Fondamenti della matematica - Quarta lezione (parte seconda)

Fondamenti della
 matematica
 Quarta lezione (parte seconda)

Correzione esercizi lezione tre( ultima slide)
1) 4410 = 1345 = 1011002 x 0 1 2 3
 0 0 0 0 0
2) 22110 = 13415 = 3358
 1 0 1 2 3
3) 2346 = 9410 = 11324
 2 0 2 10 12
 3 0 3 12 21

 + 0 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 3 4 5 6
 0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0
 1 1 2 3 4 5 6 10 1 0 1 2 3 4 5 6
 2 2 3 4 5 6 10 11 2 0 2 4 6 11 13 15
 3 3 4 5 6 10 11 12 3 0 3 6 12 15 21 24
 4 4 5 6 10 11 12 13 4 0 4 11 15 22 26 33
 5 5 6 10 11 12 13 14 5 0 5 13 21 26 34 42
 6 6 10 11 12 13 14 15 6 0 6 15 24 33 42 51

Le proprietà delle operazioni e il
 calcolo mentale
• 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82
Quali proprietà abbiamo applicato?
In ogni passaggio (escluso l’ultimo) sempre la proprietà
associativa
• 55+27=50+5+20+7= (50+20)+(5+7)=70+12=82
In questo caso proprietà associativa e proprietà
commutativa
• 125-75= (125-25)-(75-25)=100-50=50
Qui è applicata la proprietà invariantiva

Con attenzione possiamo coinvolgere insieme
addizione e sottrazione:

33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82

Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa
anche in presenza della sottrazione.

Perché è possibile?

Esercizi
Svolgere con calcolo mentale le seguenti operazioni,
poi scrivere come sono state svolte ed evidenziare
le proprietà applicate:
• 34 + 27
• 85 − 37
• 212 + 145
• 328 − 119
• 1205 + 379
• 1205 − 379

LE OPERAZIONI DI
MOLTIPLICAZIONE
 E
 DIVISIONE

Moltiplicazione
Solitamente la moltiplicazione viene presentate come
addizione ripetuta.

 × = + + ⋯+ 

 n volte
In questo caso i due numeri hanno un ruolo diverso:
il simbolo m mantiene il ruolo di numero, mentre n è un
aggettivo numerale cardinale (riferito a ‘volte’).
Anche i nomi assegnati ai due numeri evidenziano
quanto sopra affermato

I termini della moltiplicazione

Quindi i due numeri che compaiono nella scrittura
hanno un ruolo diverso.
Ma come mai vale la proprietà commutativa?

Si può rappresentare la moltiplicazione anche in un altro modo, che
fa si che entrambi i fattori assumano lo stesso ruolo.
Vediamolo con un esempio:
 × × 
 4 colonne 5 colonne

 4 righe
5 righe

 Come si può vedere, in questo modo è più facile
 riconoscere la proprietà commutativa

Proprietà della moltiplicazione
 È una operazione interna:
 ∀ , ∈ , ∙ ∈ …
 Vale la proprietà associativa:
 ∀ , , ∈ , ∙ ∙ = ∙ ( ∙ )
 Vale la proprietà commutativa:
 ∀ , ∈ , ∙ = ∙ 
 Neutralità dell’1:
 ∀ ∈ , ∙ = ∙ = 
 0 è elemento assorbente: ∀ ∈ , ∙ = 
 la seconda funzione dello 0 nelle operazioni

Il legame tra addizione e moltiplicazione

è la proprietà distributiva
 del prodotto rispetto alla somma

In formula:
 a · (b + c) = a · b + a · c
 Usando la proprietà commutativa, si può anche
 scrivere:
 (b + c) · a = b · a + c · a

 11

Osservazioni 1

1) Già nella scrittura della relazione sono
 necessarie le parentesi, per indicare qual è
 l’ordine delle operazioni.
 a · (b + c) ≠ a · b + c
Per esempio:
 3 ∙ (7 + 5) = 3 ∙ 7 + 3 ∙ 5 = 21 + 15 = 36
 ≠ 3 ∙ 7 + 5 = 26

 16 novembre 2013 R. Manara 12

Osservazioni 2

2) Infatti, il ruolo delle due operazioni non è
 simmetrico: non c’è modo di “distribuire” la
 somma sul prodotto.
 (a ∙ b) + c ≠ (a ∙ c) + (b ∙ c)

 16 novembre 2013 R. Manara 13

Osservazioni 3

3) Leggendo la proprietà da destra a sinistra, si
 individua la proprietà del “raccoglimento”:
 ←
 a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c (2)
 ↑ ↑

 16 novembre 2013 R. Manara 14

Le due letture operative
(1) a · ( b + c) = a · b + a · c
 Per moltiplicare un numero per una somma, si
 moltiplica quel numero per ciascun addendo e si
 sommano i risultati.
(2) a ∙ b + a ∙ c = a ∙ (b + c)
 Una somma di prodotti in cui ogni addendo
 presenta lo stesso fattore (fattore comune), si può
 trasformare nel prodotto di quel fattore per la
 somma dei fattori “restanti” in ogni addendo.

 16 novembre 2013 R. Manara 15

Osservazioni 4
4) Vale anche la proprietà distributiva del
 prodotto rispetto alla differenza:

 (b – c) ∙ a = b ∙ a - c ∙ a

 16 novembre 2013 R. Manara 16

Ancora un po’ di calcolo mentale
• × =
• = × + + =
 (proprietà…………………………..….)
• = × + × + × =
 (proprietà………………………………)
• = + + =
• = + + =
 (proprietà……………………….…….)
• = + = (proprietà…………………….……...)

• Oppure:
• × = × − = × − × = − =
 

Esercizi
Svolgere con calcolo mentale le seguenti
operazioni, poi scrivere come sono state svolte
ed evidenziare le proprietà applicate:
• 23 × 20
• 19 × 17
• 124 × 5
• 101 × 99
• 73 × 9

Concetto di Multiplo

Il numero si dice multiplo di se esiste un numero 
tale che: = × 
• Dato un qualunque numero , i suoi multipli sono tutti i numeri che si
 ottengono moltiplicando per i vari numeri naturali.
 Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono:
 3×0=0, 3×1=3, 3×2=6, 3×3=9, … , 3×10=30, … , 3×25=75,
 Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali.

• 0 è multiplo di qualsiasi numero

• I multipli di 2 si chiamano numeri pari

• Se un numero non è pari allora si dice dispari

Elevamento a potenza
La potenza n-sima di un numero è il prodotto di
 per se stesso volte. Tale operazione si indica
con dove si dice base e esponente.

N.B.: la moltiplicazione si definisce a partire dall’addizione,
l’elevamento a potenza si definisce a partire dalla
moltiplicazione. Tale gerarchia evidenzia il crescere di
complessità delle operazioni, anche da un punto di vista
cognitivo

Proprietà delle potenze
• × = + 
• : = − ( > 0; ≥ )
• ( ) = × 
• × = ( × ) 
• : = ( : ) ≠0
Dalla seconda proprietà si deduce che 0 = 1
qualunque sia il valore di , purché diverso da 0
Infatti : = 0 , ma : = 1
N.B.: 00 non esiste.

LA DIVISIONE

• Dati due numeri naturali, dei quali il
 secondo è diverso da zero, si dice quoto (o
 quoziente) del primo per il secondo, il numero che
 moltiplicato per il secondo da' come risultato il
 primo. : = ↔ × = 
• l'operazione mediante la quale, dati due numeri, se
 ne calcola il quoziente si chiama divisione.

Si deduce immediatamente che:
• la divisione non è una operazione interna all’insieme dei numeri
 naturali: all’operazione : è possibile associare un risultato
 solo se è multiplo di 
• non vale la proprietà commutativa
• non vale la proprietà associativa:
 12: 4 : 3 è possibile
 12: 4: 3 non è possibile

Proprietà della divisione
 Neutralità dell’1
 ∀ ∈ : = 
 Comportamento dello 0:
- ∀ ∈ : = 
-non è possibile la divisione per 0
 infatti non esiste un ∈ × = 
 Vale la proprietà invariantiva
 : = × : × = : : ( : )
 Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto
 all’addizione o sottrazione (quando le operazioni sono
 possibili)
 ± : = ( : ) ± ( : )

Il concetto di Divisore

• Il numero si dice divisore di se esiste un numero 
 tale che: = × 

• Ogni numero è divisore di se stesso
• 1 è divisore di ciascun numero
• I divisori di un numero sono sempre in numero finito:
 quanti sono?

La Divisione con il resto
Dati due qualunque numeri naturali e ( ≠ 0) , esistono
sempre, e sono unici, due numeri ed tali che:
 = × + 

• Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile.

N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 ≤ < 
N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una
generalizzazione della divisione (tra i naturali).
Es. = 12; = 5 → 12 = 5 × 2 + 2
 = 3; = 7 → 3 = 7 × 0 + 3

I Numeri primi

• Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l’unità si
 dice primo
• Se un numero non è primo si dice composto
• 0 e 1 non sono né primi né composti
• I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la
 dobbiamo a Euclide
• La distribuzione dei numeri primi all’interno dei naturali non ha
 una apparente regolarità.
• Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia

Quanti sono i numeri primi?
Nel III sec. a.C. Euclide dimostra che i numeri primi sono infiniti;
lo dimostra in modo indiretto, cioè per assurdo.
La dimostrazione per assurdo si basa sul principio aristotelico del
terzo escluso: una proposizione o è vera o è falsa, non esiste una
terza possibilità.
Lo schema della dimostrazione per assurdo è il seguente:
Dato l’enunciato di un teorema
a) si nega la tesi;
b) con una serie di ragionamenti si giunge ad una
 contraddizione;
c) poiché la negazione della tesi è falsa, si può concludere che
 la tesi è vera.

Dimostrazione di Euclide
Teorema: i numeri primi sono infiniti.
Neghiamo la tesi: supponiamo che i numeri primi siano finiti; grazie
alla relazione di ordine totale è possibile determinare il numero primo
più grande di tutti e sia esso .
Consideriamo allora il prodotto di tutti i numeri primi
 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ⋯ × , e aggiungiamo 1 a questo
numero, ottenendo P + 1.
Dividendo P+1 per ognuno dei numeri primi fino ad si ottiene
sempre il resto di 1, quindi P+1 , non essendo divisibile per nessuno
dei numeri primi fino ad , è anch’esso un numero primo, in
contraddizione con il punto di partenza. Quindi è falso dire che
l’insieme dei numeri primi è finito, quindi, per il terzo escluso, i numeri
primi sono infiniti.

Criteri di divisibilità

1. un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra
 pari (0,2,4,6,8)
2. un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue
 cifre è 3 o un multiplo di 3
3. un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre
 sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
4. un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0
 o5

1. un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2
 che per 3
2. un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue
 cifre è 9 o un multiplo di 9
3. un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è
 0
4. un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre
 sono 00 oppure formano un numero multiplo di 25

Giustifichiamo alcuni criteri:
2) e 6): Sia il numero; si può scrivere:
 = × 100 + × 10 + =
 = × 99 + 1 + × 9 + 1 + =
 = 99 + + 9 + + =
 = 9 11 + + ( + + )
Il primo termine della somma è divisibile per 9; se il
secondo termine è divisibile per 3 ( o per 9) tutto il
numero è divisibile per 3 ( o per 9).
Ma il secondo termine è proprio la somma delle cifre
del numero, come detto nei criteri.
E’ evidente che questo ragionamento vale, qualunque
sia il numero delle cifre del numero.

3) e 8) Consideriamo un numero di almeno tre cifre:
 = × 100 + 
Il primo termine della somma è divisibile sia per 4 che
per 25; se il secondo termine è divisibile per 4 ( o per
25) tutto il numero è divisibile per 4 ( o per 25).
Esempio:
 1448 = 1400 + 48 = 4 × 350 + 12

 15775 = 15700 + 75 = 25 × (628 + 3)

Teorema fondamentale dell’aritmetica

Utilizzando i criteri di divisibilità si possono
determinare i divisori di un numero e
scomporlo in un prodotto di fattori primi.
Si può dimostrare il seguente
 Teorema: Ogni numero naturale maggiore di 1
o è un numero primo o si può esprimere come
prodotto di numeri primi. Tale rappresentazione
è unica, se si prescinde dall'ordine in cui
compaiono i fattori.

Massimo comun divisore
 e minimo comune multiplo
Dati due numeri naturali ed , diversi da 0:
MCD( , ): il massimo tra i divisori comuni
mcm( , ): il minimo tra i multipli comuni
Come procedere?
Esempio: = 12; = 18.
a) 12 = 1; 2; 3; 4; 6; 12 18 = 1; 2; 3; 6; 9; 18

 12 ∩ 18 = 1; 2; 3; 6
 (12, 18) = 6

b) Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96….
 multipli di 18: 18, 36, 54, 72, 90….

 ( 12, 18) = 36
Questo modo di procedere non è efficiente nel caso di
numeri ‘grandi’, ma la scomposizione in fattori viene in
aiuto:
MCD( , ): prodotto dei fattori comuni con il minimo
esponente.
mcm( , ): prodotto dei fattori comuni e non comuni con il
massimo esponente.
N.B. : Se , = 1 .

L’algoritmo di Euclide
L’algoritmo di Euclide permette di calcolare il MCD tra due numeri, anche se
questi sono molto grandi, senza aver bisogno di fattorizzarli come prodotto di
fattori primi.
La procedura è presentata con un esempio:
 = 1428 = 138
1) Eseguiamo la divisione con resto tra a e b
 1428 = 138 × 10 + 48
2) Facciamo la stessa cosa tra il primo resto e il divisore
 138 = 48 × 2 + 42
3) Reiteriamo il procedimento 48 = 42 × 1 + 6
fino a che l’ultimo resto non è zero
 42 = 6 × 7 + 0
L’ultimo resto diverso da zero è il → = 6

Esercizio: calcolare MCD e mcm dei numeri 130 e 156. Per il MCD utilizzare l’algoritmo
di Euclide.

Crivello di Eratostene
 Un metodo per la ricerca dei numeri primi
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

• Cancella i multipli di 2 (escluso 2)
• Cancella i multipli di 3 (escluso 3)
• Cancella i multipli di 5 (escluso 5)
• Cancella i multipli di 7 (escluso 7)
• ……….
I numeri restanti sono tutti i numeri primi inferiori a 100

Altro metodo per i numeri primi
Dato un qualunque numero , per sapere se è primo o composto,
occorre esaminare se è divisibile per ognuno dei numeri primi minori
di . Si può però abbreviare la ricerca: infatti se n è composto uno dei
suoi divisori sarà minore o uguale della sua radice quadrata; basta
allora esaminare solo i numeri primi minori o uguali ad essa.
Esempio: = 109
Il quadrato più vicino è 100, quindi i possibili divisori primi minori di 10
sono: 2, 3, 5, 7
Poiché 109 non è divisibile per nessuno di essi, è un numero primo.

Esercizio: utilizzando lo stesso metodo, stabilire se i seguenti
numeri sono primi o composti; in quest’ultimo caso, scomporli:
119; 181; 1249; 2133; 5743; 7429.

Ordine delle operazioni nelle espressioni

In una espressione aritmetica (senza parentesi) le operazioni si
eseguono con un ordine prefissato, precisamente:
I. l’elevamento a potenza
II. moltiplicazioni e divisioni ( da sinistra a destra)
III. addizioni e sottrazioni ( da sinistra a destra)
Se sono presenti le parentesi:
I. si risolvono le parentesi tonde
II. si risolvono le parentesi quadre
III. si risolvono le parentesi graffe

Esercizi
Date le seguenti espressioni,
valutare se tutte le parentesi
sono necessarie; riscrivere
quelle che si vogliono
modificare, infine calcolarle.

 Risolvere

Esercizi
1) La squadra del Borgorosso partecipa ad un torneo di calcio a 20 squadre con
partite di andata e ritorno. In ogni partita la squadra che vince guadagna 3 punti,
quella che pareggia ne guadagna 1 e quella che perde prende 0 punti. Alla fine del
torneo il Borgorosso ha totalizzato N punti, avendo vinto una partita in meno di
quelle che ha pareggiate. Quale delle seguenti alternative è quella corretta?
[A] N=43. [B] N=54. [C] N=65. [D] Dati insufficienti.
2) Se a, b sono numeri naturali, l’espressione «a non è minore di b» ha lo stesso
significato dell’espressione «a è maggiore di b»?
3) Giulio sta partecipando al gioco della “Tombola” e constata che la somma dei
primi tre numeri estratti è 8. Si può dire con certezza quali numeri sono stati
estratti? Se non c’è certezza di tutti e tre i numeri, si è almeno certi di qualcuno di
essi?
4) In una divisione fra numeri naturali il dividendo è 47 ed il resto è 12.
Determinare il divisore ed il quoziente.
5) Una cometa ha un periodo di 75 anni, un’altra di 100.Se le due comete erano
entrambe visibili 90 anni fa, fra quanti anni saranno di nuovo visibili insieme?
6) Si hanno a disposizione 126 penne e 162 matite. Si vuole suddividere questo
materiale in gruppi uguali. Quanti gruppi si possono fare?