MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE - 1.1 Leggi generali di deflusso

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CAPITOLO 1
MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO
STRADALE

1.1 Leggi generali di deflusso
La realizzazione del trasporto implica per sua stessa natura lo spostamento di persone o cose. A
seconda dei sistemi tecnologici utilizzati, lo spostamento può avvenire utilizzando veicoli
(esclusi cioè il modo pedonale, anche meccanizzato, negli spostamenti di persone ed il modo di
trasporto per condotta nel caso delle merci) o infrastrutture di trasporto lineari o puntuali (ad
esempio, i trasporti navali ed aerei non utilizzano infrastrutture lineari). Il moto del singolo
veicolo dipende dalle caratteristiche meccaniche e dalle sue interazioni con la via e con
l’ambiente esterno. Lo studio delle leggi che descrivono il moto del veicolo isolato sono oggetto
della meccanica della locomozione. Durante la marcia sulla via, i veicoli si condizionano
reciprocamente. Le modalità di circolazione di una corrente di veicoli dipendono da leggi
fisiche e comportamentali che ne determinano le caratteristiche qualitative e quantitative: i
tempi di percorrenza, i costi operativi, il livello di servizio, il livello di sicurezza, gli impatti
sull’ambiente esterno. La disciplina che le studia si chiama teoria del deflusso.
In questo paragrafo vengono esposte le leggi di natura fisica comuni alla circolazione di
diversi modi di trasporto, rinviando ai paragrafi successivi gli approfondimenti specifici
dei singoli modi. Senza scapito di generalità, si farà riferimento al movimento di veicoli
che seguono una traiettoria prefissata1.
Nella teoria elementare del deflusso, che viene sinteticamente riportata in questo testo,
la circolazione dei veicoli lungo la via viene assimilata alla corrente di un fluido: si
prescinde quindi dalla rappresentazione della legge oraria di ogni singola unità (veicolo
o pedone) della corrente, ma la si descrive a livello macroscopico mediante le grandezze
caratteristiche che vengono utilizzate anche nella meccanica dei fluidi:
•   flusso (indicata generalmente con il simbolo q): quantità (cioè numero di veicoli o
    persone) transitata nell’unità di tempo attraverso una data sezione2;
•   velocità (indicata generalmente con il simbolo v): velocità media della corrente in un

1
  E’ peraltro possibile, come sarà esposto in seguito, assimilare una corrente di veicoli ad una corrente di
fluido. Le stesse considerazioni valgono quindi per gli spostamenti pedoni, assimilando il loro moto ad
una corrente di fluido.
2
 In alcuni testi, compreso lo “Highway Capacity Manual (2000)”, invece che di flusso si parla di volume
di traffico.
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    dato istante (cioè velocità media dei veicoli presenti in un dato istante nell’unità di
    spazio);
•   densità (indicata generalmente con il simbolo k): quantità (cioè numero di veicoli o
    persone) presenti in un dato intervallo di tempo nell’unità di spazio.
Nel caso generale, la corrente si muove con moto vario: il valore delle grandezze
caratteristiche del deflusso varia quindi nel tempo e nello spazio. In condizioni di
marcia a regime, si può assumere che le velocità dei veicoli (o delle persone) di una
corrente omogenea (cioè di veicoli dello stesso tipo) varino in misura irrilevante ai fini
dello studio della corrente. Questo stato di deflusso è denominato stato stazionario ed è
contraddistinto da valori delle grandezze caratteristiche costanti nel tempo e nello
spazio.

1.1.1 Equazione di continuità
Una corrente di veicoli (o di persone) in movimento deve rispettare la condizione fisica
di conservazione della massa, ovvero del numero di veicoli (o persone) transitanti
attraverso un elemento finito di spazio. Facendo riferimento ad un elemento di una
infrastruttura lineare, ad esempio un tronco stradale o ferroviario oppure un tratto di una
scala mobile, questa condizione impone che la variazione del numero di veicoli presenti
nel tronco in un dato intervallo temporale sia eguale alla differenza tra il numero di
veicoli entrati ed il numero di veicoli usciti nello stesso intervallo di tempo. La figura 1-
I fornisce una rappresentazione grafica della condizione di continuità.

                   Fig.1-I. Rappresentazione grafica dell’equazione di continuità.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                3

In termini formali, facendo riferimento ad un tronco viario di lunghezza Δx>0 con
origine in una generica ascissa x e ad un generico intervallo temporale Δt>0, senza
entrate o uscite intermedie, possiamo scrivere l’equazione di continuità utilizzando le
grandezze caratteristiche del deflusso:

               k ( x,t + Δt ) Δx − k ( x,t ) Δx = q( x,t ) Δt − q( x + Δx,t ) Δt        (1)

Portando gli incrementi delle ascisse Δx e Δt a denominatore e cambiando segno al
secondo membro, otteniamo i rapporti incrementali delle funzioni k(x,t) e q(x,t):
    €
                  k ( x,t + Δt ) − k ( x,t )    q( x + Δx,t ) − q( x,t )
                                             =−                                   (2)
                             Δt                          Δx
Passando al limite per Δx→0 e Δt→0, si ottiene la classica espressione dell’equazione
di continuità, esistente anche nei fluidi:
         €
                               ∂k ( x,t ) ∂q( x,t )
                                         +          =0                             (3)
                                  ∂t        ∂x

1.1.2 Equazione di stato
                   €
Allo stato stazionario le tre grandezze caratteristiche del deflusso non sono tra loro
indipendenti, ma sono legate da una relazione, detta equazione di stato, che consente di
esprimere una in funzione delle altre due:

                                                                                        (4)
L’equazione di stato si presta ad una semplice dimostrazione grafica. Si consideri un
tronco di un’infrastruttura di trasporto di lunghezza Δx, percorso da veicoli che
viaggiano a velocità approssimativamente costante, non necessariamente uguale per tutti
i veicoli, per tutto l’intervallo di osservazione Δt. I veicoli che viaggiano a velocità
diversa, comunque, non interagiscono tra loro. Questa condizione corrisponde alla
marcia di autoveicoli di categorie diverse (veloci e lenti) su un’autostrada a più corsie,
oppure ad un tappeto mobile su cui una frazione degli utenti cammina ed un’altra
rimane ferma. Nella Fig.1-II è illustrato il caso di due classi veicolari, indicate con gli
indici 1 e 2.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE               4

                    Fig.1-II. Rappresentazione grafica dell’equazione di stato.

E’ immediato verificare dalla geometria della figura, o da elementari considerazioni di
fisica, che il distanziamento spaziale s tra due veicoli della stessa classe è dato dal
prodotto del distanziamento temporale h per la velocità v, cioè: sl=vlhl.
Si osservi ora che il flusso q di veicoli attraverso una data e qualunque sezione
dell’infrastruttura è pari all’inverso del distanziamento medio in tempo, h. Infatti,
indicando con n il numero di veicoli transitati nell’intervallo Δt, si ha, purché Δt sia
abbastanza grande rispetto ad h:

                                                                                      (5)

In maniera analoga si può procedere per la densità, che risulta pari all’inverso del
distanziamento medio spaziale, s:

                                                                                      (6)

Sostituendo il flusso e la densità rispettivamente al distanziamento temporale e a quello
spaziale, si ottiene, per una generica classe l:

                                                                                      (7)
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Sommando ora i veicoli delle m diverse classi, il flusso totale e la densità totale sono:

                                                                                            (8)

Sostituendo la (7) nella prima espressione della (8) e, dividendo numeratore e
denominatore per la densità totale k, si ha finalmente:

                                m          m
                                               v l kl
                            q = ∑ v l kl = k ∑        = kv s                                (9)
                                l =1       l =1 k

Si noti che il termine frazionario sotto sommatoria esprime la velocità media della
corrente, calcolata, seconda la definizione fornita al paragrafo precedente, come il
valore medio delle € velocità dei veicoli presenti in un dato istante su un tronco di
infrastruttura. Il pedice s evidenzia che la media è stata calcolata nello spazio: infatti,
questa non è l’unica definizione possibile della velocità media. E’ possibile definire una
velocità media nel tempo, definita come la media delle velocità dei veicoli transitati in
un dato intervallo di tempo attraverso una data sezione dell’infrastruttura. E’ utile
precisare che le due medie forniscono generalmente valori diversi. In particolare, la
media nel tempo dà in genere valori maggiori della media nello spazio. Il motivo può
essere facilmente compreso se si pensa al caso limite di un tronco di 1 km con una
colonna di 99 veicoli fermi e di un unico veicolo che, nell’intervallo di osservazione di
1 ora, viaggia, sulla corsia di sorpasso, alla velocità di 100km/h. La velocità media nello
spazio è calcolata su tutti i veicoli presenti nel tronco ed è quindi di 1 km/h; la velocità
media nel tempo è calcolata sull’unico veicolo che transita nella sezione iniziale del
tronco (gli altri sono fermi e non vengono contati da un osservatore posto in
corrispondenza della sezione) ed è quindi di 100 km/h.
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1.2 Leggi di condizionamento sugli archi
Le equazioni introdotte nei due paragrafi precedenti sono di natura fisica e sono valide
per il deflusso di una qualunque corrente, sia essa di fluido, di particelle, di veicoli o di
persone.
Nel deflusso delle correnti di veicoli o di persone, inoltre, il moto della singola unità è
regolato dal comportamento di guida (o di andatura nel caso dei pedoni), che discende
da considerazioni di sicurezza o di comfort, che inducono i conducenti (o i pedoni) a
regolare la propria velocità e la propria traiettoria in funzione della posizione e del
movimento degli altri veicoli (o pedoni).
L’attuazione delle condizioni di sicurezza e di comfort è in genere assistita da un
sistema di regolazione, che agisce con modalità variabili da un modo di trasporto
all’altro e, per lo stesso modo, a seconda dell’elemento viario. Il sistema di regolazione
è costituito da un insieme di regole di circolazione (codice della strada, codice della
navigazione, regolamento di circolazione ferroviaria).
Inoltre, le modalità di deflusso sono in genere differenti per i nodi (intersezioni tra
diversi elementi di via e fermate dei sistemi di trasporto pubblico) e per gli archi
(elementi di via compresi tra un nodo e l’altro).
Nel deflusso sugli archi la condizione di sicurezza consiste essenzialmente nel
mantenere la distanza di sicurezza dal veicolo (o dal pedone) che precede lungo la
traiettoria seguita. Nel deflusso in un nodo, dove correnti diverse condividono l’uso di
un elemento comune della via, la decisione riguarda invece la possibilità di impegnare o
no l’area comune.
Nella circolazione stradale l’attuazione della condizione di sicurezza sugli archi è
interamente demandata al conducente. Questa modalità di marcia è denominata a
densità libera. Esistono però modi di trasporto in cui il distanziamento tra veicoli è
fisso, come per gli impianti a fune, o è controllato da un sistema di segnalamento, come
per le ferrovie. Questi sistemi si chiamano a densità controllata.
Per descrivere il condizionamento veicolare sugli archi stradali sono stati sviluppati
diversi modelli, a partire da considerazioni di tipo teorico, seguendo cioè un approccio
deduttivo, oppure a partire da considerazioni sperimentali, seguendo un approccio di
tipo empirico o induttivo. Il modello elementare del distanziamento, riportato nel
paragrafo 2.1.1, è stato derivato da considerazioni sulla sicurezza di marcia dei singoli
veicoli ed è quindi un esempio di modello deduttivo. I modelli di Greenshields e
Greenberg, riportati nei paragrafi successivi, sono stati ottenuti ipotizzando dei legami
funzionali tra le grandezze macroscopiche del deflusso e calibrandoli poi con dati
osservati ed appartengono quindi ai modelli di natura empirica.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                 7

1.2.1 Modello elementare di distanziamento
Nel caso di veicoli in marcia rettilinea senza possibilità di sorpasso è ovvio pensare che
la condizione di sicurezza sia legata alla distanza di frenatura sf.

                                                                                       (10)

che si suppone composta da un tratto a velocità costante durante il tempo di reazione del
conducente τ e da un tratto uniformemente decelerato con tasso γ.
Se tutti i veicoli viaggiassero in maniera tale da mantenersi a distanza di frenatura dalla
coda del veicolo precedente, il distanziamento medio sarebbe sf+l, essendo l la
lunghezza media del veicolo. Questo risulta in realtà estremamente cautelativo, poiché
si deve considerare che durante la frenatura anche il veicolo precedente percorre uno
spazio, che, se la corrente fosse perfettamente omogenea, sarebbe ancora uguale a sf.
Per sicurezza occorre tenere conto che per una serie di fattori (tempo di reazione,
efficienza dell’impianto frenante, capacità di regolare lo sforzo al pedale del freno,
disomogenee condizioni della pavimentazione stradale o dei pneumatici) lo spazio di
frenatura del veicolo precedente può essere inferiore; allora si può assumere che la
condizione di sicurezza consista nel realizzare un distanziamento pari ad una frazione
dello spazio di frenatura (aumentato della lunghezza media del veicolo per tenere conto
della definizione di distanziamento tra testa e testa dei veicoli):

                                                                                       (11)

La relazione precedente, ottenuta a partire da ipotesi comportamentali sul legame tra
distanziamento e velocità di singoli veicoli, per essere utilizzata nel modello
macroscopico va espressa nelle grandezze fondamentali del deflusso. Considerando che
la densità media della corrente k è pari all’inverso del distanziamento medio tra i veicoli
s, otteniamo la cercata funzione densità-velocità:

                                                                                       (12)

La funzione risulta più facilmente interpretabile in termini di deflusso della corrente
veicolare se viene esplicitata nella velocità, invertendo la (12)

                                            2γ ⎛ 1 ⎞
                            v 2 + 2γτ v −      ⎜ − l⎟ = 0                            (13)
                                            α ⎝ k ⎠

                 €
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                              8

e risolvendo l’equazione di secondo grado (13):

                                                  2    γ ⎛ 1    ⎞
                               v = −γτ +     (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟                                        (14)
                                                       α ⎝ k    ⎠

Si noti come questo modello discenda da considerazioni teoriche così che per essere
operativo richiede che vengano determinati i valori delle grandezze α, γ, τ e l, mediante
                €
osservazioni sperimentali (calibrazione del modello).
La Fig.1-III illustra graficamente questo andamento, in corrispondenza dei seguenti
valori dei parametri3: α=0,30; γ=2,9m/s2; τ=1,5s; l=7m.

          Fig.1-III. Funzione velocità-densità secondo il modello elementare di distanziamento.

La legge v(k) descrive l’andamento della velocità al crescere del numero di veicoli
presenti in un tronco di strada e rappresenta quindi il ben noto fenomeno della
congestione, o, più in generale, del condizionamento veicolare: al crescere della densità
media si riduce la velocità della corrente, il cha vale a dire che una corrente di traffico
denso (con veicoli molto ravvicinati) è meno veloce di una corrente di traffico fluido,
con veicoli molto distanziati tra loro. La (14) non è però accettabile in tutto l’intervallo
delle densità, in quanto:

3
  Circa i valori dei parametri, si può aggiungere che con il solo effetto-motore in piano si ottiene una
decelerazione di circa 1m/s2, mentre una decelerazione relativamente brusca si aggira intorno a 4÷5m/s2.
La lunghezza tra veicoli fermi l deve tenere conto sia della distanza tra veicoli fermi (circa 1m) sia della
eventuale presenza di veicoli più lunghi (nel caso di corrente eterogenea). Il tempo di reazione in base ad
osservazioni sperimentali varia da 0,5 a 2s, a seconda dei soggetti, mentre il coefficiente α, essendo un
parametro esclusivamente di carattere psicologico, è stato calibrato in modo da ottenere una capacità pari
a 0,605veic/s in corrispondenza della velocità critica di 11,5 m/s.
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•    la velocità tende all’infinito quando la densità tende a zero;
•    per densità superiori ad un dato valore, la velocità assume valore negativo.
Occorre allora introdurre delle condizioni aggiuntive, necessarie per rendere accettabile
la rappresentazione del fenomeno fisico (discreto) in termini di grandezze di deflusso
continue:
•    la prima condizione impone l’esistenza di una limitazione della velocità veicolare
     dovuta a fattori diversi dal condizionamento tra veicoli descritto dalla (14), quali il
     raggiungimento della velocità massima del veicolo o il condizionamento del tipo di
     strada (sicurezza allo sbandamento o al ribaltamento): la velocità della corrente non
     deve cioè superare la velocità che il veicolo isolato (quindi libero da
     condizionamenti) tiene su un dato tipo di strada, che è detta appunto velocità libera:
     v≤vl
•    la seconda condizione impone che la velocità della corrente non assuma valori
     negativi e limita perciò la densità entro un valore massimo, generalmente indicato
     nella letteratura tecnica con kJ.4 Si noti come la necessità di introdurre questa
     condizione discenda dalla presenza del termine l, che rappresenta la lunghezza media
     del veicolo, nella (14): infatti, ponendo l=0, la v tende a zero per k che tende
     all’infinito5.
Tenendo conto delle due condizioni precedenti, la funzione del distanziamento si scrive
quindi:
                                                                       −1
                                               ⎡ ⎛ v 2     ⎞ ⎤
                                ;                     l
                                       0 < k ≤ ⎢α ⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥
                                               ⎣ ⎝ 2γ      ⎠ ⎦
                                                                                                                                                        (14’)
                                                                               −1
                                     2   γ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ v l 2        ⎞ ⎤
                      v = −γτ + (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟ ; ⎢α ⎜    + v lτ ⎟ + l ⎥ < k ≤ kJ
                      €                  α ⎝ k ⎠ ⎣ ⎝ 2γ           ⎠ ⎦

Osservazione.
   €              L’equazione di stato
                                    € (4) ed il modello di condizionamento sull’arco
(14’) consentono di descrivere completamente lo stato di deflusso di una corrente di
traffico allo stato stazionario. Infatti, sostituendo la (12) nella (4) è possibile esprimere
il flusso in funzione della velocità:

4 La densità massima corrisponde alla condizione di traffico bloccato, in cui i veicoli sono fermi in coda: l’indice J indica il termine jam, che in inglese sta
appunto per “blocco”.

5 La seconda condizione è quindi semplicemente una conseguenza della rappresentazione di un fenomeno discreto, il traffico veicolare, mediante grandezze
continue, quali la densità.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                      10

                                                 ;
                                                                                               (15)

La relazione q(v) è molto utile per l’analisi operativa di un tronco stradale, poiché
esprime le condizioni di deflusso direttamente mediante la velocità, che descrive le
prestazioni dell’infrastruttura in termini di tempo di spostamento degli utenti, ed il
flusso, che misura l’efficacia dell’infrastruttura in termini di utenti trasportati, ovvero di
domanda di trasporto soddisfatta. Proprio per evidenziare l’andamento delle prestazioni
al variare del flusso di veicoli, la relazione flusso-velocità è in genere rappresentata
riportando la velocità in ordinata. Analiticamente l’inversione della (15) non è
immediata; la curva v=v(q), illustrata in Fig.1-IV, è stata quindi ricavata per via
numerica.

         Fig.1-IV. Funzione velocità-flusso secondo il modello elementare di distanziamento.

A differenza del diagramma v-k, la relazione v-q non è biunivoca: ad uno stesso valore
del flusso possono corrispondere due valori della velocità: infatti, la velocità è prima
decrescente a crescere del flusso (la condizione v≤vl evita peraltro che vada all’infinito
per q che tende a zero), quindi, dopo che il flusso ha raggiunto il suo valore massimo
(condizione che implica un traffico elevato), la velocità comincia a decrescere
congiuntamente al flusso, fino ad arrivare alla condizione di traffico bloccato: velocità
nulla e flusso nullo. E’ chiaro che lo stato di deflusso corrispondente al valore massimo
del flusso acquista un’importanza particolare: da una parte, individua la capacità della
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strada6 (quanti veicoli è in grado di smaltire nell’unità di tempo); dall’altra, individua al
valore della velocità al di sotto del quale il flusso inizia a decrescere (il traffico è cioè
congestionato); questo valore, chiaramente fondamentale per le caratteristiche del
deflusso, è detto velocità critica e sarà indicato nel seguito come vc.
L’analisi delle condizioni di deflusso viene completata con la costruzione del
diagramma flusso-densità q(k), ottenuto sostituendo la (14’) nell’equazione di stato (4):
                                                            −1
                                    ⎡ ⎛ v 2     ⎞ ⎤
                       ;                   l
                            0 < k ≤ ⎢α ⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥
                                    ⎣ ⎝ 2γ      ⎠ ⎦
                                                                                                    (16)
                                                                            −1
                  ⎡              2   γ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ v l 2     ⎞ ⎤
              q = ⎢−γτ +    (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟ ⎥k ; ⎢α⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥ < k ≤ kJ
               € ⎢⎣                 α ⎝ k ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 2γ      ⎠ ⎦

Il diagramma, rappresentato in Fig.1-V,
                                    € evidenzia il seguente andamento del flusso q al
  €
variare della densità k:
•   per densità basse, q cresce linearmente con k, finché è attivo il vincolo imposto dal
    non superamento della velocità libera;
•   q cresce meno che linearmente con k, finché non raggiunge il valore massimo qmax,
    che rappresenta la capacità della strada, in corrispondenza di un valore della densità,
    indicato con kc, che viene detto critico;
•   al crescere di k oltre kc, il flusso decresce fino ad annullarsi in corrispondenza del
    valore di blocco kJ della densità.
Osservazione. Nel piano q-k la velocità di uno stato di deflusso (k, q) è rappresentata
dalla tangente trigonometrica dell’angolo della retta passante per l’origine e per il punto
(k, q). In figura sono riportate la velocità libera vl e la velocità critica vc.

6
  L’uso del termine capacità, caratteristico di variabili statiche piuttosto che dinamiche, deriva dalla
vecchia consuetudine di chiamare volume il flusso veicolare.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                    12

          Fig.1-V. Funzione flusso-densità secondo il modello elementare di distanziamento.

Il diagramma q-k consente anche di interpretare più agevolmente l’inversione
dell’andamento del flusso al variare della densità. Si consideri un tronco stradale a
forma di anello, su cui i veicoli girano per un tempo sufficientemente lungo da
raggiungere la condizione di marcia a velocità e distanziamento costante (stato
stazionario). La densità è naturalmente data dal rapporto tra il numero n di veicoli
presenti sul tronco e la sua lunghezza L. Il flusso, numero di veicoli che transitano in
una generica sezione nell’unità di tempo, a parità di veicoli nel tronco è proporzionale
alla velocità (q=kv). Si immagini ora di accrescere progressivamente n, a partire dallo
stato di deflusso libero (k=0; q=0).
Tenendo presente l’equazione di stato q=kv ed il legame v=v(k), vale a dire q=k·v(k), si
possono fare le seguenti considerazioni:
•   finché la densità è bassa, cioè i veicoli sono molto lontani tra loro e si condizionano
    poco, un aumento del numero k di veicoli presenti sull’arco comporta una riduzione
    nulla o modesta della velocità, e quindi un incremento del flusso pressoché
    proporzionale all’incremento di densità, cioè all’incremento del numero di veicoli
    immessi nell’anello;
•   al crescere di n, cioè della densità, il condizionamento tra i veicoli v(k) comincia ad
    essere rilevante, così che i veicoli viaggiano più lentamente della velocità libera e, di
    conseguenza, il flusso cresce meno che proporzionalmente con la densità;
•   quando la densità oltrepassa un certo valore, detto critico, i veicoli sono così
    ravvicinati ed il condizionamento è così forte, che un ulteriore aumento di n
    comporta una riduzione di velocità che è prevalente rispetto all’incremento di densità
    che l’ha prodotta: ne risulta una riduzione del flusso.
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1.2.2 Modello di Greenshields
Seguendo l’approccio opposto a quello utilizzato per il modello del distanziamento, a
partire dagli anni ’30 sono stati sviluppati numerosi modelli empirici, partendo dalla
interpretazione delle osservazioni sperimentali. Il primo e più semplice di questi
modelli, dovuto a Greenshields (1934) ipotizzava una relazione lineare decrescente tra
velocità e densità.

                                                                                            (17)

essendo vl la velocità libera (la massima velocità mediamente tenuta da un veicolo
isolato nella sezione stradale) e kJ la densità massima (ottenuta per una colonna di
veicoli fermi).
Applicando l’equazione di stato (4), si ottiene che il legame tra flusso e velocità (così
come quello tra flusso e densità), sono di tipo parabolico.

                                                                                            (18)

                                                                                            (19)

Nelle Figg.I-VI e 1-VII sono riportati i punti sperimentali e le relative curve di
regressione ottenute da Greenshields.

           Fig.1-VI. Dati sperimentali e funzione v-k del modello di Greenshields (1935).
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                    14

            Fig.1-VII. Dati sperimentali e funzione v-q del modello di Greenshields (1935).

Questo modello ha senza dubbio il vantaggio della grande semplicità, ma non riproduce
adeguatamente le modalità di deflusso veicolare. Infatti:
•   l’andamento lineare implica che il condizionamento avvenga anche per densità molto
    basse, quando i veicoli sono più lontani della distanza di visibilità;
•   l’andamento parabolico del flusso rispetto alla velocità impone che il flusso massimo
    sia ottenuto in corrispondenza del valore medio della velocità, vale a dire che sia vc=
    vl /2;
•   la stessa condizione vale per l’andamento, sempre parabolico, del flusso rispetto alla
    densità, per cui: kc= kJ /2; si ha quindi che la capacità deve valere:

                                                                                              (20)

    il che, ottenuto in un campo di valori in cui mancano dati rilevai, è in contrasto con
    successive osservazioni sperimentali.

1.2.3 Modello di Greenberg
Un modello molto più soddisfacente sia dal punto di vista teorico sia da quello
sperimentale è stato proposto da Greenberg (1959), che ha ipotizzato per lo stato
stazionario un legame di tipo logaritmico tra velocità e densità:

                                                                                              (21)

La velocità critica è un parametro indipendente e può essere determinata, come la
densità massima, sulla base di osservazioni sperimentali. Il modello può così adattarsi in
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                    15

maniera molto più soddisfacente ai dati osservati. Nelle Figg.I-VIII e 1-IX sono riportati
i punti sperimentali e le relative curve di regressione ottenute da Greenberg.

            Fig.1-VIII. Dati sperimentali e funzione v-k del modello di Greenberg (1959).

             Fig.1-IX. Dati sperimentali e funzione q-k del modello di Greenberg (1959).

Potrebbe essere a prima vista considerato un inconveniente il fatto che, al tendere a zero
della densità, la velocità tende all’infinito. In realtà, va tenuto presente che la relazione
velocità-densità rappresenta il condizionamento tra veicoli e, pertanto, non è attiva per
distanziamenti superiori alla distanza di sicurezza alla velocità libera. La (21) va quindi
completata con la specificazione dell’intervallo di definizione:

                              ⎧v , 0 ≤ k < k (v )
                              ⎪ l                      l
                          v = ⎨       ⎛ kJ ⎞                                             (21’)
                              ⎪v c log⎜⎝ k ⎟⎠, k (v l ) ≤ k < k J
                              ⎩
La (17’) può essere facilmente invertita per esprimere k in funzione di v:

              €
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                  16

                              k = kJ e −v / v c   0 ≤ v < vl                             (21”)
Applicando poi l’equazione di stato (4) alla (21’) e alla (21”), si derivano anche in
questo caso le relazioni tra flusso e velocità e tra flusso e velocità.
                   €
                             ⎧ kv , 0 ≤ k < k (v )
                             ⎪ l                        l
                         q = ⎨         ⎛ kJ ⎞                                  (22)
                             ⎪v c k log⎜⎝ k ⎟⎠, k (v l ) ≤ k < k J
                             ⎩

                             q = kJ ve −v / v c   0 ≤ v < vl                              (24)
              € del modello di Greenberg, si riportano di seguito, a titolo
Dato l’interesse
esemplificativo, i tre diagrammi v-k, v-q, q-k, ottenuti assumendo i seguenti valori dei
                  € kJ=0,143veic/m.
parametri: vc=12m/s;

            Fig.1-X. Funzione velocità-densità secondo il modello di Greenberg (1959).
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                 17

            Fig.1-XI. Funzione velocità-flusso secondo il modello di Greenberg (1959).

            Fig.1-XII. Funzione flusso-densità secondo il modello di Greenberg (1959).

1.2.4 Confronto tra diversi modelli
La figura seguente mostra un confronto delle curve di deflusso flusso-densità ottenute
applicando i tre modelli descritti in precedenza. Si può osservare come il modello
teorico del distanziamento, avendo 4 parametri, possa essere facilmente adattato ad
approssimare il modello di Greenberg. Si noti anche come il modello di Greenshields
fornisca un valore di capacità leggermente maggiore degli altri due modelli, anche per
valori molto bassi della velocità libera (vl=18 m/s, pari a circa 65 km/h), pur adottando
lo stesso valore della densità massima utilizzato per gli altri modelli: kJ=0,143veic/m.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE                           18

                     0,8

                     0,7

                     0,6

                     0,5
        q (veic/s)

                     0,4

                     0,3

                     0,2

                     0,1

                      0
                            0       0,02     0,04       0,06     0,08        0,1       0,12         0,14   0,16
                                                               k (veic/m)

                                               Greenshields      Greenberg         Distanziamento

                           Fig.1-XIII. Confronto tra diversi modelli di condizionamento sugli archi.

Oltre ai modelli descritti in questo paragrafo, nel corso degli anni vari studiosi hanno
proposto vari altri modelli di condizionamento, ipotizzando altre forme funzionali del
legame v-k: esponenziale negativa (Underwood, 1961), (Edie, 1961), discontinuo o “bi-
regime” (Drake, 1961), generalizzazione polinomiale del modello di Greenshields
(Sanwal et al., 1996), fino a forme funzionali più complesse nel piano tridimensionale
v-k-q (Persaud e Hall, 1983), fondate sulla teoria delle catastrofi.
Recentemente, le radicali critiche alla progressiva complicazione dei modelli di deflusso
hanno indotto Daganzo e Muñoz (2000) ad utilizzare per il legame flusso-densità una
semplice forma funzionale di forma triangolare.
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