Fisica Teorica per Filosofia AA 2017-18

Fisica Teorica per Filosofia AA 2017-18

Pieralberto Marchetti

L’evoluzione dei concetti di
 spazio e tempo in Fisica

Questioni filosofiche su spazio e tempo…
• Lo spazio e il tempo sono assoluti (esistono
 indipendentemente sia dalla materia sia dagli
 osservatori-Newton-assolutismo) ?
• Lo spazio e il tempo esistono solo come relazioni tra
 gli oggetti (Leibnitz-relazionalismo)?
• Lo spazio e il tempo sono solo modi umani a priori
 di organizzare le conoscenze sensoriali (Kant-
 idealismo)?
• La geometria dello spazio e del tempo è assoluta o
 una convenzione (Poincarè-convenzionalismo)?

Tematiche fisiche
• Relazione geometrica tempo-spazio-causalità
• Relazione assoluta/relativa del tempo e dello
 spazio con osservatori-materia-misure
• Teorie discusse: meccanica «aristotelica»,
 meccanica classica di Galilei-Newton, relatività
 ristretta e generale

Primi spazio/tempo fisici: «Aristotele»
• Penso che il primo tentativo di una visione coerente del
 tempo e dello spazio nel contesto dei fenomeni fisici sia data
 nell’ambito della fisica che definisco «aristotelica» perché è
 essenzialmente motivata dalla riflessione di Aristotele anche
 se reinterpretata a posteriori in un linguaggio e con una
 sensibilità moderni.
• In questa visione il tempo è assoluto, indipendente
 dall’osservatore e dalla materia, è una successione continua
 di istanti a ciascuno dei quali corrisponde anche uno spazio in
 cui anche le posizioni dei punti sono assolute, cioè è possibile
 identificare univocamente un punto nello spazio a istanti
 successivi. Questa visione sembra riflettere in modo naturale
 la nostra esperienza fisica del tempo razionalizzata.

Geometria dello spazio/tempo aristotelici

 • Una immagine geometrica del rapporto
 spazio/tempo «aristotelici» (con lo spazio
 a 2 anzicchè 3 dimensioni) a
 • Poiché ci sarà comodo in seguito, possiamo
 senza perdere l’essenza dei ragionamenti
 addirittura tenere solo una dimensione
 spaziale, nel qual caso la relazione
 spazio-tempo «aristotelica» si può
 raffigurare con un sistema di assi di
 riferimento cartesiani
 • Poiché posso identificare un punto nello spazio a istanti
 successivi la fisica di un corpo fermo è distinguibile da
 quella di un corpo in moto a velocità costante

Aristotele o Copernico?
• Infatti Aristotele, probabilmente motivato dal comportamento
 delle navi a remi (…se i rematori smettevano di remare la
 nave perdeva velocità, con il doppio di rematori
 la velocità era doppia…) aveva ipotizzato che la
 forza (F) causa del moto fosse proporzionale
 alla velocità (v): F ≈ v → sistemi di riferimento
 con velocita’ diverse descrivevano moti differenti di un corpo,
 perché con F diversa…
• Quando Galileo sostenne la tesi di Copernico che
 la Terra orbita attorno al Sole (e si muove quindi
 alla velocità di 30 km/s- allora stimata 1.5 km/s) ,
 gli aristotelici del tempo obbiettarono che in tal
 caso avremmo dovuto vedere cadere i sassi non in verticale….

La relatività galileiana
• Galileo rispose a questa obiezione con un colpo di
 genio…immaginò degli esperimenti eseguiti
 sottocoperta in una nave che si muovesse di moto
 rettilineo con velocità uniforme arbitraria: …le stille cadenti
 entreranno tutte nel vaso sottoposto…il fumo vedrassi ascender in alto,
 trattenervesi e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella
 parte…(Dialogo sopra i massimi sistemi 1632)
• Trasse la conclusione: in tutti i sistemi di riferimento in
 moto relativo rettilineo e uniforme le leggi della fisica
 hanno la stessa forma (relatività galileiana)→ i corpi
 cadono verticalmente anche se la Terra si muove
• Ma allora non può essere F ≈ v ma F ≈ a (accelerazione)
 infatti Galileo (Padova 1607) scrive …a principiar il moto è ben
necessario il movente, ma a continuarlo basta il non haver contrasto…

Geometria dello spazio- tempo galileiano
• Una immagine geometrica dello rapporto
 spazio-tempo «galileiano»
• Non è possibile identificare un punto,
 diciamo del tavolo, ora e a un istante
 successivo, infatti… dobbiamo tener conto solo che la Terra
 ruota su se stessa, o anche che ruota attorno al Sole o anche
 che la Galassia ruota, e che l’universo si espande….Invece il
 tempo è lo stesso per tutti gli osservatori, è assoluto.
• Questo strano allacciamento di una direzione
 «assoluta» con altre in cui le posizioni sono
 relative al modo in cui le guardiamo è descritta
 geometricamente dalla nozione di fibrato.
 Un semplice esempio è il nastro di Moebius:
 la posizione in orizzontale è definita ma quella
 verticale non è definito se sia «sotto» o «sopra»

Addizione delle velocità
• Relatività galileiana → il moto di un punto P é
 lo stesso in un sistema (inerziale) S1 e in uno S2 che si muove rispetto
ad esso con velocità uniforme V
Assumendo inoltre il tempo assoluto
e invarianza della lunghezza ->
x1(t) = x2(t) + v t (trasformazioni di Galileo) e
derivando («dividendo») rispetto a t :
 v1(t)=v2(t)+V ( addizione delle velocità) Disegno con spazio a 2 dimensioni
 a tempo fissato
Nel grafico spazio-tempo al contrario che nel caso «aristotelico»
non c’è un sistema con una velocità privilegiata. Per disegnare un
sistema generico osserviamo che in quello con assi ortogonali
l’asse temporale è parallelo alla linea di moto
del corpo fermo in esso mentre l’asse spaziale
descrive punti simultanei nel tempo.

 Disegno con spazio a 1 dimensione per sistemi S e S’

Il determinismo newtoniano
• Una proprietà importante del tempo di Galilei-Newton in relazione
 alle interpretazioni filosofiche è il determinismo:
• Se a un istante di tempo conosco le posizioni e le velocita’ dei punti
 di un sistema fisico e inoltre conosco le masse e le forze agenti
 (eventualmente al variare del tempo) sul sistema, allora conosco il
 moto del sistema (cioe’ le posizioni e le velocita’, ma anche tutte le
 altre grandezze fisiche) sia nel futuro che nel passato e il moto è
 indipendente da una eventuale osservazione [determinismo ].
 Matematicamente questo è conseguenza dell’unicità della soluzione
 delle equazioni del moto a fissate condizioni iniziali.
• Anche se il determinismo del futuro non ci è forse naturale
 psicologicamente, su di esso poggiano molti dei successi della fisica
 classica, basti pensare alla capacità di previsione del moto delle
 sonde spaziali…

Tempo galileiano: Commenti filosofici
• Riassumiamo le caratteristiche principali dello spazio-
 tempo di Galilei-Newton: è continuo (posso definire la
 velocità), assoluto (indipendente dall’osservatore),
 ordinato causalmente, indipendente dalla materia,
 globalmente definito. Il comportamento dei sistemi
 rispetto al tempo è deterministico.
• Sono naturali sia una interpretazione «presentista» del
 tempo con il presente come unico istante di esistenza
 che «scorre» lungo la linea del tempo, come suggerito
 da Agostino, sia ,dato il determinismo (il futuro è
 determinato dal presente altrettanto del passato) una
 interpretazione eternista che considera esistenti tutti
 gli istanti di tempo.

Commenti “filosofici”
• E’ naturale sia una visione presentista puramente
 spaziale dei corpi che esistono nel presente , sia
 una eternista dei corpi che esistono nello spazio-
 tempo
• Le nozioni “assolute” di tempo e spazio e la
 struttura strettamente causale del determinismo
 newtoniano nell’ambito di posizioni filosofiche
 idealiste di tipo Kantiano sono naturalmente
 compatibili con un’interpretazione di “forme a
 priori” della conoscenza

c come costante della Natura
• Il postulato della Relativita’ Ristretta:
 la velocita’ della luce e’ sempre la stessa
 c≈300000km/s qualunque sia la velocita’
 del sistema ( inerziale) in cui la si osserva
 (la luce emessa da un razzo con velocita’ v rispetto alla Terra,
 dalla Terra viene vista viaggiare a velocita’ c e non c+v come ci si
 aspetta, quindi in MM i tempi sono uguali come in un sistema in
 quiete)
• Una conseguenza e’ che il tempo non è
 assoluto (già Poincaré 1902) e quello di un
 sistema in moto rispetto a noi viene visto
 trascorrere piu’ lentamente.

Conseguenza: il tempo rallenta con v
• Orologio luce: scandisce il tempo con un raggio
 riflesso, quando il raggio ritorna al punto di emissione
 segna l’unità di tempo
 lunghezza d, idealmente
 l d = 150.000 km ->
 orologio fermo t=2l/c =1 s

• Consideriamo ora un orologio-luce fermo su un razzo
 che viaggia con velocità v, ortogonale a d, rispetto alla
 Terra. Sulla lunghezza d entrambi i sistemi concordano
 perché possono v ->
 confrontarla
 direttamente essendo
 ortogonale a v

• Consideriamo ora il tempo del razzo (tr = 2d/c)
 visto dalla Terra (t)
• Poiché la velocità della luce è c
 in tutti e due i sistemi, ma la luce
 deve percorrere una distanza più
 lunga rispetto a quella nel razzo (2 d) impiegherà
 2 2 2
 un tempo maggiore t>tr : Pitagora: ( ) =d +( )
 2 2
 2 2d/c tr
 t= = =
 2− 2 2 2
 1−( ) 1−( )
 
• Quindi non c’è un tempo assoluto e perché la
 radice quadrata sia ben definita v

Verifica sperimentale
• Una delle prime verifiche della dilatazione del
 tempo relativistica fu basata sui raggi cosmici:
 vi sono particelle elementari (muoni) create da
 urti nell’alta atmosfera (≈ 5-10 Km) e che
 viaggiano verso la superfice terrestre a
 velocita’ prossime a c, piu’ precisamente
 (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 (si puo’ verificare tramite rivelatori) .
 Quando esse sono ferme (si possono produrre in
 laboratorio) esistono solo per un tempo (medio)
 t ≈ 2· 10-6 s, quindi in fisica classica potreb-
 bero percorrere (in media) 600 m. Eppure
 sono osservate sulla superfice terrestre,
 cio’ e’ possibile solo se il loro tempo e’
 dilatato, e il fattore di dilatazione relativisti-
 co (1-v2 /c2)-1/2 ≈10 e’ in accordo con i dati
 sperimentali.

c e la relatività della simultaneità
• Poiché c è la stessa in tutti i sistemi inerziali, invece di t
 possiamo usare ct e per un raggio di luce si ha x=ct
• In sistema S1 , O equidistante da A e B , tutti fermi, emette
 luce verso entrambi e si muove con velocità v rispetto a S2.
 Come vede il fenomeno S2?
 Relativistico

 Non relativistico

In relatività la luce raggiunge simultaneamente A e B
in S1 ma non in S2!

Sistemi di riferimento relativistici
• In S1 vediamo che l’asse temporale
è parallelo alle linee che descrivono il
moto di A O B e l’asse spaziale è
parallelo alla linea di simultaneità
• Possiamo allora vedere con questa informazione
 come S2 vede gli assi di S1
• Vediamo che la traiettoria della luce
 biseca l’angolo tra gli assi.
• -> Sistemi
 relativistici con
 varie velocità
 relative

Velocità della luce e causalità
• Nella zona in grigio una particella si muove con
 v(uniforme)c
• Vediamo che D ,che è all’interno
 del cono di luce di A, per tutti i
 sistemi è successivo ad A, ma B,
 raggiungibile da A solo con v>c,
 è simultaneo ad A nel sistema
 verde, successivo nel sistema rosso e precedente nel
 sistema blu (ordine temporale relativo). Dunque se v>c
 la causalità è violata: in un sistema di riferimento…una
 particella con v>c potrebbe arrivare prima di partire…

Assoluto e relativo
• Durate temporali (e lunghezze
 spaziali longitudinali) sono dunque
 relative al sistema di riferimento
 (inerziale), rimane assoluta di un
 corpo la sua immagine nello
 spazio-tempo.
 Ad esempio se abbiamo
 una sbarra solidale al sistema S’, la
 sua immagine spazio-temporale
 (area tratteggiata nella figura) è la stessa per
 tutti gli osservatori, ma il modo in cui
 è divisa in spazio e tempo (le linee del
 tratteggio indicano punti simultanei nel sistema)
 dipendono dal sistema.

• Il tempo acquista un carattere relativo
 analogo alla posizione nello spazio
 galileiano e forma un tuttuno
 inscindibile con lo spazio detto spazio-
 tempo di Minkowski. Citando proprio lui
 (1908) «Henceforth space by itself, and time
 by itself, are doomed to fade away into mere
 shadows, and only a kind of union of the two
 will preserve an independent reality.»
• Il tempo in relativita’ speciale dipende
 dall’osservatore, ma in modo
 oggettivamente determinabile.
 La geometria dello spazio-tempo però
 è assoluta, una versione “relativistica”
 di quella di Euclide

Perché percepiamo un tempo assoluto?
• Forse la ragione sta nell’enorme valore della velocità
 della luce c , 3000000000 su scale umane (m/s) [in un
 secondo dalla Terra raggiunge la Luna]. Vediamo infatti
 che se iniziamo a riscalare gli assi in modo da avere
 come unità m e s, gli assi spaziali si avvicinano e
 tendono a coincidere definendo un tempo assoluto.
 *nella figura l’asse temporale invece di essere c s come nella
 precedente è (c/10) s, dovremmo ancora ridurlo di un fattore 3
 milioni!]

Commenti “filosofici”
• Tempo e distanze spaziali in relativita’ dipendono
 dall’osservatore (anche se in modo oggettivamente
 determinabile) non appaiono quindi naturalmente
 come una “forma a priori” della conoscenza in senso
 Kantiano, e non corrispondono all’idea intuitiva che
 noi sviluppiamo tramite l’esperienza
• Questo radicale allontanamento dalla nozione
 intuitiva di tempo e’ legato alla comparsa di una
 costante universale “limite” della realta’ fisica, la
 velocita’ della luce c, che ha una scala
 (300000000m/s) molto diversa dalle velocita’ (≈ m/s)
 di cui abbiamo esperienza su scala umana.

Pieralberto Marchetti

 Relatività Generale
 La concezione attuale
di spazio, tempo, gravità

Gravità l’interazione più debole…e più
 forte a grandi scale

1915…
• La geometria dello spazio non è più
 assoluta!
• Le idee folli di Bolyai e Lobachevsky …e
 poi Riemann e….sulla possibilità di
 variare il quinto postulato di Euclide
 diventano realtà fisica
 E’ la relatività generale di Einstein…
• E’ un periodo di rivoluzione non solo
 nella fisica, con la relatività e la prima
 meccanica quantistica, ma in tutti i
 settori…rivoluzione russa… Lenin 1917
 rivoluzione nell’arte…nasce l’astrattismo,
 una visione di possibilità «relative» di
 composizione… Kandinskij 1910

Relatività + gravità…
• La relatività generale (Einstein 1915) è la teoria
 su cui si basa la concezione attuale della gravità
• Dopo la rivoluzione attuata dalla relatività
 speciale, essa ha ulteriormente modificato la
 nostra concezione dello spazio-tempo in
 presenza di materia: diventa «relativa» anche
 la geometria!
• E’ associata a una coppia di costanti
 fisiche: la velocità della luce (c) e la
 costante di gravitazione di Newton (G)
• Applicazione tecnologica : GPS

Gravità e accelerazione
• In presenza di gravità un corpo libero cade con
 accelerazione g. In un sistema in assenza di
 gravità un corpo non «cade» ma rimane fermo.
• Supponiamo che tale sistema in
 assenza di gravità sia sottoposto ad
 accelerazione costante –g, diventi
 cioè un «ascensore a gravità 0».
 F = mi a, P = mg g, mi = mg =>
 L’ osservatore (Einstein in fig.) accelerato
 vedrà allora «cadere» i corpi liberi con accelerazione g e
potrebbe concludere di essere fermo in presenza di una
gravità g ( Newton in fig).

Relatività+gravità=Relatività generale
• Uno dei postulati della relatività generale è
 appunto il principio di equivalenza che asserisce
 che in una piccola regione dello spazio e del
 tempo (spazio-tempo) è impossibile distinguere
 tra gli effetti della gravità e di una accelerazione.
• Se aggiungiamo ora il principio di relatività
 generale : le leggi della fisica sono le stesse in
 tutti i sistemi di riferimento, anche quelli
 accelerati, non solo quelli con velocità costante
 della relatività speciale, possiamo usare situazioni
 che si presentano in sistemi accelerati per capire
 come funziona la gravità.

La gravità deforma la geometria
• Nell’ascensore a gravità 0 accelerato un
 raggio di luce che entra perpendicolarmente
 alla parete viene visto incurvarsi verso il
 pavimento dell’ascensore (per un osservatore
 esterno è il pavimento che si avvicina
 alla traiettoria del raggio).

• Per il principio di equivalenza
 concludiamo che la gravità
 incurva le traiettorie dei
 raggi di luce che non sono più rette. Poiché la
 gravità è prodotta dalla massa , concludiamo
 che la geometria dello spazio non è data a
 priori ma determinata dalla materia

Verifica sperimentale: curvatura dei raggi
di luce dalle stelle in prossimità del Sole

 (Spostamenti ingranditi)

La gravità deforma il tempo

• Ma anche il tempo si deforma in presenza di
 gravità…Consideriamo un disco che ruota,
 l’osservatore solidale al disco è sottoposto a una
 accelerazione centrifuga che , nulla al centro,
 cresce all’allontanarsi da esso. Per il principio di
 equivalenza è come se fosse sottoposto a una
 gravità che cresce allontanandosi dal centro.
• L’orologio-luce situato al centro è sincrono con
 quello dell’osservatore esterno,

ma poiché allontanandosi dal centro il percorso del
 raggio di luce diventa progressivamente più lungo, il
 tempo segnato rallenta.

• Per il principio di equivalenza possiamo concludere
 che un osservatore in assenza di gravità vedrà
 l’orologio di un osservatore in un campo
 gravitazionale rallentare tanto di più quanto più
 intensa è la gravità.

Buchi neri
• Il tempo è visto rallentare sempre più al
 crescere dell’intensità della gravità a cui è
 sottoposto l’orologio: ci sono situazioni
 fisiche in cui possiamo vedere il tempo
 «fermarsi» ?
• I raggi luminosi si incurvano verso la
 sorgente della gravità, immaginiamo allora
 che tale gravità sia così intensa che i raggi di
 luce possano raggiungere la sorgente
 dell’attrazione gravitazionale ma non
 possano allontanarsi da essa. Una tale
 sorgente è un buco nero e la superficie da
 cui la luce non può allontanarsi è il suo
 orizzonte.

Un osservatore distante dal buco nero vedrebbe
l’orologio di un astronauta che vi puntasse verso
rallentare fino a «fermarsi» sull’orizzonte che non
verrebbe quindi mai raggiunto ( nell’orologio luce, la
luce sarebbe così attirata dal buco nero che le
occorrerebbe un tempo «infinito» a lasciare lo
specchio…). E’ come se per l’osservatore esterno
non ci fosse un tempo aldilà dell’orizzonte
Ma per l’astronauta che vi sta cadendo dentro
invece i raggi di luce dell’orologio-luce
continuano a seguire l’astronave e il tempo c’è
ancora anche al di là dell’orizzonte,solo che superato
l’orizzonte non può più comunicarlo all’esterno

Buchi neri: prove sperimentali
• Vediamo quindi che con la relatività non
 solo il tempo dipende dagli osservatori,
 ma addirittura non è più garantita
 l’esistenza di un tempo globale per tutti
 gli osservatori!! Le verifiche sperimentali
 dell’esistenza dei buchi neri sono sempre
 più stringenti , in particolare si osserva la
 radiazione della materia attirata verso
 l’orizzonte, i buchi neri infatti continuano
 ad aumentare la loro massa e il loro
 orizzonte “inghiottendo” la materia
 vicina attratta gravitazionalmente,
 emettendo radiazione. Attualmente si
 ritiene che ci sia un buco nero al centro
 di molte galassie compresa la nostra…
 STELLA DIVORATA DA UN BUCO NERO

L’equazione di Einstein
• L’equazione della gravità di Einstein spiega come
 cambia la geometria dello spazio-tempo (gμν) in
 presenza della materia (T μν ) che induce la gravità
• Le orbite seguite dai corpi
 in presenza della gravità sono
 sono quelle più brevi in
 quella geometria.
• Non solo la descrizione dello spazio e del tempo
 non è più assoluta come in relatività speciale, ma la
 geometria stessa dello spazio-tempo in relatività
 generale non è più data a priori, ma è determinata
 dalla materia, essa «è» la gravità

• Lo spazio-tempo non è più dunque un ‘’contenitore
 passivo’’ ma diventa dinamico.
• Una applicazione importante di questa idea che ha
 avuto di recente una clamorosa conferma è quella
 delle onde gravitazionali
• Per rimanere nel più usuale ambito
 elettromagnetico: una carica accelerata emette
 onde elettromagnetiche come
 si può intuire disegnando le
 linee di forza e considerando
 che la velocità di propagazione
 dei segnali elettromagnetici è
 finita:c

Onde gravitazionali
• La stessa cosa succede in
 relatività generale per masse
 accelerate, in cui l’onda è una
 distorsione dello stesso spazio-
 tempo.
• Ma visto che la interazione
 gravitazionale ha una intensità
 1/1041 volte quella
 elettromagnetica occorrono
 campi gravitazionali davvero
 intensi per osservarle…
• Per osservarle si sono misurate
 distorsioni nella lunghezza del
 cammino in un super-
 interferometro alla Michelson-
 Morley

24-9-2015…a cent’anni dal 1915 di Einstein
• Il primo segnale: un’onda gravitazionale prodotta dallo
 scontro 1,3 miliardi di anni fa di due buchi neri di circa 30
 masse solari a una velocità di circa c/2!

Spazio-tempo in Relatività Generale:
 commenti filosofici
• Lo spazio-tempo in relatività generale non è più
 assoluto, dipende dall’osservatore, ma tutti gli
 osservatori sono equivalenti per la descrizione della
 fisica (principio di relatività generale) .
• Esso dipende anche dalla distribuzione di materia (un
 po’ nello spirito di Mach), in casi limite non si può neppure
 definire globalmente, quindi difficilmente si può
 associare a una visione presentista del tempo.
• Gia’ in relatività ristretta vi sono punti nello spazio-
 tempo che sono nel presente di un
 osservatore, ma nel passato di un altro e nel
 futuro di un altro ancora…quale presente
 esisterebbe in un approccio presentista?

Una visione eternista del tempo?...
• Un eternista invece sarebbe a suo agio col
 col tempo relativistico sia perché una visione
 spazio-temporale dei corpi è assoluta e una
 spaziale no, sia perché esso mantiene la
 fondamentale proprietà del determinismo
 newtoniano: ad esempio data la geometria dello
 spazio-tempo e note posizione e velocità a un
 istante di una particella posso determinarne in
 modo certo l’evoluzione sia nel passato che nel
 futuro. La fisica quantistica però farà perdere
 anche questa proprietà…