UNA NUOVA MISURA DI RISCHIO IL VALUE-AT-RISK: MODELLI DI STIMA DEL RISCHIO DI MERCATO
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UNA NUOVA MISURA DI RISCHIO IL VALUE-AT-RISK:
MODELLI DI STIMA DEL RISCHIO DI MERCATO
prof.ssa Annalisa Di Clemente
Dispense didattiche di “Economia dei mercati monetari e finanziari”
Facoltà di Scienze Politiche
Università di Roma “La Sapienza”
a.a. 2008-2009
1DEFINIZIONE REGOLAMENTARE DI RISCHIO DI MERCATO
- CON L’ESPRESSIONE “RISCHIO DI MERCATO” SI INTENDE LA PERDITA
DI VALORE DELLE POSIZIONI CREDITORIE (LONG) E DEBITORIE (SHORT)
DEL PORTAFOGLIO NON IMMOBILIZZATO, OSSIA DI NEGOZIAZIONE O
DI TESORERIA, DI UN’IMPRESA D’INVESTIMENTO E/O DI UN ENTE
CREDITIZIO DERIVANTE DA FLUTTUAZIONE AVVERSE DEI FATTORI DI
MERCATO RILEVANTI Fj (con j =1, …, M).
- PER PORTAFOGLIO NON IMMOBILIZZATO (TRADING BOOK)
S’INTENDONO LE POSIZIONI IN TITOLI E RELATIVI DERIVATI ASSUNTE IN
UN’OTTICA DI BREVE PERIODO CON FINALITA’ DI SPECULAZIONE
(POSIZIONI ASSUNTE IN NOME E IN CONTO PROPRIO) O DI
SODDISFAZIONE DI ESIGENZE DI NEGOZIAZIONE DELLA CLIENTELA
(POSIZIONI ASSUNTE IN NOME E IN CONTO TERZI).
- CON FATTORI DI MERCATO RILEVANTI S’INTENDONO: PREZZI AZIONARI,
TASSI DI INTERESSE, TASSI DI CAMBIO, PREZZO MERCI, E VOLATILITA’ DI
TALI VARIABILI.
2TIPOLOGIE REGOLAMENTARI DI RISCHIO DI MERCATO
LA DIRETTIVA COMUNITARIA 93/6 DEL MARZO 1993 (CAD)
SULL’ADEGUATEZZA PATRIMONIALE DELLE IMPRESE
D’INVESTIMENTO E DEGLI ENTI CREDITIZI (ISTITUZIONI) AL FINE DI
CALCOLARE I REQUISITI MINIMI PATRIMONIALI A COPERTURA
DEL RISCHIO DI MERCATO DELLE ISTITUZIONI, ATTRAVERSO IL
COSIDDETTO METODO “A BLOCCHI” (BUILDING BLOCK APPROACH),
ARTICOLA IL RISCHIO DI MERCATO IN CINQUE DISTINTE TIPOLOGIE:
• RISCHIO DI POSIZIONE
• RISCHIO DI REGOLAMENTO
• RISCHIO DI CONTROPARTE
• RISCHIO DI CAMBIO
• RISCHIO DI CONCENTRAZIONE
3TIPOLOGIE REGOLAMENTARI DI RISCHIO DI MERCATO
- CON RISCHIO DI POSIZIONE S’INTENDE IL RISCHIO CHE SORGE DA
FLUTTUAZIONI INDESIDERATE DEI VALORI (DI MERCATO) DEGLI STRUMENTI
FINANZIARI LEGATE A FATTORI ATTINENTI SIA AL GENERALE ANDAMENTO
DEI MERCATI (RISCHIO GENERICO) CHE ALLA PARTICOLARE SITUAZIONE
DELL’EMITTENTE (RISCHIO SPECIFICO).
- IL RISCHIO DI REGOLAMENTO SI DETERMINA QUALORA LA CONTROPARTE,
DOPO LA SCADENZA DEL CONTRATTO, NON ADEMPIA AL PROPRIO OBBLIGO DI
CONSEGNA DEI TITOLI E/O DEGLI IMPORTI DI DENARO DOVUTI.
- IL RISCHIO DI CONTROPARTE ATTIENE ALL’EVENTUALITA’ CHE LA
CONTROPARTE NON ADEMPIA AI PROPRI OBBLIGHI CONTRATTUALI ALLA
SCADENZA (TALE RISCHIO GRAVA SUI TITOLI DERIVATI NEGOZIATI SUI
MERCATI OTC).
- IL RISCHIO DI CAMBIO RAPPRESENTA LA POSSIBILITA’ DI SUBIRE PERDITE IN
SEGUITO AD AVVERSE VARIAZIONI DEI CORSI DELLE VALUTE. (TALE RISCHIO
VIENE CALCOLATO IN RIFERIMENTO ALL’INTERO BILANCIO
DELL’ISTITUZIONE).
- IL RISCHIO DI CONCENTRAZIONE RIGUARDA PORTAFOGLI COMPOSTI DA
UNA QUOTA ELEVATA DI TITOLI EMESSI DALLO STESSO EMITTENTE O DA
GRUPPI EMITTENTI COLLEGATI.
4CONTESTO STORICO
I RISCHI DI MERCATO HANNO ASSUNTO NELL’AMBITO DEI MERCATI
FINANZIARI INTERNAZIONALI UNA RILEVANZA CRESCENTE A PARTIRE
DAGLI ANNI ’80 IN SEGUITO A TRE FENOMENI RILEVANTI:
- IL PROCESSO DI TITOLARIZZAZIONE O CARTOLARIZZAZIONE.
- LA PROGRESSIVA CRESCITA DEI MERCATI DERIVATI.
- L’AUMENTO DELLA VOLATILITA’ DEI MERCATI FINANZIARI IMPUTABILE
ALLA PROGRESSIVA INTERNAZIONALIZZAZIONE DEGLI STESSI.
EFFETTI: AFFINAMENTO DELLE TECNICHE DI MISURAZIONE AL MERCATO
(MARKING TO MARKET) DELLE SINGOLE POSIZIONI DETENUTE DAGLI INTERMEDIARI
FINANZIARI; EVIDENZIAZIONE DEI PROFITTI E DELLE PERDITE CONNESSI ALLE
VARIAZIONI DI BREVE PERIODO DELLE CONDIZIONI DI MERCATO; ABBANDONO
DELL’APPROCCIO TRADIZIONALE ALLA MISURAZIONE DEL RISCHIO DI MERCATO
BASATO SUI VALORI NOMINALI DELLE SINGOLE POSIZIONI; ADOZIONE DELLE MISURE
DI SENSITIVITA’.
5CONTESTO STORICO
MISURE DI SENSITIVITA’:
- BETA (AZIONI)
- DURATION; DURATION MODIFICATA E CONVEXITY (OBBLIGAZIONI)
- GRECHE: DELTA, GAMMA, VEGA, THETA E RHO (DERIVATI).
LIMITI: L’UTILIZZO DI LINGUAGGI DIFFERENTI IMPEDISCE DI
CONFRONTARE RISCHI ASSUNTI IN DIVERSE AREE DI ATTIVITA’ DI
NEGOZIAZIONE E DI AGGREGARE FRA LORO I RISCHI DI POSIZIONI
DIVERSE. CIO’ OSTACOLA LA COMUNICAZIONE ORIZZONTALE (TRA
DIVERSE CATEGORIE DI OPERATORI) E QUELLA VERTICALE (NEI
CONFRONTI DEL MANAGEMENT DELLA BANCA).
ESIGENZA: OTTENERE UNA MISURA DEL RISCHIO COMPLESSIVO
ASSUNTO DALL’ISTITUZIONE ATTRAVERSO UNA MISURA DI RISCHIO
OMOGENEA: VALUE-AT-RISK (VaR) O CAPITAL-AT-RISK (CaR) VALORE
A RISCHIO O CAPITALE A RISCHIO DELL’ISTITUZIONE IN SEGUITO A
FLUTTUAZIONI AVVERSE DEI FATTORI DI MERCATO RILEVANTI PER LE
POSIZIONI ASSUNTE NEL TRADING BOOK.
6DEFINIZIONE DI VALUE-AT-RISK
PER DEFINIRE CORRETTAMENTE IL VALORE A RISCHIO OCCORRE FARE
RIFERIMENTO A QUATTRO ELEMENTI FONDAMENTALI:
- LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE (ML) CHE UNA POSIZIONE O UN
PORTAFOGLIO DI POSIZIONI PUO’ SUBIRE.
- UN CERTO LIVELLO DI CONFIDENZA O DI PROBABILITA’ DI ACCADIMENTO
DELLA ML.
- UN DETERMINATO ORIZZONTE TEMPORALE.
- LA PERDITA ATTESA SULLA POSIZIONE O SUL PORTAFOGLIO (EL).
- IL VaR ESPRIME QUINDI LA VARIABILITA’ DELLA PERDITA ATTORNO AL
VALORE ATTESO. IN ALTRI TERMINI ESPRIME LA DISTANZA O LA
DIFFERENZA TRA LA MASSIMA PERDITA, CALCOLATA IN CORRISPONDENZA
DI UN CERTO LIVELLO DI CONFIDENZA c ALL’INTERNO DI UN PRECISO
ORIZZONTE TEMPORALE t, E LA PERDITA ATTESA ASSOCIATA ALLA SINGOLA
POSIZIONE O ALL’INTERO TRADING BOOK DEL’ISTITUZIONE.
- IL VaR E’ ESPRESSO IN TERMINI MONETARI.
7DEFINIZIONE DI VALUE-AT-RISK
IL VaR(c) E’ QUINDI LA DIFFERENZA TRA ML(c) ED EL CACOLATA SU UN
PRECISO ORIZZONTE TEMPORALE PARI A t:
VaR(c) = ML(c)−EL
- ML(c) E’ LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE CHE UNA POSIZIONE O UN
PORTAFOGLIO DI POSIZIONI PUO’ SUBIRE IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI
CONFIDENZA O DI PROBABILITA’ c DOVE 95%≤c≤99,9% ALL’INTERNO DI UN
ORIZZONTE TEMPORALE t = 1 GIORNO, 7 GIORNI, 10 GIORNI, 15 GIORNI, ECC.
- EL E’ LA PERDITA ATTESA (MEDIA) REGISTRATA DALL’ATTIVITA’
FINANZIARIA O DAL PORTAFOGLIO NELL’ARCO TEMPORALE PRESCELTO.
DATA TALE DEFINIZIONE DI TIPO PROBABILISTICO DI VaR, ESISTE QUINDI UNA
PROBABILITA’ PARI AD 1−c DI INCORRERE IN UNA PERDITA’ MAGGIORE DEL VaR
STESSO ALL’INTERNO DELL’ORIZZONTE TEMPORALE DI RIFERIMENTO.
ANALITICAMENTE: Pr(L>VaR) = 1−c.
8RAPPRESENTAZIONE GRAFICA TRADIZIONALE DI VALUE-AT-RISK
σ
5%
R
µ
R*
Pr ob[ R < R*] = 0.05
Pr ob[ R < R*] = Pr ob[ Z < ( R * − µ ) / σ ]
R* = µ − 1.65σ
VaR = VM (µ - R*) = 1,65 σ VM
9MODELLI DI STIMA DEL VALUE-AT-RISK
- MODELLI PARAMETRICI o ANALITICI o VARIANZA-COVARIANZA.
- MODELLI BASATI SULLE SIMULAZIONI (STORICA E MONTE
CARLO).
- MODELLI “SEMIPARAMETRICI”: SIMULAZIONE + EVT (EXTREME
VALUE THEORY) E MODELLI IBRIDI: VARIANZA-COVARIANZA + HS.
PECULIARITA’ DEI MODELLI VARIANZA-COVARIANZA:
- IL RISCHIO E’ MISURATO COME FUNZIONE DELLA VOLATILITA’ O
DELLE POSIZIONI STESSE (MODELLO ASSET NORMAL) O DEI FATTORI DI
RISCHIO RILEVANTI (MODELLO DELTA-NORMAL) E DELLE
CORRELAZIONI TRA I FATTORI DI RISCHIO.
- LA DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DI CONFIDENZA DESIDERATO, E
QUINDI IL CALCOLO DEL CORRISPONDENTE PERCENTILE, E’
SUBORDINATO ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI
RENDIMENTI DELLE ATTIVITA’ O DEI FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO.
10PECULIARITA’ DEI MODELLI BASATI SU SIMULAZIONI
- IL RISCHIO DELL’ATTIVITA’ O DEL PORTAFOGLIO DI ATTIVITA’,
INTESO COME VARIAZIONE DEL VALORE DI MERCATO DI QUESTE
ULTIME, E’ STIMATO FACENDO RIFERIMENTO AD UNA LOGICA DI
FULL-VALUATION: LA PERDITA POTENZIALE SULLA POSIZIONE E’
CALCOLATA RIVALUTANDO L’ATTIVITA’ O IL PORTAFOGLIO, A
FRONTE DI VARIAZIONI SIMULATE DEI FATTORI DI MERCATO,
ATTRAVERSO APPROPRIATI MODELLI DI PRICING SENZA
RICORRERE (COME NEI MODELLI DI STIMA PARAMETRICI) AI
COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ DELLE POSIZIONI ALLE VARIAZIONI DI
VALORE DEI FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.
- LA DETERMINAZIONE DEL LIVELLO DI CONFIDENZA DESIDERATO,
E QUINDI IL CALCOLO DEL CORRISPONDENTE PERCENTILE, E’
OTTENUTO SEMPLICEMENTE “TAGLIANDO” LA DISTRIBUZIONE P&L
EFFETTIVA OTTENUTA TRAMITE SIMULAZIONE IN MODO DA ISOLARE
IL PERCENTILE DESIDERATO.
- LA STIMA DEL RISCHIO, INTESO COME PERDITA MASSIMA
POTENZIALE, E’ PIU’ PRECISA MA ANCHE PIU’ ONEROSA.
11PECULIARITA’ DEI MODELLI SEMIPARAMETRICI
- UNA PIU’ RECENTE CATEGORIA DI MODELLI DI STIMA DEL VaR E’
STATA MUTUATA DALLE SCIENZE ASSICURATIVE.
- LA EXTREME VALUE THEORY (EVT) SI RIVELA PREZIOSA QUANDO
SIAMO INTERESSATI ALLO STUDIO DELLA CODA DELLA
DISTRIBUZIONE P&L DI UNA POSIZIONE O DI UN PORTAFOGLIO, OSSIA
QUANDO VOGLIAMO STIMARE EFFICACEMENTE LE MISURE
“ESTREME” DI RISCHIO.
- IN PARTICOLARE, LA EVT IPOTIZZA CHE LA CODA DELLA
DISTRIBUZIONE P&L, O MEGLIO GLI SCARTI TRA I RENDIMENTI DI
CODA ED UN CERTO VALORE SOGLIA, SI DISTRIBUISCA COME UNA
PARETO GENERALIZZATA ANCHE QUANDO I DATI DISPONIBILI
(SCARSI) NON CONSENTONO DI FARE IPOTESI SULLA DISTRIBUZIONE
SOTTOSTANTE.
- I MODELLI SEMIPARAMETRICI STIMANO QUINDI LA PARTE
CENTRALE DELLA DISTRIBUZIONE P&L, TRAMITE SIMULAZIONE
STORICA O MONTE CARLO OPPURE UNA DISTRIBUZIONE NORMALE,
MENTRE PER I VALORI ESTREMI O LE “ECCEDENZE” DI CODA
UTILIZZANO UNA DISTRIBUZIONE PARETO GENERALIZZATA (GPD).
12SCELTA DEL LIVELLO DI CONFIDENZA
- IL LIVELLO DI CONFIDENZA O IL PERCENTILE SCELTO PER LA STIMA DEL
RISCHIO E’ FUNZIONE DEL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO
DELL’ISTITUZIONE.
- IL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO ESPRIME QUINDI IL GRADO DI PROTEZIONE
CHE L’ISTITUZIONE VUOLE AVERE CONTRO MOVIMENTI AVVERSI ED “ESTREMI”
DEI FATTORI DI MERCATO RILEVANTI.
- NEL CASO DEI MODELLI VARIANZA-COVARIANZA LA SCELTA DEL LIVELLO DI
CONFIDENZA, CORRISPONDENTE AD UN PRECISO PERCENTILE DELLA
DISTRIBUZIONE P&L DELLA POSIZIONE, SI TRADUCE NELLA SCELTA DI UN
DETERMINATO MULTIPLO α DELLA VOLATILITA’ σ DEI FATTORI O DELLA
POSIZIONE STESSA.
- LA NECESSITA’ DI MOLTIPLICARE LA TRADIZIONALE MISURA DI RISCHIO DELLA
VARIANZA O DEV. ST. PER UN MULTIPLO α, CORRISPONDENTE AL GRADO DI
AVVERSIONE AL RISCHIO DELL’ISTITUZIONE, SORGE DALL’ESIGENZA DI STIMARE
LA POSSIBILE PERDITA MASSIMA O LA COSIDDETTA PERDITA “ANORMALE”.
- MAGGIORE E’ IL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO DELL’ISTITUZIONE,
MAGGIORE E’ IL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO, MAGGIORE E’ IL MULTIPLO α
CORRISPONDENTE, MAGGIORE E’ IL VaR, MAGGIORE E’ IL CAPITALE DETENUTO A
FINI DI COPERTURA O DI “CUSCINETTO”, MINORE E’ QUINDI IL COSTO DEL
CAPITALE AZIONARIO, MINORI SONO LE ASPETTATIVE DI RENDIMENTO DEGLI
AZIONISTI, MENO RISCHIOSA E’ L’ISTITUZIONE.
13GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO ED IPOTESI DI
DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI
- QUALORA SI VOGLIA STABILIRE IL GRADO DI PROTEZIONE AL RISCHIO
DECIDENDO, SECONDO UN CRITERIO DI TIPO PROBABILISTICO, LA PERCENTUALE
DI POSSIBILITA’ CHE SI INTENDE COPRIRE, LA SOLUZIONE PIU’ SEMPLICE E’
QUELLA DI RICORRERE ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI
RENDIMENTI LOGARITMICI.
- IN PARTICOLARE, I MODELLI VARIANZA-COVARIANZA DI FONDANO SULL’IPOTESI
CHE I PREZZI SIANO DISTRIBUITI SECONDO UNA LOG-NORMALE, IN MODO CHE I
RENDIMENTI LOGARITMICI RELATIVI AL PERIODO (t−1,t) SIANO DISTRIBUITI
SECONDO UNA NORMALE:
Pt ∆ Pt
Rt = ln ≈
Pt −1 Pt −1
- LA DISTRIBUZIONE NORMALE E’ AMPIAMENTE UTILIZZATA PER DESCRIVE IL
MOVIMENTO DI VARIABILI CASUALI, QUALI I RENDIMENTI FINANZIARI, DATA LA
NECESSITA’ DI CONOSCERE DUE SOLI PARAMETRI: MEDIA (µ) E VARIANZA (σ2)
14GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO ED IPOTESI DI
DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI
1 1 2
f(x) = exp − 2 ( x − µ )
σ 2π 2σ
DOVE f(x) RAPPRESENTA LA FUNZIONE DI DENSITA’ DI PROBABILITA’ DELLA
NORMALE N(µ, σ2) CON MEDIA µ E VARIANZA σ2. NEL NOSTRO CASO LA V.C. X E’
IL RENDIMENTO FINANZIARIO R CHE IPOTIZZIAMO SI DISTRIBUISCA COME UNA
NORMALE: R ∼ N(µ, σ2).
- LA FUNZIONE DI DENSITA’ PUO’ ESSERE UTILIZZATA PER CALCOLARE LA
PROBABILITA’ CHE LA VARIABILE CONSIDERATA R ASSUMA UN VALORE
COMPRESO IN UN DATO INTERVALLO ATTORNO AL VALORE MEDIO. A TALE FINE
E’ SUFFICIENTE RICORRERE AL CALCOLO DELL’INTEGRALE DELLA FUNZIONE IN
CORRISPONDENZA DELL’INTERVALLO CONSIDERATO.
- ES. LA PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO (DI UN FATTORE DI RISCHIO O DI UNA
POSIZIONE) SI MANTENGA ALL’INTERNO DI UN INTERVALLO DI CONFIDENZA CON
ESTREMI (µ−σ) E (µ+σ) E’ PARI A CIRCA IL 68%. CONSEGUENTEMENTE RIMANE UN
32% DI PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO CADA AL DI FUORI DELL’INTERVALLO
SELEZIONATO. 15GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO ED IPOTESI DI
DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI
µ +σ
1 1 2
∫
µ σ
− σ 2π
exp − 2 ( x − µ ) dx = 0,6826 = 68 ,26 %
2σ
ES. LA PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO (DI UN FATTORE DI RISCHIO O DI UNA
POSIZIONE) SI MANTENGA ALL’INTERNO DI UN INTERVALLO DI CONFIDENZA CON
ESTREMI (µ−2σ) E (µ+2σ) E’ PARI A CIRCA IL 95%. RIMANE IN QUESTO CASO UN 5%
DI PROBABILITA’ CHE IL RENDIMENTO CADA AL DI FUORI DELL’INTERVALLO
CONSIDERATO.
- CALCOLARE LA MASSIMA PERDITA POTENZIALE IN CORRISPONDENZA DI UN
LIVELLO DI PROBABILITA’ c PARI AL 95% VUOL DIRE CALCOLARE IL 5°
PERCENTILE DELLA DISTRIBUZIONE P&L DELLA POSIZIONE
(PROFITTI=REND.POSITIVI E PERDITE=REND.NEGATIVI). DATA L’IPOTESI DI
NORMALITA’ DEI RENDIMENTI, CIO’ EQUIVALE AD UTILIZZARE UN
MULTIPLO α=1,645.
16LIVELLO DI CONFIDENZA E MULTIPLO DELLA DEV.ST.
c=99,9% α=3,090
c=98% α=2,054
c=97% α=1,881
c=99,5% α=2,576
c=99%* α=2,326 c=95% α=1,645
*LE AUTORITA’ CONSENTONO IL CALCOLO DEI REQUISITI MINIMI
PATRIMONIALI A COPERTURA DEL RISCHIO DI MERCATO ATTRAVERSO UNA
STIMA DEL VaR IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI CONFIDENZA DEL 99%
TRAMITE MODELLI INTERNI VALIDATI.
VA OSSERVATO COME L’APPROCCIO VARIANZE-COVARIANZE SIA SPESSO
UTILIZZATO IPOTIZZANDO UNA DISTRIBUZIONE NORMALE CON MEDIA NULLA DEI
RENDIMENTI.
TALE IPOTESI E’ GIUSTIFICATA: DALL’ORIZZONTE TEMPORALE BREVE
DELL’ATTIVITA’ DI NEGOZIAZIONE E DALL’EVIDENZA EMPIRICA CHE MOSTRA
COME, CON RIFERIMENTO A ORIZZONTI TEMPORALI GIORNALIERI, LA
MIGLIORE PREVISIONE DEL RENDIMENTO FUTURO E’ RAPPRESENTATA NON DAL
RENDIMENTO STORICO MA DA UN RENDIMENTO NULLO.
SOTTO TALE IPOTESI (µ=0): VaRc = MLc
17SCELTA DELL’ORIZZONTE TEMPORALE
- SU QUALE ORIZZONTE TEMPORALE OCCORRE CALCOLARE LA MASSIMA PERDITA
POTENZIALE O IL RISCHIO DI MERCATO DELLA POSIZIONE?
- LE AUTORITA’ DI REGOLAMENTAZIONE RICHIEDONO UNA STIMA DEL RISCHIO DI
MERCATO DEL TRADING BOOK, SIA PER I MODELLI INTERNI CHE PER IL METODO
BUILDING BLOCK, SU UN ORIZZONTE TEMPORALE DI DUE SETTIMANE (10 GIORNI
LAVORATIVI) CON FREQUENZA GIORNALIERA.
- TUTTAVIA, A FINI DI GESTIONE INTERNA, PUO’ ESSERE OPPORTUNO CALCOLARE IL VaR
SU UN ORIZZONTE TEMPORALE DIVERSO, ES. 1 GIORNO O 1 MESE (22 GIORNI).
- A PARITA’ DI CONDIZIONI, PIU’ ESTESO E’ L’ORIZZONTE TEMPORALE MAGGIORE E’ LA
STIMA DEL RISCHIO CHE NE CONSEGUE E MAGGIORI SONO I REQUISITI MINIMI DI
CAPITALE E COPERTURA.
- QUALI FATTORI VANNO PRESI IN CONSIDERAZIONE PER LA SCELTA DEL CORRETTO
HOLDING PERIOD?
- FATTORE OGGETTIVO: IL GRADO DI LIQUIDITA’ DEL MERCATO DI RIFERIMENTO
DELLA POSIZIONE.
- FATTORE OGGETTIVO: LA DIMENSIONE DELLA POSIZIONE.
- FATTORE SOGGETTIVO: TIPOLOGIA DI POSIZIONE SULL’ATTIVITA’ FINANZIARIA, SE
D’INVESTIMENTO (ORIZZONTE TEMPORALE LUNGO) O DI SPECULAZIONE (ORIZZONTE
BREVE) DA PARTE DELL’ISTITUZIONE.
18ORIZZONTE TEMPORALE E STIMA DELLA VOLATILITA’
- POICHE’ LA STIMA DELLA VOLATILITA’ SU ORIZZONTI TEMPORALI SUPERIORI A
POCHI GIORNI E’ RESA DIFFICILE SIA DALLA CARENZA DEI DATI CHE DALLA
SCARSA SIGNIFICATIVITA’ DEGLI STESSI (SE TROPPO LONTALI RISPETTO ALLA
VARIABILE FUTURA CHE SI VUOLE STIMARE) SI RICORRE ALLA VOLATILITA’
GIORNALIERA E ALLA FORMULA DELLA “RADICE QUADRATA DEL TEMPO”.
- ANALITICAMENTE:
σT =σG ⋅ T
DOVE:
- σG INDICA LA VOLATILITA’ GIORNALIERA
- σT INDICA LA VOLATILITA’ RELATIVA AL PERIODO T.
- T INDICA IL NUMERO DEI GIORNI CONTENUTI NEL PERIODO T.
ES. LA VOLATILITA’ CALCOLATA SU UN PERIODO T = 2 SETTIMANE =10 GIORNI E’
OTTENUTA:
σ10 = σG ⋅ 10
ES. LA VOLATILITA’ MENSILE, OSSIA CALCOLATA SU UN PERIODO T = 22 GIORNI, E’
OTTENUTA:
σ M = σ G ⋅ 22
19STIMA DEL VaR ATTRAVERSO I MODELLI PARAMETRICI
- MODELLO ASSET-NORMAL
- MODELLO DELTA-NORMAL
- MODELLO DELTA-GAMMA NORMAL
- MODELLO PORTFOLIO NORMAL
- IL MODELLO ASSET-NORMAL, SEGUITO DALLA BANCA COMMERCIALE
J.P.MORGAN CON LA BANCA DATI RISKMETRICSTM, PARTE DALL’IPOTESI CHE
I RENDIMENTI DELLE SINGOLE POSIZIONI, E NON DEI FATTORI DI RISCHIO,
SIANO DISTRIBUITI NORMALMENTE.
- IN ALCUNI CASI TALE DIFFERENZA NON ESISTE: ES. POSIZIONE IN CAMBI,
DOVE IL RENDIMENTO DELLA POSIZIONE E RENDIMENTO DEL FATTORE
COINCIDONO.
- IN ALTRI CASI ESISTE DIFFERENZA: ES. POSIZIONE SU UN COUPON-BOND,
DOVE IL RENDIMENTO DEL FATTORE (LE VARIAZIONI DEL TASSO D’INTERESSE
RILEVANTE) NON COINCIDE CON IL RENDIMENTO DELLA POSIZIONE
(VARIAZIONE DEL PREZZO DEL COUPON BOND).
- PER IL CALCOLO DEL VaR SI UTILIZZA LA DEV.ST. DEI RENDIMENTI DELLA
POSIZIONE E NEL CASO DI VaR DI PORTAFOGLIO ANCHE LA MATRICE DEI
COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE TRA LE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.
20STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO ASSET NORMAL
- ANALITICAMENTE:
VaR i = α ⋅ VM i ⋅ σ i
N N
VaR pf = α⋅ ∑ ∑ VM
i =1 j =1
i ⋅ VM j ⋅ σ i,j
VaR pf = α ⋅ VM T
∑ VM
asset
DOVE:
- VMi è IL VALORE DI MERCATO DELL’ATTIVITA’ i=1,…,N.
- σi è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DELL’ATTIVITA’ i.
- σi,j è LA COVARIANZA DEI RENDIMENTI TRA L’ATTIVITA’ i e j.
- VMT è IL VETTORE RIGA COMPOSTO DA N ELEMENTI PARI AI VALORI DI
MERCATO DI CIASCUNA ATTIVITA’ i COMPRESA NEL PORTAFOGLIO.
- Σ è LA MATRICE (NxN) VARIANZA-COVARIANZA DI MARKOWITZ OSSIA DEI
RENDIMENTI DELLE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.
21STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO ASSET NORMAL
- ESEMPIO: VaR DI PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N=3 AZIONI:
VaRpf = α ⋅ VM12 ⋅ σ 12 + VM22 ⋅ σ 22 + VM32 ⋅ σ 32 + 2VM1 ⋅VM2 ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 ⋅ ρ1,2 + 2VM1 ⋅VM3 ⋅ σ 1 ⋅ σ 3 ⋅ ρ1,3 + 2VM2 ⋅VM3 ⋅ σ 2 ⋅ σ 3 ⋅ ρ2,3
VaRpf = α ⋅ VMT ⋅ ∑⋅ VM
asset
VaRpf = VaRT ⋅ C ⋅ VaR
asset VM T
= [VM 1 VM 2 VM 3 ]
DOVE: σ 12 σ 1 , 2 σ 1 ,3
σ
Σasset=
2
σ σ
2 ,1 2 2 , 3
σ 3 ,1 σ 3 ,2 σ3 2
VaR 1 = α ⋅ VM 1 ⋅σ 1
VaR = VaR 2 = α ⋅ VM 2 ⋅σ 2
VaR 3 = α ⋅ VM 3 ⋅σ 3
1 ρ 1,2 ρ 1,3
C = ρ 2 ,1 1 ρ 2,3
ρ 3 ,1 ρ 3,2 1
22STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE TRAMITE MODELLO DELTA NORMAL
- 1° CASO: POSIZIONE SOGGETTA AD 1 SOLO FATTORE DI RISCHIO z.
- 2° CASO: POSIZIONE SOGGETTA A 2 FATTORI DI RISCHIO z, q
ANALITICAMENTE:
VaRi = α ⋅ VM i ⋅ δ iz ⋅ σ z
M M
VaRi = α ⋅ VM i ⋅ ∑∑ iz iq z ,q
δ ⋅ δ
z =1 q =1
⋅ σ = α ⋅ VM i ⋅ δ σ
2 2
iz z + δ iqσ q + 2δ izδ iqσ z , q
2 2
DOVE:
- z e q SONO 2 FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO RILEVANTI PER i.
- δi,z E’ IL COEFFICIENTE DI SENSITIVITA’ DI i AL FATTORE z.
- δi,q E’ IL COEFFICIENTE DI SENSITIVITA’ DI i AL FATTORE q
- VMi è IL VALORE DI MERCATO DELL’ATTIVITA’ i.
- σz è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DEL FATTORE z.
- σq è LA DEV.ST. O VOLATILITA’ DEI RENDIMENTI DEL FATTORE q.
- σz,q è LA COVARIANZA DEI RENDIMENTI TRA I FATTORI DI RISCHIO z E q.
23STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE: MODELLO DELTA NORMAL
- NEL CASO DI UNA POSIZIONE SU UN COUPON-BOND, IL COEFFICIENTE DI
SENSITIVITA’ δ UTILIZZATO E’ LA DURATION MODIFICATA DEL BOND.
- ESEMPIO:
VaR BTp = α ⋅ VM BTp ⋅ D /(1 + R ) ⋅ σ tassoi
-DATI NECESSARI:
- VALORE DI MERCATO DEL BTp DECENNALE: PREZZO TEL QUEL (CORSO SECCO
DEL BOND + % DI VALORE DELLE CEDOLE MATURATE FINO A QUEL MOMENTO):
120.000 EURO.
- T = 10 ANNI.
- DURATION MODIFICATA : 6.
- FATTORE DI RISCHIO RILEVANTE: TASSO D’INTERESSE DECENNALE.
- ORIZZONTE TEMPORALE: 1 GIORNO.
- STIMA DELLA VOLATILITA’ GIORNALIERA DEL TASSO DECENNALE: σtasso i = 0,15%
- LIVELLO DI CONFIDENZA: 99%. MUTIPLO DELLA VOLATILITA’: α = 2,326.
24STIMA DEL VaR DI UNA POSIZIONE: MODELLO DELTA NORMAL
- CALCOLO SEMPLIFICATO DEL VaR GIORNALIERO AD UN LIVELLO DI
CONFIDENZA DL 99% RELATIVO AD UNA POSIZIONE SU UN COUPON BOND.
- ESEMPIO:
99 %VaR BTp = 2 ,326 ⋅ 120 .000 euro ⋅ 6 ⋅ 0 ,0015 = 2 .512 ,08 euro
- SIGNIFICATO DELLA STIMA:
- SU UNA POSIZIONE DAL VALORE DI MERCATO DI 120.000 EURO, POTREI
REGISTRARE CON UN LIVELLO DI PROBABILITA’ DEL 99% UNA PERDITA MASSIMA
GIORNALIERA PARI A 2.512,08 EURO.
- RIMANE UNA PROBABILITA’ DELL’1% DI INCORRERE IN UNA PERDITA MONETARIA
MASSIMA GIORNALIERA SUPERIORE A QUELLA STIMATA DALLA MISURA DEL VaR.
- SO CHE IN 1 CASO SU 100 POSSO INCORRERE IN UNA PERDITA MASSIMA
SUPERIORE A 2.512,08 EURO, MA NON CONOSCO L’AMMONTARE PRECISO DI
QUESTA EVENTUALE “INGENTE” PERDITA MONETARIA GIORNALIERA.
25STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO DELTA NORMAL
- A RIGORE NEL CASO DI UNA POSIZIONE SU UN COUPON-BOND, LA POSIZIONE VA
SCOMPOSTA NELLE RELATIVE COMPONENTI ELEMENTARI CHE RISULTANO
LEGATE, IN TERMINI DI SENSITIVITA’, OGNUNA ALLE VARIAZIONI DI UNO
SPECIFICO FATTORE DI RISCHIO DI MERCATO. IL COUPON BOND VA QUINDI
SCOMPOSTO NEI SUOI CASH FLOW (CEDOLE + VALORE DI RIMBORSO) E NELLA
NELLA STIMA DEL SUO VaR SI PRENDE IN CONSIDERAZIONE LA VOLATILITA’ DEI
NODI DELLA TERM STRUCTURE.
- ESEMPIO:
- IL COUPON BOND PREVEDE DUE CASH FLOW CON VALORE ATTUALE PARI
RISPETTIVAMENTE A 100 EURO DOPO 1 MESE E 200 EURO DOPO 2 MESI ALLA DATA
DEL CALCOLO DEL VaR.
- IL RENDIMENTO ATTESO DEL BOND, SCOMPOSTO NEI SUOI DUE FLUSSI ATTESI,
PUO’ ESSERE COSI’ CALCOLATO:
1 2
E ( R Bond ) = R 1 mese + R 2 mesi
3 3
DOVE:
- R1mese : RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE AD 1 MESE.
- R2mesi : RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE A 2 MESI. 26STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO DELTA NORMAL
- IN QUESTO CASO, IL VaR DEL COUPON-BOND VIENE CALCOLATO COME VaR
DEL PORTAFOGLIO COMPOSTO DA DUE STRUMENTI DIVERSI, CORRISPONDENTI AI
DUE DIVERSI CASH FLOW DEL BOND.
1 2 4 2 4
VaRbond = α ⋅VMbond ⋅ σ i1mese + ⋅ σ i2mesi + ⋅ σ i1mese ⋅ σ i2mesi ⋅ ρi1m ,i2m
9 9 9
DOVE:
- σ1mese : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE AD 1 MESE.
- σ2mese : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE A 2 MESI.
- σ1m,2m: COVARIANZA DEI RENDIMENTI DEI TASSI AD 1 MESE E A 2 MESI.
- σ1m,2m = σ1mese .σ2mese .ρ1m,2m
- ρ1m,2m: COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE TRA IL TASSO AD 1 MESE E A 2 MESI.
- α : E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA UTILIZZATO.
27STIMA DEL VaR ATTRAVERSO IL MODELLO DELTA NORMAL
- IN QUESTO CASO, STIMIAMO IL VaR DI UNA POSIZIONE A PRONTI SU UNA
VALUTA ESTERA ($USA) DEL VALORE DI 95 USD.
- DATI NECESSARI:
- FATTORE DI RISCHIO: TASSO DI CAMBIO EURO/USD: 0,95.
- VM DELLA POSIZIONE IN VALUTA DOMESTICA: 100 EURO = 95/0,95.
- VOLATILITA’ GIORNALIERA DEL TASSO DI CAMBIO EURO/DOLLARO: 1,056%
- MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO.
99 ,90 %VaR Ca = α ⋅ VM i ⋅σ Ca= 3,090 ⋅ 100 euro ⋅ 0,01056 = 3,26 euro
DOVE:
- σCa : VOLATILITA’ DEL TASSO DI CAMBIO EURO/USD (DATI RISKMETRICS).
- α = 3,090 E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AD UN LIVELLO DI PR. = 99,90%.
- VMi : VALORE DI MERCATO DELLA POSIZIONE IN VALUTA DOMESTICA = 100 EURO.
- COEFF.DI SENSITIVITA’ DELLA POSIZIONE AL SUO FATTORE DI RISCHIO: δ=1.
28STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO DELTA NORMAL
- IN QUESTO CASO, STIMIAMO IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA
DUE POSIZIONI: UNO ZERO-COUPON ESTERO AD UN ANNO DENOMINATO IN
DOLLARI AMERICANI E UNA OPTION SULLA STESSA VALUTA ESTERA (USD).
-DATI NECESSARI:
- FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI: Ca USD/EURO; TASSO DI RENDIMENTO AD 1 ANNO.
- COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’ AI FATTORI DI RISCHIO.
- VOLATILITA’ DEI FATTORI DI RISCHIO.
- MULTIPLO CORRISPONDENTE AL LIVELLO DI CONFIDENZA SCELTO.
99%VaR pf = α ⋅ VM pf ⋅ σ i21anno + (1 + DELTA) 2 ⋅ σ Ca
2
+ 2 ⋅ (1 + DELTA) ⋅ σ i1anno ,Ca
- α = 2,326 E’ IL MULTIPLO CORRISPONDENTE AD UN LIVELLO DI PR. = 99%.
-σ2Ca : VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL TASSO DI CAMBIO USD/EURO.
-DELTA: COEFF. DI SENS. DELLA OPTION AL SUO FATTORE DI RISCHIO (Ca).
- σ1anno,Ca : COVARIANZA DEI RENDIMENTI DEI DUE FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.
- VMpf : VALORE DI MERCATO DEL PPORTAFOGLIO.
29STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO DELTA NORMAL
-IL VaR DI PORTAFOGLIO E’ OTTENUTO DALLA SCOMPOSIZIONE DEL
RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO NEI RENDIMENTI DELLE DUE POSIZIONI A
LORO VOLTA MODELLIZZATI ATTRAVERSO L’APPROSSIMAZIONE DELTA.
- ANALITICAMENTE:
Rzero−coupon = R1anno + R USD
EURO
Roption = DELTA⋅ R USD
EURO
R pf = R1anno + R USD + DELTA⋅ R USD = R1anno + R USD ⋅ (1 + DELTA)
EURO EURO EURO
σ pf2 = σ 12anno + (1 + DELTA) 2 ⋅ σ R2 USD
+ 2 ⋅ (1 + DELTA) ⋅ σ 1anno, R USD
EURO EURO
VaRpf = α ⋅VM pf ⋅ σ 12anno + (1 + DELTA) 2 ⋅ σ R USD + 2 ⋅ (1 + DELTA) ⋅ σ 1anno, R USD
2
EURO EURO
30STIMA DEL VaR AZIONARIO ATTRAVERSO MODELLO DELTA NORMAL
- IL VaR DI UNA POSIZIONE AZIONARIA E’ OTTENUTO ATTRAVERSO
INDIVIDUAZIONE DEI FATTORI DI RISCHIO DI MERCATO RILEVANTI E DEI
RISPETTIVI COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’.
- FATTORI DI RISCHIO: INDICE DEL MERCATO AZIONARIO IN CUI E’ NEGOZIATO IL
TITOLO E TASSO DI CAMBIO (SE L’AZIONE E’ DENOMINATA IN VALUTA ESTERA).
- COEFFICIENTI DI SENSITIVITA’: δi,mercato=BETA DEL TITOLO i; δi,Ca = 1.
- ES. CALCOLO DEL VaR DI UNA AZIONE DENOMINATA IN VALUTA ESTERA:
99,50%VaR azione = 2,576 ⋅ VM azione ⋅ β azione
2
⋅ σ mercato
2
+ σ Ca
2
+ 2 ⋅ β azione ⋅ σ mercato,Ca
-ES. CALCOLO DEL VaR DI UNA AZIONE DENOMINATA IN VALUTA DOMESTICA:
99,50%VaR azione = 2,576 ⋅ VM azione ⋅ β azione ⋅σ mercato
-DOVE:
- βazione= COVazione, mercato/VARmercato = ρi,M.σi.σM/σ2M.
- βM = 1; βazione>1; βazioneSTIME DEL VaR DI UN PORTAFOGLIO AZIONARIO
- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI SOGGETTI AL
SOLO RISCHIO SISTEMATICO PUO’ ESSERE CALCOLATO SEGUENDO LA
METODOLOGIA DEL MAPPING COME SEGUE:
N
VaR pf = α ⋅ ∑VM i ⋅ β i ⋅ σ mercato
i =1
- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI PUO’ ESSERE
CALCOLATO ANCHE RICORRENDO AI VaR (CALCOLATI CON ASSET NORMAL
MODEL) DEI SINGOLI TITOLI COME SEGUE:
N N
VaR pf = ∑ ∑ VaR
i =1 j =1
i ⋅ VaR j ⋅ ρ i , j
-DOVE:
- ρi,j E’ IL COEFF.DI CORR. DEI RENDIMENTI DEI TITOLI AZIONARI i E j.
- VaR i = α ⋅ VM i ⋅σ i
-
VaR j = α ⋅ VM j ⋅σ j
32STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO ATTRAVERSO MAPPING
- IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N TITOLI AZIONARI ESPOSTI AD UN
SOLO FATTORE DI RISCHIO PUO’ QUINDI ESSERE CALCOLATO SEGUENDO LA
METODOLOGIA DEL MAPPING COME SEGUE:
N
VaR pf = α ⋅ ∑VM i ⋅ β i ⋅ σ mercato
i =1
- L’ESPRESSIONE SOPRA DERIVA DALL’EQUAZIONE SOTTO:
2
N
VaR pf = α ⋅ ∑ VM i ⋅ β i ⋅ σ mercato
2
i =1
- QUINDI, NEL CASO DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N AZIONI, CALCOLIAMO IL
VALORE DI MERCATO DELLA “POSIZIONE VIRTUALE” DI CIASCUNA AZIONE NEL
MERCATO DI RIFERIMENTO MOLTIPLICANDO IL SUO PREZZO PER IL RISPETTIVO
BETA E UTILIZZIAMO LA VOLATILITA’ DELL’UNICO FATTORE DI RISCHIO
CONSIDERATO (QUELLO GENERICO O SISTEMATICO O NON ELIMINABILE TRAMITE
DIVERSIFICAZIONE).
33CONFRONTO TRA DUE DIVERSE STIME DEL VaR DI PORTAFOGLIO AZIONARIO
- DATI NECESSARI:
- UN SOLO FATTORE DI MERCATO: RENDIMENTO INDICE AZIONARIO (MIBTEL o S&PMIB).
- VM1 = 10 (Ml. di Euro); VM2 = 15 (Ml. di Euro); VM3 = 20 (Ml. di Euro); VMpf = 45 (Ml. di Euro).
- BETA1=1,4. BETA2=1,2. BETA3 =0,8. BETApf =1,067.
- POSIZIONE “MAPPATA”: VM1.BETA1=14 Euro. VM2.BETA2=18 Euro. VM3.BETA3=16 Euro.
VMpf.BETApf = 48 Euro.
- VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DELL’INDICE DI MERCATO: σmercato= 7%.
- MATRICE DEI COEFFICIENTI DI CORRELAZIONE TRA I TITOLI IN PORTAFOGLIO:
ρ1,1 = 1 ρ1,2 = 0,5 ρ1,3 = 0,8
ρ2,1 = 0,5 ρ2,2 = 1 ρ2,3 = 0
ρ3,1 = 0,8 ρ3,2 = 0 ρ3,3 = 1
- UN ESEMPIO NUMERICO:
N
99%VaRpf = α ⋅ ∑VM i ⋅ β i ⋅ σ mercato = 2,326 ⋅ 48 ⋅ 0,07 = 7,817ml.Euro
i =1
N N
99%VaRpf = ∑∑VaR ⋅VaR
i =1 j =1
i j ⋅ ρi , j =
99%VaRpf = VaR12 + VaR22 + VaR32 + 2 ⋅VaR1 ⋅VaR2 ⋅ ρ1,2 + 2 ⋅VaR1 ⋅VaR3 ⋅ ρ1,3 + 2 ⋅VaR2 ⋅VAR3 ⋅ ρ 2,3 = 9,589mlEuro
34STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO DELTA NORMAL
- QUALORA DOVESSIMO STIMARE IL VaR DI UN PORTAFOGLIO COMPOSTO DA N
TITOLI SOGGETTI AD M FATTORI DI RISCHIO DISTINTI, UTILIZZANDO
L’APPROCCIO DELTA-NORMAL, L’ESPRESSIONE ANALITICA DIVENTA:
M M
N N
VaRpf = α ⋅ ∑∑ ∑VM i ⋅ δ iz ⋅ σ z ⋅ ρ z , q ⋅ ∑VM i ⋅ δ iq ⋅ σ q
z =1 q =1 i =1 i =1
DOVE:
- VMi è il valore di mercato della posizione i-esima del portafoglio (i = 1, …, N);
- δiz è il coefficiente di sensitività della posizione i-esima al fattore di mercato z (con z =
1, …, M);
- δiq è il coefficiente di sensitività della posizione i-esima al fattore di mercato q (con q =
1, …, M);
- ρz,q è il coefficiente di correlazione tra i fattori di mercato, confrontati due a due.
Se z ≠ q → (–1 ≤ ρz, q≤ 1); quando z = q → ρq, q= 1. Se z e q sono incorrelati ρz,q= 0.
- σz e σq sono le volatilità (deviazione standard) dei rendimenti dei fattori di mercato
confrontati due a due.
35STIMA DEL VaR ATTRAVERSO MODELLO DELTA NORMAL
- ESEMPIO: STIMA DEL VaR DI UN PORTAFOGLIO FORMATO DA 2 ATTIVITA’
RISCHIOSE I1 e I2 E SENSIBILE A 2 FATTORI DI RISCHIO DISTINTI: a, b. UTILIZZANDO
L’APPROCCIO DELTA NORMAL OTTENIAMO:
VaR pf = α ⋅
(VM δ + VM δ + 2VM VM δ
2 2
1 1a
2 2
2 2a 1 δ )⋅ σ a2 + (VM 12δ 12b + VM 22δ 22b + 2VM 1VM 2δ 1bδ 2b )⋅ σ b2 +
2 1a 2 a
+ 2 ⋅ [(VM δ + VM δ ) ⋅ (VM δ
1 1a 2 2a 1 1b + VM 2δ 2 b ) ⋅ σ a ρ a , bσ b ]
- IN TERMINI MATRICIALI:
→ T →
Varpf = α ⋅ VP ∑ fattori VP
Τ
→ T N
N
VP = ∑ VM i δ i1 ,..., ∑ VM i δ iM
i =1 i =1
- VP : VETTORE DEI VALORI MAPPATI DELLE ATTIVITA’ IN PORTAFOGLIO.
- DOVE Σ E’ LA MATRICE (MxM) QUADRATA E SIMMETRICA DELLE VARIANZE E COVARIANZE
DEI RENDIMENTI DEI FATTORI DI RISCHIO RILEVANTI.
36STIMA DEL VaR DI PORTAFOGLIO: MODELLO PORTFOLIO NORMAL
- LA METODOLOGIA PORTFOLIO-NORMAL STIMA IL VaR DI PORTAFOGLIO
UTILIZZANDO LA VOLATILITA’ DEL RENDIMENTO DEL PORTAFOGLIO STESSO
SENZA DOVERLO SCOMPORRE NELLE SUE COMPONENTI ELEMENTARI.
- ANALITICAMENTE:
VaRpf = α ⋅ VM pf ⋅ σ pf
Questo modello si basa sull’ipotesi che il rendimento del portafoglio sia distribuito
normalmente. Tale assunzione risulta giustificata in uno dei seguenti casi:
9 Se il portafoglio è composto da un numero elevato di posizioni la cui distribuzione,
al limite, tende ad una normale. E’ il caso di un portafoglio di crediti al consumo la
cui distribuzione è tipicamente binomiale. L’insieme di un numero molto elevato di
distribuzioni binomiali converge, infatti, ad una distribuzione normale.
9 Se i rendimenti del portafoglio sono effettivamente distribuiti normalmente e la
composizione del portafoglio resta costante. Questo è difficilmente il caso di un
portafoglio di negoziazione la cui composizione varia, per la sua stessa natura, in modo
frequente.
9 Se il portafoglio è composto da un insieme di posizioni ognuna delle quali è
caratterizzata da una distribuzione normale del proprio rendimento.
37STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL
- QUANDO LA DIPENDENZA DEL VALORE DI UNA POSIZIONE DAI SUOI FATTORI DI
RISCHIO NON E’ LINEARE, LA NORMALITA’ DELLA DISTRIBUZIONE DEI FATTORI DI
RISCHIO NON IMPLICA LA NORMALITA’ DELLA DISTRIBUZIONE DEI RENDIMENTI
DELLA POSIZIONE.
- AL FINE DI PRENDERE IN CONSIDERAZIONE LA NON LINEARITA’ DELLA
RELAZIONE TRA VALORE DI MERCATO E FATTORE DI RISCHIO PUO’ UTILIZZARSI
IL MODELLO DELTA-GAMMA NORMAL CHE AGGIUNGE AI COEFFICIENTI DI
SENSITIVITA’ TRADIZIONALI, PROPRI DEL MODELLO DELTA-NORMAL, ALTRI
COEFF. DI SENSITIVITA’ IN GRADO DI CONSIDERARE LA “CURVATURA” DELLA
RELAZIONE TRA VALORE DELLA POSIZIONE E FATTORE DI RISCHIO RILEVANTE.
- LA NON LINEARITA’ DELLA RELAZIONE E’ VERA, IN PARTICOLARE, PER LE
OBBLIGAZIONI E PER LE OPTION.
- PER LE OBBLIGAZIONI CON CEDOLE OCCORRE PRENDERE IN CONSIDERAZIONE
OLTRE ALLA DURATION ANCHE LA CONVESSITA’, RISPETTIVAMENTE LA DERIVATA
PRIMA E LA DERIVATA SECONDA DEL VALORE DEL BOND SUL FATTORE DI RISCHIO
RILEVANTE (LE VARIAZIONI DEL RENDIMENTO DEL TASSO D’INTERESSE DI
RIFERIMENTO).
- PER LE OPTION OCCORRE PRENDERE IN CONSIDERAZIONE OLTRE AL COEFFICIENTE
DELTA ANCHE IL GAMMA, RISPETTIVAMENTE LA DERIVATA PRIMA E LA DERIVATA
SECONDA DEL VALORE (PREZZO) DELL’OPTION SUL VALORE (PREZZO) DEL FATTORE
DI RISCHIO PIU’ RILEVANTE (IL PREZZO DEL SOTTOSTANTE).
38STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL
- QUINDI, LA VARIAZIONE DI VALORE DI UNA POSIZIONE SU UN BOND CHE
PAGA CEDOLE O SU UNA OPTION, OSSIA LA PERDITA POTENZIALE SU TALE
POSIZIONE ∆VMi , PUO’ ESPRIMERSI ANALITICAMENTE COME:
γ
∆ VM i = δ ⋅ ∆ RF + ⋅ ∆ RF 2
2
- L’EQUAZIONE SOPRA E’ OTTENUTA TRONCANDO LO SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR MAC
LAURIN DELLA FUNZIONE VALORE DELLA POSIZIONE-FATTORE DI RISCHIO DI MERCATO AL
SECONDO ORDINE E SOSTITUENDO AL VALORE DELLA DERIVATA PRIMA IL DELTA E AL
VALORE DELLA DERIVATA SECONDA IL GAMMA.
- PUO’ OTTENERSI UNA MISURA DI VALORE A RISCHIO DELLA POSIZIONE SCOMPONENDO LA
VOLATILITA’ DELLA POSIZIONE NEL MODO CHE SEGUE:
2
γ
VaR bond = α ⋅ VM bond ⋅ δ 2
⋅σ 2
∆ RF + ⋅σ 2
( ∆ RF ) 2
+ δ ⋅γ ⋅σ ∆ RF , ( ∆ RF ) 2
2
- PER UN COUPON-BOND
2 2
dP 1 d 2P dP d 2 P
VaR bond = α ⋅ VM bond ⋅ ⋅ σ ∆R + ⋅
2
⋅ σ ( ∆R ) 2 +
2
2
⋅ 2
⋅ σ ∆R ,( ∆R ) 2
dR 4 dR dR dR
39STIMA DEL VaR ATTRAVERSO L’APPROCCIO DELTA-GAMMA NORMAL
- NEL CASO DI UNA OPZIONE CALL C=f(S), LA VARIAZIONE DI VALORE DELLA
POSIZIONE, OSSIA LA PERDITA POTENZIALE SU TALE POSIZIONE, ∆C, A FRONTE
DI PICCOLE VARIAZIONE DI S, ∆S, PUO’ ESPRIMERSI COME SEGUE:
∆C = f (S + ∆S)-f (S) = δ ⋅ ∆S + 0,5⋅ γ (∆S)2
- DOVE γ E’ LA DERIVATA SECONDA DEL PREZZO DELLA CALL RISPETTO AL
PREZZO DELL’ATTIVITA’ SOTTOSTANTE, CALCOLATA AL MOMENTO DELLA STIMA
DEL VaR DELL’OPTION. UTILIZZANDO L’APPROSSIMAZIONE DELTA-GAMMA, LA
VARIANZA DELLA CALL E’ APPROSSIMATA DALLA SEGUENTE VARIANZA DI UNA
SOMMA:
[ ]
var[ f ( S + ∆S )] = f ' ( S ) ⋅ var(∆S ) +
2
4
[
1 '' 2
]
f ( S ) ⋅ var(∆S ) 2 + f ' ( S ) ⋅ f '' ( S ) ⋅ cov(∆S , ( ∆S ) 2 )
- POSSIAMO APPROSSIMARE IL VaR DELLA CALL IN CORRISPONDENZA DI UN
LIVELLO DI CONFIDENZA ES. DEL 99% COME SEGUE:
1
VaRCall = 2,326 ⋅ delta 2 ⋅ var( ∆S ) + gamma 2 ⋅ var( ∆S ) 2 + delta ⋅ gamma ⋅ cov( ∆S , ( ∆S ) 2 )
4
40LIMITI DEI MODELLI PARAMETRICI
- IPOTESI DI INDIPENDENZA SERIALE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI.
- IPOTESI DI STABILITA’ DELLA MATRICE VARIANZA-COVARIANZA.
- IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI.
- IPOTESI DI RELAZIONE LINEARE TRA VALORE DELLA POSIZIONE A RISCHIO E
FATTORE DI RISCHIO.
PREGI DEI MODELLI PARAMETRICI
- VELOCITA’ COMPUTAZIONALE: GRAZIE ALL’UTILIZZO DEI COEFFICIENTI DI
SENSITIVITA’ E ALL’IPOTESI DI DISTRIBUZIONE NORMALE LA STIMA DEL VaR
DELL’INTERO PORTAFOGLIO DI TRADING DELL’ISTITUZIONE AVVIENE IN UN
TEMPO MOLTO LIMITATO.
- SEMPLICITA’ METODOLOGICA: NON SI RICHIE L’UTILIZZO DI MODELLI DI
PRICING SOFISTICATI PER RIVALUTARE LE POSIZIONI A RISCHIO.
- TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE: UN PORTAFOGLIO DI POSIZIONI NON
DISTRIBUITE NORMALMENTE PUO’ APPROSSIMARE UNA DISTRIBUZIONE
NORMALE SE LE POSIZIONI IN ESSO CONTENUTE O I FATTORI DI RISCHIO
RILEVANTI SONO SUFFICIENTEMENTE NUMEROSI E TRA LORO INDIPENDENTI.
41EVIDENZA EMPIRICA DEI DATI FINANZIARI - FENOMENO DELL’AUTOCORRELAZIONE SERIALE DEI RENDIMENTI GIORNALIERI NEL TEMPO SOPRATTUTTO A FRONTE DI SHOCK FINANZIARI. - FENOMENO DEL CLUSTERING: AD AMPI VALORI DEI RENDIMENTI SEGUONO ALTRETTANTI AMPI VALORI (E VICEVERSA), SEBBENE NON NECESSARIAMENTE DELLO STESSO SEGNO. - LE DISTRIBUZIONI EMPIRICHE DEI RENDIMENTI DEI FATTORI DI RISCHIO SI PRESENTANO PIU’ LEPTOCURTICHE RISPETTO ALLA NORMALE, OSSIA HANNO PICCHI PIU’ ALTI E CODE PIU’ SPESSE. - FENOMENO DELLE CODE GRASSE: LA PROBABILITA’ DI AVERE UN EVENTO DI CODA, OSSIA UNA PERDITA ESTREMA EFFETTIVA MAGGIORE DELLA PERDITA MASSIMA STIMATA DAL VaR, E’ PIU’ ALTA DI QUANTO PREDETTO DALLA DISTRIBUZIONE NORMALE. - FENOMENO DELLA VOLATILITA’ STOCASTICA, OSSIA LA VOLATILITA’ NON E’ COSTANTE NEL TEMPO MA VA STIMATA SULLA BASE DELLA VOLATILITA’ STORICA (MODELLI ARCH-GARCH). - LA DISTRIBUZIONE DEI TASSI DEL MERCATO MONETARIO, ESSENDO INFLUENZATI DALLA POLITICA MONETARIA, SEGUONO UN PERCORSO DISCREZIONALE E QUINDI NON CASUALE. 42
CALCOLO DEL REQUISITO MINIMO DI CAPITALE A COPERTURA DEL
RISCHIO DI MERCATO UTILIZZANDO I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR
I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR DI MERCATO DEVONO RISPETTARE TALI
REQUISITI REGOLAMENTARI DI NATURA QUANTITATIVA:
- IL VaR DI MERCATO VA STIMATO SU BASE GIORNALIERA.
- IL VaR VA CALCOLATO SU UN HOLDING PERIOD DI 2 SETTIMANE: 10 GIORNI
LAVORATIVI.
- IL VaR VA CALCOLATO IN CORRISPONDENZA DI UN LIVELLO DI CONFIDENZA
DEL 99%.
- IL PERIODO STORICO PER LA STIMA DELLA VOLATILITA’ DEVE ESSERE ALMENO
DI 1 ANNO.
- I DATI RELATIVI A VOLATILITA’ E CORRELAZIONI DEVONO ESSERE AGGIORNATI
CON UNA FREQUENZA ALMENO TRIMESTRALE.
- IL VaR COMPLESSIVO DEVE ESSERE OTTENUTO SOMMANDO I VaR CONNESSI ALLE
VARIE CATEGORIE DI FATTORI DI MERCATO, IPOTIZZANDO UNA CORRELAZIONE
TRA LORO PERFETTA.
- I MODELLI DI STIMA DEL RISCHIO DEVONO COGLIERE I DIVERSI PROFILI DI
RISCHIO DEI CONTRATTI D’OPZIONE (RISCHIO DELTA, GAMMA E VEGA).
43CALCOLO DEL REQUISITO MINIMO DI CAPITALE A COPERTURA DEL
RISCHIO DI MERCATO UTILIZZANDO I MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR
IL COMITATO HA STABILITO CHE IL REQUISITO MINIMO DI CAPITALIZZAZIONE A
COPERTURA DEI RISCHI DI MERCATO DEBBA ESSERE L’IMPORTO MAGGIORE TRA
LA MISURA DEL VaR DEL GIORNO PRECEDENTE E LA MEDIA DEI VaR RELATIVI AI 60
GIORNI PRECEDENTI, QUEST’ULTIMA MOLTIPLICATA PER UN FATTORE
MOLTIPLICATIVO (FM) STABILITO DALLE SINGOLE AUTORITA’ DI VIGILANZA
NAZIONALI (MA COMUNQUE NON INFERIORE A 3). A QUESTO IMPORTO VA INOLTRE
SOMMATO UN ULTERIORE REQUISITO DI CAPITALE A COPERTURA DEL RISCHIO
SPECIFICO (RS), RISCHIO NON COLTO NEI MODELLI INTERNI DI STIMA DEL VaR.
ANALITICAMENTE:
1 60
min RC mrisk ,t = max VaRt −1,10 g ., 99% ; FM ⋅ ⋅ ∑VaRt −i ,10 g .,99% + RS
60 i =1
DOVE:
-minRCmrisk,t : è requisito minimo di capitale a copertura dei rischi di mercato nella loro
componente generica e specifica calcolato giornalmente (es. il giorno t).
-VaRt-1,10g.,99%: e’ il VaR del giorno prima (t-1) calcolato su un orizzonte temporale di 10 giorni
lavorativi in corrispondenza di un livello di probabilita’ del 99%.
- RS: requisito di capitalizzazione connesso al rischio specifico.
- FM è inversamente proporzionale alla passata performance del modello VaR interno.
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