DIDATTICA DELLA MATEMATICA - 3 Lezione 6/10/2017

DIDATTICA DELLA
 MATEMATICA
 3° Lezione
 6/10/2017

MODULO 2
 Il Numero

NOTA BENE INIZIALE

La presente lezione fa riferimento al testo
consigliato
• «Lo sviluppo della conoscenza numerica» di
 Lucangeli, Iannitti, Vettore
e al seguente testo:
• «L’intelligenza numerica-Abilità cognitive e
 metacognitive dai tre ai sei anni» di Lucangeli,
 Poli, Molin

L’acquisizione del numero
Per decenni è prevalsa l’ipotesi del celebre psicologo
svizzero Jean Piaget (1896-1980) secondo cui la
competenza numerica dipende dalle strutture
dell’intelligenza generale.

Più precisamente, l’autore ritiene che l’idea di
numerosità non possa emergere prima dei 6-7 anni,
poiché costruita sullo sviluppo di capacità tipiche del
pensiero operatorio, quali la conservazione della
quantità e l’astrazione dalle proprietà percettive.

Conservazione della quantità
È la capacità di astrarsi da indizi superficiali quali la forma o la densità dello spazio
occupato dagli oggetti di più insiemi per stabilire relazioni di confronto di tipo
quantitativo.
Esempi:
1) si parte da due bicchieri A e B che hanno la stessa acqua, poi , davanti al
 bambino, si versa l'acqua del bicchiere B in un terzo contenitore molto più
 alto e stretto(C1) o molto più largo e basso (C2); si chiede al bambino se nei
 bicchieri A e C1/C2 c'è la stessa quantità d'acqua.
2) Partendo dalla situazione iniziale precedente si versa l’acqua del bicchiere B in
 2 o 3 bicchieri più piccoli (D1,D2,D3) ; si chiede al bambino se ne bicchieri A e
 D1+D2+D3 c'è la stessa quantità d'acqua.
Piaget ha mostrato che i bambini di 4-5 anni sono fortemente influenzati dagli
indizi di tipo percettivo, rendendo evidente che essi non sono in grado di
coordinare contemporaneamente più relazioni quantitative.
Verso i 6 anni il bambino comprende la situazione ma, nel caso 2, si lascia ancora
influenzare dalle illusioni percettive.
Secondo Piaget la consapevolezza che la quantità si conserva viene raggiunta
intorno ai 7 anni .

Astrazione dalle proprietà percettive
Saper valutare la dimensione numerica di un insieme,
senza lasciarsi confondere dai caratteri fisici degli oggetti
dell’insieme.
Esempio: confrontare un insieme con due elefanti e uno
con tre ciliegie; chiedere al bambino: quali sono di più?

Nei bambini più piccoli, quando la dimensione numerica
e quella fisica sono incongruenti, si genera un conflitto di
risposta (effetto Stroop numerico)

Gli studi di Piaget hanno influenzato
 i programmi per la scuola dell’infanzia

Nel 1958 sono definiti gli "Orientamenti per la Scuola Materna" (D.P.d.R. 11
giugno 1958, n. 784). A. Moro, ministro della Pubblica Istruzione
Compaiono i seguenti temi:
 -Educazione religiosa
 -Vita morale e sociale
 -Educazione fisica e igienica
 -Educazione intellettuale
 -Educazione linguistica
 -Disegno libero
 -Canto corale
 -Giuoco e lavoro
 Nel tema Educazione intellettuale compare solo un cenno sull’aspetto delle
 quantità: molti, pochi, uno, prime quantità numeriche

Nel 1969 sono promulgati, con il D.P.R. 10 settembre 1969, n. 647, gli
"Orientamenti dell'attività educativa" M. Ferrari Aggradi,
ministro della Pubblica Istruzione.
Anche in essi non compare alcun tema che si riferisca esplicitamente al
numero.
Ecco infatti l’elenco dei temi:

 - Educazione religiosa;
 - Educazione affettiva, morale e sociale;
 - Gioco ed attività costruttive e di vita pratica;
 - Educazione intellettuale;
 - Educazione linguistica;
 - Libera espressione grafico pittorica e plastica;
 - Educazione musicale;
 - Educazione fisica;
 - Educazione sanitaria.

L’intelligenza numerica preverbale
A partire dagli anni ottanta numerosi studi hanno
permesso di concludere che fin dalla nascita il bambino è
in grado di discriminare il numero di oggetti di insiemi
presentati visivamente (superando pertanto la
concezione piagetiana che subordina l’acquisizione del
numero al raggiungimento di altre capacità)
Il bambino cioè ha come innata la capacità di discriminare
la numerosità di un insieme, cioè quella che in
matematica viene chiamata cardinalità. (vedi appendice)
Perché numerosità e non quantità? Per evitare
confusione, infatti la quantità è stimabile anche senza
numeri, come ad esempio quando si deve stabilire in
quale contenitore c’è maggiore quantità di liquido.

Nel libro «Da dove viene la matematica» di George Lakoff e
Rafael E.Nunez vengono dettagliate le abilità numeriche con cui i
bambini vengono alla luce e descritti i relativi esperimenti.

1. A tre o quattro giorni dalla nascita un bambino può distinguere tra
 collezioni di due o tre oggetti. In certe condizioni, i bambini
 possono anche distinguere tre oggetti da quattro.
2. Dai quattro mesi e mezzo il bambino ‘può dire’ che uno più uno fa
 due e che due meno uno fa uno.
3. Un po’ più tardi il bambino ‘può dire’ che due più uno fa tre e che
 tre meno uno fa due.
4. I bambini possono discriminare anche numeri di suoni: a tre o
 quattro giorni possono distinguere tra suoni di due o tre sillabe.
5. A circa sette mesi i bambini possono riconoscere l’equivalenza
 numerica tra raggruppamenti di oggetti e battiti nello stesso
 numero.

Descrizione degli esperimenti (1)
 (Antell e Keating, 1983)
• Alcune diapositive vengono proiettate su uno schermo
 davanti a bambini in braccio alle loro madri.
• Si monitora il tempo che il bambino guarda ciascuna
 diapositiva, prima di distogliere lo sguardo. Questo
 comportamento è chiamato tecnicamente
 assuefazione.
• Se le diapositive presentano una stessa situazione (ad
 es. due punti più o meno distanti) il bambino smette di
 fissare, riiniziando immediatamente quando si
 presenta una situazione diversa (ad es. tre punti)
In tale modo si è rilevato che i neonati riconoscono la
numerosità.

Osservazioni
• Quello che il neonato riconosce non è la numerosità
 assoluta ( cioè, ad es. , che due rappresenta sempre
 la stessa numerosità), ma percepisce come differenti
 due numerosità distinte

• Sono stati compiuti ulteriori esperimenti con
 materiale diversamente congegnato e si è potuto
 concludere che le reazioni dei bambini sono
 effettivamente legate alla numerosità e non ad altri
 stimoli (forma, colore…)

Descrizione degli esperimenti (2)
 (Wynn, 1992)
Per quanto riguarda le operazioni di addizione e sottrazione i
bambini vengono testati utilizzando il paradigma della violazione
dell’aspettativa; un esperimento è il seguente:
• Un pupazzo viene posto sulla scena
• Si copre la scena con uno schermo e si pone, in modo
 evidente al bambino, un altro pupazzo dietro lo schermo, poi
 lo schermo viene tolto.
• Se il bambino vede due pupazzi distoglie subito lo sguardo, se
 c’è un solo pupazzo guarda la scena per un tempo più lungo.
• Analogamente accade se si parte da due pupazzi e se ne toglie
 uno

Subitizing
• Un bambino appena nato non sa determinare il numero di
 elementi di un insieme, ma sa discriminare la numerosità.
• Come può un neonato categorizzare il mondo in termini di
 numerosità? È un processo di percezione visiva chiamato
 subitizing o immediatizzazione, che consente di determinare
 la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo
 immediato, senza contare; il numero massimo di oggetti
 percepibili in questo modo sembra essere di quattro circa.

 PROVATE

Quanti sono?

La capacità di confrontare numerosità
• È una capacità biologicamente fondamentale
• Risulta difficile dimostrarne il carattere innato,
 perché la prova decisiva sarebbe la
 formulazione verbale
• Gli indizi percettivi possono avere la meglio su
 quelli numerici (vedi Piaget)
• I tempi di raffronto dipendono dalla distanza:
 maggiore è la distanza tra i numeri più veloce
 è la risposta

Il modulo numerico
Il neuropsicologo Brian Butterworth (che scrisse un saggio dal
titolo ‘The Mathematical Brain’, in Italia edito nel 1999 dalla Rizzoli
con il titolo "Intelligenza matematica. Vincere la paura dei numeri
scoprendo le doti innate della mente") è un sostenitore della tesi
innatista del ‘cervello matematico’.
Egli ritiene infatti che i nostri cervelli possiedano dei circuiti
specializzati per categorizzare il mondo in termini di
numerosità; secondo la sua tesi le capacità numeriche
costituiscono un ‘modulo cognitivo’ in cui le abilità
matematiche sono geneticamente codificate e presenti fin
dalla nascita.
Le differenze individuali, che riguardano capacità più
avanzate, insorgono successivamente e sono riconducibili agli
strumenti concettuali forniti.

Grazie quindi alle scoperte sopra esposte , è stata
definitivamente superata la credenza che l’acquisizione
dei concetti numerici si verifichi tardi nello sviluppo del
bambino; si ritiene comunque che prima dei sei anni la
rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da
indizi percettivi.

Tutto ciò ha prodotto un cambiamento negli
orientamenti per la scuola dell’infanzia.

Nelle indicazioni curricolari del 1991, tra i campi di
esperienza educativa compare : Lo spazio, l’ordine, la
misura.

Orientamenti 1991
Sotto tale voce leggiamo:

Intorno a tre anni il bambino esprime le prime intuizioni numeriche,
come valutazioni approssimate della quantità nel contare gli oggetti,
nel confrontare le quantità e le grandezze direttamente, mentre trova
difficoltà ad ordinarle serialmente. Incomincia inoltre ad avvertire,
esprimendole linguisticamente, alcune collocazioni spaziali e a
riconoscere alcune proprietà comuni degli oggetti.

Verso i sei anni -operando con oggetti, disegni, persone, ecc.- è in
grado di contarli, di valutarne la quantità e di eseguirne operazioni
sempre sul piano concreto, di ordinare più oggetti per grandezza,
lunghezza e altezza, di classificarli per forma e colore, di localizzare le
persone nello spazio, di rappresentare dei percorsi e di eseguirli anche
su semplice consegna verbale.

Orientamenti 1991
E ancora:
La scuola materna svolge la sua azione in due fondamentali direzioni:
 - raggruppare, ordinare, contare, misurare: ricorso a modi più o meno sistematici di
confrontare e ordinare, in rapporto a diverse proprietà, grandezze ed eventi; uso di
oggetti o sequenze o simboli per la registrazione; impiego diretto di alcuni semplici
strumenti di misura; quantificazioni, numerazioni, confronti;
 - localizzare: ricorso a modi, spontanei o guidati, di esplorare il proprio ambiente,
viverlo, percorrerlo, occuparlo, osservarlo, rappresentarlo; ricorso a parole,
costruzioni, modelli, schemi, disegni; costruzione di sistemi di riferimenti che aiutano il
bambino a guardare la realtà da più punti di vista, coordinandoli gradualmente fra
loro.
E' anche opportuno sviluppare la capacità di porre in relazione, come: formulare
previsioni e prime ipotesi; individuare, costruire ed utilizzare relazioni e classificazioni;
costruire corrispondenze e rapporti di complementazione, unione, intersezione ed
inclusioni tra classi; riconoscere invarianti; utilizzare strumenti di rappresentazione;
operare riflessioni e spiegazione su numeri, sistemi di riferimento, modalità di
rappresentazione e così via. A ciò si aggiunge l'opportunità di sviluppare le capacità di
progettare e inventare, come: la creazione di progetti e forme, derivati dalla realtà o
del tutto nuovi, di oggetti e spazi dell'ambiente; l'ideazione di storie; la realizzazione di
giochi con regole più o meno formalizzate e condivise; le rappresentazioni spontanee
o ricavate da quelle in uso e così via.

Fino ai giorni nostri: indicazioni
 nazionali del 2012
Sotto la voce ‘La conoscenza del mondo’ compare esplicitamente:
Numero e spazio
• La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli che si usano nella
 vita di ogni giorno; poi, ragionando sulle quantità e sulla numerosità di
 oggetti diversi, i bambini costruiscono le prime fondamentali competenze
 sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti dell’indicare, del
 togliere e dell’aggiungere. Si avviano così alla conoscenza del numero e
 della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e
 realizzano elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i primi
 processi di astrazione, imparano a rappresentare con simboli semplici i
 risultati delle loro esperienze.
• Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi più
 idonei per raggiungere una meta prefissata scoprendo concetti geometrici
 come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti
 tridimensionali, riconoscendo le forme geometriche e individuandone le
 proprietà (ad esempio, riconoscendo nel “quadrato” una proprietà
 dell’oggetto e non l’oggetto stesso).
• Operano e giocano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di
 vario tipo.

Traguardi per lo sviluppo della competenza
 (nella scuola dell’infanzia)
• Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri
 diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta quantità;
 utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando
 strumenti alla sua portata.
• Sa collocare le azioni quotidiane nel tempo della giornata e della
 settimana.
• Riferisce correttamente eventi del passato recente; sa dire cosa
 potrà succedere in un futuro immediato e prossimo.
• Ha familiarità sia con le strategie del contare e dell’operare con i
 numeri sia con quelle necessarie per eseguire le prime misurazioni
 di lunghezze, pesi, e altre quantità.
• Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando
 termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.;
 segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.

L’acquisizione
 delle parole-numero

• Lo sviluppo dell’abilità di conteggio

• La lettura dei numeri

• La scrittura dei numeri

Lo sviluppo dell’abilità di conteggio
L’abilità di conteggio è composta di tre sottoabilità:

1)Conoscere la sequenza dei numeri
Si possono distinguere tre livelli evolutivi:
• La sequenza dei numeri è usata come stringa di parole.
• Si distinguono le parole, ma la sequenza viene prodotta solo in
 avanti a partire da uno.
• La sequenza è bidirezionale, producibile a partire da un
 numero qualsiasi della serie, ordinata in modo stabile.

2) Eseguire il confronto secondo un processo iterativo
Ciascuna parola-numero , selezionata con un ordine corretto, va collegata a uno e un
solo oggetto dell’insieme; è il concetto di corrispondenza biunivoca, che compare
molto presto nell’esperienza del bambino, che già a due anni è in grado di mettere, ad
esempio, ogni tazza sul suo piattino
3) Identificare la parola che esprime il risultato
dell’operazione eseguita
Si intende con questo riconoscere il valore cardinale dell’ultimo numero pronunciato.
Il bambino deve capire che l’ultima parola-numero pronunciata nel conteggio
corrisponde alla numerosità dell’insieme contato; i bambini di 3-4 anni possono farlo
come imitazione dell’adulto, senza avere però avere reale comprensione del ruolo di
tale parola.
Spesso a questa età i bambini pensano che le parole-numero siano come etichette da
attaccare agli oggetti; se ad uno di essi assegna cinque, il cinque identifica
esattamente quell’oggetto e non può rappresentare altro.
Dal punto di vista evolutivo il valore cardinale delle parole-numero viene acquisito
verso i 5 anni.

Imparare a contare rappresenta il primo
collegamento tra la competenza numerica
innata e quella acquisita dall’interazione
con l’ambiente di appartenenza.

 Come avviene tale collegamento?

Gelman e Gallistel (1979)
L’acquisizione dell’abilità di conteggio verbale è guidata dalla
conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica
non verbale; si ipotizza cioè l’esistenza di una struttura innata che
orienta i comportamenti e gli apprendimenti e consente di apprendere
a contare. I principi sono i seguenti:
• Il principio di iniettività
• Il principio dell’ordine stabile
• Il principio di cardinalità
• Il principio di astrazione
• Il principio di irrilevanza dell’ordine
La padronanza dei principi della conta comincia, in genere, dai 2-3 anni
e si completa intorno ai 5. Il principio cardinale viene acquisito per
ultimo.

La teoria di Karen Fuson
Anche Fuson conferma l’importanza delle competenze innate,
tuttavia attribuisce pari valore alle competenze apprese.
Secondo l’autrice, il bambino forma la propria conoscenza del
numero attraverso la relazione con ciò che lo circonda.
(vedi ‘Numeri e forme’ pag.112-113)
Per tale ragione sottolinea i contesti diversi in cui le parole
numero sono utilizzate; non sempre, inoltre, tali contesti si
riferiscono alla numerosità.
Solo attraverso ripetuti esercizi e per imitazione il bambino
gradualmente comprende il senso del contare e connette tra
loro i diversi significati. Da ciò si evince il ruolo cruciale
dell’interazione con l’ambiente.
Esaminiamo i contesti:

Karen Fuson: i contesti
• il contesto cardinale, in cui la parola-numero fa riferimento all’intera
 collezione di elementi discreti e dice di quanti elementi è costituita;
• il contesto ordinale, dove la parola-numero fa riferimento ad un elemento
 collocato all’interno di una serie ordinata di elementi discreti e indica
 quale posizione vi occupa;
• il contesto di misura, dove la parola-numero è in relazione ad una
 grandezza continua e indica quante unità di misura sono necessarie per
 “riempire” la grandezza;
• il contesto sequenza, in cui l’enunciazione è condotta senza riferire le
 parole-numero a oggetti o altro (le parole-numero sono usate in modo
 simile alle lettere nella recita dell’alfabeto);
• il contesto conta, dove l’enunciazione è condotta con riferimento a oggetti
 posti in corrispondenza uno a uno con le parole-numero;
• il contesto simbolico, in cui la parola-numero è intesa come oggetto di
 scrittura o di lettura;
• il contesto non numerico, in cui la parola-numero è usata come etichetta,
 identificando un attributo in un oggetto.

http://www.necessitaeducativespeciali.it/old/allegati/Lucangelibin_nuovo.pdf

Karen Fuson
Inizialmente il bambino utilizza le parole numero solo
all’interno dei contesti e non riesce a fare collegamenti;
progressivamente acquisisce ed integra i diversi significati
fino a riconoscere il valore cardinale del numero e a capire
che si passa da un numero al successivo nella sequenza
aggiungendo ‘più uno’.
L’evoluzione dell’abilità di conteggio implica l’integrazione
dei seguenti contesti:
a) contesto di sequenza,
b) contesto di conta
c) contesto cardinale

Per descrivere tale evoluzione Fuson individua cinque livelli

 1. La sequenza dei numeri è usata come stringa di
 parole
 2. Le parole-numero vengono usate in sequenza
 unidirezionale, in avanti a partire da uno.
 3. La sequenza è producibile a partire da un numero
 qualsiasi della serie stessa.
 4. Le parole numero sono trattate come entità
 distinte, che non devono più ricorrere ad elementi
 concreti di corrispondenza biunivoca.
 5. La sequenza è usata come catena bidirezionale.

La teoria di Steffe, Cobb, von Glasersfeld
Gli autori, prendendo le mosse dalla teoria dei contesti diversi,
focalizzano la loro attenzione sulla costruzione dell’oggetto del
contare: il bambino ‘costruisce’ gli ‘item-unità’ (che
corrispondono alle parole-numero) rappresentandoseli come
oggetti concreti, percepibili direttamente; poi pian piano il
concetto di numero viene interiorizzato e il livello di astrazione
del conteggio aumenta.
Tale evoluzione è descritta attraverso cinque stadi.
1) Stadio dello schema di conta percettivo che comprende due
 livelli
- Conta di item-unità percettivi: le parole-numero acquisiscono significato
solo in presenza di oggetti concreti
- Conta di item-unità figurali: se gli oggetti sono nascosti il bambino è capace
di tenerli presenti mentalmente

La teoria di Steffe, Cobb, von Glasersfeld
2) Stadio dello schema di conta figurativo:
- Conta di item-unità motori: gli atti della conta sostituiscono sia le immagini
concrete che quelle mentali.
- Conta di item-unità verbali: l’oggetto della conta è la parola-numero
3) Stadio della serie iniziale dei numeri: il bambino ha interiorizzato lo
schema di conta e comprende il valore astratto delle unità; la parola numero
è numerosità e comprende le unità che lo precedono ( conta di item-unità
astratti)
4) Stadio dei numeri con relazioni implicite di inclusione: il
bambino costruisce il concetto di ‘unità composita’ ( ad es. cinque è incluso
nel 6)
5) Stadio dei numeri con relazioni esplicite di inclusione: la serie
numerica è formata da unità ‘iterate ed incluse. Ad es. ‘quattro’ può essere
considerato sia come unità ripetuta quattro volte, sia come unità che
comprende i numeri da 1 a 4

La lettura dei numeri
• La lettura precede la scrittura ed evolve gradualmente, ma il
 riconoscimento del simbolo scritto non implica necessariamente
 l’acquisizione della corretta rappresentazione della quantità
 corrispondente (semantica del numero), acquisizione che avviene
 per fasi.
• Per quanto riguarda il riconoscimento dei numeri scritti si possono
 distinguere tre fasi:
- Il bambino non associa correttamente il nome corretto al numero
 scritto e lo può confondere con le lettere dell’alfabeto
- I bambini riconoscono i numeri più semplici e frequenti
- Intorno ai 5-6 anni i bambini sanno riconoscere i numeri almeno
 entro il 10, anche se qualche confusione può permanere.

Il lessico dei numeri
Con tale espressione ci si riferisce al ‘nome’
diverso che ogni cifra assume a seconda della
posizione che occupa:
-numeri primitivi: le unità (da 1 a 9); i ‘teens’ (da
10 a 19; le decine (da 20 a 90)
- Elementi miscellanei: -cento, -mila; -milioni
Il bambino che sbaglia a dire il nome dei numero
commette errori lessicali

La comprensione simbolica dei numeri

Bialystok individua tre stadi per il suo sviluppo:
1. Stadio dell’apprendimento delle forme orali delle
 notazioni numeriche: acquisizione della sequenza
 come fosse una filastrocca
2. Stadio della rappresentazione formale: il bambino
 impara a riconoscere la scrittura dei numeri parlati
3. Stadio della rappresentazione simbolica: il bambino
 è in grado di attribuire al numero il corretto valore
 quantitativo

La scrittura dei numeri
L’acquisizione del numero scritto richiede la competenza
simbolica, che viene conquistata dal bambino con due
processi basilari:
- la produzione di significanti individuali(simboli), di tipo
 personale, stabiliti dal singolo soggetto;
- la produzione di significanti collettivi (segni)connessi al
 significato da una convenzione sociale e perciò esterni al
 soggetto

La notazione numerica
Tra i ricercatori non è ravvisabile una convergenza su quale sia il
percorso attraverso il quale il bambino conquista la competenza
nel numero scritto e il rapporto corretto tra numero scritto e suo
significato.
Si possono comunque distinguere quattro categorie di
rappresentazione grafica della quantità, che rendono evidente
una evoluzione
1) idiosincratica: notazioni incomprensibili per un osservatore esterno
2) pittografica : si riproducono figurativamente gli oggetti della collezione
3) iconica: segni grafici posti in corrispondenza biunivoca con gli oggetti
4) simbolica: formata da numeri arabici

La notazione numerica

…e tre tipologie di notazione numerica:

1) Notazione con grado informativo nullo (per un
 osservatore esterno, ma portatore di significati per il
 bambino)
2) Notazione basata sulla corrispondenza
 biunivoca
3) Notazione convenzionale

Difficoltà
• Un problema che incontrano i bambini nel loro
 approccio iniziale al numero scritto è legato alla
 difficoltà di collegare il simbolo aritmetico
 convenzionale con il suo significato in termini
 quantitativi .
• È pertanto indispensabile guidare il bambino, già
 nei suoi primi approcci con la matematica scritta,
 alla comprensione profonda del significato dei
 simboli aritmetici per evitare che si instauri un
 utilizzo rigido dei simboli.

Le diverse teorie relative alla costruzione del concetto di
numero concordano sul fatto che il periodo che va dai due
agli otto anni è cruciale per lo sviluppo della conoscenza
numerica.

 Cosa può fare
 la scuola dell’infanzia?

Dalle Indicazioni nazionali
La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli
che si usano nella vita di ogni giorno; poi, ragionando
sulle quantità e sulla numerosità di oggetti diversi, i
bambini costruiscono le prime fondamentali competenze
sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti
dell’indicare, del togliere e dell’aggiungere. Si avviano così
alla conoscenza del numero e della struttura delle prime
operazioni, suddividono in parti i materiali e realizzano
elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i
primi processi di astrazione, imparano a rappresentare
con simboli semplici i risultati delle loro esperienze.

Occasioni di esperienza matematica
«Il compito affascinante della scuola dell’infanzia è quello di
offrire occasioni di esperienza matematica, che facciano leva
sull’esperienza matematica occasionale del bambino,
completandola e rafforzandola. Esperienza perché si tratta di
partire dalle cose per sviluppare discorsi, prima con il contatto
diretto, poi attraverso le rappresentazioni, e in prima persona.
… Poiché i concetti matematici elementari sono nati
dall’azione umana e dall’osservazione, nonostante la loro
astrazione si ha l’opportunità di ripartire dai sensi e dagli
esempi. Esperienza matematica, perché si tratta
specificamente di esperire concetti matematici, usandoli o
vedendoli nella pratica, accompagnati da un adulto che svolge
un ruolo di guida nella riflessione che esalta le potenzialità di
una data esperienza.» (‘Numeri e forme’ pag. 142)

Aree specifiche di intervento

 • Processi lessicali
 • Processi semantici
 • Processi sintattici
 • Processi di counting

Processi lessicali
• Dare un nome ai numeri, cioè
 attribuire un’etichetta verbale
 alla quantità
• Leggere i numeri
• Scrivere i numeri in codice
 arabico

Esempi di attività
 Il supporto ritmico favorisce la
Cantilene e filastrocche
 memorizzazione e il recupero
con i numeri
 dell’informazione
Accompagnare il nome
 Per avviare all’incremento
dei numeri con le dita e
 numerico per aggiunta di una
osservare che le quantità
 unità
aumentano

 «Cercate i numeri Per consolidare la lettura dei
intorno a voi» numeri

 Per osservare se i bambini hanno
«Scrivi solo i numeri
 acquisito il concetto di numero
piccoli»
 grande o piccolo rispetto alla
«Scrivi solo i numeri
 quantità o se permane il
grandi»
 riferimento percettivo alle
 dimensioni

Processi semantici
Tale area riguarda la capacità di comprendere il significato dei
numeri attraverso una rappresentazione mentale di tipo
quantitativo che abbia come risultato finale la corrispondenza
numero-quantità.
A tale scopo è necessario indurre la riflessione sull’indipendenza
della numerosità da altri attributi, come ad esempio le
dimensioni.
È importante anche lavorare
• sulle stime di numerosità, capacità innata per le piccole
 quantità e quindi facilmente sviluppabili;
• sui concetti di incremento e decremento.

Esempi di attività
• Confrontare due o più gruppi in base alla
 numerosità e indipendentemente dalle
 dimensioni.
• Riconoscere tanti, pochi, uno.
• Ritrovare nella vita quotidiana oggetti che
 presentano la numerosità che si sta esaminando
 (es. due occhi ; le tre ruote di un triciclo….).
• Promuovere , attraverso raggruppamenti disposti
 in maniera diversa dal punto di vista spaziale, il
 riconoscimento immediato della quantità.

Il cinque
Qual è il modo più comodo per capire subito
quanti sono gli oggetti senza contarli?

Ora proviamo a costruire le configurazioni per i
numeri:

 • sei
 • sette
 • otto
 • nove

Un gioco

Processi sintattici
Il problema della sintassi riguarda la notazione posizionale
dei numeri, cioè le particolari relazioni spaziali tra le cifre.
Tale problema non viene affrontato di fatto nella scuola
dell’infanzia, ma, come anticipazione del significato della
posizione delle cifre che ne modifica il valore, si possono
introdurre riflessioni sulla differenziazione per attributi, per
funzioni, per dimensioni.
Si possono anche introdurre i concetti di primo, secondo,
ultimo e grande, medio, piccolo come precursori del valore
della posizione

Esempi di attività
• Da un insieme di oggetti scegliere quelli che
 hanno un particolare attributo.
• Da un insieme di oggetti scegliere quelli che
 svolgono una particolare funzione.
• Differenziare l’unità dall’insieme (es. pecore-
 gregge).
• Individuare in una terna il primo, il secondo e
 l’ultimo o il grande, il medio e il piccolo.

Processi di counting
Il counting è la capacità che permette di
rispondere alla domanda «Quanti sono?»;
• richiede l’integrazione dei diversi aspetti
 inclusi nel numero
• prevede l’acquisizione delle abilità introdotte
 precedentemente e sintetizzate nei principi di
 Gelman e Gallistel

Esempi di attività

• Sviluppare la corrispondenza biunivoca, es. far
 corrispondere ad ogni bambino il suo
 cappello.
• Attività di riconoscimento della quantità.
• Rinforzo della sequenza corretta.
• Quanti siamo oggi in classe? Quanti sono gli
 assenti?.....

Secondo Ana Millan Gasca nella scuola dell’infanzia è
possibile spingersi anche più avanti:
• risolvere piccoli problemi (fare semplici addizioni o
 sottrazioni, confrontare);
• esplorare oralmente le relazioni tra numeri almeno fino
 a 10 (precedente, successivo, maggiore di);
• vedere i numeri nascosti nei numeri : decomporre i
 numeri maggiori di 5 in 5 + qualcosa e i maggiori di 10 in
 10 + qualcosa;
• osservare i numeri intorno a sé, anche in prezzi e denaro
 in euro, in codici di identificazione, per trasmettere
 informazioni di vario genere;
• racconti sull’origine del contare e sui numeri.
(Numeri e forme, pag. 164)

Dal modulo numerico

 all’aritmetica
 dei numeri naturali
 e oltre

Come si passa dalle abilità numeriche innate ad una
comprensione profonda della matematica?
Secondo alcuni studi recenti nel campo delle scienze
cognitive sembra che la struttura cognitiva della
matematica faccia uso di un apparato concettuale che
costituisce il pensiero quotidiano ordinario.
Quanto segue è una sintesi dell’ipotesi proposta da
George Lakoff e Rafael E.Núñez nel testo già citato «Da
dove viene la matematica» , che riguarda in particolare
l’estensione del modulo numerico innato all’aritmetica

Lakoff-Núñez

Gli autori dettagliano così le capacità necessarie per contare
sulle dita:
• Capacità di raggruppare: per distinguere ciò che stiamo contando
• Capacità di ordinare: gli oggetti devono essere posti in successione
• Capacità di formare coppie: per la corrispondenza biunivoca
• Capacità di memoria: per separare gli oggetti già contati dagli altri
• Assegnazione di un numero cardinale
• Capacità di indipendenza dall’ordine
• Capacità di raggruppamento combinatorio: per unire gruppi
• Capacità di simbolizzare: per associare simboli tangibili o parole a
 numeri, che sono entità concettuali

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Per caratterizzare le operazioni aritmetiche e le loro proprietà
sono necessarie capacità cognitive più ricche:
• la capacità di metaforizzare: saper concettualizzare i numeri
 cardinali e le operazioni aritmetiche con le proprie esperienze
 di vario tipo;
• la capacità di fare miscele concettuali: saper formare
 corrispondenze tra domini concettuali e utilizzare insieme
 metafore concettuali diverse, per formare metafore
 complesse
La metafora concettuale e la miscela concettuale sono
meccanismi cognitivi basilari che permettono di passare
dall’aritmetica innata e dal semplice contare all’aritmetica dei
numeri naturali.

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 La metafora concettuale
 Studi recenti hanno mostrato che i concetti astratti sono
 compresi in termini di concetti più concreti attraverso le
 metafore; spesso vengono usate inconsciamente e
 automaticamente, sono cioè parte dell’inconscio cognitivo.
 L’emotività , ad esempio, viene compresa in termini di
 calore: ‘Si conoscono, ma non hanno ancora rotto il
 ghiaccio’.
 La somiglianza è concettualizzata in termini di vicinanza
 fisica: ’Questi colori sono molto vicini’ , ‘Negli anni i nostri
 gusti sono andati divergendo’.
 Le metafore concettuali, quindi, fanno parte del nostro
 modo di pensare.

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 La metafora concettuale
 La metafora concettuale, quindi, è un meccanismo cognitivo che
 permette di ragionare su un tipo di cose come se fosse un altro;
 essa si basa, cioè, su due domini concettuali, dove un dominio
 viene compreso nei termini di un altro.
 • Il dominio concettuale da cui sono tratte le espressioni
 metaforiche è detto dominio sorgente.
 • Il dominio concettuale che si tenta di capire è detto dominio
 obiettivo.
 Le metafore concettuali impiegano tipicamente un concetto
 astratto come obiettivo e un concetto concreto o fisico come
 sorgente.
 Il processo metaforico va tipicamente dal concreto all'astratto, e
 non nella direzione opposta; di conseguenza, i concetti astratti sono
 compresi in termini di concetti-campione concreti.

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 Le metafore fondanti dell’aritmetica
 • L’aritmetica come collezione di oggetti

 • L’aritmetica come costruzione di oggetti

 • La metafora dell’asta di misurazione

 • L’aritmetica come moto lungo un percorso

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Nell’esperienza quotidiana, un gruppo di tre oggetti
viene subitizzato in modo automatico e inconscio come
il numero tre; se un elemento viene tolto il gruppo
restante viene subitizzato come due. Si osservano
correlazioni regolari tra l‘azione di aggiungere ad una
collezione di oggetti e l’operazione di addizione, come
tra il togliere e la sottrazione.
Si ipotizza che tali correlazioni tra operazioni fisiche
senso-motorie e operazioni aritmetiche costituiscano
una metafora concettuale, appresa in età precoce,
prima di qualsiasi esperienza nell’aritmetica formale.

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 1)L’aritmetica come collezione di oggetti
 Dominio sorgente: collezione di Dominio obiettivo: l’aritmetica
 oggetti
 Collezione di oggetti della stessa Numeri
 grandezza
 La grandezza della collezione La grandezza del numero
 Più grande Maggiore
 Più piccolo Minore
 La collezione più piccola L’unità
 Mettere insieme collezioni Addizione
 Togliere una collezione più piccola da Sottrazione
 una più grande

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 Conseguenze della metafora
 • Tutte le proprietà dell’addizione e della sottrazione
 • La relazione d’ordine
 • La legge di tricotomia

 Es.: la proprietà commutativa
 Aggiungere la collezione A alla Addizionare A a B dà lo stesso risultato
 collezione B dà lo stesso risultato di addizionare B ad A
 che aggiungere la collezione B alla
 collezione A

 N.B.: esempi evidenti di questa metafora si trovano anche nel linguaggio
 quotidiano:
 • si usa la parola aggiungere sia per operazioni concrete che per operazioni
 aritmetiche;
 • si usa più grande o più piccolo sia per oggetti concreti che per numeri

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 La moltiplicazione e la divisione
 Per questa operazione è necessario riferirsi contemporaneamente a
 numeri e collezioni: bisogna infatti eseguire operazioni sulle collezioni
 un certo numero di volte. Il meccanismo cognitivo che permette di
 estendere la metafora «l’aritmetica è collezione di oggetti» da addizione
 e sottrazione a moltiplicazione e divisione è la miscela metaforica: il
 dominio sorgente è la miscela collezione di oggetti-aritmetica, il
 dominio obiettivo è sempre l’aritmetica.
 Due sono i modi di pensare moltiplicazione e divisione
 Moltiplicazione Divisione
 • Per unione: n collezioni di m • Per suddivisione: suddividere
 oggetti una collezione in n piccole
 • Addizione ripetuta: si aggiungono collezioni di m oggetti
 per n volte m oggetti • Sottrazione ripetuta: si tolgono
 ripetutamente per n volte m
 oggetti

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 Dominio sorgente: Dominio obiettivo:
 miscela collezione di oggetti- aritmetica
 aritmetica
L’unione di A sottocollezioni di grandezza
B per formare un’unica collezione di
grandezza C
 Oppure ∙ = 
Aggiungere A volte collezioni di
grandezza B per ottenere una collezione
di grandezza C

La suddivisione di una collezione di
grandezza C in A collezioni di grandezza B
 Oppure
La sottrazione ripetuta di collezioni di : = 
grandezza B da una collezione iniziale di
grandezza C finché la collezione è
esaurita; la sottrazione avviene A volte

 Conseguentemente derivano le relative proprietà delle due operazioni

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 Lo zero
 Nella nostra esperienza quotidiana cosa succede quando da una collezione
 togliamo tutti gli oggetti?
 Quello che rimane non è una collezione, è un’assenza, ma se vogliamo che il
 risultato sia un numero dobbiamo concettualizzare tale assenza come una
 collezione, la collezione vuota.
 LA METAFORA DELLA COLLEZIONE ZERO
 La mancanza di oggetti per
 La collezione vuota
 formare una collezione

 Tale metafora è una metafora artificiale, una metafora che crea
 un’entità; grazie ad essa la collezione vuota corrisponde ad un
 numero che chiamiamo zero.

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 Lo zero
 Da tutto ciò consegue la neutralità dello zero rispetto
 all’addizione :
 Aggiungere una collezione di
 grandezza A alla collezione
 Addizionare A a 0 dà A
 vuota produce una collezione di
 grandezza A

 Togliere una collezione di
 grandezza A da una collezione Sottrarre A da A dà 0
 di grandezza A da la collezione
 vuota

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 2)L’aritmetica è costruzione di oggetti
 Spesso si dice:
 • Mettendo insieme 2 e 3 si ottiene 5
 • Si può fattorizzare 35 in 7 per 5
 Come si può comprendere un numero che è un concetto
 astratto come composto da o ottenuto mettendo insieme?
 Si concettualizzano i numeri come interi costituiti da parti e
 le parti sono altri numeri messi insieme dalle operazioni
 aritmetiche.
 Ciò è possibile grazie alla metafora che andiamo ad
 esaminare

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 L’aritmetica è costruzione di oggetti
 Dominio sorgente: costruzione di Dominio obiettivo: l’aritmetica
 oggetti
 Oggetti (che consistono di parti ultime Numeri
 di grandezza unitaria)
 La grandezza dell’oggetto La grandezza del numero
 Più grande Maggiore
 Più piccolo Minore
 Atti di costruzione di oggetti Operazioni aritmetiche
 Il più piccolo oggetto intero L’unità

 Mettere insieme oggetti con altri
 Addizione
 oggetti per formare oggetti più grandi
 Prendere oggetti più piccoli da oggetti Sottrazione
 più grandi per formare altri oggetti

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 Conseguenze della metafora
 Tutto quanto deriva dalla prima metafora, comprese le sue estensioni (cioè le
 due forme della moltiplicazione e della divisione e la metafora artificiale dello
 zero), si può desumere anche in questa, ma tale metafora da origine a nuovi
 numeri:
 le frazioni e l’esistenza dell’inverso moltiplicativo

 Una parte di un oggetto unitario
 (ottenuta suddividendo l’oggetto Una frazione semplice (1/n)
 in n parti)

 Un oggetto nuovo ottenuto Una frazione complessa (m/n)
 unendo m parti dell’oggetto diviso
 in n parti

 Se si divide l’oggetto unitario in n 1
 ∙ =1
 parti e poi si riuniscono tutte le 
 parti si ottiene l’oggetto unitario
 di prima

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 3)La metafora dell’asta di misurazione

 Il metodo più antico per misurare è quello di usare un’asta o uno
 spago o addirittura parti del corpo ( es. pollici!)che sono versioni
 fisiche dell’oggetto segmento della geometria; in questo
 contesto li chiamiamo segmenti tangibili.
 Se posizioniamo due segmenti tangibili sulla stessa linea e con le
 estremità che si toccano otteniamo un nuovo segmento
 tangibile.
 L’italiano non ha per tale idea una singola parola, come accade in
 alcune altre lingue, e comunque tale idea è un naturale concetto
 umano

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 Dominio sorgente: uso di un’asta Dominio obiettivo: l’aritmetica
 di misurazione

 Segmenti tangibili Numeri

 Il segmento tangibile di base Uno

 La lunghezza del segmento La grandezza del numero
 tangibile

 Più lungo Maggiore
 Più corto Minore

 Unire, con le estremità che si
 toccano segmenti tangibili, per Addizione
 ottenere un nuovo segmento
 tangibile

 Togliere segmenti tangibili più
 corti da altri più lunghi per Sottrazione
 ottenere nuovi segmenti tangibili

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 Conseguenze della metafora
 Tutto quanto deriva dalle metafore precedenti si può desumere
 anche in questa: proprietà, moltiplicazione e divisione, lo zero e
 anche le frazioni ( basta dividere il segmento tangibile in n parti),
 ma la novità è che i segmenti tangibili sono oggetti
 unidimensionali e continui.
 Nella metafora ogni numero razionale è espresso da uno e un
 solo segmento tangibile, ma accade anche il viceversa ? Per ogni
 segmento tangibile esiste un numero che gli corrisponde?
 Tale questione è antica: fu affrontata la prima volta nella civiltà
 che è stata la culla della matematica, il mondo greco.
 Un esempio classico di tale questione è il problema della
 diagonale del quadrato

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 La diagonale del quadrato
 Riformuliamo il problema in termini ‘moderni’:
 il quadrato in figura ha come lato un segmento di misura 1; la sua
 diagonale a quale numero corrisponde?
 Nella scuola pitagorica, dove il
 problema fu affrontato per la prima
 volta, non si trovò risposta a tale
 domanda, perché erano accettati
 solo i numeri naturali e i loro
 rapporti, che comunque non erano
 ancora considerati numeri; per tale
 ragione fu per secoli privilegiata la
 geometria, poiché il mondo del
 calcolo allora conosciuto non era in
 grado di esprimere tutto ciò che in
 geometria si poteva costruire

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 Ma Eudosso (370 a.C.), usando implicitamente la
 miscela concettuale Numero/Segmento tangibile,
 osservò che doveva esistere un numero corrispondente
 alla misura della diagonale, quel numero che noi oggi
 chiamiamo 2 , ma dobbiamo aspettare alcuni secoli
 prima che questi numeri (che oggi chiamiamo numeri
 irrazionali) avessero piena cittadinanza nel mondo del
 calcolo.
 Sono stati comunque la metafora dell’asta di
 misurazione e la miscela Numero/Segmento tangibile a
 dare origine agli irrazionali

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 4) L’aritmetica come moto lungo un
 percorso
 Quando ci muoviamo in linea retta da un punto ad
 un altro formiamo un segmento tangibile: l’origine
 del moto corrisponde ad una estremità mentre
 l’altro estremità è il punto finale del moto e il
 percorso del moto corrisponde al resto.
 C’è quindi una correlazione naturale con la
 metafora dell’asta di misurazione

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 Dominio sorgente: moto Dominio obiettivo: aritmetica
 lungo un percorso

 L’inizio del percorso Zero

 Posizioni di punti su un percorso Numeri

 Posizione di un punto ‘speciale’ Uno

 Più lontano dall’origine di Maggiore
 Più vicino all’origine di Minore

 Allontanarsi dalla posizione di un punto A
 di una distanza che è la stessa di quella Addizione
 che ha un punto B dall’origine

 Muoversi verso l’origine da A di una
 distanza che è la stessa di quella del Sottrazione
 punto B dall’origine.

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 Conseguenze della metafora
 • Anche in questo caso si possono ricavare tutte le proprietà
 dell’addizione e della sottrazione, ma per la moltiplicazione e
 la divisione possono essere ottenute solo come iterazioni
 della addizione e della sottrazione.
 • C’è però una differenza sostanziale: in tutte le altre metafore
 lo zero si ottiene da una metafora che crea un oggetto ‘strano’
 come ad es. la collezione vuota; qui invece l’origine è la
 posizione naturale di un punto e lo zero è il numero che
 corrisponde a tale posizione; non c’è quindi nessuna
 costruzione artificiale.
 • Inoltre questa metafora fornisce un’estensione naturale ai
 numeri negativi, basta muoversi non più su una semiretta ma
 su una retta in cui l’origine è un punto ben preciso .

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 La comprensione dei numeri come posizione di
 punti è entrata nel linguaggio quotidiano:

 • Conta fino a 50, partendo da 5
 • Conta fino a 20 senza saltare alcun numero
 • Chi è più vicino a 30? 24 o 35?
 • Conta all’indietro a partire da 45

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 Visione d’insieme
 La ragione per cui i quattro domini (collezione di oggetti,
 costruzione di oggetti, asta di misurazione, moto lungo
 un percorso)si collegano tutti così bene all’aritmetica
 innata risiede nel fatto che esistono relazioni strutturali
 tra essi.
 • La costruzione di oggetti non si può fare senza
 mettere insieme le parti di una collezione.
 • L’utilizzo di un’asta di misurazione presuppone la
 costruzione di un oggetto lineare
 • Un percorso di un moto è una unione di segmenti
 tangibili

Appendice: la cardinalità di un insieme
Due insiemi A e B si dicono equipotenti se possono essere messi
in corrispondenza biunivoca, se esiste cioè almeno una legge che
associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B e
viceversa:

 a 2
 1 3
 b

 c e 5
 4
 d

La cardinalità di un insieme
Dato un insieme A, consideriamo tutti gli insiemi
ad esso equipotenti. La caratteristica comune a
tutti questi insiemi viene chiamata cardinalità.
La cardinalità è quindi espressione della
quantità, della numerosità e i numeri naturali
sono il linguaggio adatto per rappresentare il
nuovo concetto, che si esprime con il simbolo: #
 Es.: #A=5