"LE FRAZIONI E I NUMERI CON LA VIRGOLA" - Spunti per presentare i numeri razionali
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“LE FRAZIONI E I NUMERI CON
LA VIRGOLA”
Spunti per presentare i numeri razionali
1 aprile 2021
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 1
un percorso non sempre facile
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 2
1) Come particolare 2) Come operatore
applicazione del
concetto di operazione
Deve porre
Deve in relazione
associare
un numero naturale con uno ed
a due numeri naturali uno un solo numero naturale
ed un solo numero naturale
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 3
LA DIVISIONE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela
Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 273 a pag.277 )
La divisione come operazione rimanda agli aspetti quantitativi
implicati dalla individuazione di una partizione di un insieme
finito in sottoinsiemi tra loro equipotenti, ossia alla identificazione
di sottoinsiemi dell’insieme dato, tali da avere uguale cardinalità, da
essere a due a due disgiunti e da dare tramite la loro unione l’insieme
dato.
La divisione come operatore è, invece, l’inversa della moltiplicazione
come operatore.
Affinché questa affermazione abbia significato è necessario che
l’operatore moltiplicativo sia invertibile, ossia associ ad ogni
numero naturale a uno ed un solo numero naturale b, e, viceversa, che
ogni numero naturale b sia il corrispondente di uno ed un solo numero
naturale a.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 4
Si consideri, per esempio, l’operatore “3”, rappresentato
mediante il diagramma a frecce da:
x3
N N
0 0
1 2
5 1
4 4 8
2 7
3 12
6 3
9
Si intuisce che ad ogni numero naturale
viene associato uno ed un solo numero
naturale, il cosiddetto triplo: da ogni numero
naturale nell’insieme di sinistra parte una ed
una sola freccia
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 5
Se come secondo insieme si considera non l’intero insieme N, ma il suo
sottoinsieme T costituito da tutti e soli i multipli di 3, l’operatore “3” è
invertibile e ha come inverso l’operatore “: 3”
:3
N T
0 0
1
4 12 3
2
3
6
9
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 6
OPERATORE “x0”
x0
N N
0 0
1 2
5 1
4 4 8
2 7
3 12
6 3
9
Esso non è invertibile sia perché tutti i numeri
diversi da 0 nell’insieme a destra non sono
corrispondenti di alcun numero naturale (non
arriva ad essi alcuna freccia), sia perché il
numero 0 è il corrispondente di più (tutti) i
numeri naturali (vi arrivano infinite frecce).
Segue, allora, che l’operatore “: 0” non ha
senso.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 7
OPERATORE “:n”
A partire dal sottoinsieme dei multipli di n, con n numero naturale
diverso da 0, è definito l’operatore “: n” e si ha:
:n xn
b a se e solo se a b
ossia, scrivendo in modo lineare:
b : n = a equivale a a n = b
Esempio
28 : 7 = 4 perché 7 4 = 28
dunque (28 : 7) e 4 sono due scritture diverse dello stesso numero.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 8RIASSUMENDO
La divisione come operazione e come operatore è
interna all’insieme N dei numeri naturali, ma non è
ovunque definita; infatti, è definita solo sulle coppie
ordinate di numeri naturali di cui il primo è multiplo
del secondo, che è diverso da 0 ed è detto divisore
del primo.
In questo modo è caratterizzata la divisione
cosiddetta esatta, il cui risultato è denominato
(quoto) o quoziente esatto.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 9RIFLETTIAMO
La divisione non è sempre esatta e il quoziente non è, da solo, il risultato
dell’applicazione dell’operatore all’operando.
Il vero risultato è la coppia (quoziente, resto), il resto potendo essere nullo.
Ne consegue che la divisione come regola operatoria non è esattamente
l’inversa della moltiplicazione […]”
(Vergnaud G. 1981, L’enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Ed. Peter Lang)
La divisione con resto cui fa riferimento Vergnaud non è un’operazione in
senso stretto, in quanto associa ad una coppia di numeri naturali non un solo
numero, ma ancora una coppia; si tratta, dunque, di una generica funzione
definita tra coppie di numeri naturali
da NxN* a NxN:
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 10da NxN* a NxN:
divisione
(a,b) (q,r)
dove q, quoziente intero, è il massimo numero naturale per cui il prodotto
per b non supera a
bq a < b(q+1)
che equivale a
bq < a < b(q+1) oppure bq = a < b(q+1)
e r, resto, è la differenza tra a e tale prodotto
r = a – bq
In tal modo il resto è un numero naturale minore di b:
r < b.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 11ESEMPIO
Si consideri la coppia (46, 5); per individuare la coppia che è associata a quella data
tramite la divisione con resto si cercano due multipli consecutivi di 5 tra i quali è
compreso 46:
45 46 < 50 o meglio 59 46 < 510;
poi si calcola il resto come differenza tra 46 e il multiplo minore:
46 – 45 = 1.
In sintesi:
divisione
(46,5) (9,1)
perché 5x9 < 46 < 5x10 e 1 = 46 – 5x9
Questa divisione è detta anche divisione euclidea in quanto è già presente
negli “Elementi” di Euclide; si parla pure di quoziente euclideo per indicare il
quoziente intero.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 12RIFLESSIONE
Le usuali scritture ottenute con lo stesso simbolo della divisione esatta non
sono corrette in quanto non è vero che il primo e il secondo membro sono
scritture diverse dello stesso numero e non viene rispettata la simmetria
dell’uguaglianza.
46 : 5 = 9 46 : 5 = 9; con resto 1 46 : 5 = 9
1
Se la formalizzazione viene fatta in analogia con le altre operazioni, la
scrittura corretta è:
46 : 5 = (9,1)
In generale, se si utilizza il simbolo : proprio della divisione esatta anche per
la divisione con resto è necessario adottare la formalizzazione
a : b = (q, r) dove a = bq + r erQuando si vuole indicare solo il quoziente intero, trascurando il
resto, è in uso adoperare il simbolo .
ESEMPIO
È corretta la scrittura
46 5 = 9
la quale indica che il quoziente intero (la parte intera del
risultato) tra 46 e 5 è 9.
Il quoziente intero è una approssimazione per difetto del
risultato.
Questa caratteristica diviene importante quando i numeri della
divisione indicano grandezze o quantità: i quozienti vanno sempre
interpretati, in quanto non è detto che una divisione eseguibile, in
modo esatto o con resto, tra numeri abbia senso nel contesto.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 14Tutti in gita
I bambini e le maestre della 4^A e della 4^B sono in gita al parco "Natura
in festa": si tratta di un bellissimo parco ai piedi di una maestosa
montagna. C'è anche la possibilità di salire ad un rifugio sulla cima della
montagna, senza faticare troppo; infatti una funivia collega il parco al
rifugio. La funivia a pieno carico può trasportare ad ogni viaggio 25
persone. In coda ad attendere ci sono solo i bambini e le maestre delle
quarte: in tutto 58 persone.
Quanti viaggi della funivia servono per portare tutti al rifugio?
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 15“Tutti in gita”
Strategie risolutive adottate
•Schematizzare con il disegno
•Schematizzare con il disegno e calcolo
•Calcolo
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 16•Schematizzare con il disegno Classe IV primaria
Per portare tutti al rifugio deve fare 2 viaggi da 25 e 1
da 8.
Errore nelle classi quarte: 40%
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 17•Schematizzare con il disegno Classe IV primaria
Per portare tutti al rifugio servono 3 viaggi
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 18Classe IV primaria
•Schematizzare con il disegno e “calcolare”
Per portare tutti al rifugio servono 3 giri.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 19Classe IV primaria
•Calcolare
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 20Classe V primaria
•Schematizzare con il disegno e calcolare
Errore nelle classi quinte: 36%
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 21Classe V primaria
•Calcolare
58 : 25 = 2 r 8 La funivia farà 3 viaggi
58 : 25 = 3 La funivia farà 3 viaggi
58 : 25 = 2,32
Per portare tutti al rifugio servono 3 viaggi
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 22Classe I secondaria di
•Calcolare primo grado
1° viaggio 25 persone
25 + 25 + 8 = 58
2° viaggio 25 persone 1° 2° 3°
3° viaggio 8 persone viaggi
58 persone
Errore nelle prime: 20%
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 23Classe I secondaria di
•Calcolare primo grado
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 24riflettiamo
Per la tecnica di calcolo associata alla divisione è fondamentale il
concetto di divisione con resto, dato che, anche qualora la divisione
fosse esatta, nelle sottoprocedure in cui si struttura l’algoritmo è
prevista la determinazione di resti parziali.
Quanto sino ad ora detto a proposito della divisione è giustificato dal
particolare insieme di numeri con cui si lavora, ossia i numeri naturali.
La distinzione tra divisione esatta e divisione con resto rimane
significativa per i numeri interi relativi e per quelli con la virgola, con
un numero prefissato di cifre decimali, mentre non ha senso
nell’insieme dei numeri razionali e in quello dei numeri reali, dove la
divisione è formalmente definita come l’operazione inversa della
moltiplicazione e ammette sempre un risultato esatto,
indipendentemente dalla possibilità o opportunità o meno di
determinarlo.
(Vergnaud G. (1981), L’enfant, la mathématique et la réalité, Berne, Ed. Peter Lang)
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 25(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela
Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 292 a pag. 295)
È frequente leggere nei testi in commercio, dell’esistenza di due tipi di divisione:
“divisione di distribuzione”, “divisione di contenenza”.
Esempio
1. Si hanno 12 biglie da 2. Si hanno 12 biglie da
suddividere tra alcuni distribuire in parti uguali
bambini: se si danno 3 biglie fra 3 bambini. Quante biglie
ad ogni bambino, quanti spettano a ciascun bambino?
bambini si accontentano?
La formalizzazione di entrambe i problemi è la divisione:
12 : 3 = 4
il cui risultato consente di rispondere che:
1. Si possono accontentare 4 bambini. 2. Ciascun bambino riceve 4 biglie
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 26Schematizziamo le due situazioni:
1. 12 oggetti 3 gruppi (g) quanti oggetti
(o) equo-numerosi per gruppo?
(o/g)
4 o/g
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 272. 12 oggetti 3 oggetti per gruppo quanti gruppi?
(o) (o/g) (g)
4g
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 28Nota bene
• Nel caso primo le 3 caramelle di ogni gruppo vengono distribuite
• Nel caso secondo le 3 caramelle di ogni gruppo vengono lasciate
raggruppate.
• L'aver raggruppato, nella prima colonna dei due schemi,"a 3 a 3" i
12 oggetti in ambedue i casi, vuol mettere in evidenza la struttura
comune ai due problemi (quella che il bambino dovrebbe cogliere)
che altro non è se non la struttura della divisione.
• Come sopra detto: il fatto che, nel primo caso, gli oggetti di
ciascun gruppo sono distribuiti, mentre nel secondo restano
raggruppati riguarda il problema non l’operazione. Perciò
possiamo parlare, se lo crediamo opportuno o utile, di problemi
di ripartizione e di problemi di contenenza.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 29Problemi di contenenza
IL MATRIMONIO DI CLAUDIA E FABIO
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla
Alberti Erickson da pag.296 a pag. 300)
Amelia è molto amica di Claudia e decide di regalarle, per il
matrimonio, le scatole delle bomboniere fatte da lei con carte
colorate. Le scatole dovranno bastare per 8 zii.
Dopo aver girato parecchie cartolerie finalmente Amelia trova
un bellissimo blocchetto di carta per con dei foglietti gialli a
fiorellini bianchi.
Per costruire ogni scatola Amelia userà 5 foglietti. Se i fogli del
blocchetto sono 40, riuscirà Amelia a costruire le scatole
necessarie?
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 30Aiutala tu, formando gruppi di 5 foglietti per gruppo.
Numero dei foglietti contenuti nel blocchetto:………….
Numero dei foglietti necessari per costruire una bomboniera:……..
Numero delle bomboniere costruite:………..
(40,5) ……………..
Amelia costruirà ………………… bomboniere.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 31Nel negozio di fiori “Gardenia Bianca” Flavia, la proprietaria, sta
preparando dei mazzolini di fiori per il matrimonio di Cluadia e
Fabio.
La sposa ha scelto le roselline gialle. Flavia conta le roselline gialle:
sono 42.
Se decide di usare 6 rose per ogni mazzolino, quanti mazzolini potrà
preparare?
Aiutala tu.
Usiamo i simboli: per ogni rosa disegna un X
Numero delle roselline gialle contate da
Flavia:………
Numero delle roselline necessarie per
preparare un mazzolino:…………
Numero dei mazzolini preparati:………
(42,6) divisione …..
Flavia preparerà ………………mazzolini.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 32Flavia per abbellire i mazzolini di roselline e per meglio fissarli, decide di
legarli con dei nastri colorati. Conta i nastri che ha in una scatola: sono
18. Decide così di legare ogni mazzolino con 3 nastri.
Riuscirà a legare tutti i mazzolini che ha confezionato?
Ricordi quanti sono i mazzolini?
Usiamo i simboli: per ogni nastro disegna un /
Numero dei nastri che ha Flavia:…………….
Numero dei nastri necessari per legare un
mazzolino:……………….
Numero dei mazzolini legati:
(18,3) : …..
Flavia riuscirà a legare…………….mazzolini.
Restano dei mazzolini non legati con i nastri?
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 33Raccontiamo il matrimoni di Claudia e Fabio con i numeri e le operazioni.
In ogni riquadro registra le diverse situazioni della storia, puoi utilizzare dei
simboli al posto dei disegni.
Bomboniere speciali
40 : 5 =
Mazzolini gialli
42 : 6 =
…..
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 34Problemi di ripartizione
IL CASTELLO PIÙ BELLO
In una spiaggia della Romagna è esposto questo cartello:
A TUTTI I BAMBINI
Domenica prossima concorso “IL CASTELLO PIÙ
BELLO”
Per informazioni e iscrizioni rivolgersi
al Signor Luigi, il bagnino.
Alla gara si sono iscritti 24 bambini. Dato il numero elevato di
partecipanti, gli organizzatori decidono di suddividere i ragazzi in 4
gruppi; ogni gruppo deve essere composto dallo stesso numero di
partecipanti.
Da quanti ragazzi sarà formato ogni gruppo? Illustra la situazione nel modo
che ritieni più opportuno.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 35Da quanti ragazzi sarà formato ogni gruppo? Illustra la situazione nel modo
che ritieni più opportuno.
1° gruppo 2° gruppo 3° gruppo 4° gruppo
• Numero dei bambini che partecipano alla gara …..
• Numero dei gruppi in cui si devono suddividere i partecipanti …..
• Numero di ragazzi in ogni gruppo….
• Operazione ……………
• Ogni gruppo sarà formato da …….partecipanti.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 36Ogni gruppo, dopo aver costruito un castello di sabbia dovrà decorarlo con
oggetti messi a disposizione dalla giuria. Gli oggetti dovranno essere suddivisi in
parti uguali. Le prime decorazioni date dalla giuria sono 20 conchiglie.
Ritaglia le conchiglie che vedi in fondo alla pagina e incollale sui castelli.
• Numero delle conchiglie date dalla giuria …..
• Numero dei gruppi che partecipano alla gara …..
• Numero delle conchiglie che avrà a disposizione ogni gruppo:
• operazione………………………………………
• Ogni castello potrà essere decorato con ……conchiglie.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 37Raccontiamo la gara del castello più bello con i numeri e le operazioni.
In ogni riquadro registra le diverse situazioni della storia, puoi utilizzare dei
simboli al posto dei disegni.
I gruppi
24 : 4 =
Le conchiglie
20 : 4 =
…..
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 38La divisione tra numeri naturali
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson
da pag.310 a pag. 314)
Itinerario didattico
1. Calcolo di un quoziente con l'utilizzo di materiale
1. la tabella della moltiplicazione
2. la linea dei numeri
3. la macchina ad una entrata
2. Le proprietà della divisione
2. Intuizione di proprietà della divisione in situazioni problematiche
3. Costruzione della tabella della divisione e rilievo delle proprietà
dell’operazione
3. Calcolo di un quoziente mediante l’algoritmo
3. Divisioni con divisore di una cifre
4. Divisioni con divisore a più di una cifra
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 39Tecniche operatorie:
1. Tecnica per sottrazioni ripetute
2. Tecnica usuale detta divisione euclidea o per danda
In ogni caso è importante che gli allievi :
a) abbiano chiaro che il quoziente è il numero di oggetti-unità
contenuti nel dividendo e la cui numerosità è data dal divisore
che deve quindi essere un numero intero
b) sappiano eseguire sottrazioni e moltiplicazioni
Ad esempio calcolare 73 840 : 231 significa trovare quanti gruppi di
231 unità sono contenuti in 73 840 unità.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 40La tabella della moltiplicazione
Con le attività di completamento di enunciati aperti di moltiplicazione i bambini hanno modo di utilizzare la
tabella della moltiplicazione in modo “non diretto”, ossia non per ricavare il prodotto, ma uno dei due fattori.
Dato che a questi problemi vengono ricondotte le divisioni esatte, la ricerca del quoziente nelle prime attività di
divisione può essere fatta utilizzando la tabella della moltiplicazione.
Esempio: x 0 1 2 3 4 5 6 7
La scrittura 18 : 3 = … equivale agli enunciati
aperti 0
18 = 3 … : nella tavola della 1
moltiplicazione si cerca nella riga del 3 la
casella che contiene 18; il numero che 2
intesta la relativa colonna, cioè il 6, è il 3 18
fattore mancante, ossia il quoziente;
18 = … 3 : nella tavola della moltiplicazione 4
si cerca nella colonna del 3 la casella che 5
contiene 18; il numero che intesta la relativa
riga, cioè il 6, è il fattore mancante, ossia il 6 18
quoziente.
7
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 41La tabella della moltiplicazione
La tabella della moltiplicazione può essere utilizzata anche per determinare il quoziente intero tra due numeri
naturali.
Esempio
Sia da eseguire
22 5
la ricerca di 22 nella riga del 5 della tavola della
moltiplicazione non ha esito positivo, dato che 22 non è
un multiplo di 5. Si individuano, però, due caselle che x 0 1 2 3 4 5 6 7
contengono l’una il multiplo di 5 immediatamente
0
precedente a 22, ossia 20, l’altra quello
immediatamente successivo, ossia 25. 1
Il quoziente intero 22 5 è il massimo numero il cui 2
prodotto per 5 non supera 22, quindi è il numero che
intesta la colonna del multiplo immediatamente
3
precedente a 22, cioè il numero della colonna di 4
appartenenze di 20:
22 5 = 4.
5 20 25
La determinazione del resto segue dall’osservazione 6
che il multiplo di 5 che ha dato il quoziente intero è
minore del numero dato: 54 < 22, quindi il resto è la 7
differenza tra i due numeri
resto = 22 – 20.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 42La linea dei numeri
La linea dei numeri fornisce un supporto al calcolo del quoziente, esatto o intero, tramite procedure sottrattive.
Esempio
Le scatolette di tonno
In un negozio di alimentari le scatolette di tonno sono vendute in confezioni da 2, 4 o 8. Alla chiusura del negozio
Carletto conta le rimanenze:
10 confezioni da 2 scatolette
2 confezioni da 4 scatolette
5 confezioni da 8 scatolette
Quante scatolette di tonno sono rimaste?
La settimana successiva Carletto decide di fare una promozione e vendere tutte le scatolette rimaste in confezioni da
4.
Quante confezioni riesce a fare?
Dopo aver calcolato il numero totale di scatolette (68), per rispondere alla seconda domanda si deve eseguire una
divisione, ma il supporto della tabella della moltiplicazione non si rivela inutile poiché tra i multipli di 4 non compare il
68. Si invitano i bambini a trovare altre strategie che consentano di rispondere alla domanda;
“Tolgo 4 scatolette alla volta per formare una confezione” ossia
59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
-4 -4
68 64 60 …
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 43La linea dei numeri
Esempio
Sia da eseguire 93 ÷ 7 : si tratta di applicare a partire da 93 l’operatore “-7” fino a che la
sottrazione è possibile; il quoziente intero è il numero di volte che l’operatore è stato
applicato e il resto è il numero sul quale l’operatore non può agire:
-7 -7 -7
93 86 79 … 2
1 volta 2 volte 13 volte
Da cui
93 ÷ 7 = 13, resto 2
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 44DALLA MOLTIPLICAZIONE ALLA DIVISIONE
Trova il risultato della divisione, utilizzando la tabella della moltiplicazione
x 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 4 6 8 10 12 14 16
3 3 6 9 12 15 18 21 24
4 4 8 12 16 20 24 28 32
5 5 10 15 20 25 30 35 40
20 : 4 = 5 perché 5 x 4 = 20 28 : 7 = 5 perché … x … = ….
15 : 5 = … perché … x … = … 32 : 8 = … perché … x … = …
12 : 4 = … perché … x … = … 16 : 8 = … perché … x … = …
15 : 3 = … perché … x … = … 40 : 8 = … perché … x … = …
9:3=… perché … x … = … 30 : 6 = … perché … x … = …
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 451. Tecnica per sottrazioni ripetute
Si è affermato che
“ calcolare 73 840 : 231 significa trovare quanti gruppi di 231 unità
sono contenuti in 73 840 unità”.
È allora molto spontaneo sottrarre successivamente da 73 840 unità
gruppi di 231 unità:
73840
231
.......... ...
231
.......... ......
231
Ci vuole tempo e pazienza, ma si arriva al risultato.
Lavorando in questo modo con numeri piccoli si mette bene in
evidenza che cosa rappresentano in una divisione il dividendo il
divisore, il quoziente e il resto.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 46Il procedimento per sottrazioni ripetute può essere
“accorciato” procedendo come segue:
7 3 8 4 0 2 3 1
- 2 3 1 0 0 1 0 0 gruppi 231x100=23 100
5 0 7 4 0
- 4 6 2 0 0 2 0 0 gruppi 231x200=46 200
4 5 4 0
- 2 3 1 0 1 0 gruppi 231x10=2 310
2 2 3 0
- 2 0 7 9 9 gruppi 231x9=2 079
1 5 1 3 1 9 gruppi
319 è il quoziente, 151 il resto
Operando in questo modo si mette bene in evidenza anche il fatto che il
resto è sempre minore del divisore (non si possono più fare gruppi)
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 47Tecnica usuale della divisione detta divisione euclidea
o divisione per danda
• L’apprendimento di questa tecnica richiede tempo e deve essere
ben graduato se non si vuole che esso diventi un procedimento
puramente meccanico.
• E' opportuno iniziare presentando lo "schema parziale" e, per
renderlo familiare ai bambini, esercitarlo con numeri piccoli, in modo
che il calcolo sia mentale. Tale schema consente di adottare
un’unica notazione sia per le divisioni esatte, cioè con resto zero,
che per quelle con resto diverso da zero, dato che non presenta
l’indicazione esplicita del simbolo di uguaglianza. Si tratta di una
questione importante dato che, in realtà, anche qualora la divisione
fosse esatta, nei passaggi intermedi possono essere presenti resti
parziali.
dividendo divisore
resto quoziente
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 48Divisioni con divisore di una cifra
• Si suggerisce di avviare la ricerca di un algoritmo a partire da una
situazione problematica come la seguente.
La caccia al tesoro
Durante una festa di fine anno, viene proposta una caccia al tesoro che
coinvolge 53 ragazzi. Si decide di formare squadre composte da 4
elementi ciascuna. Quante squadre gareggeranno?
Una volta constatato che si deve eseguire una divisione, si richiama
l'attenzione sulla coppia (53, 4).
E' evidente che, poiché il 53 non appare nella tabella dei multipli di 4, è
opportuno introdurre una nuova tecnica.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 49Tecnica della danda lunga
4x0=0
da u 4x1=4
5 3 4 4x2=8
4 da u 4 x 3 = 12
1 = 10 1 3 4 x 4 = 16
13 4 x 5 = 20
12 4 x 6 = 24
1 …………
Si scrive 53 4 = 13; con resto 1
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 50Il divisore è ad una cifra, ma sono necessari due cambi.
Es. 946 7
h da u
9 4 6 7
7 h da u
2 4 1 3 5
2 1
3 6
3 5
1
Si scrive 946 7 = 135; con resto 1
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 51Compare lo zero al quoziente.
Es. 625 3 h da u
6 2 5 3
6 h da u
0 2 2 0 8
0
2 5
2 4
1
Si scrive 625 3 = 208; resto 1
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 52Come evitare il problema degli zeri al quoziente?
Eseguire la divisione usando la tecnica delle sottrazioni ripetute.
Vediamo:
625 ÷3 =
6 2 5 3
3 0 0 1 0 0 gruppi 3x100=300
3 2 5
3 0 0 1 0 0 gruppi 3x100=300
2 5
2 4 8 gruppi 3x8=24
1 2 0 8 gruppi
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 53Compare lo zero al quoziente.
Es. 4 246 8
k h da u 8x0=0
4 2 4 6 8
8x1=8
8 x 2 = 16
4 0 k h da u 8 x 3 = 24
2 4 0 5 3 0 8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
2 4 42
8 x 6 = 48
0 6
0
6
Si scrive 4 246 8 = 530; resto 6
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 544246 ÷ 8
=
4 2 4 6 8
4 0 0 0 5 0 0 gruppi 8x500=4 000
2 4 6
2 4 0 3 0 gruppi 8x30=240
6
5 3 0 gruppi
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 55Divisioni con divisore a più cifre
• La difficoltà maggiore nell'esecuzione di divisioni con
divisore a più di una cifre consiste nel trovare le cifre del
quoziente e i resti parziali mentalmente. Per superare
queste difficoltà è opportuno, analogamente a quanto
visto in precedenza:
– far scrivere la tavola dei prodotti del divisore da 0 a 9
– far scrivere le sottrazioni necessarie per trovare i
resti, come appunto prevede la tecnica della danda
lunga.
• È bene lasciare libero l'allievo di usare questi due
strumenti finché gli sono necessari.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 56Tecniche a confronto
Sottrazioni ripetute Danda lunga
- Prende in considerazione il dividendo - Il dividendo viene scomposto in unità,
nella sua interezza decine, centinaia, …
- Tutti sono in grado di procedere, fino - L'algoritmo è più conciso
ad ottenere il risultato corretto
- Nella ricerca del quoziente, non ha - Si procede eseguendo la divisione in
importanza il numero dei gruppi che si più tempi, come se fossero più
sceglie di volta in volta: il risultato si divisioni successive.
trova sempre, al massimo si corre il
rischio di eseguire un'operazione un - Le sottrazioni per ottenere i resti
po' più lunga parziali appartengono ad un ambito
numerico più ristretto.
- Ci si abitua ad approssimare, tenendo
conto di tutto il dividendo
- Si comprende bene il significato - Non si può affrontare subito la
dell'operazione di divisione divisione con numeri grandi; è
necessaria molta gradualità
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 57Le unità di misura e la divisione
• Il calcolo dimensionale è piuttosto complesso; non è banale neppure
il calcolo con le grandezze, ossia con le unità di misura, in quanto si
opera su tali unità con le regole del calcolo letterale.
Nell’Enciclopedia delle Matematiche elementari, vol.II parte I p. 132 si
leggono le seguenti parole di Peano: «è lecito operare sulle grandezze,
purché le “marche” con le quali si indicano le singole unità di misura
accompagnino (a guisa di fattori) il procedimento algoritmico,
assoggettate alle leggi stesse del calcolo letterale; il che, se nella
maggior parte dei casi già si usa dai pratici, può ricevere una
sistemazione formalmente ineccepibile».
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 58Problemi che richiedono l'operazione di divisione
1) Spendo € 12,80 per comperare delle mele che costano 1,60 euro al
chilogrammo. Quanti chilogrammi di mele compero?
€ kg
12,80€: 1,6 (12,80 : 1,6)€x 8kg
kg €
2) Spendo € 12,80 per comperare 8kg di mele. Quanto costa un chilogrammo
di quelle mele?
€ €
12,80€ : 8 kg (12,80 : 8) 1,60
kg kg
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 59LA DIVISIONE NELL’INSIEME DEI NUMERI RAZIONALI
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da
pag.301 a pag. 309)
La divisione è l’operazione che qualifica l’insieme dei numeri razionali assoluti rispetto a
quello dei numeri naturali, nel senso che, con la condizione di avere il divisore diverso da
zero, essa è ovunque definita: presa una qualunque coppia ordinata di numeri decimali,
di cui il secondo diverso da zero, il quoziente del primo numero della coppia con il
secondo esiste ed è unico nell’insieme dei numeri razionali assoluti.
La divisione con il divisore diverso da zero è, pertanto, sempre un’operazione ed è
formalmente definita come l’inversa della moltiplicazione.
Alle difficoltà proprie della divisione in sé, operando con i decimali si aggiungono quelle
legate al fatto che l’algoritmo di calcolo presenta due varianti, in base alla presenza o
meno di un numero decimale come divisore, e che può essere necessario utilizzare
approssimazioni se si vuole che il quoziente sia un numero decimale con un numero
prefissato di cifre nella parte decimale.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 60LA DIVISIONE PER POTENZE DI 10
La divisione per potenze di 10. Si tratta di un caso semplice, ma esso
permette già di osservare che, avendo a disposizione le unità frazionarie,
diventano eseguibili divisioni che non lo sono nell’insieme dei numeri
naturali.
Esempio:
Le divisioni 19 : 10 e 6 : 100, interpretate nell’ambito dei numeri naturali,
sono non divisioni esatte, cioè inverse di moltiplicazioni, ma divisioni
euclidee, ossia divisioni con resto:
19 : 10 = (1, 9) perché 19 = 10 1 + 9
6 : 100 = (0,6) perché 6 = 100 0 + 6.
Nell’ambito dei numeri decimali sono, invece, divisioni esatte:
19 : 10 = 1,9 perché 19 = 10 1,9
6 : 100 = 0,06 perché 6 = 100 0,06.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 61TAPPE DEL PERCORSO DIDATTICO
La divisione tra numeri naturali, con divisore pari a una potenza di 10
Esempi relativi alla divisione.
1) Sia da eseguire 35,9 : 10 da u d c
3 5 9
3 5 9
35,9 : 10 = 3,59
2) Sia da eseguire 5,9 : 10
u d c
5 9
0 5 9
5,9 : 10 = 0,59
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 62TAPPE DEL PERCORSO DIDATTICO
La divisione tra numeri naturali, con divisore pari a una potenza di 10
3) Sia da eseguire 5 : 10
u d
5
0 5
5 : 10 = 0,5
4) Sia da eseguire 592,7 : 100
h da u d c m
5 9 2 7
5 9 2 7
592,7 : 100 = 5,927
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 63TAPPE DEL PERCORSO DIDATTICO
La divisione tra numeri naturali, con divisore pari a una potenza di 10
Esempi relativi alla divisione.
5) Sia da eseguire 654 : 100 h da u d c m
6 5 4
6 5 4
654 : 100 = 6,54
6) Sia da eseguire 46 : 100
da u d c
4 6
0 4 6
46 : 100 = 0,46
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 64TAPPE DEL PERCORSO DIDATTICO
SCOPERTA DELLA REGOLA PRATICA
Nella divisione, con la proposta di casi diversi, i bambini dovrebbero
rilevare la regolarità dei risultati e formulare la “regola pratica” della
divisione per 10, 100, 1000, …:
il quoziente di un numero per 10, 100, 1000, … è il numero ottenuto
spostando la virgola a destra, rispettivamente, di una, due, tre, …
posizioni nella successione delle cifre che forma il numero dato;
se in tale successione le posizioni sono inferiori al numero degli
spostamenti da effettuare si “accostano in testa” tanti 0 quante sono le
posizioni mancanti.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 65DIVISIONE TRA NUMERI INTERI
Divisine tra due numeri naturali “qualsiasi”, ma opportunamente scelti in modo che il
quoziente abbia una parte decimale con un numero finito e “basso” di cifre.
Si ritiene che il contesto più significativo per avviare il lavoro sia quello metrico.
Si può, ad esempio, porre il problema della divisone di una striscia lunga 1 m in 4 parti
uguali: si tratta di un’operazione concretamente eseguibile, per esempio ricorrendo alla
piegatura, ma che dà luogo ad una scrittura formale non eseguibile in modo esatto:
1 : 4 “non si può fare” se non con resto 1 : 4 = (0,4)
Il contrasto tra la pratica e l’operazione formale può essere mediato dal
ricorso alla misura: con una riga graduata i bambini rilevano che ciascuna
delle parti ottenute è lunga 25 cm, ossia 0,25 m; quindi, una lunghezza di 1
m divisa in 4 parti uguali dà strisce ognuna lunga 0,25 m.
Si può allora scrivere
1 : 4 = 0,25, ma come calcolare il risultato?
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 66DIVISIONE TRA NUMERI INTERI
Si riprende l’algoritmo della divisione euclidea:
1 4
0 0
1
Il numero 1 ottenuto come resto è 1 u e, avendo a disposizione le unità
frazionarie, esso può essere cambiato in 10 d; esplicitando l’ordine
delle unità sia per il dividendo sia per il quoziente:
u d c
1 4
0 u da c
1 10 0
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 67DIVISIONE TRA NUMERI INTERI
Essendo 10 maggiore di 4, la divisione può continuare: il quoziente intero tra 10 e 4
fornisce la cifra del risultato delle unità dello stesso ordine di quelle che si stanno
dividendo, cioè quella dei decimi (10 d 4 = 2 d), per cui al quoziente è necessario
introdurre la virgola
u d c
1 4
0 u d c
1 10 0, 2
8
2
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 68DIVISIONE TRA NUMERI INTERI
Il nuovo resto parziale è espresso in decimi e può essere cambiato in 20 c
u d c
1 4
0 u d c
1 10 0, 2
8
2 20
La divisione può ancora essere proseguita: il quoziente intero tra 40 e 4 è la cifra dei centesimi del
quoziente (20 c 4 = 5 c)
u d c
1 4
0 u d c
1 10 0, 2 5
8
2 20
20
0
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 69DIVISIONE TRA FRAZIONI
(da “La via della matematica: i numeri” Emma Castelnuovo, La Nuova Italia, 1968)
La divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.
In geometria la moltiplicazione tra due numeri equivale al problema
di determinare l’area del rettangolo che ha per dimensioni i due
numeri, dividere un numero per un altro equivarrà al problema
geometrico inverso: data l’area di un rettangolo e una dimensione
trovare l’altra.
La divisione
8:1
Può interpretarsi così: di quante unità
sarà formata l’altezza di un rettangolo
di area 8 quadrati unitari se deve
poggiare su una base uguale a 1
quadrato unitario?
Si capisce subito che l’altezza deve
essere lunga 8 «lati quadretto»
1 lq
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 70DIVISIONE TRA FRAZIONI
(da “La via della matematica: i numeri” Emma Castelnuovo, La Nuova Italia, 1968)
La divisione
8:2
Se un rettangolo della stessa area deve avere una base doppia
rispetto a quello di prima, quale sarà la sua altezza?
L’altezza non sarà più 8, ma si riduce a 4 «lati quadretto»
1
Allo stesso risultato si arriva con la moltiplicazione 8 x 2
Si può quindi scrivere:
1
8:2=8x2=4
2 lq
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 71DIVISIONE TRA FRAZIONI
(da “La via della matematica: i numeri” Emma Castelnuovo, La Nuova Italia, 1968)
Se invece si vuole che il rettangolo di area 8 abbia una base che
sia la metà della primitiva, l’altezza diventerà doppia della
primitiva, cioè il risultato sarà 16.
Possiamo perciò scrivere la divisione:
1
8 : = 8 x 2 =16
2
8: 0,5 = 16
1
2
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 72DIVISIONE TRA FRAZIONI
(da “La via della matematica: i numeri” Emma Castelnuovo, La Nuova Italia, 1968)
Se invece si vuole che il rettangolo di
1
area 8 abbia una base che diventa
3
della primitiva, l’altezza diventerà tripla
della primitiva, cioè
1
8: = 8 x 3 =24
3
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 73DIVISIONE TRA FRAZIONI
(da “La via della matematica: i numeri” Emma Castelnuovo, La Nuova Italia, 1968)
2
Se invece la base che diventa della base primitiva, l’altezza viene divisa a metà e poi
3
3
triplicata, cioè si ottiene prendendo i dell’altezza primitiva.
2
Si ha quindi
2 3
8 : = 8 x =12
3 2
Questo ragionamento si può ripetere qualunque sia il valore che esprime l’area in
numero intero o in frazione.
Per esempio
4 2 4 3
: = x
5 3 5 2
L’altezza si ottiene dunque moltiplicando il valore dell’area per l’inverso del valore
che esprime la base.
REGOLA GENERALE: per dividere una frazione per un’altra basta moltiplicare la
prima per l’inverso della seconda.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 74LA LUNGA PASSEGGIATA DI UN ORSO E DI UN CASTORO
(di Clara Colombo Bozzolo)
Un orso e un castoro vanno a fare una Rappresentazione schematica
lunga passeggiata. Partono il sabato
mattina e arrivano il sabato sera della
settimana successiva, percorrendo in
tutto 100km.
Ogni giorno fanno un chilometro in più
rispetto al giorno precedente.
Quanti chilometri hanno percorso il
primo giorno?
E l’ultimo?
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 75LA LUNGA PASSEGGIATA DI UN ORSO E DI UN CASTORO
(di Clara Colombo Bozzolo)
Risoluzione con materiale
Si possono dare agli alunni delle asticciole, naturalmente, di due lunghezze diverse e, per comodità, di due colori
diversi: una rappresenta il percorso del primo giorno, l’altra 1km.
Si incollano le asticciole su carta da pacco e ci si ritrova con lo schema precedente.
Dallo schema gli alunni hanno capito che
dovevano togliere da 100km i chilometri fatti
in più ogni giorno, in modo da rendere tutti i
cammini uguali «al più corto».
Posso esprimere il calcolo necessario con
un’espressione:
[100 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)] :8 = 9
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 76BIANCANEVE E I FUNGHI
(liberamente tratto da “Le formiche e il miele» autori vari ed. Mimesis)
Biancaneve divide tra i sette nani il suo raccolto di 49 funghi.
Comincia a servire il più piccolo e poi di seguito serve tutti gli altri. Ogni nano riceve
un fungo in più di quello che l’ha immediatamente preceduto.
Quanti funghi ha ricevuto il nano più piccolo?
(49 – 21) : 7 = 4
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 77BISTICCI TRA FRATELLI
(liberamente tratto da “Le formiche e il miele» autori vari ed. Mimesis)
«Guarda la mia agendina e la mia penna nuove!», dice Mattia a suo fratello Jacopo.
«Belle,! Ma quanto hai pagato la penna?». Mattia vuole mettere alla prova il
fratellino e risponde: «In tutto ho pagato 10 euro». Jacopo insiste: «Ma solo la
penna quanto costa?»
Mattia risponde: «Per aiutarti ti dirò che l’agenda costa 5 euro in più della penna.
Sapresti calcolare quanto costa la penna?
(10 - 5) : 2 = 2,50 costo della penna in euro
Usando le unità di misura
(10€ - 5 €) : 2 = 2,50 €
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 78COLLEZIONIAMO FIGURINE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla
Alberti Erickson da pag.347 a pag. 349)
Mauro vuole riordinare le sue 50 figurine di animali, disponendole in pacchetti di uguale
quantità, senza lasciarne di sfuse.
Potrebbe fare pacchetti da 10? ….
Operazione ……………………………………………..
È possibile fare pacchetti da 8? …
Giustifica la tua risposta ……………………………………………………………………………………………
È possibile fare pacchetti da 5? …………………………………
Giustifica la tua risposta ……………………………………………………………………………………………
Saverio possiede invece 40 figurine di calciatori.
Se vuole disporle secondo le regole seguite da Mauro, potrebbe fare gli stessi tipi di
pacchetti? ……
Sapresti suggerire altri modi? Quali?.......
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 79VACANZE IN CAMPER
Tre famiglie in partenza per le vacanze le famiglie Rossi, Bianchi e Viola, vogliono fare provvista
di bibite per la dispensa del camper. La famiglia Rossi pensa di aver bisogno di 36 lattine, la
famiglia Bianchi di 24 e la famiglia Viola di 48 lattine:
Completa la tabella, indicando quante confezioni di un solo tipo potrebbe acquistare
ciascuna famiglia.
Confezione Confezione Confezione Confezione
da 6 lattine da 12 lattine da 8 lattine da 2 lattine
Fam. Rossi 36
lattine
Fam. Bianchi
24 lattine
Fam. Viola 48
lattine
Ci sono famiglie che non potrebbero acquistare le confezioni di un certo tipo?...........
La famiglia Bianchi vuole avere 24 lattine acquistando diversi tipi di
confezioni. Indica almeno tre possibilità:……………………..
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 80RACCOLTA DI NOCCIOLE
Nella radura del bosco si incontrano, ogni giorno, 6 scoiattoli. Essi raccolgono delle
nocciole che la sera dividono tra di loro in parti uguali. Ogni parte deve essere la più
numerosa possibile.
Completa la tabella
n. nocciole n. scoiattoli n. nocciole n. di nocciole Operazione
raccolte ricevute da che restano in simboli
ciascuno
1° giorno 25 6 4 1 25 ÷6 = 4, r = 1
2° giorno 34 6
3° giorno 42 6
4° giorno 41 6
5° giorno 50 6
Ogni sera, le nocciole avanzate, vengono nascoste nel cavo di un albero.
Alla fine del quinto giorno gli scoiattoli le contano e si accorgono, con meraviglia, che sono ...... e
che ciascuno può ricevere ancora ...... nocciole.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 81Cenni storici
Nel 1200 gli uomini incominciarono a tentare di fare le operazioni scritte invece di
usare sempre l’abaco.
Il problema più difficile da risolvere fu trovare una tecnica abbastanza semplice
per fare le divisioni.
Dopo molti tentativi piuttosto laboriosi, un matematico di Brescia, Nicolò
Tartaglia(1499-1557), inventò il metodo tuttora in uso per fare le divisioni. Tale
metodo fu detto la divisione per danda.
Era detta “danda lunga” la tecnica nella quale si scrivono le sottrazioni per trovare
i resti parziali, “danda corta” l’altra in cui le sottrazioni sono fatte mentalmente.
Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò
Fontana (Brescia, 1499 circa – Venezia, 13
dicembre 1557)
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 82EMMA CASTELNUOVO
"MAESTRO" DELLA DIDATTICA DELLA MATEMATICA
suggerisce agli Insegnanti la via da seguire!
“È mettersi allo stesso livello, cioè suscitare interesse e quindi
discussioni, accettare domande su domande, anche le più balorde!.
Accettare delle domande a cui, là per là, non si sa rispondere e non
avere scrupolo di dire: guardate non lo so. Questa è la cosa
fondamentale indipendentemente dalla materia che si insegna”.E
poi lasciate ai ragazzi il tempo di perdere tempo!.
Patrizia Dova - Marinella Del Torchio marzo 2021 83Puoi anche leggere
