Una nuova legge della gravitazione (la relatività generale)

1 Una nuova legge della gravitazione (la relatività generale)

La potenza descrittiva della geometria a partire dai matematici greci fino alla teoria
del tutto (Teoria M) è stata sempre protagonista assoluta nel rappresentare la
struttura del macrocosmo e del microcosmo.

Una volta che le nuove leggi della dinamica e della meccanica sono state trovate,
anche la teoria più importante e consolidata, la gravitazione universale di Newton,
doveva essere rivista per renderla compatibile con lo spazio-tempo di Einstein. Non
può esistere uno spazio assoluto ed un tempo assoluto e non può una forza
trasmettersi a distanza in modo immediato. Se la velocità della luce non può essere
superata, la terra non può risentire della attrazione del sole senza alcun ritardo. La
luce del sole arriva da noi circa otto minuti più tardi e su questo, come si dice, non ci
piove. La prima incongruenza è evidente; la seconda è l’esistenza di una forza
onnipresente ed impalpabile che presenta peculiarità che a ben vedere sono singolari.
La legge di Newton dice che la forza di gravità tra due corpi è proporzionale al
prodotto delle due masse ed inversamente al quadrato della distanza. F=KMm/r2
L’accelerazione di gravità secondo la legge di Newton è uguale alla forza divisa la
massa; quindi l’accelerazione di gravità (g=KM/r2) è indipendente dalla massa del
grave; dipende esclusivamente dalla Massa della terra e dalla distanza, come peraltro
aveva scoperto Galilei con i suoi esperimenti sui gravi dalla torre di Pisa.

Peraltro la massa rappresenta la resistenza al moto; infatti a parità di forza il corpo
più leggero subisce una accelerazione maggiore: a=F/m; nel caso della gravità questo
non è vero! Come mai?

Eppure la massa inerziale che obbedisce alla F=ma è la stessa della gravità
F=KMm/r2.

Su tutto ciò indagò Einstein per dare risposte a questi quesiti e per rendere la
gravitazione universale compatibile con la relatività speciale.

Facendo finta di non sapere come è andata a finire, si potrebbe obiettare che
l’accelerazione di gravità non è determinata da una forza ma dalla presenza di una o
più masse. Nonostante la mirabile eleganza e potenza della teoria di Newton, egli
stesso ed altri scienziati non sapevano giustificare la natura della forza di gravità.

Possiamo riprodurre gli effetti della forza di gravità immaginando di essere immersi
in un sistema uniformemente accelerato? Sembra proprio di si; tutto quello che
avviene a causa della forza di gravità di Newton, avviene in un sistema non soggetto
ad alcuna forza ma uniformemente accelerato.

Cosa ne facciamo della forza centrifuga che si genera quando un corpo di massa m
viaggia alla velocità v in un orbita circolare intorno alla terra? Secondo la teoria di
Newton proprio questa forza si contrappone alla forza di gravità e mantiene in
equilibrio il corpo a distanza h dalla terra. Ma può questa forza generarsi come una
proprietà dello spazio assoluto? Una sfera, come peraltro un pianeta, che ruota
intorno al proprio asse risulta schiacciata ai poli e rigonfia all’equatore; la sua forma
dipende dalla velocità di rotazione: come si spiega questo fatto con lo spazio
assoluto? Questa forza centrifuga è come la forza di gravità che in un sistema
uniformemente accelerato può essere azzerata? Si, scegliendo opportunamente il
sistema di riferimento. La massa gravitazionale non si può distinguere dalla massa
inerziale che si oppone al movimento: la forza centrifuga si può interpretare come
una forza di gravità che agisce verso l’esterno anziché verso l’interno

Se per un attimo immaginiamo che, in assenza di gravità, la nostra terra si gonfi come
un pallone con il suo raggio che aumenta con velocità v=g*t e nel tempo cresce
quindi di una quantità ½*gt2, ci troveremmo ad avere le stesse sensazioni e
osserveremmo gli stessi fenomeni che osserviamo in presenza di gravità. Un corpo a
distanza h dalla terra che viaggia alla stessa velocità v in direzione radiale dal centro
della terra sarebbe fermo rispetto al centro della terra; si muoverà probabilmente
lungo un orbita circolare alla velocità v. Proprio quella velocità che nel mondo di
Newton genera una forza centrifuga mv2/r che equilibra la forza di gravità. Questo è
proprio quello che avviene al nostro principale satellite la Luna ed anche ai satelliti
artificiali lanciati dall’uomo. Osserveremmo, avendo gli strumenti necessari, che
anche un raggio di luce che viaggia in modo parallelo alla superficie della terra si
flette anche se in modo quasi impercettibile. Infatti mentre il raggio di luce si sposta a
velocità c, la terra, per effetto del suo rigonfiamento, si avvicinerebbe alla traiettoria
del raggio di luce. E questo, come vedremo, non era contemplato dalla teoria di
Newton.

Se invece immaginiamo che, in presenza di gravità, la nostra terra si contragga con
velocità v=g*t il campo gravitazionale si ridurrebbe a zero. Esiste sempre la
possibilità di trovare un sistema di riferimento in cui la gravità si annulla.

Secondo la legge di Newton un corpo, senza massa, non subisce alcuna deviazione
dalla sua traiettoria nello spazio; un raggio di luce, in un campo gravitazionale,
grande a piacere, dovrebbe viaggiare lungo una retta fino all’infinito! Ma così non è,
ormai è dimostrato da molte e recenti osservazioni anche un raggio di luce, visto
come onda elettromagnetica o come un treno di fotoni senza massa, subisce
l’influenza della presenza del campo gravitazionale. La teoria di Einstein parte dal
presupposto che le leggi della dinamica devono essere invarianti rispetto ad un
sistema di riferimento arbitrario. Pertanto devono valere, non solo in sistemi in moto
rettilineo ed uniforme, ma anche nei sistemi uniformemente accelerati come è il caso
della gravitazione. Nel campo gravitazionale le traiettorie che segue un corpo
materiale non sono rette ma curve; se questo deve essere considerato alla stessa
stregua del moto rettilineo, vuol dire che la geometria non può essere euclidea ma
deve prevedere una metrica che si modifica (curvatura dello spazio-tempo) non
appena si presenta        una massa: esiste una tale geometria? Einstein l’ha
affannosamente cercata per lunghi anni e l’ha trovata. La geometria di Riemann,
estensione di quella di Gauss, risponde a questo requisito.

A questo punto dobbiamo considerare che le leggi fisiche della meccanica devono
poter essere invarianti non solo in un campo in moto uniforme, (velocità relativa
costante, ma anche in un campo in moto uniformemente accelerato (accelerazione
costante, velocità crescente nel tempo).

Inoltre devono anche valere le leggi della relatività speciale (contrazione dello spazio
e dilatazione del tempo);

Quindi, le leggi cercate, devono essere invarianti rispetto a qualsiasi trasformazione
di coordinate e devono essere determinate completamente dalla distribuzione della
massa e conseguentemente dell’energia; inoltre, poiché tutte le equazioni della
meccanica comprese quelle di Newton, sono equazioni differenziali del secondo
ordine, Einstein applicò questa regola anche alle sue equazioni.

In base a queste equazioni molte regole geometriche e meccaniche sono cambiate.

La linea più breve tra due punti non è un segmento di retta ma una curva; la somma
di un triangolo non è 180°, la luce viene deviata dalla massa, il tempo viene rallentato
dalla presenza di una massa; molte altre conseguenze scaturiscono dalle equazioni e
grazie a strumenti sempre più potenti e precisi sono state osservate: tra queste la più
nota ed inquietante è l’esistenza dei buchi neri. Ma anche altri fenomeni di

inimmaginabile violenza osservati nel cosmo negli ultimi decenni, come il collasso
di una stella, l’esplosione di una supernova, rispondono alla teoria di Einstein.

2 Il Tempo avverte la gravitazione

Nel citato volume di Max Born viene trattato un esempio della misura della
dipendenza del tempo dalla massa: applicando le equazioni di Einstein alla luce
emessa da una stella, si arriva alla formula approssimata

t=T(1+gl/c2)

 dove t è il periodo dell’onda elettromagnetica della luce, in presenza di campo
gravitazionale e T il periodo di vibrazione della luce in assenza di gravità, g
l’accelerazione di gravità nel punto ed l la distanza dell’osservatore dalla stella.
Questo equivale a dire che le linee spettrali emesse dalla stella sono spostate verso il
rosso; se il periodo dell’onda elettromagnetica (luce) aumenta, la frequenza (inverso
del periodo) diminuisce e la lunghezza d’onda aumenta. La luce stessa in presenza
di masse che tendono all’infinito rallenterebbe a tal punto la sua frequenza da
scendere sotto la soglia del visibile. E’ quello che succede in presenza di un buco
nero.

3 La rivincita di Newton

Dopo aver dimostrato che la teoria della gravitazione di Newton è imprecisa e non
spiega alcuni fenomeni osservati tra cui la precessione degli equinozi (è il caso di
Mercurio sempre ricordato), molti studiosi e scienziati continuano a parlare di forza
di gravitazione, forza centrifuga, velocità di fuga e così via. Gli scostamenti tra le
equazioni di Einstein e quelle di Newton, nella stragrande maggioranza dei casi, sono
trascurabili e di conseguenza applicare le equazioni di Einstein appare inutilmente
dispendioso.

Applicando le equazioni di Newton si possono calcolare con estrema precisione le
traiettorie dei corpi materiali e le orbite dei satelliti artificiali, la velocità necessaria
ad un satellite per mantenersi in orbita, la velocità di fuga dalla terra e da altri

pianeti, ma anche l’angolo virtuale della direzione del lancio del peso o del
giavellotto che un atleta deve imprimere al suo attrezzo per raggiungere, a parità di
impulso, il punto più lontano.

Forse Newton, avendo stabilito che la forza di attrazione si esercita solo su corpi
materiali che hanno una massa, non poteva immaginare l’esistenza dei buchi neri:
ma a ben vedere la sua equazione F=KM*m/r2 presenta già il problema: se la massa
M viene concentrata in una sfera con un raggio sempre più piccolo, la forza cresce in
modo iperbolico.

Possiamo agevolmente calcolare la velocità da imprimere ad un corpo di massa m per
mandarlo in orbita, perché deve valere la relazione KMm/r2 =m v2 /r (la forza di
gravità viene annullata dalla forza centrifuga); come si fa ad imprimere una velocità v
corrispondente? Occorre un impulso che produca una quantità di moto di m*v e v è la
velocità finale raggiunta dal corpo sottoposto ad una forza m*a dove l’accelerazione
a deve essere in grado di far raggiungere nel tempo stabilito la velocità v=(KM/r)1/2.
La velocità, così calcolata, mantiene un corpo di massa m in orbita; se si imprime una
forza tale da superare questa velocità il corpo di massa m si allontana in modo
perentorio dalla terra: ha raggiunto la cosiddetta velocità di fuga1. Ho trovato nel
recente lavoro di Roger Penrose(2) (una vera e propria enciclopedia della matematica
e della scienza applicata alla cosmologia), che prima di Einstein insigni scienziati
(1784 John Mitchell, 1799 Pierre Simon de Laplace) basandosi sulla legge di Newton
ipotizzavano già l’intrappolamento della luce, causato da una contrazione senza
limiti di una massa molto grande.

Dove cominciano i problemi applicando Newton e non Einstein?

Potremmo calcolare la nostra posizione con il GPS solo con Newton? Non sarebbe
sufficiente e si genererebbero errori significativi nel tempo. Quindi la rivincita di
Newton è comunque parziale.

1                                        2     2
    La velocità di fuga si ottiene da KMm/r =m v /r da cui v=√2Mg/r
2
 Roger Penrose: La strada che porta alla realtà (sottotitolo le leggi fondamentali dell’universo).Ed. BUR Rizzoli pagg.
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