Laboratorio con R Corso di Inferenza Statistica
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Laboratorio con R
Corso di Inferenza Statistica
Roberta Pappadà · Marco Stefanucci
Corso di laurea in
Statistica e Informatica per
l’azienda, la finanza e l’assicurazione
Università degli Studi di Trieste
Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali,
Matematiche e Statistiche “Bruno de Finetti” (DEAMS)
a.a. 2021/2022Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità
1. Distribuzioni di probabilità discrete
Esempio: la distribuzione binomiale. Sappiamo che una variabile aleatoria binomiale
di parametri n e p descrive il numero di successi ottenuti in un esperimento binomiale
con n prove e probabilità di successo p, ed ha funzione di probabilità binomiale definita
da
n x
p( x ) = p (1 − p)n− x , x = 0, 1, . . . , n.
x
Vogliamo calcolare la probabilità P( X = 5) dove X ∼ Bin(n, p) con n = 20, p = 0.5. Usi-
amo la funzione seq() che produce vettori con componenti equispaziate, e choose(n,r)
che restituisce il coefficiente binomiale di n su r (può essere utile ricordare che la fun-
zione factorial(n) restituisce il fattoriale di n):
x”b” (both), punti e linee,
”h” (histogram), linee verticali,
”s”, ”S” (steps), linee orizzontali e verticali
”n” (none), sopprime la rappresentazione grafica
• xlim, ylim: campo di variazione degli assi
• xlab, ylab: titoli per gli assi
• main, sub: titolo (principale e secondario) del grafico
• add: variabile logica con modalità TRUE, FALSE; se uguale a TRUE sovrappone il
risultato al grafico eventualmente presente nella finestra.
Useremo spesso la funzione par() che consente di modificare alcuni parametri us-
ati durante la generazione delle immagini o per riportare il loro valore alla situazione
precedente. Usiamo la funzione plot() per rappresentare la funzione di probabilità
binomiale:
plot(x, pbin, type="h", main="Binomiale(20, 0.5)", xlab="x", ylab="p(x)")
Binomiale(20, 0.5)
0.15
0.10
p(x)
0.05
0.00
0 5 10 15 20
x
Per verificare come varia il grafico della densità (probabilità) binomiale per n = 20
al variare del parametro p possiamo costruire una semplice funzione che calcoli i valori
della probabilità in funzione di x, n e p.
3binomiale
plot(x, y0, type="h", ylim=c(0,0.2), xlab="x", ylab="p(x)")
points(x-0.1, y1, type="h", col=2)
0.20
0.15
0.10
p(x)
0.05
0.00
0 5 10 15 20
x
E se volessimo calcolare il valore della funzione di ripartizione di una binomiale in k
intero? Possiamo calcolare le probabilità binomiali per la sequenza di valori x che vanno
da 0 a k e poi usare la funzione sum(), come nell’esempio che segue.
#parametri
nDistribution R name additional arguments
beta beta shape1, shape2
binomial binom size, prob
Cauchy cauchy location, scale
chi-squared chisq df
exponential exp rate
F f df1, df2
gamma gamma shape, scale
geometric geom prob
hypergeometric hyper m, n, k
log-normal lnorm meanlog, sdlog
negative binomial nbinom size, prob
normal norm mean, sd
Poisson pois lambda
Student’s t t df
uniform unif min, max
Weibull weibull shape, scale
Per le più comuni distribuzioni di probabilità discrete e continue, sono disponibili i
comandi per il calcolo di funzione di densità o probabilità, funzione di ripartizione,
quantili e per la generazione di numeri pseudo-casuali:
• d(x,) densità (o funzione di probabilità) in x
• p(x,) funzione di distribuzione cumulata in x
• q(r,) quantile r-esimo
• r(N,) generazione casuale di N elementi estratti
dalla distribuzione indicata
L’aiuto in linea di R è utile per conoscere la sintassi delle funzioni che vi sono già
implementate. Per accedere alle pagine di aiuto basta digitare help(nomefunzione) o
?nomefunzione. Per esempio, le funzioni relative alla distirbuzione binomiale sono de-
nominate con un prefisso seguito da binom:
dbinom() pbinom() qbinom() rbinom()
args(dbinom)
## function (x, size, prob, log = FALSE)
## NULL
6args(pbinom)
## function (q, size, prob, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
## NULL
Verifichiamo che la funzione dbinom fa esattamente quello che fa la funzione che
abbiamo costruito noi. Ad esempio, si ripeta il calcolo della probabilità di ottenere 2
volte 6 lanciando 15 volte un dado.
dbinom(2,15,1/6)
## [1] 0.272603
Analogamente, riprendendo l’esempio del calcolo della funzione di ripartizione in
k = 3 per la binomiale di parametri n = 10, p = 0.2, si verifica che si ottiene lo stesso
risultato ottenuto sopra.
pbinom(3,10,0.2)
## [1] 0.8791261
Il ritardo dei mezzi di trasporto pubblico è distribuito secondo una variabile casuale
X di tipo binomiale con parametri n = 6 e p = 0.55. Calcolare la probabilità di
osservare un numero di successi (ritardo accettabile) compreso tra 3 (escluso) e 5.
x1bin2
Bin(n=20, p=0.1) Bin(n=20, p=0.3)
0.30
0.30
0.20
0.20
P(x)
P(x)
0.10
0.10
0.00
0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
x x
Bin(n=20, p=0.5) Bin(n=20, p=0.9)
0.30
0.30
0.20
0.20
P(x)
P(x)
0.10
0.10
0.00
0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
x x
par(par2)
È interessante provare a usare il comando che genera numeri aleatori. Ad esempio,
potremmo generare al computer una sequenza casuale del tipo testa o croce. Generiamo
una sequenza di prove Bernoulliane con il comando rbinom() ottenendo 80 valori che
sono 1 (testa) o 0 (croce).
9set.seed(0) #per la riproducibilità dei risultati sim
0.20
probabilità
0.10
0.00
5 10 15 20
x
Cosa accade se facciamo variare n e p?
Possiamo utilizzare semplici strumenti di statistica descrittiva per valutare graficamente
l’accostamento di variabili discrete a modelli teorici di riferimento. Simuliamo, ad esem-
pio, dei dati da una Poisson di parametro (media) λ = 5 e confrontiamo la distribuzione
dei valori simulati con le probabilità teoriche. Useremo la funzione table() che calcola
una tabella di frequenza.
# generiamo 500 valori dalla Po(5)
n0.20
0.15
probabilità
0.10
0.05
0.00
0 2 4 6 8 10 12
x
Vediamo ora come possiamo usare R per risolvere alcuni semplici esercizi con vari-
abili aleatorie geometriche e binomiali negative. La variabile aleatoria Y con legge geo-
metrica di parametro p implementata in R assume valori 0, 1, 2, . . . e modella il numero
di insuccessi prima del primo successo (tempo di attesa per il primo successo); la sua
funzione di probabilità è P(k ) = p(1 − p)k , k = 0, 1, 2 . . . .
In R la densità e la funzione di ripartizione di una geometrica di parametro p si
ottengono rispettivamente con in comandi
dgeom
pgeom
Nota: Per ottenere la variabile aleatoria X che modella il ”tempo di arrivo del primo
successo” (valori 1, 2, 3, ...) è necessario operare la trasformazione X = Y + 1. Ad
esempio, se p = 0.2 la probabilità che il primo successo arrivi alla 10-ma prova è data dal
comando dgeom(10-1, 0.2), cioè bisogna considerare Y = X − 1. La funzione in R per
la probabilità della variabile casuale Binomiale negativa intesa come numero aleatorio
di insuccessi che precedono l’r-esimo successo
k+r−1 r
p(k) = p (1 − p)k , k = 0, 1, 2 . . .
r
è dnbinom().
12Si supponga di voler studiare l’effetto di un trattamento su una certa patologia, pre-
sente nel 10% della popolazione. In particolare, si vogliono individuare esattamente
10 individui che presentano la condizione oggetto di studio.
a. Qual è la probabilità che il numero di persone intervistate prima di trovare un
individuo affetto dalla patologia sia esattamente pari a 8?
b. Qual è la probabilità che il numero di persone da intervistare prima di trovare
10 individui affetti dalla patologia sia maggiore di 50?
c. Determinare il numero atteso di persone da intervistare per individuare i 10
pazienti da sottoporre al trattamento.
#a. tempo d'attesa per il primo 'successo': geometrica con p=0.1
dgeom(8, prob=0.1) #oppure dnbinom(8, size=1, prob=0.1)
## [1] 0.04304672
#b. tempo d'attesa per il decimo 'successo'
1-pnbinom(50, size=10, prob=0.1)
## [1] 0.9269345
#c. media=n/p
10/0.1
## [1] 100
Esercizi
1. Si calcoli la probabilità che lanciando 50 volte una moneta si ottenga testa più
di 45 volte.
2. Carlo acquista un biglietto in ciascuna di 50 diverse lotterie, e in ognuna la
probabilità di vittoria è 1/100. Si consideri la v.a. X = ’numero di successi alla
lotteria’. Calcolare la probabilità che Carlo risulti vincitore:
a) almeno una volta;
b) esattamente una volta;
c) almeno due volte.
Confrontare poi i risultati ottenuti supponendo di fare un’approssimazione
della distribuzione di X con una Poisson.
133. Qual è la probabilità di ottenere la prima T (testa) dopo tre C (croci) nel lancio
di una moneta truccata, tale per cui p = P( T ) = 1/8?
4. Si ottenga la funzione di probabilità della variabile aleatoria Y che rappresenta
il numero di carte di cuori che si osservano in una mano di 10 carte estratte
da un mazzo che ne contiene 52 (hint: si consideri la funzione dhyper()). Si
determinino media e varianza.
5. Si ottenga il grafico della densità e della funzione di ripartizione della variabile
casuale X ∼ Ge( p), per p = 0.2.
142. Distribuzioni di probabilità continue
Esempio: la distribuzione normale. Utilizzando la seguente funzione implementata
in R otteniamo il grafico della densità della distribuzione Gaussiana di media uguale a
media e deviazione standard sd (valori di default 0 e 1):
dnorm(x, mean = 0, sd = 1)
Come visto in precedenza, utilizziamo il comando plot(), mentre points() consente
di aggiungere punti in un grafico già esistente senza aprire una nuova finestra grafica;
l’opzione type="l" serve a unire i punti con una linea disegnando una funzione con-
tinua. In alternativa si può utilizzare il comando curve() per ottenere il grafico della
densità, e si può sovrapporre una nuova funzione attraverso il parametro add=T.
Nell’esempio seguente confrontiamo le densità delle distribuzioni Normali con medie
rispettivamente uguali a 0, 1, 3 e deviazioni standard uguali a 1 e 1.5 e 2.
xdnorm(1) # calcola il valore della densità nel punto 1
dnorm(c(-1,0,1)) # calcola il valore della densità nei punti -1, 0 e 1
pnorm(1) # calcola il valore della funzione di ripartizione in 1
qnorm(0.10) # calcola lo 0.10-quantile
Come detto, per ogni famiglia si può anche calcolare la funzione di ripartizione e
la sua inversa (funzione dei quantili). Cioè, possiamo usare R per risolvere semplici
problemi per cui si usano di solito le tavole.
Sia X ∼ N (170, 100). Si calcoli
a. P( X ≤ 185) e P(165 ≤ X ≤ 190);
b. lo scarto interquartile di X.
muConfrontare i grafici della densità Normale per diversi valori di µ, ad esempio
µ = −1, 0, 3 e deviazione standard σ = 1.3. Per gli stessi parametri costruire il
grafico della funzione di ripartizione.
Abbiamo già accennato al fatto che per molte distribuzioni è possibile estrarre uno o
più valori (pseudo) casuali. Questo sarà di grande utilità più avanti per semplici studi
di simulazione. Supponiamo di voler estrarre un certo numero di valori casuali da una
rettangolare (o uniforme continua) su (0, 1). Quale percentuale di questi dovremmo at-
tenderci che si trovi al di sotto del valore 0.4? La risposta è il 40% dei valori. Verifichiamo
allora il comportamento dei valori simulati rispetto a ciò che ci attendiamo.
#generiamo 500 valori da una R(0,1)
n0.08
0.06
densità
0.04
0.02
0.00
−5 0 5 10 15 20 25
Una seconda strategia, molto utile se i dati disponibili non sono molto numerosi e
quindi ha poco senso fare un istogramma, è quella di ottenere la funzione di ripartizione
empirica e poi sovrapporne il grafico alla funzione di ripartizione della variabile aleatoria
che ha generato i dati. La funzione di ripartizione empirica Fn ( x ) è calcolata sulla base di
n osservazioni x1 , . . . , xn di una variabile aleatoria ed è data dal numero di osservazioni
minori o uguali del valore x:
∑in=1 I { xi ≤ x }
Fn ( x ) =
n
Per n sufficientemente grande Fn ( x ) è prossima alla funzione di ripartizione F ( x )
della popolazione di provenienza del campione.
In R esiste la funzione ecdf() per calcolare una funzione di ripartizione empirica. Di
seguito riportato il codice per ottenere il grafico della f.d.r. per un campione di ampiezza
150 da una N (0, 1). La f.d.r. teorica è disegnata in rosso.
set.seed(9)
edf_normECDF and CDF
1.0
0.8
0.6
Fn(x)
0.4
0.2
0.0
−3 −2 −1 0 1 2 3
x
La distribuzione Gamma
Si provi a utilizzare l’Help per ottenere informazioni sulle funzioni implementate
per la distribuzione gamma:
• quali sono i parametri in input? come viene parametrizzata?
• quali distribuzioni si ottengono come casi particolari?
Usiamo la funzione qgamma() per calcolare la mediana della distribuzione gamma di
parametri a = 2 (shape) e s = 1/3 (scale).
qgamma(0.5, shape=2, scale=1/3)
## [1] 0.559449
qgamma(0.5, shape=2, rate=3)
## [1] 0.559449
# Attenzione allordine dei valori in input!
qgamma(0.5, 2, 1/3)
## [1] 5.035041
19Proviamo ora a confrontare i grafici delle densità di probabilità della distribuzione
gamma
1
f (x) = x a−1 e− x/s , 0 ≤ x < ∞,
Γ( a)s a
per diverse scelte dei parametri a > 0, s > 0. Si noti che, come visto, in R il secondo
parametro in input è rate ed è definito come 1/s. Dunque, ponendo n = a e λ = 1/s si
ottiene la parametrizzazione
λn n−1 −λx
x e 0 ≤ x < ∞, (1)
Γ(n)
Poniamo, ad esempio, a = 0.75, 1.5, 3.5 (shape) e scegliamo il parametro di scala s in
modo tale che la media (a ∗ s) risulti pari a 1.
xcurve(dexp(x, rate = 5), ylab = "densità", from = 0, to = 2,
main = "Distribuzione esponenziale")
curve(dgamma(x, shape=1, rate=5), type="l", add=TRUE, col=3, lty=2, lwd=3)
Distribuzione esponenziale
5
4
densità
3
2
1
0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
x
Inoltre anche le due seguenti linee di codice forniscono lo stesso risultato. Perchè?
pgamma(2, shape=3/2, rate=1/2)
## [1] 0.4275933
pchisq(2, df=3)
## [1] 0.4275933
Esercizi
1. Sia Z la variabile aleatoria normale standard. Calcolare
a. P( Z < 1)
b. P( Z > 1)
c. P( Z < −1)
d. P(0.3 < Z ≤ 0.5)
212. Confrontare i grafici della densità normale di media µ = 0 e diversi valori di
σ, ad esempio σ = 0.8, 1.3, 1.9. Per gli stessi parametri costruire il grafico della
funzione di ripartizione.
3. Si ottenga il grafico della densità di una variabile aleatoria Beta per diverse
scelte di parametri α e β.
4. Utilizzando R calcolare:
a. la probabilità che una variabile con distribuzione Gaussiana di media 3
e deviazione standar 2.1 assuma dei valori nell’intervallo (2.1, 4.5); che
assuma valori minori di 3.5 e valori maggiori di 2.3;
b. la probabilità che una variabile aleatoria con distribuzione log-normale
di parametri 1 e 0.2 assuma dei valori compresi tra 10 e 11; e che assuma
valori maggiori di 9;
c. P(5 < X < 8) dove X è una variabile aleatoria esponenziale di media 5.
5. Calcolare il valore della densità log-normale in 0.5 quando il parametro di
scala è 1 e quello di forma 4‘e 2. Sovrapporre sullo stesso grafico le funzioni
di densità di probabilità della distribuzione log-normale di parametri µ = 1,
σ = 1 e µ = 1.5, σ = 0.5.
6. Confrontare in uno stesso grafico le funzione di ripartizione della distribuzione
esponenziale di parametro λ = 1, 5, 10. Per ciascuna di queste distribuzioni
calcolare i quantili 0.75, 0.8, 0.95.
a. Qual è la probabilità che le vendite superino 1000?
b. Qual è la probabilità che le vendite stiano fra 1100 e 1300?
c. Qual è il valore delle vendite x ∗ che ha probabilità 0.10 di essere super-
ato?
223. Distribuzione normale bivariata
In R è possibile rappresentare graficamente funzioni di due variabili. Ad esempio, le fun-
zione persp() nel pacchetto graphics consente di visualizzare cosa accade nello spazio
in tre dimensioni. Si consideri la funzione di densità Gaussiana bivariata:
2
x −µ X y − µY 2 ( x −µ X )(y−µY )
1 − 1 2 + σ −2ρ
2(1− ρ ) σX Y σ σ
X Y
f ( x, y) = p e ,
2πσX σY 1 − ρ2
dove −∞ < x, y < ∞, σX , σY > 0 e ρ ∈ [−1, 1] è il coefficiente di correlazione lineare.
Il comando persp() ha una sintassi è simile alla funzione plot() già vista in prece-
denza. Gli argomenti sono le coppie di punti ( x, y), che formano un fitto reticolo su
un intervallo opportuno, e la funzione f ( x, y), che viene valutata sui punti del reticolo
tramite la funzione outer() (si veda ?outer).
Fissati i parametri µ X = µY = 0, σX = σY = 1, definiamo la funzione NBiv, che calcola
la densità congiunta in funzione del coefficiente di correlazione ρ.
NBivf(x,y)
x y
• Si utilizzi la funzione definita sopra per ottenere il grafico della densità nor-
male bivariata f ( x, y) di parametri µ X = µY = 0, σX = σY = 1 per X, Y
indipendenti.
• Si ottengano i grafici della densità normale bivariata per diversi valori dei
parametri µ X , µY , σX , σY , ρ.
Un piano parallelo al piano ( x, y) interseca orizzontalmente la superficie campanu-
lare di una normale bivariata, formando un ellissoide tale per cui, in ogni punto ( x, y)
appartenente all’ellisse, la funzione di densità è costante f ( x, y) = k. Vediamo come
disegnare in R le curve di livello per diversi valori di ρ.
par(mfrow=c(1,3))
#curve di livello
rhocontour(xx,yy,z, main="rho=0") rho
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