Intuizione e rigore nella nascita e nello sviluppo del calcolo infinitesimale - MatematicAlexis
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Intuizione e rigore
nella nascita e nello sviluppo
del calcolo infinitesimale
Marco Bramanti
Come storicamente sono nati il concetto di limite e il concetto di derivata.
Perché questo può essere interessante?
"Nulla è più importante che vedere le sorgenti dell'invenzione, che sono, a
mio avviso, degne di interesse ancora maggiore di quella dovuta all'invenzione
stessa" (Leibniz).
"L'invenzione del calcolo infinitesimale, accanto alla geometria euclidea, è la
più grande creazione in tutta la matematica." (Morris Kline)
1
La matematica che conosciamo è nata e si è sviluppata sulla spinta:
1) della sfida posta da problemi esterni (es.: problemi fisici);
2) di esigenze che obbediscono alla sua logica interna.
Non sempre la matematica nasce già rigorosa.
In certe sue fasi storiche, la matematica ha allentato le richieste di rigore per avere
più efficacia nel risolvere problemi urgenti;
tuttavia, a lungo andare il progresso matematico richiede rigore: senza rigore, dopo
alcuni passi la ricerca matematica cade.
Il 1600-1700 è un periodo storico in cui la matematica fu poco rigorosa, perché
aveva qualcosa di urgente da fare: far nascere la scienza moderna;
il 1800 fu invece chiamato "il secolo del rigore": finalmente si capì davvero il
fondamento di ciò che da 200 anni si stava facendo.
2
Da Galileo a Newton: l'urgenza di una nuova matematica
per la nascita della scienza nel 1600
Galileo: 1564-1642 Newton: 1642-1727
3
La "nuova matematica" creata ai tempi di Galileo:
1585: uso dei numeri decimali (con la virgola): Simon Stevin, 1548-1620;
1591: algebra simbolica, Francois Viète, 1540-1603;
1614: logaritmi, John Napier, 1550-1617; Jobst Bürgi, 1552-1632,
Henry Briggs, 1561-1631;
1637: geometria analitica, René Descartes, 1596-1650,
e Pierre de Fermat, 1601-1665
(quindi, rappresentazione grafica di una funzione).
Galileo non si fidò mai di questa "matematica moderna", che probabilmente
giudicava non rigorosa (come in effetti era, come vedremo).
Newton utilizzò invece tutti questi strumenti, e ne inventò altri di totalmente nuovi:
le derivate, gli integrali, le serie numeriche; in breve, inventò il calcolo infinitesimale.
4
Confrontiamo i due personaggi su un esempio concreto: la legge di caduta dei gravi.
Newton:
" #
=œ 1> .
#
Galileo:
"Gli spazi percorsi in tempi diversi stanno tra loro come i quadrati dei tempi"
ossia
=" À =# œ >#" À >## Þ
In Newton: In Galileo:
compare la costante di proporzionalità 1 nessuna "costante fisica"
idea di funzione idea di proporzione
=ß 1ß > sono numeri, dimensionati =" ß =# ß >" ß ># non sono numeri ma grandezze
l'unità di misura è importante l'unità di misura è indifferente
5L'invenzione del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz
Precursori e pionieri del calcolo infinitesimale in epoca moderna
1571-1630 Johann Keplero massimi, aree, volumi
1584-1667 Gregorio di St. Vincent area sotto l'iperbole
1596-1650 René Descartes normali
1598-1647 Bonaventura Cavalieri aree e volumi
1601-1665 Pierre de Fermat massimi e minimi, tangenti, aree
1602-1675 Gilles Persone de Roberval tengenti, aree
1608-1647 Evangelista Torricelli aree e volumi
1616-1703 John Wallis aree
1620-1687 Nicolaus Mercator serie di potenze per il logaritmi
1623-1662 Blaise Pascal aree
1630-1677 Isaac Barrow aree, tangenti, lunghezza d'arco
1638-1675 James Gregory aree, serie
1642-1727 Isaac Newton serie, flussioni, th. fondam. del calcolo
1646-1716 Gottfried Wilhelm Leibniz differenziali, th. fondam. del calcolo
1661-1704 Guillaume F. l'Hospital testo sul calcolo differenziale
1667-1748 Johann Bernoulli calcolo sugli esponenziali
6Problemi che Newton si pone sulle "fluenti" (=funzioni):
1. Il problema di determinare la velocità (istantanea) di variazione della grandezza
fluente;
2. Il problema di determinare la retta tangente al grafico, (in relazione al problema
della ricerca dei "punti di massimo e minimo" della funzione).
Motivazioni che si ponevano nel XVII sec. per questi problemi:
• problemi di ottica legati alla fabbricazione di lenti (serve la normale alla curva,
quindi la tangente);
• problemi di massimo e minimo in astronomia (es. punti di massima/minima
distanza dal sole di un pianeta), balistica (es. angolo di alzo di un cannone che rende
massima la gittata);
• problemi di cinematica (la velocità di un punto mobile è tangente alla sua
traiettoria in ogni istante).
• studio dei moti in cui la velocità cambia ad ogni istante (es. caduta di un grave,
rotolamento su un piano inclinato, oscillazioni di un pendolo): serve una nozione di
velocità istantanea.
7Newton attacca i due problemi simultaneamente, in quanto:
1. Dà una definizione analitica di flussione (derivata) della funzione Ba>b; la
definizione si regge sul concetto suggestivo, vago e insidioso di "primo rapporto di
incrementi nascenti".
2. Ragionando sul grafico della funzione Ba>b, mostra che tale velocità istantanea
non è altro che il coefficiente angolare della retta tangente: per far questo usa un
suggestivo argomento geometrico di similitudine tra un triangolo fissato ed uno
variabile ed "evanescente"; al tempo stesso, questa similitudine geometrica supporta
l'evidenza del fatto che il "primo rapporto di incrementi nascenti", precedentemente
citato, esista effettivamente.
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Dall'Introductio ad Quadratura Curvarum:
(scritta nel 1676, pubblicata nel 1704 in appendice all'Ottica)
Anzitutto la definizione di derivata:
"Le flussioni stanno tra loro come gli incrementi delle fluenti generati in uguali
intervallini di tempo, tanto più accuratamente quanto più brevi sono questi. Per parlare
più accuratamente, stanno tra loro come i primi rapporti degli incrementi nascenti".
11Se ad esempio C œ 0 aBb, Newton considera B œ Ba>bß C œ Ca>b ed esprime ciò che
noi chiamiamo Cw aBb come Cw a>bÎBw a>b. Questo rapporto, dice, è tanto più
accuratamente uguale al rapporto degli incrementi delle fluenti quanto più gli intervalli
di tempo sono piccoli, cioè:
Cw a>b Ca> 9b Ca>b
¶
Bw a>b Ba> 9b Ba>b
o, semplificando le cose nel caso B œ >:
Ca> 9b Ca>b
C a>b ¶
w
9
dove, col suo linguaggio, 9 è l'istante evanescente.
12Relazione col concetto di tangente.
"Si conduca la retta G- e la si prolunghi fino a O . Ritorni l'ordinata ,- al suo luogo
iniziale FG , e andando a coincidere i punti G e - , la retta GO coinciderà con la
tangente GL , e il triangolo evanescente GI- , nella sua ultima forma, svanirà simile
al triangolo GIX , e i suoi lati evanescenti GIß I- e G- staranno tra loro, in ultimo,
come stanno tra loro i lati dell'altro triangolo GIX ß GIß IX e GX , e perciò in questo
rapporto stanno le flussioni delle linee EFß FG e EG ".
13Newton "dimostra" così che il "primo rapporto degli incrementi nascenti" (cioè la
flussione) è uguale al coefficiente angolare della retta tangente. Poi prosegue:
"Se i punti G e - distano di un qualsiasi intervallo per quanto piccolo, la retta GO
disterà per un piccolo intervallo dalla tangente. Affinché la retta GO coincida con la
tangente GL , e si trovino i rapporti ultimi delle linee GI , IG e G- , i punti G e -
devono concorrere fino a coincidere del tutto. Nelle cose matematiche non si devono
commettere errori per quanto minimi".
14Vediamo la sua definizione alla prova dei fatti: come calcola la derivata di una potenza.
Dallo Scholium alla sez. I dei "Principia", scritto nel 1687:
"Fluisca la quantità B uniformemente, e si debba trovare la flussione della quantità B8 . Nel
tempo in cui la quantità B fluendo diventa B 9, la quantità B8 diventa aB 9b8 , cioè, per il
metodo delle serie infinite,
8 8" 8a8 "b # 8#
B 89B 9 B ecc.
#
E gli incrementi,
8a8 "b # 8#
9 e 89B8" 9 B ecc.
#
stanno tra loro come
8" 8a8 "b 8#
" sta a 8B 9B ecc.
#
Svaniscano ora quegli incrementi, e il loro ultimo rapporto sarà di " a 8B8" : e perciò la
flussione di B sta alla flussione di B8 come " sta a 8B8" .
15Col nostro linguaggio:
0 aB b œ B 8
8a8 "b # 8#
0 aB 9b œ aB 9b8 œ B8 89B8" 9 B ecc.
#
8a8"b # 8#
0 a B 9 b 0 aB b B‚8 89B8" # 9 B ecc. B‚8
œ œ
9 9
8a8 "b 8#
œ 8B8" 9B ecc.
#
"Svaniscano ora quegli incrementi..." (cioè: facciamo tendere a zero 9), e troveremo:
8B8"
16"Forse può essere obiettato che non c'è alcun ultimo rapporto di grandezze
evanescenti; perché il rapporto, prima che le quantità siano svanite, non è
l'ultimo, e quando sono svanite, non c'è. Ma con lo stesso argomento si
potrebbe sostenere che un corpo che arriva in un certo posto e lì si ferma, non
ha un'ultima velocità, perché la velocità, prima che il corpo arrivi nel luogo,
non è l'ultima velocità, e quando è arrivato, non esiste. Ma la risposta è facile;
perché per ultima velocità si intende quella con cui il corpo si muove né prima
di arrivare nel suo luogo finale né dopo, ma nel preciso istante in cui arriva.
(...) E analogamente, per ultimo rapporto di grandezze evanescenti si deve
intendere il rapporto delle quantità non prima che esse svaniscano e non dopo,
ma il rapporto con cui esse svaniscono".
Per quanto vago e criticabile, questo concetto di flussione, nelle mani di Newton, si
rivelò potentissimo.
Con gli strumenti matematici del calcolo infinitesimale, Newton costruì l'edificio
della fisica come la studiamo oggi.
17In effetti Newton in alcuni passi seppe esprimere in modo molto preciso e corretto
(anche se puramente discorsivo) il concetto di limite:
"Quegli ultimi rapporti con cui le quantità svaniscono non sono
effettivamente rapporti di quantità ultime, ma limiti a cui i rapporti di quantità
che decrescono indefinitamente si avvicinano con continuità, e a cui essi si
possono avvicinare così strettamente che la loro differenza è minore di
qualsiasi assegnata quantità, ma che essi non possono né superare né
raggiungere prima che le quantità siano indefinitamente diminuite. (...) Di
conseguenza, ogni volta che, per rendere le cose più semplici da comprendere,
io parlerò in ciò che segue di quantità infinitamente piccole o evanescenti, o
ultime, abbiate cura di non intendere quantità che siano determinate nella
grandezza, ma pensate sempre a quantità che devono essere diminuite
indefinitamente".
(Dallo Scholium alla sez. I dei Principia).
18In questo passo troviamo:
• l'idea di limite come quantità costante a cui una quantità variabile si avvicina
indefinitamente;
• l'idea che questo "avvicinarsi indefinitamente" possa essere precisato
quantitativamente;
• l'idea moderna di infinitesimo come quantità variabile che diviene indefinitamente
piccola, anziché come quantità costante infinitamente piccola.
Si capisce quindi che Newton, nella sostanza, aveva una comprensione chiara del
significato dei suoi procedimenti; tuttavia, mantenne queste idee sul piano discorsivo,
non riuscì a incorporarle effettivamente e operativamente nella teoria, ad esempio,
introducendo un simbolo analogo al nostro "lim" per distinguere, anche nelle
notazioni, un quoziente dal limite del quoziente.
19A proposito della "nuova matematica" di Newton:
in realtà, per rendere più accettabile dall'ambiente scientifico del tempo le
conclusioni della sua opera, Newton nei "Principia" fece un uso moderato del calcolo
infinitesimale, ed utilizzò abbondanti argomentazioni geometriche (come aveva fatto
Galileo).
2021
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Nel 18° secolo, matematici e fisici si scatenarono, estendendo i metodi del calcolo
infinitesimale, in matematica, e applicandoli ai più svariati campi della fisica.
Principali analisti del 18° secolo e applicazioni del calcolo infinitesimale
1622-1703 Vincenzo Viviani integrazione multipla
1646-1716 Gottfried Wilhelm Leibniz derivate parziali, equazioni differenziali
1654-1705 Jakob Bernoulli problema della brachistocrona
1667-1748 Johann Bernoulli pb. della brachistocrona, equaz. differ.
1685-1731 Brook Taylor serie di Taylor
1685-1753 George Berkeley critica ai fondamenti del calcolo
1687-1753 Nicolaus I Bernoulli regole per le derivate parziali
1698-1746 Colin MacLaurin testi di calcolo infinitesimale
1700-1782 Daniel Bernoulli problema della corda vibrante
1707-1783 Leonhard Euler equaz. differenziali, libri di testo
1713-1765 Alexis Clairaut equazioni differenziali
1717-1783 Jean D'Alembert problema della corda vibrante
1718-1799 Maria Agnesi testi di calcolo differenziale
1736-1813 Joseph Lagrange calcolo con serie di potenze
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Cauchy, il concetto di limite
e i fondamenti del calcolo infinitesimale
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)
La definizione di limite
Cauchy, Corso di Analisi (1821), Lezioni sul Calcolo Differenziale (1829), scritti per
l'Ecole Polytechnique:
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In queste opere (1821-1823), Cauchy:
• introduce la nozione moderna di limite;
mediante questa nozione dà la prima definizione rigorosa di:
• funzione infinitesima,
• funzione continua,
• derivata,
• integrale definito,
• convergenza di una serie.
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Se vogliamo descrivere il concetto di infinitesimo non dobbiamo pensare ad una
quantità costante che è infinitamente piccola, ma dobbiamo pensare ad una quantità
variabile che diviene indefinitamente piccola: questa è la grande differenza.
"Quando i valori successivamente attribuiti ad una stessa variabile si avvicinano
indefinitamente ad un valore fissato, in maniera da finire col differire da questo di
tanto poco quanto si vuole, quest'ultimo (valore fissato) è detto il limite di tutti gli
altri. (...) Indicheremo il limite verso cui converge una data variabile con
l'abbreviazione lim posta davanti a questa variabile".
29"Sovente i limiti verso cui convergono delle espressioni variabili si presentano in
forma indeterminata, e ciò non ostante si può ancora fissare, con l'aiuto di metodi
particolari, i veri valori di questi stessi limiti. Così, per esempio, i limiti a cui si
avvicinano indefinitamente le due espressioni variabili
sin!
ß a" ! b
"
!
!
quando ! converge verso zero, si presentano sotto le forme indeterminate !! ß "„_ ; e
pertanto questi limiti si possono calcolare come segue.
Si ha evidentemente, per valori numerici molto piccoli di !,
sin! sin! sin!
Þ
sin! ! tan!
Di conseguenza il rapporto sin!! , sempre compreso tra le quantità sin !
sin! œ "ß e
sin!
tan! œ cos!, dove il primo è limite del secondo, avrà lui stesso l'unità come limite.
(...)"
30La distinzione netta tra la funzione (quantità variabile) e il limite a cui essa tende
(quantità costante), è non solo affermata a parole da Cauchy, ma incorporata
formalmente nella teoria, con l'introduzione del simbolo "lim". Questo è un enorme
passo avanti rispetto a Newton.
Confrontiamo ancora con Newton:
"(...) ogni volta che, per rendere le cose più semplici da comprendere, io parlerò in
ciò che segue di quantità infinitamente piccole o evanescenti, o ultime, abbiate cura di
non intendere quantità che siano determinate nella grandezza, ma pensate sempre a
quantità che devono essere diminuite indefinitamente (...)".
"Quantità infinitamente piccola" è il concetto suggestivo, ambiguo e in ultima
analisi fuorviante con cui dai tempi di Zenone (nell'antica Grecia) fino al 18° secolo si
è denotato simultaneamente una quantità variabile che diviene indefinitamente
piccola, e la quantità costante (il limite zero) a cui essa tende. Il superamento di
questa confusione di concetti ha sbloccato lo sviluppo del pensiero matematico,
consentendo un progresso mai visto prima.
31Dai limiti alla continuità
Karl Theoodor Wilhelm Weierstrass, 1815-1897
Weierstrass, 1886 dà la epsilon-delta definizione di limite:
per dire che una grandezza diventa sempre più piccola è sufficiente dire che è più
piccola di un numero reale epsilon arbitrariamente prefissato, purché la variabile
differisca per meno di un numero delta opportuno da un certo valore fissato.
32Rispetto alla formulazione "discorsiva" di Cauchy della definizione di limite, quella
di Weierstrass si presta meglio ad essere utilizzata operativamente in dimostrazioni
anche complesse.
Nella sistemazione moderna dei primi elementi del calcolo infinitesimale, i problemi
maggiori si incontrano non tanto nel dimostrare le proprietà principali delle derivate e
degli integrali (che costituiscono il cuore della teoria, dal punto di vista operativo), ma
in alcune delicate proprietà dei limiti e delle funzioni continue, su cui si basano poi
altre proprietà di derivate e integrali.
Una funzione continua è una grandezza che varia in modo continuo ossia tale che il
suo grafico sia una curva continua, proprio nel senso intuitivo del termine: può essere
tracciata "senza staccare la penna dal foglio".
Funzione continua Funzione discontinua
33Mediante la nozione di limite di Cauchy si può dare una definizione rigorosa di
funzione continua, si possono cominciare a studiare le proprietà delle funzioni
continue, e ci si imbatte in nuovi problemi.
"Se una funzione continua su un intervallo ha segno opposto nei due estremi
dell'intervallo, deve esistere un punto dell'intervallo in cui si annulla"
Perché è vero? Perché la curva (grafico) e la retta (asse B) sono linee continue, "non
hanno buchi". Ma cosa significa esattamente che non hanno buchi? E come si
dimostra?
Dipende dalle proprietà dell'insieme dei numeri reali...
34L'essenza della continuità: i numeri reali
Richard Dedekind, 1831-1916
Dedekind,1872, "Continuità e numeri irrazionali"
35"Nell'autunno del 1858, come professore al Politecnico di Zurigo, mi trovai per la
prima volta a dover tenere lezioni sul calcolo differenziale, e sentii più acutamente che
mai in precedenza la mancanza di un fondamento realmente scientifico per
l'aritmetica. Specialmente nel provare il teorema che ogni grandezza che cresce con
continuità, ma non oltre ogni limite, deve certamente tendere a un valore limite, io
dovetti ricorrere ad evidenze geometriche. Si afferma frequentemente che il calcolo
differenziale tratta con grandezze continue, e tuttavia non viene mai data una
spiegazione di questa continuità; anche le più rigorose esposizioni del calcolo
differenziale non basano le loro dimostrazioni sulla continuità ma, con maggiore o
minore consapevolezza del fatto, si appellano a nozioni geometriche o suggerite dalla
geometria, o dipendono da teoremi che non sono mai stabiliti in modo puramente
aritmetico".
L'ulteriore passo che attendeva di esser fatto, per una chiarificazione del calcolo
infinitesimale, era un fondamento chiaro e definitivo della teoria dei numeri reali, che fornisse
un fondamento analitico chiaro alle varie idee connesse al concetto di continuità.
Il saggio di Dedekind:
• definisce costruttivamente i numeri reali a partire dai numeri razionali
• coglie la proprietà fondamentale dei numeri reali, che non ha invece il sistema dei
numeri razionali: la continuità.
36L'aritmetizzazione dell'analisi
Sulla base di questo fondamento della teoria dei numeri reali sarà possibile a
Weierstrass, dimostrare le proprietà-chiave dei limiti e delle funzioni continue.
Il cerchio quindi si chiude: la teoria conduce dal sistema dei numeri razionali
(dominio dell'aritmetica) a quello dei numeri reali, alla nozione di limite, alle proprietà
delle funzioni continue, e finalmente ai concetti di base del calcolo differenziale e
integrale e le loro proprietà.
Questo processo è stato chiamato aritmetizzazione dell'analisi.
37Le costruzioni matematiche
Cosa significa definizione costruttiva in matematica?
Per definire l'oggetto elementare che appartiene a una teoria complessa, lo si
introduce come oggetto complesso di una teoria semplice.
Nel caso dei numeri reali:
consideriamo l'insieme dei numeri razionali e spacchiamolo in due: diciamo "tutti
questi numeri razionali a destra, tutti questi a sinistra". Questa suddivisione di in
due insiemi è ciò che Dedekind chiama un taglio, o sezione, ed è un insieme di infiniti
numeri razionali.
Talvolta la sezione individua come elemento separatore un numero razionale, come
nel caso:
œ eB − À B Ÿ "f eB − À B "f.
Talvolta invece no, come nel caso:
œ ˜B − À B Ÿ ! oppure B ! e B# Ÿ #™ ˜B − À B ! e B# #™.
38Ora Dedekind definisce "insieme dei numeri reali" l'insieme di tutte le sezioni.
Le sezioni che individuano come elemento separatore un numero razionale si
identificano con i "vecchi" numeri razionali; le altre sezioni si identificano con
"nuovi" numeri, che saranno i numeri irrazionali.
La cosa metodologicamente interessante è che si identifica un numero reale,
l'oggetto che si deve definire (l'oggetto semplice della teoria complessa), con un
particolare insieme di infiniti numeri razionali (oggetto complesso della teoria più
semplice).
Nell'insieme dei numeri reali così definito si definiscono la somma, il prodotto, la
relazione Ÿ . Si dimostrano le usuali proprietà delle operazioni e della relazione
d'ordine, e infine si dimostra la proprietà di continuità:
Se consideriamo ora una sezione di numeri reali (non più di numeri razionali) ossia
una suddivisione di ‘ in due insiemi, del tipo "tutti questi numeri reali a destra, tutti
questi a sinistra", ora la sezione individua sempre un elemento separatore (razionale o
irrazionale).
39Procedimenti infiniti e insiemi infiniti
Notiamo che con questo genere di costruzioni entra a far parte della pratica
matematica l'utilizzo, che diventerà poi sistematico, degli insiemi di infiniti oggetti
matematici. Dedekind considera infiniti numeri razionali come un numero reale.
E quando vorrà definire la somma di due numeri reali questo implica che si sappia
operare su insiemi di infiniti oggetti che concepiamo, ciascuno, come un oggetto
matematico. Questa è un'idea fondamentale che attraverso tutti gli studi dell'800 e in
particolare quelli dell'analisi viene emergendo: il concetto di insieme, e in particolare
di insieme infinito.
Quindi: la nozione di infinito e la nozione di insieme sono le due nozioni strumento
metodologico della grande unificazione compiuta nell'analisi dell'800.
E questi concetti apriranno nuovi orizzonti e nuovi problemi all'analisi di fine '800-
inizio '900. Ma questa è un'altra storia...
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