MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE - 1.1 Leggi generali di deflusso
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CAPITOLO 1 MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 1.1 Leggi generali di deflusso La realizzazione del trasporto implica per sua stessa natura lo spostamento di persone o cose. A seconda dei sistemi tecnologici utilizzati, lo spostamento può avvenire utilizzando veicoli (esclusi cioè il modo pedonale, anche meccanizzato, negli spostamenti di persone ed il modo di trasporto per condotta nel caso delle merci) o infrastrutture di trasporto lineari o puntuali (ad esempio, i trasporti navali ed aerei non utilizzano infrastrutture lineari). Il moto del singolo veicolo dipende dalle caratteristiche meccaniche e dalle sue interazioni con la via e con l’ambiente esterno. Lo studio delle leggi che descrivono il moto del veicolo isolato sono oggetto della meccanica della locomozione. Durante la marcia sulla via, i veicoli si condizionano reciprocamente. Le modalità di circolazione di una corrente di veicoli dipendono da leggi fisiche e comportamentali che ne determinano le caratteristiche qualitative e quantitative: i tempi di percorrenza, i costi operativi, il livello di servizio, il livello di sicurezza, gli impatti sull’ambiente esterno. La disciplina che le studia si chiama teoria del deflusso. In questo paragrafo vengono esposte le leggi di natura fisica comuni alla circolazione di diversi modi di trasporto, rinviando ai paragrafi successivi gli approfondimenti specifici dei singoli modi. Senza scapito di generalità, si farà riferimento al movimento di veicoli che seguono una traiettoria prefissata1. Nella teoria elementare del deflusso, che viene sinteticamente riportata in questo testo, la circolazione dei veicoli lungo la via viene assimilata alla corrente di un fluido: si prescinde quindi dalla rappresentazione della legge oraria di ogni singola unità (veicolo o pedone) della corrente, ma la si descrive a livello macroscopico mediante le grandezze caratteristiche che vengono utilizzate anche nella meccanica dei fluidi: • flusso (indicata generalmente con il simbolo q): quantità (cioè numero di veicoli o persone) transitata nell’unità di tempo attraverso una data sezione2; • velocità (indicata generalmente con il simbolo v): velocità media della corrente in un 1 E’ peraltro possibile, come sarà esposto in seguito, assimilare una corrente di veicoli ad una corrente di fluido. Le stesse considerazioni valgono quindi per gli spostamenti pedoni, assimilando il loro moto ad una corrente di fluido. 2 In alcuni testi, compreso lo “Highway Capacity Manual (2000)”, invece che di flusso si parla di volume di traffico.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 2 dato istante (cioè velocità media dei veicoli presenti in un dato istante nell’unità di spazio); • densità (indicata generalmente con il simbolo k): quantità (cioè numero di veicoli o persone) presenti in un dato intervallo di tempo nell’unità di spazio. Nel caso generale, la corrente si muove con moto vario: il valore delle grandezze caratteristiche del deflusso varia quindi nel tempo e nello spazio. In condizioni di marcia a regime, si può assumere che le velocità dei veicoli (o delle persone) di una corrente omogenea (cioè di veicoli dello stesso tipo) varino in misura irrilevante ai fini dello studio della corrente. Questo stato di deflusso è denominato stato stazionario ed è contraddistinto da valori delle grandezze caratteristiche costanti nel tempo e nello spazio. 1.1.1 Equazione di continuità Una corrente di veicoli (o di persone) in movimento deve rispettare la condizione fisica di conservazione della massa, ovvero del numero di veicoli (o persone) transitanti attraverso un elemento finito di spazio. Facendo riferimento ad un elemento di una infrastruttura lineare, ad esempio un tronco stradale o ferroviario oppure un tratto di una scala mobile, questa condizione impone che la variazione del numero di veicoli presenti nel tronco in un dato intervallo temporale sia eguale alla differenza tra il numero di veicoli entrati ed il numero di veicoli usciti nello stesso intervallo di tempo. La figura 1- I fornisce una rappresentazione grafica della condizione di continuità. Fig.1-I. Rappresentazione grafica dell’equazione di continuità.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 3 In termini formali, facendo riferimento ad un tronco viario di lunghezza Δx>0 con origine in una generica ascissa x e ad un generico intervallo temporale Δt>0, senza entrate o uscite intermedie, possiamo scrivere l’equazione di continuità utilizzando le grandezze caratteristiche del deflusso: k ( x,t + Δt ) Δx − k ( x,t ) Δx = q( x,t ) Δt − q( x + Δx,t ) Δt (1) Portando gli incrementi delle ascisse Δx e Δt a denominatore e cambiando segno al secondo membro, otteniamo i rapporti incrementali delle funzioni k(x,t) e q(x,t): € k ( x,t + Δt ) − k ( x,t ) q( x + Δx,t ) − q( x,t ) =− (2) Δt Δx Passando al limite per Δx→0 e Δt→0, si ottiene la classica espressione dell’equazione di continuità, esistente anche nei fluidi: € ∂k ( x,t ) ∂q( x,t ) + =0 (3) ∂t ∂x 1.1.2 Equazione di stato € Allo stato stazionario le tre grandezze caratteristiche del deflusso non sono tra loro indipendenti, ma sono legate da una relazione, detta equazione di stato, che consente di esprimere una in funzione delle altre due: (4) L’equazione di stato si presta ad una semplice dimostrazione grafica. Si consideri un tronco di un’infrastruttura di trasporto di lunghezza Δx, percorso da veicoli che viaggiano a velocità approssimativamente costante, non necessariamente uguale per tutti i veicoli, per tutto l’intervallo di osservazione Δt. I veicoli che viaggiano a velocità diversa, comunque, non interagiscono tra loro. Questa condizione corrisponde alla marcia di autoveicoli di categorie diverse (veloci e lenti) su un’autostrada a più corsie, oppure ad un tappeto mobile su cui una frazione degli utenti cammina ed un’altra rimane ferma. Nella Fig.1-II è illustrato il caso di due classi veicolari, indicate con gli indici 1 e 2.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 4 Fig.1-II. Rappresentazione grafica dell’equazione di stato. E’ immediato verificare dalla geometria della figura, o da elementari considerazioni di fisica, che il distanziamento spaziale s tra due veicoli della stessa classe è dato dal prodotto del distanziamento temporale h per la velocità v, cioè: sl=vlhl. Si osservi ora che il flusso q di veicoli attraverso una data e qualunque sezione dell’infrastruttura è pari all’inverso del distanziamento medio in tempo, h. Infatti, indicando con n il numero di veicoli transitati nell’intervallo Δt, si ha, purché Δt sia abbastanza grande rispetto ad h: (5) In maniera analoga si può procedere per la densità, che risulta pari all’inverso del distanziamento medio spaziale, s: (6) Sostituendo il flusso e la densità rispettivamente al distanziamento temporale e a quello spaziale, si ottiene, per una generica classe l: (7)
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 5 Sommando ora i veicoli delle m diverse classi, il flusso totale e la densità totale sono: (8) Sostituendo la (7) nella prima espressione della (8) e, dividendo numeratore e denominatore per la densità totale k, si ha finalmente: m m v l kl q = ∑ v l kl = k ∑ = kv s (9) l =1 l =1 k Si noti che il termine frazionario sotto sommatoria esprime la velocità media della corrente, calcolata, seconda la definizione fornita al paragrafo precedente, come il valore medio delle € velocità dei veicoli presenti in un dato istante su un tronco di infrastruttura. Il pedice s evidenzia che la media è stata calcolata nello spazio: infatti, questa non è l’unica definizione possibile della velocità media. E’ possibile definire una velocità media nel tempo, definita come la media delle velocità dei veicoli transitati in un dato intervallo di tempo attraverso una data sezione dell’infrastruttura. E’ utile precisare che le due medie forniscono generalmente valori diversi. In particolare, la media nel tempo dà in genere valori maggiori della media nello spazio. Il motivo può essere facilmente compreso se si pensa al caso limite di un tronco di 1 km con una colonna di 99 veicoli fermi e di un unico veicolo che, nell’intervallo di osservazione di 1 ora, viaggia, sulla corsia di sorpasso, alla velocità di 100km/h. La velocità media nello spazio è calcolata su tutti i veicoli presenti nel tronco ed è quindi di 1 km/h; la velocità media nel tempo è calcolata sull’unico veicolo che transita nella sezione iniziale del tronco (gli altri sono fermi e non vengono contati da un osservatore posto in corrispondenza della sezione) ed è quindi di 100 km/h.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 6 1.2 Leggi di condizionamento sugli archi Le equazioni introdotte nei due paragrafi precedenti sono di natura fisica e sono valide per il deflusso di una qualunque corrente, sia essa di fluido, di particelle, di veicoli o di persone. Nel deflusso delle correnti di veicoli o di persone, inoltre, il moto della singola unità è regolato dal comportamento di guida (o di andatura nel caso dei pedoni), che discende da considerazioni di sicurezza o di comfort, che inducono i conducenti (o i pedoni) a regolare la propria velocità e la propria traiettoria in funzione della posizione e del movimento degli altri veicoli (o pedoni). L’attuazione delle condizioni di sicurezza e di comfort è in genere assistita da un sistema di regolazione, che agisce con modalità variabili da un modo di trasporto all’altro e, per lo stesso modo, a seconda dell’elemento viario. Il sistema di regolazione è costituito da un insieme di regole di circolazione (codice della strada, codice della navigazione, regolamento di circolazione ferroviaria). Inoltre, le modalità di deflusso sono in genere differenti per i nodi (intersezioni tra diversi elementi di via e fermate dei sistemi di trasporto pubblico) e per gli archi (elementi di via compresi tra un nodo e l’altro). Nel deflusso sugli archi la condizione di sicurezza consiste essenzialmente nel mantenere la distanza di sicurezza dal veicolo (o dal pedone) che precede lungo la traiettoria seguita. Nel deflusso in un nodo, dove correnti diverse condividono l’uso di un elemento comune della via, la decisione riguarda invece la possibilità di impegnare o no l’area comune. Nella circolazione stradale l’attuazione della condizione di sicurezza sugli archi è interamente demandata al conducente. Questa modalità di marcia è denominata a densità libera. Esistono però modi di trasporto in cui il distanziamento tra veicoli è fisso, come per gli impianti a fune, o è controllato da un sistema di segnalamento, come per le ferrovie. Questi sistemi si chiamano a densità controllata. Per descrivere il condizionamento veicolare sugli archi stradali sono stati sviluppati diversi modelli, a partire da considerazioni di tipo teorico, seguendo cioè un approccio deduttivo, oppure a partire da considerazioni sperimentali, seguendo un approccio di tipo empirico o induttivo. Il modello elementare del distanziamento, riportato nel paragrafo 2.1.1, è stato derivato da considerazioni sulla sicurezza di marcia dei singoli veicoli ed è quindi un esempio di modello deduttivo. I modelli di Greenshields e Greenberg, riportati nei paragrafi successivi, sono stati ottenuti ipotizzando dei legami funzionali tra le grandezze macroscopiche del deflusso e calibrandoli poi con dati osservati ed appartengono quindi ai modelli di natura empirica.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 7 1.2.1 Modello elementare di distanziamento Nel caso di veicoli in marcia rettilinea senza possibilità di sorpasso è ovvio pensare che la condizione di sicurezza sia legata alla distanza di frenatura sf. (10) che si suppone composta da un tratto a velocità costante durante il tempo di reazione del conducente τ e da un tratto uniformemente decelerato con tasso γ. Se tutti i veicoli viaggiassero in maniera tale da mantenersi a distanza di frenatura dalla coda del veicolo precedente, il distanziamento medio sarebbe sf+l, essendo l la lunghezza media del veicolo. Questo risulta in realtà estremamente cautelativo, poiché si deve considerare che durante la frenatura anche il veicolo precedente percorre uno spazio, che, se la corrente fosse perfettamente omogenea, sarebbe ancora uguale a sf. Per sicurezza occorre tenere conto che per una serie di fattori (tempo di reazione, efficienza dell’impianto frenante, capacità di regolare lo sforzo al pedale del freno, disomogenee condizioni della pavimentazione stradale o dei pneumatici) lo spazio di frenatura del veicolo precedente può essere inferiore; allora si può assumere che la condizione di sicurezza consista nel realizzare un distanziamento pari ad una frazione dello spazio di frenatura (aumentato della lunghezza media del veicolo per tenere conto della definizione di distanziamento tra testa e testa dei veicoli): (11) La relazione precedente, ottenuta a partire da ipotesi comportamentali sul legame tra distanziamento e velocità di singoli veicoli, per essere utilizzata nel modello macroscopico va espressa nelle grandezze fondamentali del deflusso. Considerando che la densità media della corrente k è pari all’inverso del distanziamento medio tra i veicoli s, otteniamo la cercata funzione densità-velocità: (12) La funzione risulta più facilmente interpretabile in termini di deflusso della corrente veicolare se viene esplicitata nella velocità, invertendo la (12) 2γ ⎛ 1 ⎞ v 2 + 2γτ v − ⎜ − l⎟ = 0 (13) α ⎝ k ⎠ €
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 8 e risolvendo l’equazione di secondo grado (13): 2 γ ⎛ 1 ⎞ v = −γτ + (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟ (14) α ⎝ k ⎠ Si noti come questo modello discenda da considerazioni teoriche così che per essere operativo richiede che vengano determinati i valori delle grandezze α, γ, τ e l, mediante € osservazioni sperimentali (calibrazione del modello). La Fig.1-III illustra graficamente questo andamento, in corrispondenza dei seguenti valori dei parametri3: α=0,30; γ=2,9m/s2; τ=1,5s; l=7m. Fig.1-III. Funzione velocità-densità secondo il modello elementare di distanziamento. La legge v(k) descrive l’andamento della velocità al crescere del numero di veicoli presenti in un tronco di strada e rappresenta quindi il ben noto fenomeno della congestione, o, più in generale, del condizionamento veicolare: al crescere della densità media si riduce la velocità della corrente, il cha vale a dire che una corrente di traffico denso (con veicoli molto ravvicinati) è meno veloce di una corrente di traffico fluido, con veicoli molto distanziati tra loro. La (14) non è però accettabile in tutto l’intervallo delle densità, in quanto: 3 Circa i valori dei parametri, si può aggiungere che con il solo effetto-motore in piano si ottiene una decelerazione di circa 1m/s2, mentre una decelerazione relativamente brusca si aggira intorno a 4÷5m/s2. La lunghezza tra veicoli fermi l deve tenere conto sia della distanza tra veicoli fermi (circa 1m) sia della eventuale presenza di veicoli più lunghi (nel caso di corrente eterogenea). Il tempo di reazione in base ad osservazioni sperimentali varia da 0,5 a 2s, a seconda dei soggetti, mentre il coefficiente α, essendo un parametro esclusivamente di carattere psicologico, è stato calibrato in modo da ottenere una capacità pari a 0,605veic/s in corrispondenza della velocità critica di 11,5 m/s.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 9 • la velocità tende all’infinito quando la densità tende a zero; • per densità superiori ad un dato valore, la velocità assume valore negativo. Occorre allora introdurre delle condizioni aggiuntive, necessarie per rendere accettabile la rappresentazione del fenomeno fisico (discreto) in termini di grandezze di deflusso continue: • la prima condizione impone l’esistenza di una limitazione della velocità veicolare dovuta a fattori diversi dal condizionamento tra veicoli descritto dalla (14), quali il raggiungimento della velocità massima del veicolo o il condizionamento del tipo di strada (sicurezza allo sbandamento o al ribaltamento): la velocità della corrente non deve cioè superare la velocità che il veicolo isolato (quindi libero da condizionamenti) tiene su un dato tipo di strada, che è detta appunto velocità libera: v≤vl • la seconda condizione impone che la velocità della corrente non assuma valori negativi e limita perciò la densità entro un valore massimo, generalmente indicato nella letteratura tecnica con kJ.4 Si noti come la necessità di introdurre questa condizione discenda dalla presenza del termine l, che rappresenta la lunghezza media del veicolo, nella (14): infatti, ponendo l=0, la v tende a zero per k che tende all’infinito5. Tenendo conto delle due condizioni precedenti, la funzione del distanziamento si scrive quindi: −1 ⎡ ⎛ v 2 ⎞ ⎤ ; l 0 < k ≤ ⎢α ⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥ ⎣ ⎝ 2γ ⎠ ⎦ (14’) −1 2 γ ⎛ 1 ⎞ ⎡ ⎛ v l 2 ⎞ ⎤ v = −γτ + (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟ ; ⎢α ⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥ < k ≤ kJ € α ⎝ k ⎠ ⎣ ⎝ 2γ ⎠ ⎦ Osservazione. € L’equazione di stato € (4) ed il modello di condizionamento sull’arco (14’) consentono di descrivere completamente lo stato di deflusso di una corrente di traffico allo stato stazionario. Infatti, sostituendo la (12) nella (4) è possibile esprimere il flusso in funzione della velocità: 4 La densità massima corrisponde alla condizione di traffico bloccato, in cui i veicoli sono fermi in coda: l’indice J indica il termine jam, che in inglese sta appunto per “blocco”. 5 La seconda condizione è quindi semplicemente una conseguenza della rappresentazione di un fenomeno discreto, il traffico veicolare, mediante grandezze continue, quali la densità.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 10 ; (15) La relazione q(v) è molto utile per l’analisi operativa di un tronco stradale, poiché esprime le condizioni di deflusso direttamente mediante la velocità, che descrive le prestazioni dell’infrastruttura in termini di tempo di spostamento degli utenti, ed il flusso, che misura l’efficacia dell’infrastruttura in termini di utenti trasportati, ovvero di domanda di trasporto soddisfatta. Proprio per evidenziare l’andamento delle prestazioni al variare del flusso di veicoli, la relazione flusso-velocità è in genere rappresentata riportando la velocità in ordinata. Analiticamente l’inversione della (15) non è immediata; la curva v=v(q), illustrata in Fig.1-IV, è stata quindi ricavata per via numerica. Fig.1-IV. Funzione velocità-flusso secondo il modello elementare di distanziamento. A differenza del diagramma v-k, la relazione v-q non è biunivoca: ad uno stesso valore del flusso possono corrispondere due valori della velocità: infatti, la velocità è prima decrescente a crescere del flusso (la condizione v≤vl evita peraltro che vada all’infinito per q che tende a zero), quindi, dopo che il flusso ha raggiunto il suo valore massimo (condizione che implica un traffico elevato), la velocità comincia a decrescere congiuntamente al flusso, fino ad arrivare alla condizione di traffico bloccato: velocità nulla e flusso nullo. E’ chiaro che lo stato di deflusso corrispondente al valore massimo del flusso acquista un’importanza particolare: da una parte, individua la capacità della
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 11 strada6 (quanti veicoli è in grado di smaltire nell’unità di tempo); dall’altra, individua al valore della velocità al di sotto del quale il flusso inizia a decrescere (il traffico è cioè congestionato); questo valore, chiaramente fondamentale per le caratteristiche del deflusso, è detto velocità critica e sarà indicato nel seguito come vc. L’analisi delle condizioni di deflusso viene completata con la costruzione del diagramma flusso-densità q(k), ottenuto sostituendo la (14’) nell’equazione di stato (4): −1 ⎡ ⎛ v 2 ⎞ ⎤ ; l 0 < k ≤ ⎢α ⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥ ⎣ ⎝ 2γ ⎠ ⎦ (16) −1 ⎡ 2 γ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ v l 2 ⎞ ⎤ q = ⎢−γτ + (γτ ) + 2 ⎜ − l⎟ ⎥k ; ⎢α⎜ + v lτ ⎟ + l ⎥ < k ≤ kJ € ⎢⎣ α ⎝ k ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎝ 2γ ⎠ ⎦ Il diagramma, rappresentato in Fig.1-V, € evidenzia il seguente andamento del flusso q al € variare della densità k: • per densità basse, q cresce linearmente con k, finché è attivo il vincolo imposto dal non superamento della velocità libera; • q cresce meno che linearmente con k, finché non raggiunge il valore massimo qmax, che rappresenta la capacità della strada, in corrispondenza di un valore della densità, indicato con kc, che viene detto critico; • al crescere di k oltre kc, il flusso decresce fino ad annullarsi in corrispondenza del valore di blocco kJ della densità. Osservazione. Nel piano q-k la velocità di uno stato di deflusso (k, q) è rappresentata dalla tangente trigonometrica dell’angolo della retta passante per l’origine e per il punto (k, q). In figura sono riportate la velocità libera vl e la velocità critica vc. 6 L’uso del termine capacità, caratteristico di variabili statiche piuttosto che dinamiche, deriva dalla vecchia consuetudine di chiamare volume il flusso veicolare.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 12 Fig.1-V. Funzione flusso-densità secondo il modello elementare di distanziamento. Il diagramma q-k consente anche di interpretare più agevolmente l’inversione dell’andamento del flusso al variare della densità. Si consideri un tronco stradale a forma di anello, su cui i veicoli girano per un tempo sufficientemente lungo da raggiungere la condizione di marcia a velocità e distanziamento costante (stato stazionario). La densità è naturalmente data dal rapporto tra il numero n di veicoli presenti sul tronco e la sua lunghezza L. Il flusso, numero di veicoli che transitano in una generica sezione nell’unità di tempo, a parità di veicoli nel tronco è proporzionale alla velocità (q=kv). Si immagini ora di accrescere progressivamente n, a partire dallo stato di deflusso libero (k=0; q=0). Tenendo presente l’equazione di stato q=kv ed il legame v=v(k), vale a dire q=k·v(k), si possono fare le seguenti considerazioni: • finché la densità è bassa, cioè i veicoli sono molto lontani tra loro e si condizionano poco, un aumento del numero k di veicoli presenti sull’arco comporta una riduzione nulla o modesta della velocità, e quindi un incremento del flusso pressoché proporzionale all’incremento di densità, cioè all’incremento del numero di veicoli immessi nell’anello; • al crescere di n, cioè della densità, il condizionamento tra i veicoli v(k) comincia ad essere rilevante, così che i veicoli viaggiano più lentamente della velocità libera e, di conseguenza, il flusso cresce meno che proporzionalmente con la densità; • quando la densità oltrepassa un certo valore, detto critico, i veicoli sono così ravvicinati ed il condizionamento è così forte, che un ulteriore aumento di n comporta una riduzione di velocità che è prevalente rispetto all’incremento di densità che l’ha prodotta: ne risulta una riduzione del flusso.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 13 1.2.2 Modello di Greenshields Seguendo l’approccio opposto a quello utilizzato per il modello del distanziamento, a partire dagli anni ’30 sono stati sviluppati numerosi modelli empirici, partendo dalla interpretazione delle osservazioni sperimentali. Il primo e più semplice di questi modelli, dovuto a Greenshields (1934) ipotizzava una relazione lineare decrescente tra velocità e densità. (17) essendo vl la velocità libera (la massima velocità mediamente tenuta da un veicolo isolato nella sezione stradale) e kJ la densità massima (ottenuta per una colonna di veicoli fermi). Applicando l’equazione di stato (4), si ottiene che il legame tra flusso e velocità (così come quello tra flusso e densità), sono di tipo parabolico. (18) (19) Nelle Figg.I-VI e 1-VII sono riportati i punti sperimentali e le relative curve di regressione ottenute da Greenshields. Fig.1-VI. Dati sperimentali e funzione v-k del modello di Greenshields (1935).
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 14 Fig.1-VII. Dati sperimentali e funzione v-q del modello di Greenshields (1935). Questo modello ha senza dubbio il vantaggio della grande semplicità, ma non riproduce adeguatamente le modalità di deflusso veicolare. Infatti: • l’andamento lineare implica che il condizionamento avvenga anche per densità molto basse, quando i veicoli sono più lontani della distanza di visibilità; • l’andamento parabolico del flusso rispetto alla velocità impone che il flusso massimo sia ottenuto in corrispondenza del valore medio della velocità, vale a dire che sia vc= vl /2; • la stessa condizione vale per l’andamento, sempre parabolico, del flusso rispetto alla densità, per cui: kc= kJ /2; si ha quindi che la capacità deve valere: (20) il che, ottenuto in un campo di valori in cui mancano dati rilevai, è in contrasto con successive osservazioni sperimentali. 1.2.3 Modello di Greenberg Un modello molto più soddisfacente sia dal punto di vista teorico sia da quello sperimentale è stato proposto da Greenberg (1959), che ha ipotizzato per lo stato stazionario un legame di tipo logaritmico tra velocità e densità: (21) La velocità critica è un parametro indipendente e può essere determinata, come la densità massima, sulla base di osservazioni sperimentali. Il modello può così adattarsi in
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 15 maniera molto più soddisfacente ai dati osservati. Nelle Figg.I-VIII e 1-IX sono riportati i punti sperimentali e le relative curve di regressione ottenute da Greenberg. Fig.1-VIII. Dati sperimentali e funzione v-k del modello di Greenberg (1959). Fig.1-IX. Dati sperimentali e funzione q-k del modello di Greenberg (1959). Potrebbe essere a prima vista considerato un inconveniente il fatto che, al tendere a zero della densità, la velocità tende all’infinito. In realtà, va tenuto presente che la relazione velocità-densità rappresenta il condizionamento tra veicoli e, pertanto, non è attiva per distanziamenti superiori alla distanza di sicurezza alla velocità libera. La (21) va quindi completata con la specificazione dell’intervallo di definizione: ⎧v , 0 ≤ k < k (v ) ⎪ l l v = ⎨ ⎛ kJ ⎞ (21’) ⎪v c log⎜⎝ k ⎟⎠, k (v l ) ≤ k < k J ⎩ La (17’) può essere facilmente invertita per esprimere k in funzione di v: €
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 16 k = kJ e −v / v c 0 ≤ v < vl (21”) Applicando poi l’equazione di stato (4) alla (21’) e alla (21”), si derivano anche in questo caso le relazioni tra flusso e velocità e tra flusso e velocità. € ⎧ kv , 0 ≤ k < k (v ) ⎪ l l q = ⎨ ⎛ kJ ⎞ (22) ⎪v c k log⎜⎝ k ⎟⎠, k (v l ) ≤ k < k J ⎩ q = kJ ve −v / v c 0 ≤ v < vl (24) € del modello di Greenberg, si riportano di seguito, a titolo Dato l’interesse esemplificativo, i tre diagrammi v-k, v-q, q-k, ottenuti assumendo i seguenti valori dei € kJ=0,143veic/m. parametri: vc=12m/s; Fig.1-X. Funzione velocità-densità secondo il modello di Greenberg (1959).
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 17 Fig.1-XI. Funzione velocità-flusso secondo il modello di Greenberg (1959). Fig.1-XII. Funzione flusso-densità secondo il modello di Greenberg (1959). 1.2.4 Confronto tra diversi modelli La figura seguente mostra un confronto delle curve di deflusso flusso-densità ottenute applicando i tre modelli descritti in precedenza. Si può osservare come il modello teorico del distanziamento, avendo 4 parametri, possa essere facilmente adattato ad approssimare il modello di Greenberg. Si noti anche come il modello di Greenshields fornisca un valore di capacità leggermente maggiore degli altri due modelli, anche per valori molto bassi della velocità libera (vl=18 m/s, pari a circa 65 km/h), pur adottando lo stesso valore della densità massima utilizzato per gli altri modelli: kJ=0,143veic/m.
CAPITOLO 1 – MODELLI MACROSCOPICI DEL TRAFFICO STRADALE 18 0,8 0,7 0,6 0,5 q (veic/s) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 k (veic/m) Greenshields Greenberg Distanziamento Fig.1-XIII. Confronto tra diversi modelli di condizionamento sugli archi. Oltre ai modelli descritti in questo paragrafo, nel corso degli anni vari studiosi hanno proposto vari altri modelli di condizionamento, ipotizzando altre forme funzionali del legame v-k: esponenziale negativa (Underwood, 1961), (Edie, 1961), discontinuo o “bi- regime” (Drake, 1961), generalizzazione polinomiale del modello di Greenshields (Sanwal et al., 1996), fino a forme funzionali più complesse nel piano tridimensionale v-k-q (Persaud e Hall, 1983), fondate sulla teoria delle catastrofi. Recentemente, le radicali critiche alla progressiva complicazione dei modelli di deflusso hanno indotto Daganzo e Muñoz (2000) ad utilizzare per il legame flusso-densità una semplice forma funzionale di forma triangolare.
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