NEL MONDO DEI NUMERI E DELLE OPERAZIONI - Mathesis
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NEL MONDO DEI NUMERI E DELLE
OPERAZIONI
Durante gli incontri verranno sinteticamente illustrati gli aspetti teorici più importanti
legati agli argomenti trattati. Verranno affrontati, inoltre, testi di problemi in quanto
si ritiene che siano significativi soprattutto sul piano didattico.
4° incontro
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella
1
La moltiplicazione tra numeri naturali
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 191 a pag.194
Itinerario didattico
9.1 Calcolo di un prodotto con l’utilizzo di materiale predisposto
Utilizzo degli schieramenti
Utilizzo della linea dei numeri
Utilizzo delle macchine
9.2 Le proprietà della moltiplicazione
Intuizione delle proprietà della moltiplicazione in situazioni
problematiche
Costruzione della tabella della moltiplicazione e rilievo delle
proprietà dell’operazione
9.3 Calcolo di un prodotto mediante l’algoritmo
La moltiplicazione per potenze di 10
La moltiplicazione per multipli di 10
La moltiplicazione per numeri ad una cifra
La moltiplicazione tra due numeri qualsiasi
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 2
Calcolo di un prodotto con l’utilizzo di materiale predisposto
Portare gradualmente i bambini a lavorare solo con i numeri, staccandosi dagli
oggetti concreti o rappresentati.
macchine
schieramenti
Linea dei numeri
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella
3
riflettiamo
Le proprietà della moltiplicazione
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti
Erickson)da pag. 213 a pag.221
Se la moltiplicazione viene letta come scrittura stenografata di un’addizione ripetuta
il primo fattore indica il numero che deve essere preso come addendo e il
secondo fattore indica quante volte tale addendo va ripetuto.
Per denotare i diversi ruoli è dunque significativo attribuire il nome di moltiplicando al
primo numero, in quanto numero da ripetere, e di moltiplicatore al secondo, in quanto
numero delle ripetizioni.
Ne segue che la moltiplicazione con questa interpretazione non è commutativa.
Se si leggono le moltiplicazioni 9 2 e 2 9 in termini di fiori e vasi, si ha:
9 2 descrive l’uso di 2 vasi in ognuno dei quali sono sistemati 9 fiori;
2 9 descrive l’uso di 9 vasi in ognuno dei quali sono sistemati 2 fiori.
In tutto i fiori sono comunque 18, ma le due sistemazioni sono concretamente diverse.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 4
Le proprietà della moltiplicazione riflettiamo
Proprietà commutativa
La lettura di una moltiplicazione come descrizione di uno schieramento di oggetti non
orientati, quindi anche di incroci, facilita, invece, l’intuizione della proprietà
commutativa, dato che lo schieramento rimane lo stesso e cambia il punto di vista del
soggetto.
Le moltiplicazioni 7 2 e 2 7 descrivono entrambe lo schieramento
lo stesso schieramento è
B formato da 7 colonne ciascuna
di 2 elementi, (2 7)
lo schieramento è formato da 2 righe A
ciascuna di 7 elementi, (7 2)
Non solo è lo stesso il numero di pallini schierati, ma anche la struttura dello schieramento:
le due moltiplicazioni traducono due modi diversi di leggere la stessa disposizione spaziale
di punti.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 5Proprietà associativa
Come interpretare una scrittura in cui compaiono tre fattori?
Ad esempio la scrittura: 9 x 2 x 5 va interpretata come
(9 x 2) X 5 o come 9 x (2 x 5)?
Dopo aver proposto agli allievi parecchi esempi del tipo precedente,
si ipotizza che, poiché le due scritture portano sempre allo stesso risultato, sia
INDIFFERENTE L’ORDINE CON CUI SI PROCEDE NEL CALCOLO.
Si dice associativa la proprietà che in prodotto di tre o più fattori
permette di “associarne” due a piacere.
Tale proprietà, se ben usata, in alcuni casi può facilitare il calcolo mentale.
RIBADIAMO che il riconoscere una proprietà di un’operazione con
esempi è una verifica ma non una dimostrazione.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 6Proprietà distributiva
Si ritiene di grande importanza predisporre attività che consentano ai bambini di
mettere in atto la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione,
dato che questa proprietà ha un ruolo notevole nella giustificazione degli algoritmi per
il calcolo di un prodotto e nel calcolo mentale.
Un materiale di supporto molto efficace è dato dalle confezioni delle pastiglie (blister).
Esempio 1
Ci si procuri un blister tipo:
Gli alunni, dopo tutte le attività svolte sugli
schieramenti, non dovrebbero avere difficoltà a
formalizzare la richiesta di stabilire quante
pastiglie contiene il blister con la
moltiplicazione
6 5 = 30
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 7Si pratica poi nella tessera un taglio come
Si ottengono due blister
Il totale delle pastiglie non è cambiato, ma esse sono state distribuite in due
schieramenti distinti, l’uno di 3 e l’altro di 2 righe, per cui tale totale si ottiene
addizionando le pastiglie dei due nuovi schieramenti:
(6 2) + (6 3 ) = 30
È possibile, dunque, scrivere l’uguaglianza
6 5 = (6 2) + (6 3)
o meglio, per evidenziare il taglio tra le righe
6 (2 + 3) = (6 2) + (6 3)
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 8Lavorando su un blister uguale al precedente si può proporre un taglio tra le colonne
In questo caso il totale delle pastiglie è dato dall’addizione del numero di elementi
schierati in 5 righe da 4 con quello degli elementi schierati in 5 righe da 2:
(4 5) + (2 5) = 30
Vale, allora, anche l’uguaglianza
6 5 = (4 5) + (2 5)
o meglio, per evidenziare il taglio tra le colonne
(4 + 2) 5 = (4 5) + (2 5)
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 9Determinare il numero degli elementi di schieramenti più “grandi”
Esempio 2
Sia da calcolare il numero delle pastiglie contenute nel blister
13 3
Tagliamo lo schieramento in modo da ricondursi a prodotti già noti; per esempio
Equivale a scomporre 13
nella somma di 7 con 6, per
cui
13 3 = (7 + 6) 3
(7 + 6) 3 = (7 3) + (6 3)
Segue che
13 3 = 21 + 18
13 3 = 39
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 10Entrambi i fattori della moltiplicazione hanno due cifre
Esempio 3
Sia da calcolare il numero delle pastiglie contenute nel blister
12 11
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
11
MarinellaDal punto di vista numerico spezzano lo schieramento nel modo seguente:
8 5= 40 4 5= 20
5
6 8 6= 48 4 6= 24
8 4
In riga si ha
12 11 = (8 + 4) (6 + 5) = (86) + (85) + (46) + (45) = 48 + 40+ 24 + 20 = 132.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 12Con una tabella si può scrivere
11
48 +
x 6 5
40 +
8 48 40 24 +
12 20
4 24 20 123
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 13Costruzione della tabella della moltiplicazione
e rilievo delle proprietà dell’operazione
La tabella della moltiplicazione raccoglie alcuni prodotti notevoli, nel
senso che dà in forma schematica i risultati di alcune moltiplicazioni
importanti per fondare l’algoritmo di calcolo.
Le tabelline
Le tabelline possono essere introdotte facendo ricorso a:
situazioni di addizioni ripetute
incroci
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 14Per esempio, per la tabellina del 2 si può fare riferimento al numero totale di
ruote che si hanno facendo variare il numero delle biciclette da 1 a 10, oppure
al numero di incroci che si ottengono intersecando due strade verticali con un
numero di strade orizzontali variabile da 0 a 10.
Si suggerisce, inoltre, di rappresentare ogni tabellina attraverso una tabella a
doppia entrata tipo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
in modo da limitare il numero delle caselle da tenere in considerazione e
fornire uno strumento sintetico utile nelle attività di completamento di frasi
aperte relative alla moltiplicazione.
Si può favorire la motivazione alla memorizzazione delle tabelline
proponendo gare e giochi.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 15L’incolonnamento ordinato delle strisce relative ai numeri da 0 a 10 dà luogo alla classica “tavola
pitagorica”. Si ricorda l’opportunità di disporre nello stesso ordine (crescente) nella riga e nella
colonna di intestazione della tabella stessa i numeri da 0 a 10, così da permettere di cogliere
alcune proprietà dell’operazione anche visivamente.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 56 60
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 16Osservando la tabella …
1. Nella tabella non ci sono x 0 1 2 3 4 5
caselle rimaste senza risultato
porta ad affermare che la 0 0 0 0 0 0 0
moltiplicazione può essere 1 0 1 2 3 4 5
eseguita tra due numeri naturali
qualunque; questa osservazione 2 0 2 4 6 8 10
acquisisce maggiore rilevanza 3 0 3 6 9 12 15
richiamando l’analogia con la
tabella della addizione e la 4 0 4 8 12 16 20
differenza con quella della
sottrazione (e poi con quella 5 0 5 10 15 20 25
della divisione);
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
17
MarinellaOsservando la tabella …
2. Se si traccia la diagonale x 0 1 2 3 4 5
uscente dal vertice in alto a
0 0 0 0 0 0 0
sinistra, come sono i risultati
contenuti nelle caselle in 1 0 1 2 3 4 5
posizione simmetrica rispetto alla 2 0 2 4 6 8 10
diagonale?
3. Da cosa dipende il fatto che i due 3 0 3 6 9 12 15
risultati simmetrici sono uguali? 4 0 4 8 12 16 20
5 0 5 10 15 20 25
La conclusione sarà che il risultato della moltiplicazione non cambia se si
cambiano di posto i due fattori: questa proprietà è detta commutativa, come
l’analoga per l’addizione, e consente di omettere la freccia che orienta la lettura
della tabella; si consiglia, però, di indicarla sempre, dato che non tutte le
operazioni tra numeri naturali sono commutative.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
18
MarinellaCome si comporta lo 0? …
x
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 6 8 10
3 0 3 6 9 12 15
4 0 4 8 12 16 20
5 0 5 10 15 20 25
La colonna e la riga individuate da 0 presentano come prodotto sempre 0;
inoltre, lo 0 come prodotto non si ottiene in nessun’altra casella. Queste
osservazioni costituiscono la cosiddetta legge di annullamento del prodotto: un
prodotto è uguale a 0 se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a 0. Da questo
punto di vista la moltiplicazione è diversa dall’addizione, in quanto una somma di
numeri naturali è uguale a zero se e solo se entrambe gli addendi sono uguali a 0.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 19Come si comporta 1? …
La colonna e la riga individuate
x 0 1 2 3 4 5 da 1 sono uguali a quelle di
0 0 0 0 0 0 0 intestazione; questo significa che
1 è l’elemento neutro della
1 0 1 2 3 4 5 moltiplicazione, ossia il prodotto
2 0 2 4 6 8 10 di un generico numero naturale
a con 1 è il numero a stesso e
3 0 3 6 9 12 15
anche il prodotto di 1 per un
4 0 4 8 12 16 20 generico numero naturale a è il
numero a stesso.
5 0 5 10 15 20 25
In simboli: a x 1= 1 x a = a
Nella riga e nella colonna individuate dal 2 sono presenti “tutti” e soli i numeri
pari.
Con il supporto della tavola della moltiplicazione è possibile cercare in modo
sistematico le coppie moltiplicative di un numero e ritrovare, così, in forma astratta
riferita a tali coppie le osservazioni già esplicitate in modo intuitivo con gli
schieramenti di punti.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
20
MarinellaEsempio
Se si chiede di colorare di rosso tutte le caselle della tabella che contengono il numero
4, si evidenziano tutte le coppie ordinate di numeri che moltiplicati danno 4.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tra le coppie ce n’è
anche una costituita
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
da due numeri uguali:
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2, 2).
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
I numeri che hanno
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 questa proprietà sono
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 detti numeri quadrati.
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Dove si trovano tali
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 56 60 numeri nella
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 tabella?......
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 0 e 1 sono numeri
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 quadrati?.......
10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 21Calcolo di un prodotto mediante l’algoritmo
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 280 a pag. 233
La costruzione dell’algoritmo di calcolo in colonna di un prodotto
deve essere il frutto di passaggi graduali, in modo che esso non sia
applicato solo meccanicamente, ma soprattutto consapevolmente.
Come detto nel paragrafo precedente, i prodotti di due numeri minori
o uguali a 10 sono da memorizzare, perché a questi viene
ricondotto il calcolo del prodotto di due numeri naturali qualsiasi.
La conquista dell’algoritmo deve passare poi attraverso le seguenti
tappe:
1. Moltiplicazione di un numero per una potenza di 10
2. La moltiplicazione per multipli di 10
3. Moltiplicazione di un numero per un numero ad una cifra
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 22Moltiplicazione di un numero per una potenza di 10
Il lavoro condotto in precedenza sul valore posizionale delle cifre dovrebbe favorire
nei bambini la comprensione del fatto che moltiplicare per 10 significa passare al
raggruppamento di ordine superiore: le unità diventano decine, le decine diventano
centinaia, …
Moltiplicare per 100 significa
k h da u passare al raggruppamento di
6 due ordini superiore rispetto a
10 quello di appartenenza del
10 6 0 numero moltiplicato: le unità
6 0 0 diventano centinaia, le decine
10 migliaia, …
6 0 0 0
Più in generale, la moltiplicazione di un numero per la potenza 10n comporta il
passaggio al raggruppamento di n ordini superiore a quello del numero dato. Dato il
ruolo dello 0 come segnaposto, le cifre relative agli ordini di grandezza inferiori a
quello in cui il numero è trasformato sono tutte uguali a 0.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 23La moltiplicazione per multipli di 10
Il calcolo è basato sul caso precedente e sulla proprietà associativa della
moltiplicazione.
Esempio
Sia da calcolare 8 40: si scompone il 40 in fattori in modo che un fattore sia 10
8 40 = 8 (4 10);
per la proprietà associativa della moltiplicazione si può scrivere
8 (4 10) = (8 4) 10
da cui, per le tabelline
(8 4) 10 = 32 10
e per quanto detto sopra
32 10 = 320;
la catena di uguaglianze permette di scrivere
8 40 = 320.
Si noti che è stata applicata la scomposizione in fattori del 40 e non una
presunta, ma inesistente, proprietà dissociativa.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 24CONTIAMO IL DENARO
Per ogni colonna scrivi il valore complessivo ottenuto con le quantità di monete e
di banconote indicate.
3 8 10 15 32 25 50 75 80
3 8
30
300
VALORE
COMPLESSIVO 333
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 25Moltiplicazione di un numero per un numero ad una cifra
Nelle attività con i tagli agli schieramenti, i bambini hanno già avuto modo di
affrontare situazioni come questa, che vede il ruolo fondamentale della proprietà
distributiva.
Esempio
Sia da calcolare 859 7; lo svolgimento in riga è
859 7 = ( 800 + 50 + 9 ) 7 = (8007) + (507) + (97) =
= 5600 +350 + 63 = 6013
.
Per mettere in evidenza la proprietà distributiva si può proporre lo schema
859 = 800 + 50 + 9
x7 x7 x7
859x7= 5600 + 350 + 63 = 6013
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 26Per introdurre la modalità in colonna si suggerisce di strutturare
i passaggi come
859 x 7 = (800 x 7) + (50 x 7) + (9 x 7)
859
x 7
prima tappa
63
seconda tappa + 350
terza tappa 5600
ultima tappa 6013
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 27Oppure:
859
x 7
7x9 63
7 x 50 =7 x 5 x 10 350
+
7 x 800 =7 x 8 x 100 5600
6013
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
28
MarinellaLa moltiplicazione tra due numeri qualsiasi
Esempio
65 31
Si può inizialmente proporre di scomporre in decine ed unità entrambe i fattori e
visualizzare i prodotti parziali in una tabella
31
1 800 +
60
x 30 1
150
60 1 800 60
5
65
5 150 5 2 015
65 31 = (60+5) (30+1) = (6030) + (601) + (530) + (51) =
=1 800 + 60 + 150 + 5 = 2 015
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
29
MarinellaPer sintetizzare il procedimento, non è necessario scomporre in modo additivo
esplicito entrambe i fattori
31
30 1 1 9 5 0 +
65 1950 65 6 5
2 0 1 5
65 31 = 65 (30+1) = (6530) + (651) = (653) 10 + 65 =
=19510 + 65 = 1 950 + 65 = 2 015.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
30
MarinellaI passaggi svolti possono essere disposti spazialmente nelle forme
65
31
65 1= 65
65 30 = (653)10 =1950
65 +
1 950
2 015
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 31Oppure, più ordinatamente: Scrittura sintetica
6 5
6 5
3 1 3 1
65 1 6 5 + 6 5
65 30 = (653) 1 9 5 0 1 9 5 0
10
2 0 1 5
2 0 1 5
Al numero 1 950 nella prassi più comune si sostituisce lo 0 con un trattino o si lascia un
posto vuoto, siamo contrari a tale modo di procedere perché col tempo si perde la
consapevolezza che stiamo lavorando con le decine.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
32
MarinellaSi fa presente che nella moltiplicazione in colonna non è necessario
l’incolonnamento ordinato del moltiplicando e del moltiplicatore, in quanto,
indipendentemente dalla posizione, il moltiplicando va moltiplicato per ogni numero
che compone il moltiplicatore. Si potrebbe anche scrivere, come consuetudine nei
paesi anglosassoni:
5 2 17 4 invece di 5 2 1
2 0 8 4 7 4
3 6 4 7 0 2 0 8 4
3 8 5 5 4 3 6 4 7 0
3 8 5 5 4
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 33TABELLE PER CALCOLARE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 236 e 237
• Completa come nell’esempio.
15 x 18 27 x 18
100
x 10 8 x
50
+ +
10 100 80 80
5 50 40 40
15 x 18 = 270 x =
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 34TABELLE PER CALCOLARE
(da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti
Erickson) pag. 236 e 237
• Completa la tabella inserendo i numeri che mancano e scrivi
l'operazione corrispondente
x 10 x 10 x 40 4
10 90 30 300 800
6 5 5 24
…. x …. = ….. …. x …. = ….. …. x …. = …..
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 35SCOMPONIAMO PER MOLTIPLICARE
• Esegui le moltiplicazioni dopo aver scomposto i numeri come nell’esempio
87 x 5 = (80 x 5) + (7 x 5) = 400 + 35 = 435 27 x 7= ………………
X5 X7
80 400 20 …
7 35 7 …
135 x 8= ………………
87 435 27 …
X8
… …
… …
… …
135
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 36I Bastoncini di Nepero
Una calcolatrice del
XV° secolo
www.istitutomoro.net
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 37NEPERO (John Napier)
Barone di Merchiston
Nacque nel castello di Merchiston nei pressi di Edimburgo (Scozia) nel
1550, si dedicò inizialmente agli studi teologici partecipando attivamente
alla lotta fra protestantesimo e cattolicesimo in difesa della Chiesa
Anglicana.
Abbandonati gli studi di teologia si dedicò esclusivamente agli studi
matematici e alla costruzione di strumenti bellici. Il suo nome è legato
all'invenzione dei logaritmi.
Morì a Edimburgo nell'Aprile del 1617.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 38John Napier (1550-1617)
Nella sua opera:"Rabdologiae" (Edimburgo 1617)
Liber primus afferma:
• “Eseguire dei calcoli è operazione difficile e
lenta e spesso la noia che ne deriva è la
causa principale della disaffezione che la
maggioranza della gente prova nei confronti
della matematica.
Ho cercato sempre - usando tutti i mezzi che
avevo a disposizione e con le forze che il mio
intelletto mi ha dato - di rendere più agevole
e spedito questo processo”.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 390
3 I Bastoncini 0
8 F
3 8 1
0 1
6 Sono costituiti da 10 moduli verticali nei quali 6 2
0 vengono riportate le tabelline dei numeri da 0 a 9. 2
9 4 3
Ogni risultato viene scritto in un quadrato diviso a
1 3
2 metà dalla diagonale principale; si scrive una sola 2 4
1
cifra per ogni parte. Questi sono i “regoli mobili”. 4
5 0 5
Oltre a questi “bastoncini” se ne prepara un altro
1 4
8 che chiameremo “regolo fisso”; esso è costituito 8 6
dalla sequenza di cifre da 1 a 9.
2 5
1 6 7
2 6
4 4 8
2 7
7 2 9
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 40F 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2
0 3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3
0 4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4
0 5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 0 0 1 1 2 3 3 4 4 5
0 6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 0 0 1 2 2 3 4 4 5 6
0 7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 0 0 1 2 3 4 4 5 6 7
0 8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Regolo fisso Regoli mobili
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio
Marinella
41Funzionamento
Con i bastoncini di Nepero si possono effettuare moltiplicazioni fra un
qualunque numero e un elemento del regolo fisso (numeri da 1 a 9).
Si scelgono i regoli mobili con cui comporre il numero da moltiplicare e si
raggruppano assieme; alla loro sinistra si avvicina il regolo fisso e su di
esso si individua il fattore da moltiplicare….
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 42F 2 4 7
Esempio:
0 0 0
1 Se vogliamo effettuare la 2 4 7
moltiplicazione 0 0 1
2 4 8 4
247 x 6 0 1 2
3 6 2 1
riuniremo i regoli mobili e 0 1 2
4 fisso come nello schema. 8 6 8
1 2 3
5 0 0 5
1 2 4
6 2 4 2
1 2 4
7 4 8 9
1 3 5
8 6 2 6
1 3 6
9 8 6 3
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 43F 2 4 7
247 x 6
0 0 0
1 Si va a “leggere” la 2 4 7
combinazione di cifre sul 0 0 1
2 4 8 4
gruppo di regoli mobili in
corrispondenza del 6 sul 0 1 2
3 6 2 1
regolo fisso….
0 1 2
4 8 6 8
1 2 3
5 0 0 5
1 2 4
6 2 4 2
1 2 4
7 4 8 9
1 3 5
8 6 2 6
1 3 6
9 8 6 3
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 44F 247 x 6 2 4 7
Le cifre della combinazione 0 0 0
1 2 4 7
vengono sommate in
0 0 1
2 diagonale e, da destra verso 4 8 4
sinistra compongono il 0 1 2
3 risultato finale … 6 2 1
Eventuali riporti vanno 0 1 2
4 8 6 8
considerati.
1 2 3
5 0 0 5
6 1 2 4
2 4 2
7
8 1 2+2 4+4 2
9
247 x 6 = 1482 1 4 8 2
SEQUENZA
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 45F 859 x 7 8 5 9
In questa operazione bisogna 0 0 0
1 8 5 9
considerare due riporti …..
1 1 1
2 6 0 8
2 1 2
3 4 5 7
3 2 3
4 2 0 6
4 2 4
5 0 5 5
4 3 5
6 8 0 4
5 3 6
7 6 5 3
6 4 7
8 4 0 2
7 4 8
9 859
Quanto
x 7 = 6013
fa? 2 5 1
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 46Se il moltiplicatore ha più di una cifra (es: 521 x 349), allineiamo i bastoncini (5, 2 e 1)
con l’indice e facciamo la somma dei singoli risultati ricordandoci di spostare il parziale
x 4 (decine) di un posto e quello x 3 (centinaia) di due.
Eseguiamo la somma dei prodotti parziali.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 478.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta
Dal conteggio all’operazione aritmetica
L'approccio alla moltiplicazione tramite l'addizione ripetuta è quello più praticato.
Tuttavia c’è una differenza fondamentale tra addizione e moltiplicazione: l'addizione è
eseguibile solo tra quantità dello stesso tipo, mentre la moltiplicazione opera in
genere su grandezze non omogenee.
Inoltre, se la moltiplicazione viene letta come la scrittura stenografata di una successione
di addizioni con gli addendi uguali, non hanno senso le scritture a0 e a1 (con a numero
naturale qualunque), dato che l'addizione è un'operazione binaria, dunque può essere
applicata solo quando si hanno due addendi (o più di due, per la proprietà associativa):
cosa significa, allora, addizionare a con se stesso 0 volte o 1 volta?
Né vale invocare la proprietà commutativa e dire che, se a è maggiore di 1, a0 = 0a e
a1 = 1a, quindi i prodotti sono, rispettivamente, la somma di 0 con se stesso e la
somma di 1 con se stesso a volte, dato che non si può attribuire la proprietà commutativa
ad un’operazione non ancora definita.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 48Attenzione
• Infine, l’utilizzo dell’addizione ripetuta rafforza
ulteriormente il misconcetto secondo cui il risultato di
una moltiplicazione è sempre un numero maggiore dei
due numeri moltiplicati, indipendentemente dal tipo di
numeri utilizzati.
• Si suggerisce di ricondurre le situazioni problematiche di
addizione ripetuta agli schieramenti.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 49Esempio 1
• “Sul balcone di zia Teresa ci sono 4 vasi; ogni vaso contiene 3
fiori. Quanti fiori ci sono in tutto?”.
• La rappresentazione della situazione con il disegno è:
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 50Si suggerisce ai bambini di togliere i fiori dai vasi e di schierarli, in modo da
contarli più facilmente:
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 51•La descrizione di questa disposizione spaziale è “3 fiori in ogni riga per 4
righe; sono in tutto 12 fiori”
•Gli alunni, in forza del lavoro fatto sugli schieramenti, sanno già tradurre
questa affermazione nell’operazione:
3x4=12
Invece dei vasi, nello schieramento come “contenitore” c’è la riga: il tipo di
problema non cambia.
La risoluzione del problema con un'addizione ripetuta comporta di trascurare
"vasi e righe" e considerare solo il numero dei fiori: prendendo un gruppo di 3
fiori per 4 volte si hanno in tutto 12 fiori" e, astraendo anche dai fiori si può
dire:
3 unità per 4 volte danno 12 unità.
Questa frase viene matematizzata con la scrittura
3+3+3+3 =12
del problema iniziale non restano che 4 raggruppamenti equonumerosi,
ciascuno formato da 3 unità.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 52I golosi di mele
Chiara ha invitato i suoi amici Martina, Davide, Riccardo e Sara a giocare. La
mamma sapendo che Chiara e i suoi amici sono golosi di mele, prende il
cesto della frutta, prepara 5 piatti e mette 3 mele in ogni piatto. Quante mele
ha preso la mamma di Chiara dal cesto della frutta?
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 53I golosi di mele
Si rappresenta la situazione finale sul quaderno:
Si fa verbalizzare ai bambini come hanno fatto a trovare il numero di tutte le mele.
La risposta comune sarà:
“Abbiamo contato facendo 3 + 3 + 3 + 3 + 3 e abbiamo trovato 15”
Successivamente si descrive l’operazione concreta:
“Abbiamo preso 5 piatti e in ogni piatto abbiamo messo 3 mele, in tutto sono servite 15
mele”.
Con i numeri possiamo scrivere:
(3, 5) 15
Dalla conversazione dei bambini dovrebbe emergere che:
ci sono gruppi equonumerosi di mele
se mettiamo insieme le mele di tutti i gruppi scopro quante
sono le mele
è come negli schieramenti
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 54Come poter disegnare le mele in modo da contarle con facilità?
Basta togliere le mele dai piatti e formare con esse
5 righe ciascuna con 3 mele
In questo schieramento si
mette in evidenza la
presenza di 5 righe
ciascuna di 3 mele, perciò
si può scrivere:
3 5 = 15
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 55IN MEZZO AL MAR
6 pesci palla di grossa taglia ballano in tondo un bel girotondo.
Ad ogni nota di RE-BEMOLLE da ogni bocca escono 5 bolle.
Disegna le bolle che escono dalla bocca dei pesci e scopri quante sono
se le mettiamo tutte insieme.
Quante bolle fa ogni pesce palla?
Quanti sono i pesci palla?
Quante sono tutte le bolle?
Operazione: ……………………………
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 568.3 Risoluzione di problemi di incroci
Dal conteggio all’operazione aritmetica
L’utilizzo degli incroci in ambito aritmetico ha uno scopo
essenzialmente quantitativo:
stabilire il legame operativo tra la coppia ordinata dei numeri di
linee che si incrociano e il numero dei punti intersezione
ottenuti.
Per riprendere o introdurre i problemi di incroci si può proporre,
ricostruita sul pavimento, la mappa di un quartiere nel quale le
strade sono di due tipi: due strade di uno stesso tipo sono tra loro
parallele, mentre ogni strada di un tipo è perpendicolare ad ogni
strada dell’altro tipo. Le strade possono essere tracciate con nastri
trasparenti di colore diverso, così che il punto in cui due strade si
incontrano ha entrambe le colorazioni.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 578.3 Risoluzione di problemi di incroci
Esempio
Si supponga che nel quartiere le strade di un tipo siano 3 e quelle dell’altro tipo siano
2; la vista dall’alto della rete stradale sarà per esempio:
nastro blu nastro giallo
Si fanno evidenziare gli incroci con dei bollini
adesivi e si fa rappresentare la situazione sul
quaderno:
“3 strade blu si incrociano con 2 strade gialle e abbiamo 6 incroci”
Con i numeri si può scrivere:
(3, 2) 6
I bollini che evidenziano gli incroci sono disposti secondo uno schieramento:
3 bollini per ciascuna delle 2 righe.
Il numero complessivo degli incroci è, dunque, risultato di una moltiplicazione:
32=6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 588.3 Risoluzione di problemi di incroci
Gli incroci consentono di dare significato intuitivo anche alle moltiplicazioni
a x 1, per la quale anche gli schieramenti sono idonei, e, in particolare, a x 0.
Esempio 1
Se si continua con la modalità di lavoro dell’esempio precedente, tracciando sul
pavimento 3 strade rosse e nessuna gialla non si ottengono incroci
La verbalizzazione della situazione è dunque:
“3 strade rosse incrociano 0 strade gialle; si formano 0 incroci”.
Con i numeri si avrà perciò:
(3, 0) 0
ossia
3x0=0
Se almeno uno dei numeri della coppia è 0 il risultato è
conclusione
della moltiplicazione è 0.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella
598.3 Risoluzione di problemi di incroci
Esempio 2
Sul pavimento dell’aula si tracciano 4 strade rosse e 1 gialla.
La descrizione della situazione è dunque:
“4 strade rosse incrociano 1 strada gialla; si formano 4 incroci”.
Con i numeri si avrà perciò:
(4, 1) 4
ossia
4x1=4
Se almeno uno dei numeri della coppia è 1 il risultato è
conclusione della moltiplicazione è uguale all’altro numero della
coppia.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 60LA CITTÀ DI STRADOPOLI
Cinque strade principali (rosse), tra loro parallele, attraversano la città di Stradopoli, che è
divisa in quattro quartieri A, B, C e D.
In alcuni quartieri vi sono delle strade secondarie (gialle); ognuna di esse incontra tutte e
cinque le strade principali.
In ogni quartiere quanti sono gli incroci?
Quartiere A
Le strade principali sono
Le strade secondarie sono
Gli incroci sono
Operazione: ……………………………
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 61Quartiere B
Le strade principali sono
Le strade secondarie sono
Gli incroci sono
Operazione: ……………………………
Quartiere C
Le strade principali sono
Le strade secondarie sono
Gli incroci sono
Operazione: ……………………………
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 62Quartiere D
Le strade principali sono
Le strade secondarie sono
Gli incroci sono
Operazione: ……………………………
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 63ATTENZIONE AGLI INCROCI
Completa come nell'esempio, disegnando ciò che manca.
DISEGNO STRADE INCROCI
(3,2) 6
(6,3) ………
………. ……….
……… 15
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 648.3 Risoluzione di problemi di combinatoria
Dal conteggio all’operazione aritmetica
La moltiplicazione tra numeri naturali può essere fondata ricorrendo a una particolare
operazione tra insiemi finiti, in analogia con quanto fatto per l’addizione e la
sottrazione: si considerino due insiemi finiti A e B, di cardinalità rispettivamente a e b,
e sia c la cardinalità dell’insieme prodotto cartesiano A B, costituito da tutte e sole le
coppie ordinate aventi il primo elemento in A e il secondo elemento in B;
si definisce prodotto cartesiano l’operazione che associa alla coppia
(a, b) il numero c.
Del prodotto cartesiano si ritengono significativi i problemi di tipo combinatorio,
nei quali è necessario descrivere tutti i casi possibili di abbinamento di elementi
appartenenti in genere a due insiemi distinti, per cui è opportuno procedere con
un certo ordine al fine di essere certi di non avere trascurato alcuna coppia o
averne ripetute altre.
La disposizione ottenuta tramite una tabella a doppia entrata rimanda
facilmente agli schieramenti, quindi alla moltiplicazione. .
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 65Si suggerisce di partire con l’esperienza diretta dei bambini e con un numero ridotto di
elementi per poter controllare tutte le combinazioni possibili e rappresentarle nei vari
modi.
Esempio 1
Si individuano 3 bambini della classe (siano Marco, Elena e Giorgia) e si mettono a
disposizione 2 attrezzi della palestra (palla e funicella). La situazione dei dati viene
rappresentata alla lavagna.
Disegnare a sinistra del foglio 3 bambini in colonna: Marco, Elena, Giorgia; a destra del
foglio una palla e una funicella in colonna
Marco
Elena
Giorgia
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 66Per stabilire in quali e quanti modi può giocare ogni bambino è necessario
procedere con ordine, per esempio aiutandosi con frecce:
Marco
Si sono formate le
Elena
coppie:
(Marco, palla)
(Marco, funicella)
Giorgia
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 67Marco Si sono formate le
coppie:
Elena (Elena, palla)
(Elena, funicella)
Giorgia
Marco
Si sono formate le
coppie:
Elena
(Giorgia, palla)
(Giorgia, funicella)
Giorgia
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 68Si fa porre l’attenzione dei bambini sul numero di coppie
ottenute nella distribuzione dei giochi:
• (Marco, palla)
• (Marco, funicella)
• (Elena, palla)
• (Elena, funicella)
• (Giorgia, palla)
• (Giorgia, funicella)
• Si fa descrivere ai bambini la situazione sia a parole:
“Con 3 bambini e 2 attrezzi abbiamo ottenuto 6 coppie”, ossia con i
numeri:
(3, 2) 6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 69Rappresentare sinteticamente tutte le coppie distinte ottenute con una
tabella a doppia entrata.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 70L’analisi della struttura della tabella consente di ritrovare uno
schieramento: per ogni bambino è stata ottenuta una riga della tabella e
per ogni gioco una colonna, quindi le coppie ottenute sono tante quante
le posizioni in uno schieramento formato da 3 righe e 2 colonne.
Dato che interessa non il tipo di coppie, ma il loro numero, si sostituisce
ciascuna di esse con un simbolo e se ne mette in evidenza la struttura
ordinata:
Questa rappresentazione consente di
formalizzare la situazione
problematica di tipo combinatorio con
la moltiplicazione:
32=6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 71Diagramma ad albero
Il diagramma ad albero può essere esteso a contesti combinatori con più di due
insiemi.
M G
E
p f p f
p f
M,p M,f G,p G,f
E,p E,f
I rami dell’albero corrispondono a come possono essere abbinati i bambini con
i giochi; la moltiplicazione 3 2 = 6 può, dunque, essere interpretata come la
descrizione della struttura dell’albero:
3 rami, da ognuno dei quali partono altri 2 rami, portano a 6 uscite.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 72AL GHIOTTONE
Al ristorante "Il ghiottone" il cuoco Gastone ha preparato, per il pranzo
di lavoro, il seguente menu del giorno:
PRIMI PIATTI
SECONDI PIATTI
•Pasta al ragù
•Scaloppina al limone
•Spaghetti al pomodoro
•Trota alla mugnaia
•Ravioli in brodo
•Arrosto di vitello
•Gnocchi alla romana
Quante possibili ordinazioni può fare un cliente che vuole prendere un
primo ed un secondo?
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 73AL GHIOTTONE
PRIMI PIATTI
SECONDI PIATTI
•Pasta al ragù
•Scaloppina al limone
•Spaghetti al pomodoro
•Trota alla mugnaia
•Ravioli in brodo
•Arrosto di vitello
•Gnocchi alla romana
Traccia tra i due "menù" tutte le frecce necessarie per scoprire tutti i diversi
abbinamenti che si possono ottenere.
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 74AL GHIOTTONE
Completa un diagramma ad albero che rappresenta le possibilità di scelta
del cliente
Quanti primi piatti? Quanti abbinamenti?
Quanti secondi piatti? Operazione ……………..
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 75MOLTIPLICAZIONI CON I NUMERI
RAZIONALI
(da LA MATEMATICA, numeri A, ed: La Nuova Italia di Emma Castelnuovo)
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 76Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Emma Castelnuovo suggeriva una
presentazione, ai fanciulli alle prese
per la prima volta con questa
domanda, fatta utilizzando un
cartoncino colorato con due colori
diversi sui due lati. Facciamo blu e
rosso.
Interpretiamo la moltiplicazione 2×3
come il calcolo dell'area del suddetto
cartoncino rettangolare: se la base è
lunga 2 e l'altezza 3, allora l'area sarà
6, e fin qua è facile. Il cartoncino ha
la faccia blu verso l'alto, e diciamo
che blu = positivo. Mettiamolo su un
riferimento cartesiano.
Avremo:
(+ 2)(+ 3) = + 6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 77Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Adesso immaginiamo di sostituire 2
con −2. Cosa significa, dal punto di
vista geometrico?
Significa che dobbiamo girare il
cartoncino, tenendo fissa l'altezza, in
modo che la base ora si estenda lungo
la parte negativa dell'asse delle
ascisse. Il cartoncino si è capovolto, e
ora presenta l'altra faccia.
Rosso = negativo.
Quindi (−2)×(+3) = −6, meno per più fa
meno.
Avremo:
(- 2)(+ 3) = - 6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 78Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Ovviamente se giriamo il cartoncino
lungo l'altra direzione, tenendo
quindi fissa la base, otteniamo il
risultato di (-2)×(−3), che fa +6, e la
proprietà commutativa è assicurata.
Infine, cosa succede se ruotiamo il
cartoncino due volte, una tenendo
fisso l'asse orizzontale e l'altra
tenendo fisso quello verticale?
Facile, il cartoncino ruota due volte,
andrà a finire nel terzo quadrante, e
presenterà però nuovamente la
faccia blu. Ecco la magia:
(−2)×(−3)=+ 6, meno per meno fa
più.
Avremo:
(- 2)(- 3) = + 6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 79Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Infine con una simmetria
rispetto all’asse delle y, il
rettangolo si porta nel IV
quadrante e lo vedremo dalla
parte rossa: la sua area è
dunque – 6.
Avremo:
(+ 2)(- 3) = - 6
Ecco il gioco delle simmetrie
che porta a scoprire la
regola
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 80Ma chi l'ha detto che meno per meno fa più?
Ecco il gioco delle simmetrie che porta a scoprire la regola
(+ 2)(+ 3) = + 6 (blu)
(- 2)(+ 3) = - 6 (rosso)
(- 2)(- 3) = + 6 (blu)
(+ 2)(- 3) = - 6 (rosso)
Si ha dunque che il prodotto di due numeri di ugual segno è positivo, mentre il
prodotto di due numeri di segno opposto è negativo
Questa regola dei segni si può schematizzare in una tabella
x + -
+ + -
- - +
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 81MOLTIPLICAZIONI DI FRAZIONI
Anche per i numeri frazionari, come per gli interi relativi, non si può certamente estendere
il significato di moltiplicazione che si dà per i numeri naturali, e cioè: la moltiplicazione è un
modo più breve per indicare un’addizione di addendi tutti uguali.
2 4
Quale significato infatti potrebbe avere la moltiplicazione x ?
3 5
4 2
Cosa può significare un’addizione di tanti quanti ne indica ?
5 3
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 82MOLTIPLICAZIONI DI FRAZIONI
Si ricorre allora all’interpretazione geometrica: il prodotto di due numeri
rappresenta l’area di un rettangolo che ha come dimensione i numeri dati.
Il prodotto 6 x 4 rappresenta l’area di un rettangolo di dimensioni 6 e 4.
Questo rettangolo si compone
di 24 quadretti unitari; si
verifica in tal modo che il
4 prodotto 6 x 4 è uguale a 24.
6
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 83MOLTIPLICAZIONI DI FRAZIONI
Se le dimensioni del rettangolo sono espresse in frazioni di un segmento, l’area del rettangolo
sarà data dal prodotto di due frazioni, trovato l’area per via geometrica, noi potremo anche
sapere qual è il risultato della moltiplicazione di due frazioni, cioè scopriremo la regola per
moltiplicare due frazioni.
2 4 2
Consideriamo due rettangoli di dimensioni e ; una dimensione sarà dunque i di un
3 5 3
4
segmento e l’altra i di un segmento.
5
D C
Osservando il disegno si può vedere che il rettangolo che ha
per dimensioni i segmenti AB e AD ha l’area di 15 quadretti
K 4
unitari, mentre il rettangolo di dimensioni AH = AB e
5
2 2
3 AK = AD ha l’area di 8 quadretti unitari, cioè
3
8 parti su 15
A H B 8
4 ossia
15
5
Quindi Si scopre che: il prodotto di due frazioni è una frazione che ha come
2 4 numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il
x prodotto dei denominatori.
3 5
Mathesis-Varese 5 maggio 2022 Dova Patrizia - Del Torchio Marinella 84Puoi anche leggere
