Questioni di storia del pensiero scientifico - Storia e filosofia della Meccanica Quantistica
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Pontificia Università Lateranense
Questioni di storia del
pensiero scientifico
Storia e filosofia della Meccanica Quantistica
Facoltà di Filosofia
Corso 50668
Docente: Flavia Marcacci
NB il materiale qui disponibile è a uso esclusivamente didattico e non per citazione. Non va in alcun
modo considerato come testo esaustivo del corso né come un’esposizione completa dei temi affrontati.
I principi della termodinamica
Parte 0
I precedenti storici della
termodinamica
…il calore può essere “ciò che dà caldo”?Prime concezioni
sulla natura del calore: teoria dinamica
contro teoria materiale
• Antichità: calore come “stato” o come “sostanza”
• Galilei: «Poichè dunque ad eccitare il caldo non basta la
presenza degl’ignicoli, ma ci vuole il loro movimento ancora,
quindi pare a me che non fosse se non con gran ragione detto il
moto esser causa di calore» (Il Saggiatore)
• teoria dinamica del calore (basata sul movimento degli
“ignicoli”): sostenuta, oltre che da Galilei, da Hooke, Boyle,
Locke, Bacone, Keplero, Cartesio, Mariotte, Euler.
• Seconda metà del XVIII: l’opposizione dei chimici Joseph
Black (1728-1799) e la teoria “sostanziale” (o materiale) del
calore: la capacità di assorbire il calore è una proprietà specifica
delle sostanze e non dipende solo dal volume, dalla densità,
dalla forma. Il calore ha una natura “sostanziale”, non può
dipendere solo da corpuscoli.
• Lavoisier definisce “calorico” questa sostanza (cf. Bellone 2004, 103-109).Tentativi di conciliazione
Laplace e Lavoiser, Mémoire sur la chaleur,
all’Académie des Sciences, 1780:
I fisici sono divisi sulla natura del calore. Molti fra loro lo considerano un fluido
diffuso nell’intera natura e da cui i corpi sono più o meno penetrati, in ragione
della loro temperatura e della loro disposizione particolare a conservarlo…
altri fisici pensano che il calore non sia altro che il risultato dei movimenti
insensibili delle molecole della materia… secondo i fisici di cui stiamo
parlando, è questo il movimento interno a costituire il calore.
Dopodiché veniva richiamato un principio comune ad
entrambe le teorie:
La quantità di calore libero rimane sempre la medesima nella semplice
mescolanza dei corpi.
Infatti continua a valere la legge di conservazione della vis viva
(Leibniz), cioè che della quantità (½)mv2.Il calorico • Fluido elastico e senza peso • Le sue particelle erano auto-repulsive: questa forza era in grado di controbilanciare l’attrazione gravitazionale evitando il collasso dei corpi in una massa solida omogenea (+ stabilità delle atmosfere). • Fluido capace di penetrare nella materia e diffuso in essa. • Problemi risolti: spiegazione della contrazione e dilatazione dei corpi e dei cambiamenti di stato.
Le teorie spiegate con il calorico
• Cambiamenti di stato:
Ghiaccio + calorico = acqua
Acqua + calorico = vapor d’acqua
• La densità della nube di calorico che circonda ogni atomo diminuisce in ragione di 1/rn (n>2).
Ovvero più rapidamente dell’azione gravitazionale l’azione del calorico è a breve raggio.
• 1730-50: esperimenti di Boerhaave e Fahrenheit su liquidi a diversa temperature tra loro
mescolati:
m1T1 m2T2
T
m1 m 2
J. Black e la chiarificazione di alcuni termini (basandosi sulla teoria materiale):
. capacità termica specifica quantità di energia utile a innalzare la temp. di 1°K un grammo
di materia
•Distinzione tra calore latente (= non osservabile per mezzo di termometri) e calore libero
(prodotto da particelle libere di muoversi con elevatissime velocità nello spazio tra le
molecole): la loro somma era il calore assoluto (modello a due discreti di Laplace).
•“temperatura” = intensità del calore (libero)
•calorico come quantità di caloreIl calorico in formule
• Legge di conservazione m1T1 m2T2
T
(calorimetria elementare): il m1 m 2
calore guadagnato da un
corpo è uguale al calore
perduto dall’altro corpo. Q1 Q2 0
Contenuto di calore del corpo T2
Q(T ) Q(T0 ) c(T )dT
T1
dove c(T) è la capacità
c(T ) c(T0 ) Li (T Ti )
termica, T0 una qualsiasi
temperatura standard e L è
il calore latente. i
NB: quantità di calore = prodotto della massa per la temperatura Q m tLeggi macroscopiche
dei gas perfetti
• Legge di Boyle Mariotte: in prima approssimazione il prodotto tra la
pressione e il volume di un campione di gas è costante quando è costante
la temperatura. PV=k.
• Gas perfetto: segue la legge di Boyle-Mariotte
• Legge di Charles-Gay Lussac, dove γ0 è pari a 1/273 (coefficiente di
dilatazione cubica dei gas a 0°C), a pressione costante:
Vt V0 (1 0t )
Per Vt0 t-273°C.
• Legge di Volta-Gay Lussac, a volume costante:
Pt P0 (1 0t )La trattazione di Laplace
• Tra meccanicismo e probabilità.
• Probabilità: la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di casi che gli
sono favorevoli e il numero di tutti i casi possibili, quando nulla porta a
credere che si debba verificare uno di essi piuttosto che altri, il che li rende per
noi ugualmente possibili uniformare fenomeni complessi a poche cause e
leggi: l’approssimazione non è incertezza.
• La conoscenza completamente determinata (sul modello dell’astronomia):
allontanarsi dal falso per progredire verso il vero (fig. sotto).
• Modello di Laplace per i gas: ogni molecole è un centro di irraggiamento e
assorbimento. Essa è circondata da una atmosfera di calorico. Muovendosi tra
le altre molecole, perde o attira particelle, in modo tale che il numero di
particelle legate alla molecola resti costante nel tempo. Le particelle legate
alle molecole sono il calorico latente, quelle libero il calorico libero. In questo
modello agiscono forze newtoniane tra molecole ma anche forze a breve
raggio d’azione tra molecole e particelle (cf. Bellone (2004), pp. 141-142)
distacco dal modello newtoniano e spiegazione di comportamenti
macroscopici dei gas.• Il calorico poteva appartenere allo stato “libero” o allo stato “latente” ( calorico assoluto) • Il calorico assoluto era costante e dipendente dalla temperatura e dalla densità. • Correlazione generale tra pressione, temperatura e densità di un fluido gassoso: P=iρT, con i dipendente dal fluido. • Correlazione tra asserzioni probabilistiche e interazioni complesse entro sistemi caratterizzati da un grande numero di elementi. • Raffinamento matematico di Poisson. • PROBLEMI: come giustificare la costanza dei calori specifici in un fluido perfetto? Come giustificare l’equilibrio di temperatura in sistemi di dimensioni estremamente piccole ma con un numero elevatissimo di molecole? • Difficoltà nell’applicare questo modello ai fenomeni di propagazione del calore: in questo caso esisteva sempre una direzione privilegiata dal caldo al freddo non c’era simmetria rispetto al tempo.
Joseph Fourier
• Il calore non è riconducibile al moto
• Occorre “più” matematica: invenzione dei
differenziali lineari
• La meccanica non può conservare il suo primato di
modello per la spiegazione dei fenomeni fisici
• Equazione di Fourier:il calore si trasferisce in base
alla “differenza” della temperatura T
Q
k TdS
t SFourier vs Laplace • Meccanica e teoria del •Ogni fenomeno è calore indipendenti ma unificate dalla riconducibile alle leggi del matematica moto • Non servono modelli di •La probabilità è in grado interazioni meccaniche per il calore di esprimere certezza • Nei fenomeni inerenti al •Servono modelli calore c’è una direzione nel tempo meccanici per il calore • Nei fenomeni inerenti al moto non c’è direzione nel tempo
Esperimenti per la teoria dinamica • 1798, Thompson e la trivella: «con una trivella svuotava grossi cilindri di metallo per farne bocche da cannone e, di quando in quando, misurava la temperatura del fondo, inizialmente a 17°, tramite un termometro inserito in un foro praticato nel corpo cilindrico. Dopo 360 rotazioni della trivella, e dopo aver asportato dal fondo del tubo 837 frammenti di materiale, la temperatura era salita a 54°; inoltre, immergendo il tubo nell’acqua e facendo lavorare la trivella in immersione, dopo due e mezza l’acqua cominciava a bollire. Se il calore fosse una sostanza racchiusa nei corpi, pensò Thompson, dopo un certo tempo che la estraiamo dovrebbe esaurirsi: gli esperimenti mostrano invece che tale scorta, nei corpi, è inesauribile!»* • Davy (o Rumford?) e gli esperimenti sullo sfregamento del ghiaccio: l’attrito produce calore e il ghiaccio si scioglie**. * Bacciarelli-Giustini (1988), pp. 40-41. ** Elkana (1977), pp. 107 ss.
Macchine termiche
• Macchine di Erone e Filone per produrre lavoro meccanico
• Macchina di Papin, collaboratore di Huygens (sec. XVII-XVIII) – fig. sotto
• Il raffinamento di Savery e Newcomen
• 1764: Watt brevetta la macchina a vapore. Inizia la rivoluzione industriale.
Bacciarelli -Giustini, p. 421803: battello a vapore
1829: prima locomotiva, la Rocket
Macchina a vapore
di Watt
animazioneIl “caso” Sadi Carnot (1796-1832) • Carnot anticipò di una quarantina d’anni risultati recepiti poi unanimamente tra gli scienziati. Non si sa perché i suoi scritti furono di così difficile reperimento (essendo morto di colera, i suoi beni forse vennero distrutti? Cf. Guillem (1997), p. 192). • Rispetto ai suoi contemporanei, Carnot si mise a studiare il lavoro compiuto da una macchina in un intero ciclo. • 1824, Réflexions sur la poissance motrice du feu et sur les machines propes à développer cette puissance (Riflessioni sulla potenza motrice del fuoco…): la potenza motrice ricavabile da un ciclo chiuso di operazioni era indipendente dalla sostanza impiegata nel ciclo: il lavoro ottenibile dipendeva unicamente dalla differenza di temperatura tra le due sorgenti a disposizione. • La base teorica era la teoria del calorico, ovvero la teoria per cui il caldo passa come un flusso da un corpo ad un altro (es. svestizione paradossale, Guillem (1997), pp. 197-198). I cicli erano pensati reversibili (…si poteva eseguire, cioè, il percorso inverso).
Macchina di Carnot • Macchina ideale: non c’è dissipazione e produce un rendimento massimo. Bisogna ridurre al minimo l’attrito del fluido nella macchina e non devono esserci dispersioni di calore; quindi si ipotizza la macchina costruita con materiali assolutamente non conduttori di calore. • Un congegno a moto perpetuo: tutto il lavoro prodotto poteva essere riciclato in calore, e questo di nuovo in lavoro. All’infinito. Così il rendimento della macchina è pari al 100%. • Lentezza estrema. • Reversibilità: in termodinamica non è agevole far passare calore da un corpo freddo ad uno caldo!
Bacciarelli – Giustini (1988), p. 77
Conseguenze per Carnot
• Nel ciclo “diretto” si ottiene una “potenza
motrice” (puissance motrice = effetto utile che
un motore è capace di produrre*) insieme ad
un trasporto di calorico dal corpo caldo al
corpo freddo.
• Nel ciclo opposto si aveva un consumo di
potenza motrice ed un trasporto di calorico
dal corpo freddo al corpo caldo.
*Es. sollevamento di un peso.Intanto… • 1811, ipotesi di Avogadro: il numero di molecole a uguale pressione e temperatura è lo stesso in un dato volume per tutti i gas. Chimica, fisica, affinità. • Clapeyron, 1834: diffonde le idee di Carnot ma le inquadra privandole di ogni riferimento al calorico.
L’equivalente meccanico del calore • J. P. Joule (1818-1889): attorno ai 20 anni, si prefigge di ottenere motori elettromagnetici con rendimento superiore a quello dei motori a vapore. • Trova che le macchine a vapore erano sempre preferibili. Restavano però dei dubbi sul rapporto tra calore ed elettricità. • 1841, legge di Joule, che enuncia che il passaggio di una corrente in un conduttore genera calore. • Le obiezioni “filosofiche” di Mayer (1842) e la connessione della variazione di temperatura con la caduta di un grave. • 1843, equivalente meccanico del calore (oggi 1 cal = 4,186 joule): contro il calorico. • In seguito alle obiezioni di Majer, Joule (1845) abbandona l’idea dell’elettricità mediatrice tra lavoro meccanico e calore e si concentra sul rapporto tra calore e lavoro meccanico (figura seguente). L’indifferenza accademica.
Bacciarelli – Giustini (1971), p. 46
Fin qui… • Carnot: la produzione di potenza motrice nelle macchine a vapore è dovuta non ad un consumo reale di calorico, bensì al suo trasporto da un corpo caldo ad un corpo freddo… Secondo questo principio, la sola produzione di calore non è sufficiente a dare origine alla potenza meccanica, ma è necessario che ci sia anche del freddo. Quindi: 1) il calorico si conserva nella produzione di calore mediante macchine termiche; 2) la produzione del lavoro dipende soltanto dalla differenza di temperatura tra le due sorgenti. • Joule: il calore è una forma di energia ed è determinabile il fattore di conversione.
Il principio di
conservazione dell’energia
• Joule: quando la vis viva sembra distrutta, in realtà si
produce una differenza in termini di calore.
• 1847, l’accordo di Thompson a Joule
• H. von Helmotz (18221-1894), 1847: la somma di
forze vive e di tensione (= energia potenziale) è
sempre costante.
• Ciò che si conserva è l’energia totale e non il calorico
1 2
mv mgh
2Come conciliare
Carnot, Joule e Von Helmotz?
• 1850, R. Clausius: anziché parlare di
“conservazione” del calorico nella teoria di
Carnot, si parli soltanto di passaggio di calore
da un corpo caldo ad uno freddo. Se questo
passaggio avviene in un processo ciclico, si ha
produzione di lavoro meccanico.Nasce la termodinamica Il “punto” di Clausius: 1) c’è equivalenza tra calore e lavoro 2) la generazione del lavoro dal calore avviene attraverso un processo ciclico, durante il quale, nel passaggio tra due livelli di temperatura, una parte di calore viene trasformata in lavoro e una parte passa nel corpo più freddo.
Parte I I principi della termodinamica
La sintesi di Thompson • Da Joule: quando quantità eguali di effetto meccanico vengono prodotte con qualsiasi mezzo a partire da sorgenti puramente termiche, oppure vanno perdute in effetti puramente termici, vengono distrutte o generate quantità eguali di calore. • Da Carnot e Clausius: una macchina ideale (o di Carnot) è in grado di ottenere un effetto meccanico massimo da due sorgenti a due temperature date, a meno di una perdita in rendimento.
Primo principio della termodinamica
U = energia potenziale interna,
ovvero energia interna del sistema e
dipendente da due variabili (P e T, V
U L
e P, V e T). Qui interessa solo la sua
variazione.
• L’energia fornita al/dal sistema sottoforma di lavoro
adiabatico (ovvero il lavoro di un sistema termicamente
isolato) resta costante, trasformandosi in variazione di energia
interna. In sistemi non adiabatici bisogna considerare la legge
di “conservazione” per la termodinamica sotto un’altra forma:
Q L U
Dove Q indica una forma di energia, diversa dal lavoro, che viene
scambiata tra sistema e ambiente: si tratta del “calore”.Conseguenze • Gli scambi energetici tra un sistema e un altro avvengono sempre con conversione, mai con distruzione o creazione, dell’energia. Nessuna frazione di energia può scomparire o nascere dal nulla. Mai. • Non si possono costruire macchine che liberano più energia di quella che ricevono (moto perpetuo di 1° specie). • Non vengono distinte le varie forme di energia: soltanto la loro “somma” si conserva. • Il fattore di conversione dell’energia è quello trovato mediante le ricerche di Joule. PROBLEMA: perché il calore preferisca una direzione precisa, ovvero dal caldo al freddo? Perché, se resta rispettato il 1° principio, non può avvenire l’inverso?
Il secondo principio della termodinamica • 1° formulazione (lord Kelvin): è impossibile costruire una macchina a fuoco operante ciclicamente, che sia capace di convertire in lavoro meccanico “tutto” il calore assorbito da una sorgente a temperatura T1; una parte di tale calore, infatti, viene ceduto dalla macchina ad una seconda sorgente a temperatura inferiore T2 • Non tutta l’energia termica è di tipo “utilizzabile”, ovvero tale da poter essere tutta convertita in calore • 2° formulazione (Clausius): è impossibile costruire una macchina, operante ciclicamente, che sia capace di determinare, come effetto unico, il passaggio di una certa quantità di calore da un corpo a temperatura T2 ad un corpo a temperatura T1 più elevata.
Alcune conseguenze
• Già Carnot si era accorto che una macchina termica reale ha
sempre un rendimento inferiore ad 1 (cioè inferiore al 100%,
cioè si ha sempre una qualche perdita in rendimento).
• Dalla formula si evince che tale rendimento sarà tanto
maggiore quanto maggiore sarà la differenza tra le
temperature delle due sorgenti.
Per Carnot tanto maggiore è
T2
1 la differenza tra T1 e T2,
tanto più il calore “fluisce”.
T1
Nel caso di una macchina che funzioni ripercorrendo inversamente il ciclo ideale di
Carnot, si ottiene un “refrigeratore”: si sottrae calore dalla sorgente fredda mediante
lavoro, e lo si cede a quella più calda. In questo caso il rendimento sarà maggiore
quanto meno sarà la differenza tra T1 e T2.…e soprattutto • Non si possono costruire macchine che, estraendo calore da una sorgente fredda, la comunichino (contro Clausius) ad una sorgente più calda e da questa la convertano tutta, in qualche modo, in lavoro (moto perpetuo di 2° specie) • Qualsiasi cambiamento, in un sistema, è sempre accompagnato da una diminuzione dell’energia utilizzabile.
Sintesi del I e II Principio • L’energia totale si conserva (1°) ma la sua qualità cambia (2°). • Tutte le volte che l’energia totale di un sistema passa ad una forma gerarchicamente inferiore, si ha l’immancabile trasformazione di una parte di questa energia totale in forme non utilizzabili.
L’entropia: ancora un po’ di storia
• Il calore era ormai immaginato come movimento, e non come
“calorico”.
• Clausius (1857) cerca di dare una formulazione matematica
del 2° principio. Nel caso di trasformazioni reversibili ottenne:
dQ Trovata dopo aver constatato che in una
T 0
1 1
)
trasformazione isoterma ci si trovava a lavorare
con una enigmatica grandezza Q(
T2 T1
L’integrale rappresenta la “somma” di tutte le trasformazioni
infinitesime che avvengono in un processo ciclico. Nel caso di
trasformazioni non reversibili questo integrale deve essere sempre
positivo.
Una specie di “principio di conservazione”.
Ma cos’era quel dQ/t?L’effetto del calore tende sempre ad indebolire il legame tra le molecole, facendo crescere in tal modo le loro reciproche distanze medie. Per poter rappresentare matematicamente tutto ciò, esprimeremo il grado di dispersione delle molecole di un corpo introducendo una nuova grandezza, che chiameremo disgregazione del corpo, per mezzo della quale potremo definire l’effetto del calore semplicemente come una tendenza all’aumento della disgregazione (Clausius, 1862)
Dalla disgregazione all’entropia • Pur considerando questa “disgregazione”, era necessario trovare una legge in cui divenisse evidente l’entità della conservazione. In quest’ottica il 2° principio era interpretabile come un “principio di trasformazione”. • La trasformazione dell’energia e la trasformazione della temperatura sono solo 2 aspetti dello stesso fenomeno: la VARIAZIONE DI ENTROPIA. Per diversi tipi di “energia” posso sommare le “entropie”. • Clausius (1862) definisce come entropia (dal greco εν, “dentro”, e τροπή, “cambiamento”, “punto di svolta”) la funzione S tale che dS=dQ/T. Cercheremo di dare un nome appropriato ad S. Possiamo dire che S indica il contenuto di trasformazione del corpo, così come diciamo che la quantità U è il contenuto di calore e lavoro del corpo stesso. Tuttavia, poiché sono dell’opinione che i nomi di quantità di questo tipo – che sono così importanti per la scienza – debbano essere ricavati dai linguaggi degli antichi al fine di introdurli senza modificazioni nei linguaggi moderni, propongo di chiamare la grandezza S col nome di “entropia” del corpo, partendo dalla parola greca “e tropé” che significa trasformazione. Intenzionalmente ho formato il termine entropia in modo tale da renderlo il più simile possibile al termine “energìa”: infatti entrambe queste quantità sono così strettamente connesse l’una all’altra dal punto di vista del significato fisico che mi pare utile una certa analogia anche nei loro nomi. (Clausius)
• Le trasformazioni dell’energia e le trasformazioni della temperatura erano solo due aspetti dello stesso fenomeno: erano variazione di entropia. • per diversi tipi di energia le “entropie” si potevano sommare. Ma in che modo? Qual era il risultato della loro somma?
Così Clausius otteneva una funzione S che andava ad indicare
una funzione di stato per il sistema capace di equivalere al 2°
principio. Otteneva così l’espressione riferita alla entropia di
un sistema al momento iniziale 0 e al momento finale
t
dQ
St S0
0
T
Entropia = funzione delle variabili che determinano lo
stato interno di un corpo, ovvero rapporto fra la quantità
di calore assorbita reversibilmente dall’ambiente in una
trasformazione elementare reversibile e la temperatura
assoluta del corpo durante la trasformazione stessa.Conseguenze
• La variazione totale di entropia, associata ad una qualsiasi
trasformazione termodinamica, è sempre positiva o nulla. Nel
primo caso la trasformazione è non reversibile, nel secondo
caso è reversibile.
• Una trasformazione spontanea avviene sempre in quella
direzione che determina un aumento dell’entropia. La
trasformazione finisce quando l’entropia raggiunge un
massimo e il sistema è di nuovo in equilibrio.
• Si potrebbe dire che in una trasformazione termodinamica
aumenta il grado di “irreversibilità”.
dStot 0Principio di
non conservazione dell’entropia
• Il nostro universo è imperfetto e non può che
invecchiare: la sua esistenza è a scapito della vita e la
sua destinazione è la “morte termica”
• È la vita la vera “sfida” alle leggi della natura
• Clausius e la tragedia di Krakatoa (26 agosto 1883):
solo l’universo ne ha tratto beneficio…
• In quegli anni Freud cominciava a sostenere che lo
scopo finale di tutte le forme di vita è la morte…Nell’universo
• L’energia è costante
• L’entropia tende a un massimo
• L’energia utilizzabile tende a un minimo
=
L’entropia aumenta
L’energia resta costante
L’energia utilizzabilediminuisceQuale significato fisico? • Applicando il 2° principio all’intero universo, allora l’intero universo “degrada”, si volge verso uno “stadio finale” • Contemporaneamente dalla 1° legge si evince che l’energia di tutto l’universo è costante. • l’estensione dei due principi a tutti i fenomeni portava a connettere in maniera definitiva il principio di conservazione dell’energia con il principio della degradazione (o dissipazione). • il 1° principio era perfettamente in sintonia con la visione classica per cui l’intero universo è un meccanismo ad “orologeria”. Ma il 2°? Cosa comportava l’asimmetria, l’irreversibilità? Poteva davvero esistere una legge come quella dell’entropia?
PROBLEMI APERTI • Quale legame c’è tra movimento e calore? • Cosa significa fisicamente quella quantità dQ/T? • Cosa realmente possiamo dire sulla posizione del parametro T in questa formula? • si andò a studiare la relazione tra T e la vis viva delle molecole in movimento in un gas perfetto.
Parte II
Teoria cinetica, probabilità,
termodinamica• 1738, Bernoulli già tentava di spiegare la relazione tra pressione e volume in termini di movimento molecolare (ipotesi cinetica, contro ipotesi statica). Ad esempio, la pressione esercitata da un gas sulle pareti del contenitore è data dagli urti delle molecole contro tali pareti. Deve dunque esserci una relazione tra la velocità delle molecole e la pressione (e dunque anche volume e temperatura) esercitata dal gas. • Krönig (1856): associare ad ogni molecole un moto rappresentabile mediante probabilità (ovvero, i moti medi delle molecole finissero per avere un andamento fra loro simile, quindi regolare). Questo consentiva di trattare facilmente il gas con metodi statistici. Però Krönig attribuiva alle molecole solo il moto traslatorio. Clausius obietterà, dicendo che le molecole potevano avere anche un moto vibratorio e rotatorio.
Teoria cinetica e teoria termodinamica
• Maxwell (1860) inventa una teoria per coniugare il
modello di Clausius con alcune evidenze
sperimentali ancora inspiegabili e “gestire” il
movimento delle singole particelle. Questa teoria è
nota proprio come distribuzione di Maxwell.
• Clausius prende in considerazione il lavoro di
Maxwell, pur criticandolo in molte sue parti.
PROBLEMI APERTI: se le molecole si muovono a velocità tanto
elevate, perché un gas mentre si diffonde è generalmente molto
lento?La distribuzione di Maxwell
http://zazzetti.altervista.org/?p=42
Distribuzione delle velocità per diverse
temperature. Le curve esprimono la
probabilità di trovare ad una certa velocità una
molecola del gas.
Simulazione di un gas ideale:
http://www.sas.upenn.edu/rappegroup/htdocs/Education/MB/MBjava.htmlIl diavoletto di Maxwell
• 1866, Maxwell raffina il modello del 1860 sfruttando l’idea che le molecole si
respingevano in modo inversamente proporzionale alla potenza ennesima (5°?)
della distanza.
• Era allora sempre più necessario chiarire il significato tra fisica e probabilità.
• “Abbiamo visto che in un contenitore pieno d’aria le molecole ad una temperatura
uniforme si muovono con velocità per nulla uniformi (..). Se noi concepiamo un
essere le cui facoltà sono così acute che può seguire ogni molecola nel suo corso,
questo essere, le cui caratteristiche sono essenzialmente finite come le nostre
proprie, sarebbe capace di fare ciò che attualmente per noi è impossibile”. Questo
essere potrebbe afferrare le molecole più veloci in A e mandarle in B aprendo un
forellino; potrebbe anche afferrare le particelle lente in B e gettarle in A. “Egli
accrescerebbe, senza spesa di lavoro, la temperatura di B e abbasserebbe quella di
A, in contraddizione con la seconda legge della termodinamica” (Maxwell, 1871).
Immagine da
http://it.wikipedia.org/wik
i/Diavoletto_di_MaxwellAltre strade • Le indagini di Rankine (1855) sui vortici molecolari contro la riesumazione di modelli epicurei-lucreziani. • Riflessioni epistemologiche di Rankine: cosa distingue una teoria astratta da una teoria fisica? Nella prima non sempre i termini hanno significato reale, al contrario della seconda. Inoltre, le teorie astratte partono sempre da proposizioni semplici, mentre le teorie fisiche possono partire da proposizioni complesse è necessario che concetti e formalizzazioni vadano usati con liceità in fisica.
La pista di Bolzmann Nell’esperimento mentale di Maxwell sia il mescolamento uniforme di molecole “calde” e molecole “fredde”, sia la loro separazione netta in due recipienti distinti e comunicanti sono eventi che possono verificarsi. Senza scomodare il diavoletto, è un semplice effetto probabilistico. Certo, pensare che per tante volte consecutive si ripetono passaggi identici, è altamente improbabile. Ma non impossibile.
Entropia e probabilità
• L’entropia aumenta perché esprime la tendenza di un
sistema a stabilirsi sulla sua conformazione
corpuscolare (distribuzione molecolare) più
probabile.
• L’entropia è proporzionale alla probabilità dello
svolgersi di un evento.
Bolzmann (1872) cerca di completare il lavoro di Maxwell, partendo dalla funzione f di distribuzione
delle velocità. Così dimostra che la distribuzione di Maxwell rappresenta il punto in cui un sistema si
ferma, poiché quando f(x, t+τ) è la distribuzione di Maxwell si ha
f
0
t• Probabilità di un evento: rapporto tra il
numero dei casi favorevoli (cf) e il numero dei
casi possibili (cp).
cf
p
cp
Frequenza relativa = rapporto tra il numero di volte che si è verificato un certo
evento e il numero delle prove totale. Se le prove sono tendenti all’infinito, allora
la frequenza relativa coincide con la probabilità.
Nella fisica che deve produrre teorie non si ha mai a che fare con eventi singoli…Formulazione probabilistica
del 2° principio
• Un sistema termodinamico, formato da un numero elevato di
individui, tende a raggiungere lo stato più probabile.
• I processi spontanei avvengono sempre in modo tale che
l’entropia, o il disordine molecolare, o la probabilità
termodinamica aumentino.
• L’entropia è la funzione che esprime il passaggio di un sistema
da uno stato “ordinato” ad uno “disordinato”l’entropia
indica il grado di disordine di un sistema.Un altro approccio ai Principi della TDM (cf. Atkins 2010) • Principio 0 e il concetto di temperatura: la temperatura e l’agitazione termica sono interdipendenti • Principio I e la conservazione dell’energia: il calore/lavoro è un trasferimento di energia che sfrutta il movimento coordinato degli atomi dell’ambiente. Si basa sul fatto che l’energia si conserva. A ogni principio di conservazione corrisponde una simmetria (teorema di Noether): in questo caso tale simmetria è quella del tempo che scorre in modo uniforme. • Principio II e aumento dell’entropia: deriva dallo studio delle macchine termiche e ha le formulazioni di Lord Kelvin e Clausius. I processi termici hanno un indirizzo nel tempo e un grado di irreversibilità. • Energia libera e lavoro utilizzabile: è possibile calcolare l’energia di un sistema in espansione (energia di Helmotz), l’energia di Gibbs (nei processi a temperatura e pressione costanti, es. biochimica) • «Principio III» e zero assoluto: non si tratta di un vero e proprio principio ma una precisazione, un approccio particolare alla TDM. Stabilisce l’irrangiungibilità dello 0 assoluto (0°K).
I quanti di Bolzmann • Bolzmann dimostra la sua interpretazione probabilistica dei sistemi termodinamici mediante funzioni integrali (funzione E), dichiarando espressamente che tali integrali indicano sommatorie di successive condizioni in cui il sistema termodinamico si trova. In particolare Bolzmann va a studiare l’energia cinetica delle singole molecole del sistema in modo tale che essa possa avere solo valori multipli di una grandezza infinitesima. Durante una collisione il passaggio di energia cinetica tra le molecole avveniva sempre mediante quantità energetiche ben determinate, ovvero secondo una funzione discreta. • Come coniugare energia e discreto?
Termini e concetti
• Termodinamica: disciplina che studia le leggi con cui i corpi scambiano (cedono o
ricevono) lavoro o calore con l’ambiente che ci circonda.
• Temperatura: parametro che indica la distribuzione più probabile delle popolazioni di
molecole fra gli stati permessi di un sistema all’equilibrio (Atkins 2010, 22)
• Lavoro: prodotto di una forza per uno spostamento.
• Gas perfetto o ideale: aeriforme che ubbidisce a determinate leggi (Boyle e Gay-Lussac)
e con energia interna indipendente dal volume per qualunque valore della
temperatura.
• Gas reale: aeriforme fra le cui molecole operano forze di coesione e repulsione, oltre a
quelle elastiche.
• Calore specifico: quantità di calore che serve per variare di un grado la temperatura
dell’unità di massa di un corpo a pressione costante o a volume costante.
• Capacità termica: quantità di calore che serve per variare di un grado la temperatura di
un corpo.
• Entalpia: corrisponde al vecchio calore latente e si ottiene matematicamente, per via
«artificiale»
• Sistema termodinamico: qualsiasi porzione percettibile di materia, perfettamente
distinguibile dall’ambiente esterno e il cui stato è caratterizzato dal valore di un certo
numero di grandezze fisiche direttamente misurabili
• Universo: sistema + ambiente, spesso assimilato a un bagno d’acqua mantenuto a
temperatura costante
• Sistema aperto/chiuso: se è possibile aggiungervi/sottravi energia-materia
• Proprietà di un sistema: intensive se non dipendono dalla materia, estensive se da esso
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