L'irrilevanza della struttura finanziaria: il Teorema Modigliani-Miller
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L’irrilevanza della struttura finanziaria: il
Teorema Modigliani-Miller
Giuseppe Travaglini
1 Introduzione
Nel capitolo precedente abbiamo visto che la leva finanziaria può avere ef-
fetti positivi o negativi sul tasso di rendimento delle azioni, a secondo che
il tasso d’interesse sul debito sia inferiore o superiore a quello di rendi-
mento ρ dell’impresa. Siamo partiti dall’ipotesi semplificatrice che il valore
dell’impresa non cambi quando varia la struttura finanziaria. Dimostreremo
ora sotto quali condizioni questa ipotesi è corretta. I risultati che seguono
vanno genericamente sotto la denominazione di Teorema Modigliani-Miller
(MM), dal nome dei due economisti che per primi negli anni 50’ si applicarono
sistematicamente allo studio della relazione che lega il valore di un’impresa
alla sua struttura finanziaria.
Questo teorema è, più precisamente, un insieme di risultati che mostrano
come in un mercato perfetto e completo la politica di finanziamento delle
imprese sia irrilevante. Sebbene i fatti stilizzati e la teoria successiva a MM
abbiano mostrato che esistono molti casi in cui le scelte finanziarie influen-
zano il valore dell’impresa, il teorema MM rappresenta la base della moderna
teoria della finanza poichè “showing what doesn’t matter can also show, by
implications, what does” (M. Miller, 1988, p.100).
Le principali proposizioni del teorema MM sono.
1. Proposizione I. Il valore di mercato di un’impresa è indipendente dalla
sua struttura finanziaria.
12. Proposizione II. Il tasso di rendimento delle azioni di una data impresa
è una funzione lineare crescente del rapporto debito-azioni.
3. Proposizione III. Il valore di mercato di un’impresa è indipendente dalla
sua politica di dividendo.
Come vedremo tutte queste proposizioni sono semplici conseguenze del
principio di assenza d’arbitraggio: se ogni investitore può realizzare le stesse
transazioni finanziarie effettuate dall’impresa, ed allo stesso prezzo, allora
ogni investitore può completamente annullare gli effetti della politica di fi-
nanziamento dell’impresa senza subire costi e rischi.
2 Indebitamento e valore
Come è stato già ricordato, la redditività di un’impresa può essere quantifi-
cata attraverso l’uso di due diversi indici che abbiamo denominato reddito
operativo (RO), e reddito netto (RN ). Il primo indice offre una misura del
profitto generato dall’attività produttiva dell’impresa, senza specificare quali
investitori vantino diritti sul flusso dei profitti; il secondo, dà invece una
misura del profitto residuale a cui hanno diritto soltanto gli azionisti, una
volta che gli interessi passivi sul debito siano stati ripagati.
La domanda che ci dobbiamo porre è dunque la seguente: quale di questi
indici è corretto utilizzare per calcolare il valore dell’impresa. Una risposta
l’abbiamo già implicitamente data quando, nel precedente capitolo, abbiamo
utilizzato il RO per calcolare il valore reale V dell’impresa. Dobbiamo ora
cercare di capire perchè è corretto seguire questa tecnica, e cosa cambierebbe
se utilizzassimo il RN .
2.1 Il metodo RO
La differenza tra i due metodi di valutazione può essere illustrata considerando
il caso di un’impresa che debba scegliere tra diversi piani di finanziamento.
Supponiamo che ne esistano solamente tre, e che in tutti gli alternativi scenari
il RO sia conosciuto con certezza e pari a 200. Assumiamo che il rendimento
dell’attività reale sia ρ = 10%, che il tasso d’interesse sul debito sia r = 4%,
e che il debito nei tre casi sia rispettivamente pari a zero, 500 e 1000. Le
tabelle 1 e 2 riassumono i dati relativi al valore dell’impresa calcolati con il
metodo RO.
2A C D
RO 200 200 200
tasso rendimento impresa (ρ) 10% 10% 10%
valore impresa (V ) 2000 2000 2000
valore debito (B ) 500 1000
valore azioni (S ) 2000 1500 1000
Tabella 1. Il valore dell’impresa calcolato con il metodo RO
• Utilizzando il metodo del reddito operativo il valore totale dell’impresa
viene calcolato capitalizzando il RO al tasso di mercato ρ, ossia:
π
VRO = = SRO + B (1)
ρ
dove con π indichiamo genericamente il reddito operativo (il profitto).
Si noti che dalla (1) il valore delle azioni può essere riscritto come:
π
SRO = −B (2)
ρ
L’essenza di questo ragionamento è che il valore dell’impresa rimane
costante indipendentemente dalla struttura finanziaria. Ciò che invece
cambia è il valore del capitale azionario (vedi l’equazione (2), e l’ultima
riga della tabella 1).
• Questo approccio implica che ogni incremento dell’utile per azione ot-
tenuto attraverso un crescente indebitamento viene esattamente com-
pensato, al livello della struttura finanziaria, dal maggiore rischio sop-
portato dagli azionisti. In questo contesto, il valore della singola azione
non cambia al variare della struttura finanziaria (si veda tabella 2).
A B C
valore azioni (S) 2000 1500 1000
numero azioni 200 150 100
valore singola azione 10 10 10
Tabella 2. Il valore di una azione con il metodo RO
32.2 Il metodo RN
Vediamo ora cosa accade al valore dell’impresa, e a quello delle azioni, uti-
lizzando il metodo RN .
A C D
RO 200 200 200
interessi sul debito — 20 40
RN 200 180 160
tasso rendimento impresa (ρ) 10% 10% 10%
Valore azioni (S) 2000 1800 1600
Valore debito(B) — 500 1000
Valore impresa (V) 2000 2300 2600
Tabella 3. Il valore dell’impresa calcolato con il metodo RN
• In questo caso il valore delle azioni è calcolato capitalizzando il reddito
netto al tasso ρ:
RN π − rB
SRN = = (3)
ρ ρ
Conseguentemente, il valore di mercato dell’impresa è dato dalla somma:
π − rB
VRN = SRN + B = +B
ρ
che possiamo riscrivere come:
µ ¶
π ρ−r
VRN = + B (4)
ρ ρ
ossia:
µ ¶
ρ−r
VRN = VRO + B (5)
ρ
I valori ottenuti con questa procedura sono riportati nella tabella 3.
Essi mostrano che la tecnica di stima basata sul RN induce due errori
nella valutazione del valore dell’impresa e del capitale azionario.
41. Innazitutto, si assume che il capitale azionario dell’impresa indebitata
abbia lo stesso rischio economico dell’impresa che non ricorre al debito
(vedi l’equazione (3))1 , mentre noi abbiamo mostrato (capitolo prece-
dente) che per un’impresa che fà ricorso al debito la rischiosità azionaria
aumenta a causa del rischio finanziario indotto dalla presenza del deb-
ito.
2. Come secondo aspetto, dall’equazione (5) risulta che la struttura fi-
nanziaria accresce il valore dell’impresa indebitata al di sopra del val-
ore VRO dell’impresa che utilizza solo i mezzi propri (le azioni). Difatti,
poichè ρ−r > 0 l’aumento di B determina una crescita di VRN e del val-
ore della singola azione (vedi tabella 4). Questo ragionamento condur-
rebbe alla conclusione errata secondo cui, indipendentemente dal valore
reale del progetto, è vantaggioso finanziare il piano d’investimento at-
traverso un crescente indebitamento. Tuttavia, in un mercato perfetto
gli azionisti non dovrebbero essere disponibili a sostenere questa strate-
gia. Infatti, essi potrebbero ottenere un più elevato profitto se l’impresa
investisse il capitale preso a prestito in un portafoglio di attività fi-
nanziarie che rendono più di r. Alternativamente, l’impresa potrebbe
utilizzare il capitale di debito per distribuire dividendi, che possono
successivamente essere direttamente investiti in attività reali e/o fi-
nanzioarie dagli stessi azionisti.
A B C
Valore azioni (S) 2000 1800 1600
numero azioni 200 150 100
valore singola azione 10 12 16
Tabella 4. Il valore di una azione con il metodo RN
3 Una rappresentazione grafica
Una chiara illustrazione di questo diverso comportamento dei due criteri in
presenza di debito è riportata nella figura 1. Si noti che i due metodi danno
la stesso valore solo quando il capitale dell’impresa è composto per il 100%
da azioni (B = 0).
1
Il flusso netto π − rB viene difatti attualizzato utilizzando il tasso ρ.
5V
VRO+[(ρ-r)/ρ]B
π/ρ
VRO
B
Figure 1: La relazione tra VRO e VRN
• Appena la leva finanziaria cresce, il valore dell’impresa stimata con
il metodo RN aumenta, e l’incremento dipende dalla differenza tra il
tasso di sconto ρ dell’attività reale ed il tasso d’interesse r. In altre
parole, il metodo RN opera come se gli azionisti potessero accrescere il
loro rendimento azionario attraverso l’indebitamento senza sopportare
alcun rischio. L’aumento dell’UP A si trasferisce quindi direttamente
nel valore delle azioni.
• La tecnica di valutazione basata sul RO considera invece, e corret-
tamente, il trade-off esistente tra rendimento incerto e rischio. In
questo caso la leva finanziaria non influenza il valore dell’impresa perchè
l’aumento dell’utile per azione viene esattamente compensato dal cres-
cente rischio finanziario. In questo caso il valore dell’impresa è indipen-
dente dal tasso d’indebitamento.
64 I◦ proposizione: l’irrilevanza della strut-
tura finanziaria.
Fino ad ora ci siamo limitati a mostrare che l’ipotesi di costanza del valore
dell’impresa al variare della struttura finanziaria implica che il criterio di va-
lutazione corretto sia quello basato sul RO. Dimostriamo ora la proposizione
I di MM d’irrilevanza della struttura finanzaria.
MM dimostrano che in presenza di mercati dei capitali perfetti le imprese
non possono guadagnare da una variazione della struttura finanziaria. Essi
assumono che:
1. Esistono due imprese identiche che scelgono una diversa struttura fi-
nanziaria
2. Esistono solamente due attività finanziarie: le azioni e le obbligazioni
a cui l’impresa fa ricorso per finanziare l’attività reale
3. Ogni investore può prendere e dare a prestito allo stesso tasso d’interesse
di mercato r
4. I flussi di profitto sono delle perpetuità, poichè l’impresa non effettua
nuovi investimenti
5. L’informazione è perfetta
6. Non ci sono costi di transazione nè imposte sul reddito
7. Sono assenti i costi d’agenzia, così che non esistono divergenze di obi-
ettivi tra il controllo e la proprietà dell’impresa
Sulla base di queste ipotesi si può mostrare che:
Proposizione 1. Il valore di mercato di un’impresa è indipendente dalla
sua struttura finanziaria
• Cominciamo calcolando il valore dell’impresa che utilizza soltanto cap-
itale azionario. Chiamiamo questa impresa U. Per il momento as-
sumiamo che l’impresa paghi un’imposta proporzionale τ sul reddito
prodotto. Per questa impresa l’utile dopo le tasse è pari a:
RO(1 − τ ) (6)
7Chiaramente, la liquidità a disposizione dell’impresa in ogni periodo è
superiore a quella definita dalla (6), poichè a questo valore va aggiunto
l’ammortamento del capitale fisico (Am) accantonato in ogni periodo.
Il cash flow dell’impresa U risulta quindi essere:
CFU = RO(1 − τ ) + Am
Si noti, infine, che per l’ipotesi (2) l’impresa non effettua nuovi investi-
menti, ma si limita a sostituire lo stock di capitale fisico consumato. In
altri termini, l’investimento, I, è pari al tasso d’ammortamento, ovvero:
I = Am
Dunque, il free cash flow (F CF ) dell’impresa U in ogni periodo risulta
pari a:
F CFU = RO(1 − τ ) + Am − I = RO(1 − τ ) (7)
L’aspetto economicamente rilevante di questo risultato è che quando
si assume che il flussi di cassa siano delle perpetuità il F CFU coincide
con il RO dopo le imposte. Conseguentemente, dato il valore della
perpetuità ed il tasso di sconto ρ dell’impresa non indebitata, il valore
attuale corrispondente è:
F CFU RO(1 − τ )
VU = = (8)
ρ ρ
• Come cambia il valore della (8) quando l’impresa sceglie una diversa
proporzione tra debito ed azioni? Chiamiamo quest’impresa L. In
questo caso il cash flow di pertinenza degli azionisti è dato da:
RN + Am − I
mentre ai creditori vanno gli interessi sul debito:
rB
Il flusso di cassa disponibile F CFL è dunque dato dalla somma:
F CFL = RN + Am − I + rB
= (RO − rB)(1 − τ ) + Am − I + rB
8ovvero:
F CFL = RO(1 − τ ) + τ rB
dove la prima parte del flusso è uguale a quello generato dall’impresa
che utilizza solo capitale azionario, ed ha quindi anche il medesimo
rischio; il secondo addendo misura invece il vantaggio fiscale che deriva
dall’utilizzo del debito.
• Fin tanto che l’impresa genera utili che rimangono costanti al trascor-
rere del tempo, possiamo ipotizzare che il flusso di cassa τ rB abbia lo
stesso rischio dell’interesse sul debito. Il valore dell’impresa indebitata
può dunque essere scritto come:
RO(1 − τ ) τ rB
VL = +
ρ r
RO(1 − τ )
= + τB (9)
ρ
VL = VU + τ B
Il valore dell’impresa indebitata è pari a quello dell’impresa senza debiti
più il valore attuale dello scudo fiscale fornito dal debito τ B.
• Conseguentemente, questa relazione ci dice che in assenza di ogni im-
perfezione, incluse le tasse, il valore dell’impresa è completamente in-
dipendente dalla sua struttura finanziaria. Difatti, se τ = 0 risulta
che:
VL = VU (10)
Questo risultato è noto come I◦ proposizione di Modigliani-Miller.
5 L’approccio MM e il principio d’assenza di
arbitraggio
Anche se non espressamente detto, il risultato precedente dipende dalla as-
sunzione che gli investitori possano indebitarsi allo stesso tasso dell’impresa.
Quando ciò è possibile il comportamento ottimizzante e concorrenziale del
9mercato ci assicura l’assenza di opportunità d’arbitraggio, ovvero la possi-
bilità di ottenere profitti positivi dalle transazioni (finanziarie o reali) senza
incorrere in costi e/o rischi.
Un tipico esempio d’arbitraggio si ha, quando vi è possibilità di prendere
e dare a prestito a due differenti tassi d’interesse. In generale, la condizione
d’assenza d’arbitraggio elimina la possibilità che nel mercato si determini
una configurazione di prezzi che consenta ad un investitore di ottenere dei
profitti positivi senza sostenere costi e rischi.
Con riferimento al contesto MM, indichiamo con VU il valore di un’impresa
che abbia solo capitale azionario. Supponiamo che esista un’impresa iden-
tica che si finanzi emettendo azioni ed obbligazioni, e che abbia un tasso
d’indebitamento pari a α = B/V , e quindi una quota azionaria data da
(1 − α) = S/V . Indichiamo con π il reddito operativo di ogni periodo, e
con VL il suo corrispondente valore corrente. Utilizzando questa annotazione
possiamo dire che per ogni azione:
Principio di assenza di arbitraggio.
se π > 0 allora deve verificarsi che (VU − VL ) = 0
In altri termini, se un’impresa può cambiare il suo valore di mercato modi-
ficando la struttura finanziaria, allora anche i singoli investitori, siano essi
azionisti oppure obbligazionisti, possono effettuare operazioni analoghe di fi-
nanziamento che generino profitti d’arbitraggio. Tuttavia, in presenza di
mercati finanziari perfetti, il comportamento concorrenziale degli investitori
elimina le opportunità di arbitraggio assicurando che VU = VL .
• Per mostrare questo risultato partiamo dalla definizione:
VU = SU (11)
per l’impresa che ricorre al solo capitale azionario, e:
VL = SL + B (12)
per l’impresa indebitata. Mostriamo che se VU 6= VL allora esiste
un’opportunità d’arbitraggio che può essere sfruttata dagli investitori.
105.1 Il caso VU > VL
Supponiamo che:
VU > V L
In questa circostanza un investitore può costruire un portafoglio di attività
finanziarie che generi un profitto positivo senza sostenere costi e rischi. Sup-
poniamo, ad esempio, che un investitore possieda una quota 1−α dell’impresa
non indebitata che vale VU . La tabella 5 descrive il rendimento di questa
strategia di finanziamento e una possibile strategia di replica.
Investimento finanziario rendimento
a) Strategia semplice (1 − α) VU (1 − α) π
b) Strategia di replica:
compro (1 − α) az. SL (1 − α) (VL − B) (1 − α) (π − rB)
vendo (1 − α) di B (1 − α) B (1 − α) rB
Valore totale di (b) (1 − α) VL (1 − α) π
Tabella 5.
• Si noti che il rendimento della strategia semplice (a) e quello ottenuto
dal portafoglio di replica (b) è uguale e pari a (1 − α) π. In questa
condizione se VU > VL esiste un’opportunità di arbitraggio che può
essere sfruttata.
• Tale strategia d’arbitraggio si realizza vendendo le azioni (1 − α) VU e
acquistando l’ammontare (1 − α) VL dell’impresa indebitata, ottenendo
immediatamente il rendimento d’arbitraggio:
(1 − α) (VU − VL ) > 0
Questa strategia non comporta rischi nè costi perchè alla scadenza, in
entrambi i casi, si ottiene lo stesso rendimento (1 − α) π.
• Può sopravvivere questa opportunità d’arbitraggio in un mercato fi-
nanziario perfetto ed efficiente? Evidentemente no. Difatti, la per-
fezione del mercato assicura che il comportamento concorrenziale di
tutti gli investitori sposti la domanda dalle azioni dell’impresa U, ai
titoli (azioni e debito) dell’impresa L. Questo meccanismo tende a fare
11salire il prezzo di mercato delle azioni dell’impresa indebitata L, mentre
allo stesso tempo tende a ridurre il prezzo delle azioni di U. Il processo di
aggiustamento si arresta solo quando VU = VL . Giunti a questo punto
gli investitori non hanno più incentivo a cambiare il loro portafoglio
individuale.
5.2 Il caso VU < VL
Vediamo ora cosa accade se VU < VL . Per mostrare che questa disuguaglianza
non rispetta l’equilibrio, supponiamo che un investitore possieda una quota
(1 − α) delle azioni dell’impresa indebitata L che hanno il valore SL = VL −B.
Le strategie alternative d’investimento sono descritte nella tabella 6.
Investimento finanziario rendimento
a) Strategia semplice: (1 − α) (VL − B) (1 − α) (π − rB)
b) Strategia di replica:
compro (1 − α) az. SU (1 − α) VU (1 − α) π
compro (1 − α) B di L − (1 − α) B − (1 − α) rB
Valore totale di (b) (1 − α) (VU − B) (1 − α) (π − rB)
Tabella 6.
• Si noti che anche in questo caso il rendimento delle due strategie è
uguale.
Se VU < VL , l’investitore può ottenere profitti d’arbitraggio spostando
il suo investimento dalle azioni dell’impresa L a quelle della impresa U.
Con questa strategia si ottiene il rendimento pari a (1 − α) (π − rB)
come nella strategia semplice (a), ma ora il prezzo da pagare per de-
tenere il nuovo portafoglio finanziario è
(1 − α) (VU − B) < (1 − α) (VL − B)
da cui segue che:
(1 − α) (VU − VL ) < 0
Quindi, finchè VU < VL vi sono opportunità di arbitraggio. Tuttavia,
anche in questo caso se il mercato finanziario è perfetto ed efficiente la
concorrenza garantisce che in equilibrio è verificato che VU = VL .
12q V = πa / ρ
V= π / ρ
1-q V = πb / ρ
Figure 2: I movimenti di V nel caso binomiale
6 Il teorema MM e l’incertezza
Fino ad ora ci siamo limitati a considerare il caso di certezza, assumendo
che il valore del profitto sia una perpetuità. Abbiamo, inoltre, ipotizzato
che esistano due imprese identiche e che la strategia d’arbitraggio si realizzi
costruendo dei portafogli che generarano profitti positivi senza sopportarne
i costi.
Assumiamo ora che l’impresa operi in presenza d’incertezza che si mani-
festa attraverso l’aumento oppure la diminuzione del reddito operativo futuro
(RO) seguendo una distribuzione di probabilità binomiale.
• Più precisamente, indichiamo con π il valore presente del profitto; con
π a (a sta per alto) il suo valore futuro, se si verifica il migliore stato del
mondo, e con π b (b sta per basso) il valore corrispondente nel peggiore
stato del mondo. Assumiamo inoltre che π a > π b , e che i due eventi si
verifichino con probabilità q ed 1 − q.
• Se, dal secondo periodo in poi i rendimenti restano costanti, il cor-
rispondente valore dell’impresa su un orizzonte infinito può essere cal-
colato scontando la perpetuità al tasso ρ. L’evoluzione del valore reale
dell’impresa nei diversi stati di natura è descritta nella figura 2 dall’albero
di probabilità (binomiale) .
Con questa formulazione del problema MM è possibile generalizzare la
proposizione I, mostrando che l’esistenza di una sola impresa è suffi-
13ciente per ricavare l’irrilevanza della struttura finanziaria. Il modello
che costruiamo si fonda essenzialmente su due ipotesi:
1. Il mercato dei capitali è completo.
2. Si suppone che il processo stocastico delle azioni sia binomiale molti-
plicativo nel senso che π a = π ∗ a e π b = π ∗ b, dove a e b sono due
fattori moltiplicativi.
La prima ipotesi implica che esiste mercati a pronti, futuri e contingenti,
ovvero condizionati ai futuri stati del mondo, per ogni attività finanziaria.
La seconda è invece un’ipotesi di comodo che consente di semplificare la
trattazione analitica del problema.
Per completare le informazioni assumiamo che l’impresa possa finanziarsi
attraverso l’emissione di azioni. Il loro prezzo corrente è pari ad S, ed
hanno un prezzo futuro che per l’ipotesi di distribuzione binomiale molti-
plicativa sarà Sa oppure Sb a secondo degli stati del mondo che si realiz-
zano. L’impresa può scegliere la sua struttura finanziaria emettendo anche il
debito B, su cui paga un fattore d’interesse R = (1 + r) indipendentemente
dallo stato del mondo che si realizza. Affinchè non vi siano opportunità
d’arbitraggio, è necessario che nessuno dei due titoli risulti dominante: as-
sumeremo perciò a < R < b.
• Il nostro obiettivo è quello di mostrare che in presenza d’incertezza se
i mercati finanziari sono completi e perfetti il valore reale dell’impresa
può essere replicato da una struttura finanziaria scelta dai singoli in-
vestitori; e che ove vi fosse differenza tra questi due valori, esisterebbe
un’opportunità d’arbitraggio che il comportamento concorrenziale degli
investitori tende a fare scomparire
• Nel nostro caso le attività esistenti sono l’impresa di valore V, l’azione
il cui prezzo corrente è S, e l’obbligazione B che offre il rendimento
costante R. Assumiamo che al tempo corrente il valore finanziario
dell’impresa sia dato dalla somma delle azioni con le obbligazioni, S+B,
mentre nel periodo successivo quasta struttura può valere Sa+BR, op-
pure Sb + BR (vedi figura 3).
14q Sa+BR
S+B
1-q Sb+BR
Figure 3: Il portafoglio di replica.
1 0
Pa Pb
0 1
Figure 4: I prezzi delle attività “base”
• Indichiamo infine con P a e P b i due fattori di sconti che devono essere
applicati ai prezzi delle diverse attività finanziarie nei due alternativi
stati del mondo, a e b, per calcolarne il corrispondente valore corrente.
Questi prezzi “ipotetici” possono essere pensati come i prezzi di due
attività “base” che al tempo corrente hanno un prezzo pari a P a op-
pure P b , e che offrono un rendimento pari ad 1 solo se si realizza il
corrispondente stato del mondo, e nullo nell’altro (figura 4).2
• Per ottenere il valore corrente di questi prezzi procediamo come segue.
L’azione offre un rendimento Sa in uno stato e Sb nell’altro. Se un
investitore compone un portafoglio con una quantità Sa del titolo che
ha il prezzo P a e con Sb unità del secondo titolo, il portafoglio così
2
Per consuetudine gli asset che hanno queste caratteristiche prendono il nome di Arrow-
Debreu securities, dal nome dei due economisti che per primi ne hanno definito le proprietà.
15formato avrà gli stessi rendimenti dell’azione e quindi per la condizione
di assenza d’arbitraggio deve avere lo stesso prezzo S al tempo corrente.
Possiamo quindi scrivere che:
S = SaP a + SbP b
Allo stesso modo poichè le obbligazioni offrono il medesimo rendimento
R nei due stati possiamo scrivere:
B = BRP a + BRP b
Mettendo a sistema queste due equazioni:
½
1 = aP a + bP b
(13)
1 = RP a + RP b
ricaviamo i due prezzi base:
R−b u−R
Pa = , Pb =
R (a − b) R (a − b)
• Sappiamo già che il valore dell’impresa nei due diversi stati del mondo
è V a e V b . Applicando i fattori di sconto appena calcolati deve dunque
essere verificato che:
V = V aP a + V bP b (14)
Ma per la condizione di assenza d’arbitraggio deve anche essere vero
che nei due diversi stati di natura il valore reale dell’impresa è uguale al
valore della sua struttura finanziaria. Se così non fosse si verificherebbe
un’opportunità d’arbitraggio. Difatti, supponiamo che in almeno uno
stato del mondo il valore finanziario dell’impresa sia inferiore al valore
reale della stessa, mentre nell’altro stato i due valori coincidono. Per
esempio in a:
V a − (Sa + BR) > 0 (15)
In questa caso un investitore può ottenere un profitto d’arbitraggio nello
stato a. La strategia d’arbitraggio richiederebbe di prendere a prestito
al tempo corrente una somma B, e di farsi finanziare dagli azionisti
il restante capitale di rischio S. Con queste fonti di finanziamento si
16costituisce un’impresa di valore V. Nel periodo successivo, dopo avere
pagato le azioni e rimborsato il debito, l’investitore ottiene un profitto
d’arbitraggio che nello scenario b è nullo (i due valori coincidono per
ipotesi), mentre in quello a è positivo e quantificato dalla relazione (15).
• Il principio di assenza d’arbitraggio esclude questa possibilità impli-
cando che la (15) deve valere con segno d’uguaglianza, e conseguente-
mente che la (14) può essere riscritta come:
V = (Sa + BR) P a + (Sb + BR) P b
ovvero:
¡ ¢ ¡ ¢
V = aP a + bP b S + RP a + RP b B
che applicando le due condizioni della (13) diviene:
V =S+B
In altre parole, se non debbono sussistere opportunità d’arbitraggio il
valore corrente della struttura finanziaria deve essere uguale al valore
corrente dell’impresa. La composizione della struttura finanziaria non
modifica quindi il valore dell’impresa.
7 II◦ proposizione: il rendimento delle azioni
Questa proposizione stabilisce che il tasso di rendimento delle azioni aumenta
con l’aumentare della leva finanziaria. Più precisamente:
Proposizione II. Il rendimento delle azioni è una relazione lineare cres-
cente del rapporto d’indebitamento.
Vediamo in dettaglio.
• Sappiamo che il tasso di rendimento delle azioni per l’impresa non
indebitata U coincide con il tasso di sconto del progetto reale ρ, ed è
dato dall’espressione:
π
ρ= (16)
VU
dove π è il profitto (contabilmente il R0), e VU è il valore dell’impresa
con solo capitale azionario.
17• Il rendimento azionario dell’impresa indebitata è dato dall’espressione:
π − rB π rB
ra = = − (17)
SL SL SL
Moltiplicando e dividendo il primo termine della (17) per VU si ottiene:
π VU rB
ra = −
VU SL SL
³ ´³ ´
e aggiungendo e sottraendo l’espressione VπU B
SL
si ricava:
µ ¶ µ ¶
π VU B π B
ra = − − −r
VU SL SL VU SL
µ ¶
π π B
= − −r
VU VU SL
perchè per la prima proposizione VU = VL , e quindi VU − B = SL .
Infine, sfruttando la (16) si ha che:
B
ra = ρ + (ρ − r) (18)
SL
• Quindi, il tasso di rendimento delle azioni (ra ) per un’impresa indebi-
tata è uguale al tasso di rendimento delle azioni dell’impresa che non fa
ricorso al debito (ρ) più un premio per il rischio (ρ − r) SBL che dipende
dal grado d’indebitamento dell’impresa. Maggiore è la leva finanziaria,
più alto è il rapporto SBL , maggiore il premio per il rischio richiesto dagli
azionisti per detenere le azioni, e più elevato è il rendimento azionario
ra . Questa relazione rispecchia le considerazioni sviluppate nel primo
capitolo in cui abbiamo mostrato come l’aumento della leva finanziaria
rende più rischiosa la posizione finanziaria degli azionisti perchè i loro
diritti residuali sul valore dell’impresa diventano più variabili. Di con-
seguenza, essi richiedono un più elevato rendimento per compensare il
maggiore rischio.
• Un utile modo di riscrivere la relazione (18) è il seguente:
µ ¶
SL + B B
ra = ρ− r
SL SL
18ra
ρ
r
B/SL
Figure 5: La relazione tra ρ, ra ed r
ovvero:
µ ¶ µ ¶
SL B
ρ= ra + r (19)
SL + B SL + B
Quest’ultima espressione formalizza l’affermazione più volte detta che
il rendimento reale dell’investimento ρ è invariante in presenza di vari-
azioni della struttura finanziaria, quando il mercato dei capitali è per-
fetto. L’espressione (19) è spesso denominata weighted average cost of
capital (wacc), in quanto offre una misurazione del contributo relativo
delle due diverse fonti di finanziamento al costo dell’investimento reale.
• Le implicazioni generali della proposizione II sono indicate nella figura
5. La figura parte dal presupposto che il debito sia privo di rischio. Così
r è indipendente dal rapporto tra debito ed azioni, mentre ra aumenta
in funzione lineare all’aumentare di tale rapporto.
197.1 Indebitamento e rischio del rendimento azionario
Per spiegare in maniera più formale questa relazione tra rendimento e rischio
nel contesto MM riprendiamo l’espressione (18):
B
ra = ρ + (ρ − r)
SL
che come sappiamo può essere riscritta come:
VL B
ra = ρ− r
SL SL
In MM il debito non è soggetto ad incertezza, mentre il reddito operativo
può essere incerto. Assumiamo dunque che il profitto π sia una variabile
stocastica normalmente distribuita. Ovviamente, questo implica che anche il
tasso ρ segue la stessa distribuzione di probabilità3 che noi caratterizziamo
con la seguente ipotesi:
¡ ¢
ρ v N µ, σ 2
Quindi, la varianza del rendimento azionario è data dall’espressione:
µ ¶2
2 VL
σ ra = σ2
SL
il che implica che σ 2ra > σ 2 perchè per definizione VL > SL . Ossia il debito
accresce la rischiosità delle azioni.4
8 La relazione tra il modello MM ed il CAPM
Il CAPM è una relazione di asset pricing che misura il rendimento atteso di
un titolo in funzione del suo rischio sistematico. In sintesi, poichè l’investitore
3
Per spiegare questa implicazione basta ricordare che su un orizzonte infinito il valore
dell’impresa che produce una perpetuità π è pari a V = π/ρ. Se vale il teorema di MM, il
valore V è una costante e quindi possiamo anche scrivere che:
π
ρ=
V
Quindi se π è una variabile stocastica di tipo normale, anche ρ ha la stessa distribuzione
di probabilità in quanto ne è solamente una trasformazione lineare.
4
Come abbiamo mostrato nel capitolo precedente, in presenza di debito il rischio
dell’impresa è dato dalla somma del rischio economico con il rischio finanziario.
20sceglie un portafoglio diversificato, la componente del rischio che deve essere
considerata nel valutare il trade-off tra rischio e rendimento è la sola parte
non diversificabile. Nel CAPM il rendimento atteso remunera solamente il
rischio sistematico. Questa parte del rischio non diversificabile è misurata dal
rapporto β i = σσim
2 , dove σ im è la covarianza tra l’attività i ed il portafogliodi
m
mercato m, mentre σ 2m è la varianza dello stesso portafoglio.
In termini generali, il CAPM si esprime attraverso la seguente equazione:
E(ri ) = r + β i [E(rm ) − r]
dove E(ri ) è il rendimento atteso del titolo i, r è il tasso d’interesse non
rischioso, ed E(rm ) è il rendimento atteso del portafoglio di mercato. Questa
equazione è nota come Security Market Line (SML) ed esprime la relazione
di equilibrio tra rendimento atteso e rischio sistematico di un qualsiasi asset.
Come abbiamo visto in precedenza, il modello MM non fa invece dis-
tinzione tra rischio sistematico e rischio non sistematico.5 E’ quindi impor-
tante capire quale relazione esiste tra i due modelli. La figura 6 offre una
rappresentazione grafica del modo in cui le due equazioni di valuazione pos-
sono essere rappresentate.
• Mentre per la SML il rendimento atteso cresce in funzione del rischio
sistematico β delle attività che vogliono essere acquisite, Modigliani e
Miller assumono che tutti gli investimenti effettuati dall’impresa ab-
biano lo stesso rischio. Conseguentemente, il valore il tasso atteso di
rendimento dell’impresa nel modello di MM è indipendente dalla com-
ponente sistematica, e rappresentabile attraverso una retta orizzontale:
il rendimento reale ρ, ossia il WACC, non cambia in funzione del rischio
sistematico.
E’, tuttavia, possibile ricondurre il modello di MM all’interno di uno
schema di valutazione che tenga in considerazione il fatto che i progetti pos-
sono avere rischi diversi, e dipendenti solamente dalla componente sistemat-
ica del rischio (Hamada (1969) e Rubistein (1973)).
• Con questo obiettivo in mente, manteniamo l’ipotesi di MM che il deb-
ito non sia rischioso, ossia assumiamo che il beta del debito sia pari a
5
Questa accade perchè l’originario contributo di Modigliani e Miller è stato sviluppato
in anticipo rispetto al CAPM.
21E(Ri)
SML
WACC
β
Figure 6: La SML e il WACC
zero, β B = 0. Teniamo, invece, presente che, mentre è possibile quan-
tificare il rischio sistematico delle imprese indebitate, ovvero il loro β L ,
non è invece direttamente osservabile il corrispondente valore β U delle
imprese che utilizzano solamente capitale azionario.
• Derivare questa relazione è comunque possibile. Per fare ciò eguagliamo
il rendimento atteso dalle azioni dell’impresa indebitata espresso alter-
nativamente attraverso il CAPM e l’equazione di MM. Possiamo scri-
vere:
B
r + β L [E(rm ) − r)] = ρ + (ρ − r)
SL
Poi sostituiamo sul lato destro dell’uguaglianza la relazione di CAPM
per il rendimento reale ρ = ra dell’impresa non indebitata:
B
r + β L [E(rm ) − r)] = r + β U [E(rm ) − r)] + {r + β U [E(rm ) − r)] − r}
SL
Semplificando questa espressione si ottiene infine:
· ¸
B
βL = 1 + β (20)
SL U
22Questa relazione implica — in coerenza con le nostre precedenti con-
siderazioni — che β U < β L . La principale implicazione della (20) è che
dall’osservazione di β L si può ricostruire il beta dell’impresa che opera
solamente attraverso il cash flow operativo, e questo valore dipende
solamente dalla componente sistematica del rischio reale.
• Quindi, per tenere in considerazione il fatto che il rendimento atteso
dei nuovi investimenti può essere diverso dal WACC calcolato sui vec-
chi progetti, è necessario stimare il β U che caratterizza il nuovo piano
d’investimento come se l’impresa utilizzasse solo capitale proprio, per
poi ricostruire il WACC del nuovo progetto considerando le diverse
ipotesi d’indebitamento con l’ausilio della relazione (20).
8.1 Quando anche il debito è rischioso.
Che cosa cambia nella I ◦ proposizione di MM se assumiamo che anche il
debito sia rischioso? Dalle ipotesi elencate sopra sappiamo che il livello di
leverage non influenza il reddito operativo (RO) dell’impresa. Perciò, fintanto
che nel modello non vengono inserite altre frizioni, come per esempio i costi
di bancarotta, non c’è nessuna implicazione per la proposizione di neutralità
della struttura finanziaria nell’assumere che il debito sia rischioso (Stiglitz
1969).
Per mostrare ciò, partiamo dall’osservazione che nel CAPM, se il debito
è rischioso deve valere la seguente relazione:
E(rB ) = r + β B [E(rm ) − r)]
dove β B = σσBm2 . Inoltre, dalla equazione (17) possiamo scrivere che per
m
l’impresa indebitata il rendimento azionario è pari a:
π − rB B
ra = (21)
SL
ossia il rendimento dipende dal reddito netto (RN).
• Ovviamente, in termini attesi il rendimento delle azioni può essere
espresso con il CAPM. E’ utile riscrivere questa espressione come:
E (ra ) = r + λ̂σ am (22)
23E(rm )−r
dove λ̂ = σ2m
, e con:
½· µ ¶¸ ¾
π − rB B π − rB B
σ am = E −E [rm − E(rm )] (23)
SL SL
1
= [Cov (π, rm ) − BCov (rB , rm )] (24)
SL
• Ora sostituendo la (21) e la (24) nella (22) si ottiene la seguente espres-
sione per l’impresa indebitata:
E(π) − E (rB ) B = rSL + λ̂ [Cov (π, rm ) − BCov (rB , rm )] (25)
• Seguendo la stessa procedura possiamo ricavare l’espressione corrispo-
nente al caso in cui l’impresa non utilizzi il debito (B = 0, e SL = VU ).
Si ha in questo caso:
E(π) = rVU + λ̂ [Cov (π, rm )] (26)
Sostituendo quest’ultima equazione per E(π) nella (25), e ricordando
che VL = SL + B, si ottiene infine:
VU = VL
che è esattamente il risultato di MM. Quindi, l’esistenza di un deb-
ito rischioso non può essere considerata di per se una condizione che
conduce alla determinazione di una struttura ottimale del capitale fi-
nanziario delle imprese.
9 III◦ proposizione: l’irrilevanza della polit-
ica di dividendo
Possiamo ora affrontare il problema della distribuzione dei dividendi e degli
effetti che tale politica può avere sul valore dell’impresa e della sua struttura
finanziaria. In particolare, vogliamo rispondere alle seguenti domande:
1. qual’è l’effetto di un cambiamento della politica dei dividendi sul valore
della impresa, ferme restando le decisioni di investimento reale.
242. può la politica del dividendo influenzare la struttura finanziaria.
Per affrontare questi problemi è utile isolare la politica dei dividendi
dalle altre decisioni dell’impresa, ipotizzando che gli investimenti reali siano
costanti e l’indebitamento nullo. Naturalmente, mantenendo fisse le spese
d’investimento e l’ammontare del debito, la variazione del flusso dei divi-
dendi pagati agli azionisti può avvenire solamente attraverso il riacquisto
(emissione) di (nuove) azioni.
Quindi, per politica dei dividendi si intende la scelta che l’impresa deve
fare tra finanziare la distribuzione dei dividendi ricorrendo a una parte, o
a tutto, dell’ammontare degli utili netti conseguiti in ogni periodo, oppure
ricorrendo alla raccolta di liquidità attraverso l’emissione azionaria.
9.1 Il dividendo
Prima di affrontare tecnicamente il problema relativo alla natura e alla dis-
tribuzione dei dividendi è bene dare qualche definizione.
• Il dividendo è il pagamento erogato agli azionisti. Il suo ammontare
viene stabilito da chi amministra l’impresa, dopo avere decurtato dal
reddito operativo (il profitto) i debiti che l’impresa ha contratto con i
finanziatori esterni e le imposte sul reddito d’impresa.
• I dividendi vengono erogati in molte forme. Il modo più usuale è quello
di decurtare dal reddito netto un ammontare complessivo che diviso il
numero delle azioni dà il dividendo per azione.
• Il rapporto tra dividendo e reddito netto per azione è stato negli ul-
timi trenta anni generalmente intorno al 40-50%. Ovviamente, dal
punto di vista delle risorse finanziarie utilizzabili per realizzare i nuovi
piani d’investimento, la distribuzione dei dividendi riduce le fonti di
auto-finanziamento dell’impresa. Tale pagamento non ha però effetti
sull’ammontare complessivo del capitale sociale in quanto non modifica
il numero delle azioni in circolazione.
• Il dividendo non è sempre distribuito in contante. Spesso le imprese
offrono nuove azioni ai sottoscrittori. Tali azioni possono essere succes-
sivamente rivendute dagli azionisti che ne ricevono un corrispondente
25flusso di rendimento. Vi è però una netta differenza con il caso prece-
dente. Poichè in questo caso il numero delle azioni aumenta, ed il val-
ore di ogni singola azione, a parità d’investimento e d’indebitamento,
si riduce. Si parla in questo caso di diluizione del capitale azionario.
• Una terza forma di pagamento è il riacquisto delle azioni. Questo
metodo di distribuzione dei profitti viene preferito, ad esempio, quando
in presenza di una fase di rallentamento della crescita dell’impresa si
determina un eccesso di liquidità interna. Oppure quando un piano di
riacquisto delle azioni può frenare la caduta dei prezzi del titolo quotato
in borsa.6
9.2 Alcuni fatti stilizzati
Quattro osservazioni empiriche ricorrenti hanno alimentato il dibattito sulla
importanza della politica di dividendo:
1. le imprese utilizzano una percentuale significativa dei propri profitti
per distribuire dividendi
2. storicamente, il dividendo è stato la forma predominante di pagamento
che le imprese hanno riservato agli azionisti
3. le imprese tendono a stabilizzare il dividendo nel tempo. In particolare,
le variazioni dei dividendi seguono le variazioni dei profitti di lungo
periodo;
4. il mercato reagisce positivamente all’annuncio di un aumento del divi-
dendo, e negativamente ad un annuncio di una sua riduzione.7
Un semplice modello quantitativo che tenga conto di tutte queste ev-
idenze empiriche può essere costruito ipotizzando che il profilo temporale
della distribuzione dei dividendi segua un processo ad aggiustamenti parziali.
6
Vi sono diverse modalità di riacquisto. La più comune è l’offerta pubblica di acquisto
(OPA) che viene realizzata attraverso l’interessamento di banche d’investimento che inter-
mediano tra singoli azionisti (risparmiatori) ed impresa.
7
Questo accade perchè i dividendi possono essere interpretati come degli indicatori degli
utili futuri dell’impresa.
26• Se indichiamo con b il rapporto desiderato tra dividendo dt e il reddito
netto RN per azione, il dividendo ottimale di lungo periodo può essere
scritto come
d∗t = (b) RNt + εt
dove εt è un disturbo stocastico stazionario con media nulla, E(εt ) = 0,
e varianza costante E(εt )2 = σ 2 , cioè una componente irregolare (white
noise) che allontana in maniera non sistematica il dividendo effettivo
da quello desiderato.
• La dinamica di aggiustamento parziale della politica di dividendo è
invece descritta dall’equazione:
dt − dt−1 = λ (d∗t − dt−1 )
che, quindi, identifica la politica di dividendo di breve periodo. Sos-
tituendo d∗t in quest’ultima espressione ed esplicitando per il dividendo
al tempo t otteniamo la seguente equazione autoregressiva:
dt = (β) RNt + (α) dt−1 + µt
dove β = bλ, α = (1 − λ) , e µt = λεt .
• Questa relazione mostra che il dividendo al tempo corrente è determi-
nato, al di là delle oscillazioni imprevedibili del disturbo µt , dal reddito
netto del periodo (RNt ) e dal dividendo del periodo precedente (dt−1 ).
Se l’orizzonte temporale di programmazione parte dal tempo t = 0,
risolvendo a ritroso quest’ultima equazione si ottiene:
t
X t
X
s
dt = β α RNt−s + αs µt−s + αs dt−s
s=0 s=0
Se nel primo periodo (s = t) il dividendo distribuito è pari a zero
(dt−s = 0), il valore atteso del dividendo al tempo corrente è solo una
media degli utili passati ovvero:
t
X
E (dt ) = β αs RNt−s
s=0
Pn i
¡ ¢
perchè per ipotesi i=0 α E µt−i = 0.
27• Quindi, se questa ipotesi è corretta nel lungo periodo il dividendo è
una media ponderata dei redditi netti correnti e passati. Alcuni studi
empirici approfonditi hanno confermato questa ipotesi, mostrando che
la struttura autoregressiva dei redditi netti può spiegare fino al 85%
della variazione annuale dei dividendi.
10 La politica dei dividendi è irrilevante in
un mercato perfetto
Benchè l’equazione del paragrafo precedente ci offre una descrizione del modo
in cui le imprese scelgono la politica di dividendo nel lungo periodo, nulla
ci dice circa la relazione che lega il dividendo al reddito operativo e quindi
al valore dell’impresa. Per quanto detto sopra, gli azionisti (la proprietà)
hanno diritto a quella parte dei profitti che la gestione dell’impresa sceglie
di dichiarare come dividendo. Evidentemente, a parità di quota percentuale
dei dividendi distribuiti, l’azionista riceverà un pagamento tanto maggiore
quanto più elevato è il profitto.
10.1 Dividendo e valore dell’impresa
Iniziamo la nostra discussione con un inciso. Fino alla fine degli anni 50’ si
riteneva che, anche sotto l’ipotesi di mercati perfetti, più elevato era il divi-
dendo pagato agli azionisti e più elevato sarebbe stato il valore dell’impresa.
Questa affermazione era basata sull’idea che il tasso di sconto applicato ai
flussi di profitto generati da un investimento dovesse riflettere anche la po-
litica di dividendo perseguita dall’impresa.
• Il ragionamento da cui scaturiva questa conclusione era il seguente.
Se un’impresa avesse annunciato un più alto dividendo per il peri-
odo futuro questa dichiarazione doveva essere interpretata dal mercato
come un segnale di rallentamento dell’attività futura d’investimento.
A fronte di questo rallentamento si sarebbe registrata un’incertezza
minore circa il livello dei profitti futuri che sarebbero derivati esclu-
sivamente dalle attività produttive dell’impresa già in essere al mo-
mento dell’annuncio. Quindi, benchè i dividendi futuri avrebbero po-
tuto essere presumibilmente più bassi dei correnti, la minore incertezza
si sarebbe immediatamente riflessa nella riduzione del tasso di sconto
28che avrebbe, infine, più che compensato il decremento dei flussi futuri
di cassa. Il valore scontato dei dividendi sarebbe dunque aumentato, e
con esso il valore dell’impresa.
Modigliani e Miller (1961) mostrano che questo ragionamento è errato.
Più precisamente essi mostrano che:
Proposizione III. Il valore di mercato di un’impresa è indipendente dalla
sua politica di dividendo.
• Per ottenere la proposizione d’irrilevanza della politica di dividendo,
manteniamo le stesse ipotesi di mercato perfetto discusse in precedenza.
Per semplificare l’analisi assumiamo però che l’impresa ricorra al solo
capitale azionario.
• In questo scenario, agli azionisti pervengono in ogni periodo t due flussi
di rendimento: il dividendo dt e il guadagno (o perdita) in conto capitale
vt+1 −vt
vt
, dove vt è il prezzo iniziale di una singola azione. Il rendimento
complessivo che deriva dal possesso dell’azione è il tasso ρ che coincide
il tasso di rendimento dell’attività reale dell’impresa.
• Per l’intervallo [t, t + 1] possiamo quindi scrivere:
dt+1 + vt+1 − vt
ρ=
vt
Da questa espressione si ricava:
1
vt = [dt+1 + vt+1 ] (27)
1+ρ
In questa forma vt è il valore corrente dell’azione al netto del dividendo
pagato in t, dt+1 è il dividendo del periodo successivo, mentre vt+1 è il
valore dell’azione in t + 1. Se nt è il numero di azioni in circolazione
al periodo iniziale t, il valore complessivo delle azioni in circolazione è
Vt = vt nt , mentre il corrispondente valore totale dei dividendi pagati
in t + 1 è Dt+1 = dt+1 nt . L’equazione (2) può essere riscritta come:
1
Vt = [Dt+1 + vt+1 nt ]
1+ρ
dove ora Vt rappresenta il valore dell’impresa.
29• E’ importante notare che l’espressione vt+1 nt non rappresenta il valore
delle azioni in t + 1 perchè in questo lasso di tempo potrebbe essere
aumentato (diminuito) il numero delle azioni in circolazione (emissione
o dismissione). Per tenere conto di questo fatto il valore Vt+1 deve
essere scritto come:
Vt+1 = vt+1 nt + vt+1 mt+1 (28)
dove mt+1 misura l’aumento (diminuzione) del numero delle azioni nel
periodo successivo. La (28) diviene:
1
Vt = [Dt+1 + Vt+1 − vt+1 mt+1 ] (29)
1+ρ
perchè Vt+1 − vt+1 mt+1 = vt+1 nt .
10.2 Risorse e impieghi finanziari
Per completare la nostra discussione si tenga presente che in ogni t i dividendi
Dt rappresentano per l’impresa un impiego insieme ai costi variabili Ct e
agli investimenti It , e che tali impieghi devono essere coperti dalle risorse
finanziarie a disposizione dell’impresa che nel nostro caso sono rappresentate
dai ricavi Rt e dall’emissione di nuove azioni vt mt .
• In t + 1 deve essere quindi verificato che:
Rt+1 + vt+1 mt+1 = Dt+1 + Ct+1 + It+1 (30)
Dalla precedente discussione (vedi paragrafo 4) sappiamo che quando
la politica d’investimento non cambia allora si verifica che It = Am,
ovvero l’investimento è appena sufficiente a coprire le spese di ammor-
tamento del capitale fisso. Da questa relazione si ricava che:
−vt+1 mt+1 = ROt+1 − Dt+1
dove con ROt+1 indichiamo il reddito operativo dato dalla differenza
Rt+1 − Ct+1 − Am. Sostituendo nella (29) si ottiene infine:
301
Vt = [ROt+1 + Vt+1 ] (31)
1+ρ
• Quest’ultima è una equazione alle differenze finite del primo ordine a
coefficienti costanti che può essere risolta iterativamente in avanti fino
al raggiungimento del periodo finale. In t + 1 si ha:
1
Vt+1 = [ROt+2 + Vt+2 ]
1+ρ
e sostituendo per Vt+1 nella (31) si ottiene:
1 1 1
Vt+1 = ROt+2 + 2 ROt+1 + Vt+2
1+ρ (1 + ρ) (1 + ρ)2
Se l’orizzonte di investimento dell’azionista giunge fino a T, sostituendo
iterativamente fino a quasta data si ottiene la soluzione:
XT
ROt+i 1
Vt = i + Vt+T (32)
i=1
(1 + ρ) (1 + ρ)T
• Questa espressione afferma che un azionista compra al prezzo Vt il
flusso di profitti ROt+1 più il valore attuale del futuro capital gain,
(1 + ra )−T Vt+T , poichè al tempo T il valore delle azioni Vt+T è pari al
valore scontato dei futuri profitti netti da quel periodo in poi.
• Se l’orizzonte fosse infinito la (32) richiederebbe evidentemente che:
1
lim Vt+T = 0 (33)
T →∞ (1 + ρ)T
ovvero:
X∞
ROt+i
Vt = (34)
i=1
(1 + ρ)i
1
essendo 1+ρ < 1. Questa è la condizione aggiuntiva di trasversalità che
elimina la bolla speculativa che assicurerebbe all’azionista un profitto
d’arbitraggio sempre positivo. Difatti, quando il tempo tende ad in-
1
finito se (1+ρ)T Vt+T > 0 ciò significherebbe che il valore dell’impresa
cresce così velocemente da rendere conveniente acquistare le azioni con
il solo scopo di rivenderle in futuro guadagnando l’incremento di valore.
31• Si noti che, come nei due casi precedenti, quando gli investimenti non
variano, e quando l’impresa opera in condizioni di certezza, il red-
dito operativo diviene una perpetuità, che ci consente di semplificare
l’equazione (32). Per un’orizzonte infinito e sotto l’ipotesi di perpetuità
si ricava dunque:
∞
X RO RO
Vt = i = (35)
i=1
(1 + ρ) ρ
ossia il valore corrente delle azioni è pari al valore scontato al tasso ρ
del flusso infinito dei profitti netti RO.
• Questa espressione è significativa in quanto mostra che il valore delle
azioni, e quindi il valore dell’impresa, in t è completamente indipendente
dalla politica di dividendo che si dichiara verrà applicata nei periodi
successivi. Le sole variabili che determinano Vt sono il tasso di interesse
ρ che prevale al tempo corrente e il profitto operativo. Si ha dunque
che la politica di distribuzione dei dividendi è irrilevante per il valore
dell’impresa.
• E’ importante sottolineare che la proposizione d’irrilevanza della po-
litica di dividendo si basa sull’ipotesi che gli investimenti dell’impresa
rimangano costanti al trascorrere del tempo. In questa circostanza
poichè i profitti non mutano e il debito è costante (pari a zero), l’unico
modo di distribuire maggiori dividendi è quello di emettere nuove azioni
e di utilizzare la somma di denaro incassata per pagare l’incremento di
dividendo. Evidentemente, ciò non altera il valore dell’impresa, ma
aumentando il numero delle azioni implica una diluizione del capitale
azionario, e quindi una riduzione del valore della singola azione. I
nuovi azionisti entrano in possesso di azioni che valgono meno di quelle
preesistenti all’annuncio dell’aumento del dividendo, mentre i vecchi
azionisti si ritroverranno con un pò più di denaro in tasca, ma con delle
azioni che valgono rispettivamente meno in banca. Si noti comunque
che per i vecchi azionisti le perdite in conto capitale sono esattamente
compensate dal maggior dividendo.
• Questa implicazione è chiaramente illustrata dalle relazione (29) e (28).
Se i profitti uniperiodali non variano, i ricavi e i costi sono costanti, e
se la politica di indebitamento non muta, l’unico modo per aumentare
32il dividendo distribuito Dt+s è di accrescere vt+s mt+s , ovvero il valore
delle nuove azioni che devono essere emesse (vedi eq.29). Ma ogni
aumento in Dt+s determina una riduzione di vt+s nt = (Vt+s − vt+s mt+s )
cioè una diminuzione del valore dell vecchie azioni in circolazione nel
periodo precedente (vedi eq.28) .
11 Equivalenza tra sconto dei dividendi e dei
profitti
Le precedenti relazioni possono aiutarci a ricavare qualche altra utile im-
1
plicazione. Riprendiamo l’equazione (27), vt = 1+r [dt+1 + vt+1 ] , che rap-
presenta il valore di ogni singola azione espresso in funzione del dividendo
futuro. E’ immediato mostrare (con successive iterazioni) che quando t tende
a infinito:
X∞
dt+i
vt = (36)
i=1
(1 + r)i
• Questa relazione non ci deve trarre in inganno. Essa non significa
che variazioni del dividendo modificano il valore vt dell’azione. Dal
paragrafo precedente sappiamo, difatti, che se la politica d’investimento
non cambia, ogni incremento di dt+i è esattamente compensato da una
riduzione di vt+i . Quindi una variazione del livello di dt+i deve riflettersi
in una variazione opposta del valore vt+i delle vecchie azioni. Quindi
la politica di dividendo influenza solamente il profilo temporale della
distribuzione dei dividendi, ma non il loro valore attuale. E’ infine
immediato verificare che il valore di mercato dell’impresa è pari a
X∞
Dt+i
Vt = vt nt = (37)
i=1
(1 + r)i
dove Dt = dt nt . Quindi il metodo dei dividendi e quello dei profitti
devono fornire lo stesso valore dell’impresa.
12 Valore e nuovi investimenti
La proposizione d’irrilevanza della politica dei dividendi ci porta a concludere
che se l’impresa si limita a mantenere costante lo stock di capitale nel lungo
33periodo, e se l’indebitamento non muta, i flussi di profitto rimangono invariati
al trascorrere del tempo. In queste condizioni un aumento del dividendo può
solo creare un passaggio di ricchezza tra i nuovi e i vecchi azionisti, che ve-
dranno quindi indebolita la loro posizione nell’impresa. Questo implica che
per aumentare la ricchezza degli azionisti l’unica strategia è quella di realiz-
zare nuovi progetti d’investimento. Può questa scelta inficiare la proposizione
di irrilevanza della politica di dividendo in un mercato perfetto?
• Per discutere questo punto prendiamo nuovamente in considerazione la
formula (34). Indichiamo con:
It = ∆Kt + Am
l’investimento lordo che è dato dalla somma tra l’ammortamento (Am)
con l’investimento netto ∆Kt che ipotizziamo sia positivo (∆Kt > 0).
Indichiamo con:
π t+i = R0t+i − ∆Kt+i
il profitto operativo al netto della spesa per nuovi investimenti, dove
come di consueto ROt è il profitto operativo, mentre ∆Kt sono gli
investimenti netti sostenuti nel stesso intervallo di tempo. Sulla base
di questa definizione la (34) può ora essere riscritta come:
∞
X π t+i
∞X ROt+i − ∆Kt+i
Vt = i = (38)
i=1
(1 + ρ) i=1
(1 + ρ)i
ossia il valore dell’impresa è dato dalla somma del valore attualizzato
del RO meno la spesa in nuovi investimenti.
• Evidentemente, i nuovi investimenti sono realizzati solamente se deter-
minano un incremento dei profitti futuri, ossia un aumento del reddito
operativo. Supponiamo quindi che ogni nuovo investimento realizzato
in t + 1 generi a partire dal periodo successivo t + 2 un flusso aggiuntivo
di profitto che ha un valore pari a γ∆Kt , con 0 < γ < 1. In t + i con
i = 2...T si ha dunque che:
R0t+2 = R0t+1 + γ∆Kt+1
R0t+3 = R0t+2 + γ∆Kt+2 = R0t+1 + γ∆Kt+1 + γ∆Kt+2
.........................
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