Caos Il caos a scuola: costruire un circuito, simulare e fare musica attraverso il

SCUOLA MEDIA STATALE
                       VIBO MARINA
        DIRIGENTE SCOLASTICO DOTT. SSA MARIA SALVIA

Il caos a scuola: costruire un circuito,
 simulare e fare musica attraverso il
                        caos

          Progetto PON C/4, promuovere l’ eccellenza
            A cura dell’esperta ing. Eugenia Bossio
                Tutor prof.ssa Marina Babusci

Obiettivi del progetto
- Avvicinare i giovani al mondo del sapere scientifico
- Guidare i giovanissimi alla comprensione di argomenti scientifici di
  solito patrimonio di specialisti
- Stimolare l'interesse e la curiosità degli studenti.
 - Indurre e consolidare nei giovani studenti l'idea che la scienza non
   è noiosa e difficile, ma che può essere compresa e apprezzata
   anche tramite i suoi aspetti ludici e creativi.

                           Le metodologie educative
 Di tipo “hands-on”: I ragazzi, pur non avendo le necessarie conoscenze
 fisico matematiche, hanno avuto la possibilità di interagire con gli oggetti
 caratteristici del caos, scoprendone il fascino e la bellezza, e
 sperimentare la costruzione di un circuito elettronico dinamico non lineare
 dotato di comportamento caotico. Sono stati presentati i legami tra
 scienza e arte utilizzando immagini, suoni e musiche generate da
 fenomeni caotici, frutto delle ricerche di Professori e giovani Ricercatori
 dell’ Università della Calabria.

I passi metodologici

a) Fornire un contesto di riferimento su cos'è il caos, i sistemi
   caotici e gli attrattori, con l'ausilio della comunicazione
   multimediale (lezioni su Microsoft PowerPoint, video, e altri
   metodi documentali)

b) Condurre una sperimentazione con i ragazzi per la costruzione del
   circuito di Chua (laboratorio).

c) Far simulare agli studenti gli attrattori permettendo loro di
   esplorare le forme tridimensionali che il circuito di Chua produce
   e spiegare che cosa è il caos.

d) Mostrare agli studenti l'utilizzo di alcuni software già sviluppati
   in ricerche universitarie per produrre musiche e suoni dal caos.

Le  immagini e i suoni presentati ai ragazzi, prodotti a partire
  dall’oscillatore di Chua, sono frutto della ricerca che da anni viene
  svolta dall’ ESG (Evolutionary System Group) Gruppo di ricerca
  interdisciplinare dell’Università degli Studi della Calabria.
Quale migliore modo per contestualizzare la teoria del caos e catturare
  l’attenzione dei giovanissimi studenti che visualizzare le immagini
  spettacolari create dal modello matematico dell’ oscillatore di Chua,
  vedere, quindi, le forme strane che può produrre un sistema dinamico
  non lineare a comportamento caotico?

Gli attrattori
sono fenomeni
  della fisica,
    ma anche
    soggetti
   artistici in
    quadri di
  riconosciuto
     valore
   scientifico
internazionale.

Ancora, immagini di attrattori magistralmente interpretate in chiave
artistica, affascinante frutto di un fenomeno fisico, il caos, ancora oggi
oggetto di indagini e ricerche scientifiche avanzate. Al video
multimediale, che ha illustrato tali immagini, fa da sottofondo un brano di
musica generativa, realizzata impiegando l’oscillatore di Chua.

I concetti fondamentali

Cosa studia la fisica.
                         Cos'è il caos.
                                          Strade verso il caos.

  I concetti base della fisica, fondamentali per approcciare i
                      problemi scientifici

          Misura
                     Grandezza fisica
                                                Incertezza

Cosa studia la fisica
  Partendo dal principio che
  la Fisica si occupa in
  generale dello studio delle
  leggi    che    regolano    i
  fenomeni naturali, sono
  stati illustrati attraverso
  immagini animate alcuni
  esperimenti galileani.
                      I fenomeni naturali sono in
                        generale più complessi di
                       quanto a prima vista possa
                           sembrare e il tutto        Un ulteriore passo verso
                        non è sempre la semplice    l’astrazione dell’argomento
                       somma delle singole parti.      trattato lo si è fatto
                                                     introducendo, attraverso
                                                       esempi, i concetti di:
Attraverso esempi sono stati                          modello fisico e modello
presentati i concetti base,cui                        matematico senza i quali
successivamente sono seguite                           non sarebbe possibile
una serie di domande da parte                           studiare i fenomeni
dei ragazzi.                                                  naturali.

Cos’è il caos
Nella tradizione: all'interno della scienza classica, il caos è sempre
stato assimilato al disordine e quindi considerato come assenza di
ordine.
 Qualche tempo fa: A partire dagli anni '60 ha cominciato a prendere
forma la teoria del caos con l'obiettivo di spiegare quegli aspetti irregolari
e incostanti, tradizionalmente ignorati dalla scienza classica, che si
manifestano in fenomeni naturali anche molto diversi fra loro.
Oggi: Attualmente, il caos non è più considerato come il regno del
disordine nel quale non è possibile realizzare alcuna conoscenza
scientifica, ma, in maniera opposta, è considerato una dimensione retta
da leggi complesse difficilmente conoscibili. Al concetto di disordine si è
provveduto a sostituire quello molto più significativo di complessità.

                    Cosa s’intende per sistema dinamico
È una formalizzazione matematica che descrive la dipendenza dal tempo
della posizione di un punto all'interno del suo spazio ambiente. Un sistema
dinamico non lineare è in genere caratterizzato da un certo numero di
parametri di controllo che ne determinano il comportamento.

Caos e Teoria del caos

La teoria del caos ha messo in luce come possa essere vana la
pretesa di una conoscenza completa della natura basata su modelli
di spiegazione riduzionisti e ha suggerito una via differente tramite
una ricerca aperta che tenga in maggiore conto tutti gli elementi
che intervengono in un fenomeno.

Cos’è un attrattore

In matematica, è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico
dopo un tempo sufficientemente lungo. Dal punto di vista geometrico un
attrattore può essere un punto, una curva o un insieme più complicato,
dotato di struttura frattale e noto con il nome di ATTRATTORE STRANO.

La descrizione degli attrattori dei sistemi dinamici caotici è stata uno dei
                      successi della teoria del caos.

  Uno    dei   primi   “Attrattori
  Strani” che siano mai stati
  identificati è l‘attrattore di
  Lorenz, caratterizzato dalla
  sua tipica forma a “farfalla”

Chi era Edward Lorenz
Edward Lorenz, scomparso di recente, era il
meteorologo considerato il padre della teoria del caos e
di tecniche tuttora usate da chi prevede che tempo
farà. Nel 1963, mentre si dedicava a studi di
meteorologia nella speranza di poter trovare un sistema
che potesse ben modellizzare le correnti convettive
presenti      nell’atmosfera,     scoprì     l’attrattore
caratterizzato dalla sua tipica forma a “farfalla”.
Lorenz, 90 anni, viveva a Cambridge in Massachusetts e aveva illustrato
la sua teoria con il celebre paragone dell'«effetto farfalla»: «Può una
farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?», per dire che a volte
da minuscoli cambiamenti derivano conseguenze colossali.
Tenne così a battesimo la «teoria del caos», nata inizialmente come branca
della matematica grazie al lavoro di Lorenz. Con il suo computer non poteva
elaborare una simulazione realistica del comportamento dell'atmosfera ma le
sequenze di numeri che la sua macchina stampava affascinavano, con la loro
imprevedibilità, gli altri meteorologi del Mit. Per qualche oscura ragione
nulla accadeva mai due volte nello stesso modo: le ripetizioni non erano mai
del tutto esatte, c'erano dei modelli ricorrenti ma con disturbi. Un
disordine ordinato. Da qui l'intuizione della teoria del caos.

L’effetto farfalla
 Con il nome di "Effetto Farfalla", dovuto a
 Lorenz, si indica il concetto molto più tecnico
 della sensibilità alle condizione iniziali, questa
 frase deriva dall'idea che il battito di ali di
 una farfalla, un piccolo cambiamento nelle
 condizioni iniziali del sistema, può causare un
 piccolissimo cambiamento nell'atmosfera che
 può ripercuotersi su larga scala nell'insorgere o
 meno di un tornado.
In genere i sistemi dinamici vengono classificati in base al comportamento
da essi descritto tramite l'uso della nozione di “attrattore”, che
rappresenta la configurazione di equilibrio verso cui il sistema tende.
Infatti in Matematica un attrattore è definito come un insieme verso il
quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo.
La variazione dei parametri di controllo di un sistema dinamico influisce
fortemente sul suo comportamento.
Per determinati valori dei parametri un sistema può manifestare degli
eventi, noti come biforcazioni, che rappresentano delle situazioni in cui il
comportamento del sistema cambia radicalmente.

Le proprietà che              1.   Sensibilità alle condizioni iniziali
caratterizzano i              2.   Il sistema non evolve verso l'infinito
sistemi caotici               3.   Evoluzione secondo attrattori strani
                              4.   Mostrare diverse strade verso il caos

La   sensibilità   alle   condizioni   iniziali
rende    impossibile    prevedere    il           La sensibilità alle condizioni
comportamento che un sistema caotico              iniziali di un sistema dinamico
avrà dopo un intervallo di tempo anche            determina che delle variazioni
piuttosto breve. Infatti, nel caso di un          molto piccole nelle condizioni
sistema non lineare, un piccolo errore            iniziali portino il sistema ad
nella misura delle condizioni iniziali,           evolvere         in        maniera
oppure una lieve modifica (ad esempio             estremamente diversa.
un arrotondamento durante il calcolo),            Da ciò deriva, ad esempio, che
può comportare nel tempo un radicale              due punti inizialmente molto
cambiamento       dell'evoluzione    del          vicini   possono    seguire    due
sistema. La sensibilità alle condizioni           differenti     traiettorie   nello
iniziali pone vincoli molto stretti alla          spazio delle fasi che, dopo un
prevedibilità dello stato futuro del              tempo sufficientemente lungo,
sistema, poiché la previsione dipende             possono svilupparsi anche in
dall' accuratezza con cui si è in grado           maniera estremamente diversa.
di misurare le condizioni iniziali.

La teoria delle biforcazioni
Consiste nello studio matematico di come avviene la trasformazione che
porta dall'esistenza di una unica soluzione ad un dato problema
all'esistenza di due o più soluzioni contemporanee.
Le biforcazioni si manifestano quando una piccola variazione dei
parametri di controllo del sistema causa un improvviso cambiamento
qualitativo nel comportamento del sistema.

 Nel grafico, i quadrati in blu rappresentano gli stati iniziali del sistema, i
 cerchi neri rappresentano i punti di equilibrio.

Un particolare circuito elettrico …
 Il circuito di Chua il più semplice circuito elettronico che
‘mostra il caos’, o meglio, il fenomeno delle biforcazioni,
come verificato in numerose analisi di laboratorio, simulazioni
al computer e rigorose analisi matematiche.
Esso può essere rappresentato tramite un modello
matematico caratterizzato da sei diversi parametri di
controllo.
                                              Chi è Leon Chua
                                          È un professore di ingegneria
                                          elettrica e Computer Science in
                                          Berkeley,     Università  della
                                          California, dal 1971.
                                          È il pioniere degli studi sul caos
                                          e sui circuiti non lineari e
                                          coordina la diffusione della
                                          conoscenza del circuito che
                                          mostra il caos nelle scuole
                                          superiori.

Strade verso il caos
Per strada verso il caos si intende quando il punto di equilibrio iniziale
varia in funzione del parametro di controllo fino a quando, per un dato
valore, comincia a perdere di stabilità ed emerge al suo posto un ciclo
limite.
Variando ulteriormente il parametro di controllo il ciclo limite comincia a
perdere la stabilità facendo emergere un ciclo con il periodo raddoppiato.
L’ulteriore modifica del parametro porta il sistema ad evolvere secondo
dei cicli limite di periodo crescente in cui ognuno è il doppio del
precedente. Il vertiginoso aumento del periodo dei cicli limite determina
l’insorgere di dinamiche caotiche.

   Punto                                Ciclo limite

              Spirale              Double scroll

I passi necessari alla costruzione del
                   circuito di Chua
Per la prima volta gli alunni della nostra Scuola si sono cimentati
nella costruzione di un circuito elettronico e, attraverso un
software che simula un oscilloscopio, hanno visualizzato il segnale
di uscita da tale circuito, segnale, appunto, caotico.
Agli studenti sono stati forniti tutti i materiali elettrici ed
elettronici necessari alla costruzione del circuito.

Fase preparatoria di illustrazione dei passi per la costruzione del
circuito, spiegazione dello schema circuitale e degli elementi che
lo compongono.

Fase di sperimentazione, manipolazione dei componenti e
    costruzione del circuito da parte degli studenti

Fase di controllo e visualizzazione del comportamento caotico
                     dei circuiti costruiti

La fase della simulazione

                            Richiamando alla mente degli alunni le
                            immagini degli attrattori,           si è
                            spiegato loro che sarebbe stato
                            difficile o impossibile ricavare un ugual
                            numero di immagini dal circuito fisico.
                            Sarebbe necessario infatti variare,
                            gradualmente e impercettibilmente, il
                            valore      di     ciascun     componente
                            costituente il circuito, e non si sarebbe
                            neanche sicuri di ottenere esattamente
                            gli stessi risultati. Ciò che si fa dunque
                            nella simulazione è elaborare un modello
                            matematico, adimensionale, del sistema
                            fisico e processare         tale modello
                            attraverso un calcolatore. Si realizza
                            quindi un’ astrazione: dal circuito fisico
                            ai numeri in uscita da un software.

Il caos visto utilizzando il computer

  Utilizzando il computer si possono esplorare fenomeni difficili o
  impossibili da vedere nel mondo reale che si manifestano solo in
  specifiche circostanze.
  A     questo       scopo,   è     stato  implementato   un   software
  (http://galileo.cincom.unical.it/Chua) che permette agli utenti di
  riprodurre le ricorrenze prodotte dall’ oscillatore di Chua.

La proprietà più interessante del
software è data dalla possibilità
di simulare interattivamente il
comportamento      dei    sistemi
dinamici. In pochi minuti, si può
acquisire un’ idea di base sulla
teoria del caos ed esplorare
come il comportamento e i
modelli degli attrattori varino
attraverso    la   modifica   dei
parametri di controllo.

I ragazzi durante la
   fase di utilizzo     E’ stata introdotta ai ragazzi una presentazione
                        Microsoft PowerPoint, contenente una guida per
dell’applicazione per
                        portare rapidamente ciascuno a esplorare i circa
   la simulazione.      150 modelli differenti,prodotti dalle equazioni
                        che rappresentano il circuito di Chua e generare
                        un’infinita varietà di attrattori sperimentando
                        l’importanza della variazione dei parametri di
                        controllo. I ragazzi hanno visualizzato gli
                        attrattori su un supporto tridimensionale, li
                        hanno esaminati da diversi punti di vista, hanno
                        giocato con i colori e lo spessore delle linee e
                        hanno esplorato diverse strade verso il caos.

Galleria di attrattori realizzati dai ragazzi utilizzando
            l’applicazione per la simulazione.

Come si realizza la musica da sistemi a comportamento caotico .

Principianti e musicisti professionisti possono generare musica e suoni
utilizzando il modello matematico che rappresenta il circuito di Chua.

              Fase introduttiva: componenti e architetture

Come produrre le musiche generative dal sistema adimensionale a
                    comportamento caotico

L’applicazione utilizzata
 per creare musiche e
suoni è stata quella già
utilizzata per creare le
      immagini degli
        attrattori.

Sperimentazione della prima strada verso il caos, che conduce
                   all’attrattore double scroll.
Partendo dall’attrattore 1, attraverso la modifica di un determinato
parametro si riescono a visualizzare e ascoltare: il punto fisso, il ciclo
limite, la spirale di Chua e, infine, il double scroll.
In modo del tutto analogo a quanto visualizzato e ascoltato dal circuito
fisico di Chua, (immagini e suoni sono stati, infatti, verificati
personalmente dai ragazzi), anche attraverso il software di simulazione
è stato possibile ripercorrere una delle strade verso il caos.

La mappa di biforcazione

Il percorso della prima strada verso il caos è stato contestualizzato
attraverso la mappa di biforcazione, mediante la quale si è fatto
notare ai ragazzi quali sono i punti di passaggio dei vari stadi della
strada verso il caos.

Agli alunni si è chiesto di ripercorrere la strada verso il caos, per gli
specificati valori dei parametri, salvando immagini e suoni relativi.
Successivamente è stato chiesto di continuare nell’ azione intrapresa di
creazione di nuovi attrattori, accompagnando però, stavolta, le
immagine alla produzione dei relativi file musicali.

I ragazzi hanno ben compreso quanto loro richiesto
             sulla strada verso il caos.

Immagini di nuovi attrattori e suoni creati dai ragazzi.

Fase di ascolto e di sperimentazione di brani prodotti da musica
                           generativa

Attraverso un processo di sintesi sonora è possibile produrre
suoni dall’oscillatore di Chua e la generazione può essere
controllata tramite una tastiera midi.

         Due momenti della sperimentazione musicale

La verifica finale
     I test sono stati
impegnativi e strutturati
  in modo da richiamare
visivamente alla memoria
   quanto visto durante
     tutto il corso. Le
  domande, con risposta
    multipla, sono state
 affiancate da immagini,
  infine, per la verifica
  sulla parte musicale è
     stato condotto un
        esperimento.

                                Agli studenti sono stati sottoposti quattro
                                stimoli sonori, ciascuno per una specifica
                                tappa della prima strada verso il caos, da
                                riconoscere    e  associare  alla   relativa
                                immagine.

Ultima tappa significativa della sperimentazione:
           ripetere la costruzione del circuito di Chua.

A distanza di tempo i ragazzi, non solo hanno mostrato accresciuto
interesse per la manipolazione, ma hanno anche proceduto con
un’estrema velocità nella costruzione del circuito, eseguendo il
riconoscimento e l’inserimento dei componenti in modo sicuro e rapido.
Un risultato rilevante, da un punto di vista scientifico, è stato
constatare come i ragazzi abbiano abbassato i tempi per la costruzione
del circuito, riuscendo anche a completarlo in pochi minuti.

Un “prodotto” finale fruibile

I ragazzi si sono impegnati a realizzare un attrattore da utilizzare
come logo della Scuola.

La scelta è stata attuata fra
   questi, opportunamente                         Risultato finale
modificati con un programma
          di grafica