le deviazioni casuali e/o stagionali (settimanali) sono di fatto trascurabili in una valutazione
prospettica.
5 Mortalità in Italia
Il processo che descrive la mortalità nel tempo per l'epidemia di Covid-19 è, per sua natura, più
regolare e dipende dal ciclo temporale dei casi rilevati ex-ante ed ex-post. Tale dinamica è
naturalmente funzione della capacità corrente delle strutture sanitarie e delle caratteristiche della
popolazione. La rilevazione del dato è sicuramente più precisa e documentata.
Il modello evolutivo iniziale proposto per le morti italiane di Covid-19 è stato un modello di Bass
con la correzione di Bemmaor basato sui dati del Ministero della Salute. L'evoluzione dinamica è
stata abbastanza regolare ove si combinavano dinamiche naturali, politiche di contrasto e la
presenza, a livello aggregato, di un miscuglio di sottopopolazioni specifiche Bass-like a livello
territoriale. Una ragionevole stabilità delle stime potrebbe essere stata raggiunta intorno al 18-20
marzo.
Dopo questa fase esplorativa iniziale si è adottato un più flessibile modello GGM che ben interpreta
le asimmetrie distributive rispetto al picco. Le ragioni del migliore adattamento dipendono dalle
caratteristiche analitiche e di merito del modello stesso.
6 Alcune modellazioni dell'epidemia Covid-19 nei paesi più colpiti
La modellazione dei casi rilevati in Cina è stata condotta mediante un GBM aggiustato con l'effetto
di Bemmaor per tener conto della mistura di sottopopolazioni. I dati utilizzati sono stati ottenuti da
Worldometer. Ci si avvale ovviamente del solo dato ufficiale la cui qualità dipende dal paese
fornitore.
In questo caso l'evidente cambio di regime tecnico di rilevazione dei casi ha prodotto un'impennata
contabile che è stata opportunamente isolata, mediante uno shock esponenziale calibrato,
consentendo una valutazione depurata della dinamica.
Si è applicato successivamente un modello ARMAX - non necessario per il lungo termine - per
affinare localmente le previsioni. In questo momento la Cina presenta una coda stazionaria di basso
livello di tipo endemico. Mediamente 50 nuovi casi al giorno.
4
Australia, Austria, Belgio, Olanda, Svezia, Turchia, Francia, Spagna, Germania e Svizzera sono
state modellate con un GGM e presentano spesso la necessità dell'introduzione di un cambio di
regime localmente esponenziale, e1P, per tener conto di variazioni sistematiche dell'evoluzione
media dovuta alle politiche via via introdotte.
Cambiano poi, nei vari paesi, le politiche locali di definizione dei casi rilevati. Queste fonti di
variabilità determinano fluttuazioni locali dei residui talvolta non stazionarie.
UK, USA e Canada non hanno prodotto interventi di contenimento tempestivi e l'evoluzione è ora
esplosiva come evidenziato dai modelli GGM applicati alle serie dei casi rilevati.
7 Situazione corrente: aprile 28
I casi al di fuori della Cina hanno probabilmente raggiunto il picco intorno al 24 di aprile.
L'Italia ha raggiunto una buona posizione mediante le politiche di contenimento. Il 95% dei casi
cumulati si dovrebbe raggiungere il 15 di maggio. Il numero di riproduzione corrente è R(t)=0.120.
Lombardia e Veneto hanno comportamenti dinamici differenziati con R(t) pari a 0.182 e 0.063,
rispettivamente. Il Veneto dovrebbe raggiungere il 95% dei casi cumulati il 5 di maggio. La
Lombardia presenta una coda molto più lunga dovuta ad una situazione più complessa.
L'Emilia-Romagna sta raggiungendo una buona posizione.
Gli stati che presentano un controllo ottimale dell'epidemia con una coda endemica di livello
contenuto sono: Cina, Corea del Sud, Australia, Austria, Svizzera. Entro due settimane la
Germania sarà nella stessa condizione: R(t)=0.068.
La Francia non ha presentato in questo caso un sistema amministrativo efficiente per la raccolta dei
dati. Frequenti e consistenti sono state le revisioni dell'informazione pubblica. Questo
comportamento può rendere poco significativa la modellazione statistica.
UK, Canada, Spagna e gli USA si trovano intorno ai rispettivi picchi. In molte situazioni si è molto
lontani da un comportamento stazionario endemico di livello contenuto.
5
Alcuni riferimenti
Bass, F.M. (1969). A new product growth model for consumer durables, em Management Science,
15, 215-227.
Bass, F.M., Krishnan, T.V., Jain, D.C. (1994). Why the Bass model fits without decision variables,
Marketing Science, 13, 203-223.
Bemmaor, A.C., Lee, J. (2002). The Impact of Heterogeneity and Ill-Conditioning on Diffusion
Model Parameter Estimates. Marketing Science, 21(2), 209-220.
Boccara, N. (2004). Modeling Complex Systems, Springer-Verlag, New York.
Fibich, G., Gibori, R. (2010). Aggregate Diffusion Dynamics in Agent-Based Models with a Spatial
Structure. Operations Research, 58(5), 1450-1468.
Guidolin, M., Guseo, R. (2014). Modelling Seasonality in Innovation Diffusion. Technological
Forecasting and Social Change, 86, 33-40.
Guseo, R. (2016). Diffusion of innovations dynamics, biological growth and catenary function.
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 464, 1-10.
Guseo, R., Guidolin, M. (2008). Cellular Automata and Riccati Equation Models for Diffusion of
Innovations. Statistical Methods and Applications, 17(3), 291-308.
Guseo, R., Guidolin, M. (2009). Modelling a Dynamic Market Potential: A Class of Automata
Networks for Diffusion of Innovations. Technological Forecasting and Social Change, 76(6), 806-
820.
Guseo, R., Guidolin, M. (2010). Cellular Automata with Network Incubation in Information
Technology Diffusion. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 389(12), 2422-2433.
Guseo, R., Guidolin, M. (2011). Market potential dynamics in innovation diffusion: modelling the
synergy between two driving forces. Technological Forecasting and Social Change, 78(1), 13-24.
Guseo, R., Mortarino, C. (2012). Sequential Market Entries and Competition Modelling in Multi-
Innovation Diffusions. European Journal of Operational Research, 216, 658-667.
Guseo, R., Mortarino, C. (2015). Modeling competition between two pharmaceutical drugs using
innovation diffusion models, The Annals of Applied Statistics, 9(4), 2073-2089.
Meade, N., Islam, T. (2006). Modelling and forecasting the diffusion of innovation - a 25-year
review. Int. Journal of Forecasting, 22(3), 519-545.
Norton, J.A., Bass, F.M. (1987). A diffusion theory model adoption and substitution for successive
generations of high technology products, Management Science, 33, 1069-86.
Peres, R., Muller, E., Mahajan, V. (2010). Innovation diffusion and new product growth models: a
critical review and research directions, Inter. Journal of Research in Marketing, 27(2), 91-106.
Verhulst, P.F. (1838). Notice sur la loi qui la population suit dans son accroissement, Corres. Math.
et Physique, 10, 113-121.
Volterra, V. (1926). Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically, Nature,
118(2972), 558-60.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
COVID-19: daily Reproduction number of GGM, R(t)
Switzerland
Lombardia
Romagna
Piemonte
Germany
Emilia-
Veneto
Puglia
USA
Italy
4/27 0.110 0.085 0.029
4/28 0.098 0.088 0.026
4/29 0.298 0.088 0.162 0.090 0.263 0.024
4/30 0.250 0.081 0.149 0.083 0.278 0.021
5/1 0.124 0.237 0.075 0.181 0.096 0.141 0.083 0.321 0.019
5/2 0.128 0.205 0.072 0.164 0.088 0.133 0.076 0.308 0.017
5/3 0.112 0.182 0.063 0.147 0.074 0.120 0.068 0.272 0.011
5/4
5/5
5/6
5/7
5/8
5/9
5/10
5/11
5/12
5/13
5/14
5/15
5/16
5/17
5/18
24Puoi anche leggere
