Cinematica del punto Moto rettilineo - Dott.ssa Elisabetta Bissaldi - INFN

Cinematica del punto
Moto rettilineo

 Dott.ssa Elisabetta Bissaldi

La meccanica
 • Studia il MOTO DEI CORPI
  Spiega la relazione tra le CAUSE che generano il moto
  Esprime le caratteristiche del moto con LEGGI QUANTITATIVE

 • Per un corpo ESTESO, il moto può risultare COMPLICATO
  Verrà trattato in seguito

 • Il corpo più semplice da esaminare è il PUNTO MATERIALE (o PARTICELLA)
  Corpo PRIVO DI DIMENSIONI o di DIMENSIONI TRASCURABILI rispetto a
 quelle dello spazio in cui avviene il moto
  Corpo avente una determinata massa non nulla
  Attraverso il suo studio si possono DEFINIRE facilmente le grandezze
 meccaniche fondamentali e capirne il SIGNIFICATO immediatamente

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La meccanica

 • ANALISI DEL MOTO
 1. Descrizione GEOMETRICA dell’EVOLUZIONE TEMPORALE del fenomeno
  Studio del moto (a prescindere dalle cause che lo determinano): CINEMATICA
 2. Collegamento del moto stesso alle interazioni del corpo con i corpi
 circostanti
  Studio delle cause del moto: DINAMICA

  CINEMATICA DEL PUNTO
  DINAMICA DEL PUNTO
  DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI

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La cinematica

 PROCEDIMENTO:
 1. Stabilire un SISTEMA DI RIFERIMENTO
 2. Determinare LE COORDINATE DEL PUNTO rispetto all’origine del sistema di
 riferimento

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La cinematica
 DEFINIZIONI PRINCIPALI
 1. IL PUNTO MATERIALE
  Oggetto di dimensioni trascurabili, avente una determinata massa
 2. IL SISTEMA DI COORDINATE (DI RIFERIMENTO)
  Il più comune è quello CARTESIANO, ma si usano spesso coordinate polari,
 sferiche, etc.
  Destrorso: orientazione degli assi segue le dita della mano destra
 o Indice: asse x, medio: asse y, pollice: asse z
 3. LA POSIZIONE
  Sempre riferita ad un preciso sistema di coordinate

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La cinematica
 DEFINIZIONI PRINCIPALI
 4. LO SPOSTAMENTO
  Definito come DIFFERENZA o DISTANZA tra posizione finale ed iniziale
  Ha carattere vettoriale: modulo, direzione e verso
 5. IL MOTO DI UN CORPO
  Determinato se è nota la POSIZIONE IN FUNZIONE DEL TEMPO
 (DIAGRAMMA ORARIO)
 6. LA TRAIETTORIA
  Luogo geometrico dei punti occupati successivamente dal punto materiale in
 movimento
 LE GRANDEZZE FONDAMENTALI in cinematica
 o SPAZIO E TEMPO

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Moto rettilineo
 Rappresenta il CASO PIÙ SEMPLICE
 • Si svolge LUNGO UNA RETTA sulla quale si fissano arbitrariamente
 UN’ORIGINE E UN VERSO
  Moto descrivibile con UNA SOLA COORDINATA ( )
 o : posizione relativa ad un asse del moto nel sistema cartesiano
 o : tempo
 o ( ): espressione che descrive i valori delle posizioni in funzione del tempo

 ( )

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Il diagramma orario
 • Detto anche LEGGE ORARIA. Rappresentazione grafica della funzione ( ).

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Velocità nel moto rettilineo
 • Si consideri un punto materiale posto nella posizione = al tempo = , e
 successivamente posto nella posizione = al tempo = 
 1 VELOCITÀ MEDIA
 o Caratterizza la RAPIDITÀ con cui avviene uno SPOSTAMENTO = − 
 in un INTERVALLO DI TEMPO = − 

 − 
 ഥ= =
 = =
 − 
  Fornisce una informazione COMPLESSIVA, non dà indicazioni riguardanti le
 CARATTERISTICHE del moto

 UNITÀ DI
 MISURA
 
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Esercizio 1.1
 • Si consideri un automobilista che, dopo aver percorso una strada rettilinea per
 . ad una velocità di / , rimanga senza benzina. Decide quindi di
 proseguire a piedi, nella stessa direzione. Camminando per percorre
 sino a raggiungere un distributore.
 • Si calcolino:
 1. Lo spostamento totale;
 2. Il tempo di percorrenza
 totale;
 3. La velocità media
 totale.

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Velocità nel moto rettilineo
 2 VELOCITÀ ISTANTANEA
 o Si ottiene come limite per intervalli di tempo → 
 
 = lim = = ′( )
 → 
  La velocità di un punto nel moto rettilineo è data dalla
 DERIVATA DELLO SPAZIO RISPETTO AL TEMPO
 o Nota la legge oraria, la velocità istantanea si ottiene con
 l’operazione di derivazione
  Rappresenta la RAPIDITÀ della variazione della posizione nel tempo,
 calcolata in un istante ben preciso
 o Geometricamente rappresenta la PENDENZA della retta tangente al
 diagramma orario nel punto P
 o Anch’essa è a sua volta funzione del tempo
  Il segno della velocità indica il verso del moto sull’asse 
 • Se > , x cresce; se < , il moto avviene nel verso opposto

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Velocità nel moto rettilineo
 Si può anche risolvere il problema INVERSO: Ricavare la legge oraria nel caso sia
 nota la dipendenza dal tempo della velocità istantanea
  Il punto materiale si trova nella posizione al tempo e nella posizione
 + al tempo + 
  Lo spostamento infinitesimo può essere espresso come
 = 
 o Valida qualunque sia la dipendenza della velocità dal tempo
  La LEGGE ORARIA (relazione generale) che permette il calcolo dello
 spazio percorso nel moto rettilineo, qualunque sia il tipo di moto, si ottiene
 con un’operazione di INTEGRAZIONE
 
 = + න 
 
 o = ( ): Posizione iniziale
 o : Istante iniziale
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Moto rettilineo uniforme
 • Si consideri il caso in cui la velocità NON sia una funzione del tempo, ma risulti
 costante:
 = 
  LEGGE ORARIA
 
 = + න = + − 
 
 o Per = (istante iniziale):
 = + 
  Nel moto rettilineo uniforme, lo spazio è una
 FUNZIONE LINEARE DEL TEMPO:
 in TEMPI UGUALI sono percorsi SPAZI UGUALI
  La velocità istantanea COINCIDE
 con la velocità media

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Accelerazione nel moto rettilineo
 • In modo analogo allo spostamento, si può definire la rapidità di variazione
 temporale della velocità
  Accelerazione media UNITÀ DI
 MISURA
 =
 
  Accelerazione istantanea
 
 ( ) ( ) 
 = lim = =
 → 
 o È la derivata prima rispetto al tempo della velocità, ma anche la
 derivata seconda rispetto al tempo della posizione
 o Geometricamente rappresenta la concavità della curva diagramma orario (verso
 l’alto risulta positiva)
 • >  cresce nel tempo
 • <  diminuisce nel tempo
  Nel caso del moto rettilineo uniforme
 o =  = 

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Accelerazione nel moto rettilineo
 • Analogamente a quanto visto in precedenza, è possibile ricavare la legge oraria
 della velocità nel caso sia nota la dipendenza dal tempo dell’accelerazione
 istantanea, e conseguentemente la legge oraria dello spostamento:
 
 = + න 
 
 = + න 
 
 LEGAME TRA
 o = ( ): Velocità iniziale SPAZIO
 TEMPO
 o = ( ): Posizione iniziale
 VELOCITÀ
 o : Istante iniziale ACCELERAZIONE

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Moto rettilineo uniformemente accelerato
 • Si consideri il caso in cui l’accelerazione NON sia una funzione del tempo,
 ma risulti costante:
 = 
  LEGGE ORARIA
 
 = + න = + − 
 
 = + − + − 
 
 o Per = (istante iniziale):
 = + 
 
 = + + 
 
 o Velocità: funzione LINEARE del tempo
 o Posizione: funzione QUADRATICA del tempo

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Esempio
 • Moto di un ascensore in salita

  1-2: corpo in quiete
  2-3: accelerazione
  3-4: velocità costante
  4-5: decelerazione
  5-6: corpo in quiete

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Esercizio 1.2
 • Si consideri un punto materiale che parte dall’origine con velocità iniziale 
 positiva ed è sottoposto ad un’accelerazione − costante.
 Si calcolino:
 1. L’istante in cui si ferma;
 2. La massima distanza dall’origine raggiungibile dal punto lungo il semiasse
 positivo;
 3. L’istante in cui ripassa per l’origine;
 4. La velocità del punto per = .

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Moto verticale di caduta libera
 • ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ
  Se si lascia libero di cadere un corpo in vicinanza della Terra, trascurando la
 resistenza dell’aria, esso si muoverà verso il basso con accelerazione
 costante che è pari (in modulo) a = . / 
 o È la stessa per tutti gli oggetti
 o È praticamente costante sulla superficie della Terra
  Il moto di caduta risultante è rettilineo uniformemente accelerato

 • In figura: = − 
  Dipende da come si orientano gli assi!
  Vettorialmente = − 

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Moto verticale di caduta libera
 • Velocità e posizione nel caso generale:
 
 = − , = + − 
 
  Se il corpo parte da fermo ( = ) ad una quota = :
 
 = − , ( ) = − 
 
 o Tempo di caduta necessario per raggiungere il suolo (y = )

 =
 
 o Velocità finale al suolo:
 ( ) = − 

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Moto armonico semplice
 Moto PERIODICO lungo un asse rettilineo, avente legge oraria
 = ( + )
  Grandezze costanti: , , 
 o : Ampiezza del moto [ ]
 o : Fase iniziale del moto [ ] 
 o : Pulsazione [ / ]
 − 
  Fase del moto: ( ) = + 
 • Nel moto armonico il punto materiale percorre sempre la stessa traiettoria
  Ritorna ad occupare la stessa posizione con la stessa velocità (e la stessa
 accelerazione) ad intervalli regolari di tempo pari al periodo 
 
 PERIODO: = (un tempo [ ])
 
 FREQUENZA: = = (inverso del tempo − o hertz )
 
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Moto armonico semplice

 3 
 2 2 
 Legge oraria con ampiezze differenti 
 ( = , = ) 2

 Legge oraria con fasi iniziali differenti 3 2 
 
 ( = , = / , = ) 2 2

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Moto armonico semplice
 • VELOCITÀ: = 
 
 = = + 
 
 • ACCELERAZIONE:
 
 = = 
 = − + 
 
 = − 

 • EQUAZIONE DIFFERENZIALE DEL MOTO ARMONICO
 
 + = 
 
  Condizione necessaria e sufficiente perché un moto
 sia ARMONICO
 o Funzioni seno e coseno sono TUTTE E SOLE le funzioni
 che soddisfano tale equazione nel campo reale

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Errori tipici (da non fare)

 1. Prima di iniziare a risolvere il problema, conviene esprimere tutti i dati iniziali
 in unità di misura omogenee, possibilmente quelle del Sistema Internazionale

 2. Alcune formule valgono solo in casi particolari
 (ad esempio quelle per cui a = costante)

 3. I risultati vanno SEMPRE indicati con le unità di misura, soprattutto per quanto
 riguarda il risultato finale

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Esercizio 1.3
 • Si consideri un’automobile che all’istante = stia viaggiando ad una velocità
 di / .
 Si calcoli:
 1. L’accelerazione dell’automobile, sapendo che questa raggiunge una
 velocità di / nell’istante = .

 • Nel punto in cui arriva l’automobile alla velocità finale, parte una seconda auto
 che la raggiunge, con moto accelerato, in .
 Si calcolino:
 2. L’accelerazione della seconda auto;
 3. La velocità della seconda auto nel momento in cui raggiunge la prima;
 4. La distanza percorsa dalla seconda auto per raggiungere la prima.

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Esercizio 1.4
 • Un automobile è in grado di passare dalla quiete alla velocità di / 
 in secondi, muovendosi di moto uniformemente accelerato.
 • Si calcolino
 1. L’accelerazione nei casi in cui = e = ;
 2. Lo spazio percorso nei due casi;
 3. La velocità media.

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Esercizio 1.5
 • Un aereo a reazione deve raggiungere la velocità di / per poter
 decollare.
 1. Se parte da fermo e la pista è lunga . , qual è la minima
 accelerazione necessaria per decollare?

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Esercizio 1.6
 • I freni della vostra auto possono esercitare una decelerazione di . / .
 1. Se state viaggiando a / e notate la polizia stradale, qual è
 il tempo minimo entro il quale potete portare la velocità entro
 il limite dei / ?

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Esercizio 1.7
 • Un’automobile percorre , viaggiando a / per i primi .
 1. A quale velocità deve percorrere i rimanenti km per fare in modo che la
 velocità media sull’intero percorso sia / ?

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Esercizio 1.8
 • Dalla cima di una torre alta viene lasciata cadere una sferetta. Nello
 stesso momento viene lanciata dal suolo, verso l’alto e verticalmente, una seconda
 sfera con velocità / .
 • Si calcoli
 1. Dopo quanto tempo si incontrano le due sfere;
 2. L’altezza alla quale si incontrano le due sfere;
 3. Le velocità delle sfere all’incontro.

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Esercizio 1.9
 • Un sasso viene lasciato cadere dalla sommità di una rupe. Un altro sasso viene
 lanciato verso il basso . più tardi, dallo stesso punto, e con una velocità di
 / . I due sassi arrivano insieme a terra.
 1. Quanto è alta la rupe?

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Esercizio 1.10
 • Un sasso viene lanciato verso il basso da una rupe alta . Durante l’ultimo
 di volo il sasso percorre una distanza di .
  Determinare la velocità iniziale del sasso.

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Esercizio 1.11
 • Uno studente è immediatamente sotto una finestra e lancia in alto un mazzo di
 chiavi verso un suo amico che si trova ad una quota di .
 L’amico afferra le chiavi dopo . .
  Determinare la velocità iniziale e quella finale del mazzo di chiavi.

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