La statistica nella ricerca scientifica
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La statistica nella ricerca scientifica
Pubblicazione dei risultati ® Presentazione dei dati e la loro elaborazione
devono seguire criteri universalmente validi
Impossibile verifica dei risultati da parte di altri studiosi ® raccolta dati non
corretta, loro presentazione inadeguata ed analisi statistica non appropriata
La metodologia statistica rappresenta uno strumento indispensabile per
lo studio, l’interpretazione e la divulgazione delle informazioni contenute
nei dati sperimentali
La metodologia statistica fornisce un criterio oggettivo alla spiegazione del fenomenoCome è organizzata la metodologia statistica?
La ricerca sperimentale procede secondo le seguenti fasi:
Osservazione del fenomeno
Formulazione dell’ipotesi
Sperimentazione Campionamento
Raccolta dati Permette di raccogliere i
dati in funzione dello
Discussione scopo della ricerca
Accettazione o rifiuto dell’ipotesi
Disegno sperimentale Descrizione
Permette che le osservazioni in natura e Insieme delle tecniche utilizzate
le ripetizioni in laboratorio sono scelte e per la sintesi dei dati grezzi in
programmate in funzione della ricerca e parametri statistici (media,
delle ipotesi esplicative e non casuali deviazione standard, ecc.)
Utilizzazione del test statistico
Processo logicomatematico che, mediante il calcolo
di probabilità specifiche, porta alla conclusione di
non o poter respingere l’ipotesi della casualitàPrincipi e definizioni
Popolazione: totalità degli
individui aventi in comune
almeno un carattere
Variabile: caratteristiche di una popolazione che può essere misurata
1. Variabile qualitativa: generate da risposte categoriali (es. con un test sulla
tossicità, le cavie muoiono o sopravvivono; con un farmaco, i pazienti
guariscono o rimangono ammalati; ecc.);
2. Variabile quantitativa: risultato di risposte numeriche ( es., per un’analisi
del dimorfismo animale, le dimensioni dell’organo o il peso dei maschi e
delle femmine)
2A. Variabile Discreta: assume solo valori isolati
2B. Variabile Continua: tutti i valori di un intervallo
Parametro: stima delle caratteristiche della popolazione
Es. la lunghezza del fusto è di 10 cm
Lunghezza ® variabile
10 cm ® parametroCampione: parte della popolazione
Fattore: elemento, antropico o naturale, esterno alla popolazione che modifica
in maniera più o meno evidente i parametri della popolazione.
Es., l’irrigazione, la concimazione, la tessitura del suolo, ecc.
Livelli: i livelli ai quali i fattori sono testati
Es., dose di fertilizzante, diversi gradi di tessitura, ecc.
Trattamenti: il livello o la combinazione di più livelli di uno o più fattori
applicato ad un’unità sperimentale.
Es. 0, 10 e 20 Kh/ha di azoto:
Azoto ® Fattore
Dose fertilizzante ® Livello
0, 10 e 20 Kg/ha ® TrattamentiUnità sperimentale: è un’unità di materiale sperimentale alla quale è
stato applicato un trattamento.
Es., individuo, una pianta o un’intera parcella
Replica: è un’unità sperimentale ripetuta
1 replica 2 replica 3 replica
Unità sperimentale 0 Kg/ha Azoto 0 Kg/ha Azoto 0 Kg/ha Azoto
Unità sperimentale 10 Kg/ha azoto 10 Kg/ha azoto 10 Kg/ha azoto
Unità sperimentale
20 Kg/ha azoto 20 Kg/ha azoto 20 Kg/ha azotoParametro statistico: indice che riassume sinteticamente una o più varianti del campione.
Es. media, moda, deviazione standard, ecc.
Inferenza: estensione dei risultati del campione alla totalità della popolazione
Statistica descrittiva: Insieme delle tecniche utilizzate per la sintesi dei
dati grezzi in pochi indici informativi (Es. metodologia per il calcolo della
media, della deviazione standard, ecc.)
Statistica inferenziale: insieme dei metodi con cui si possono elaborare i
dati dei campioni per dedurne omogeneità o differenze nelle
caratteristiche analizzate, al fine di estendere le conclusioni alla
popolazioneStudio di un insieme di dati
La sperimentazione porta all’ottenimento di una serie di dati non organizzati
Nessun giudizio sulle ipotesi formulate
“ E’ necessario organizzare i dati in modo sintetico e condensato”
criterio di organizzazione dei dati: distribuzione per classi di frequenza
Esempio: consideriamo 50 osservazioni di altezza di sorgo da fibraRaggruppamento
per frequenza
Raggruppamento per
classi di frequenza e
frequenza relativa
(numero di individui della
classe/numero totale
d’individui)
Formula per calcolo numero di classi
K = 1 + 3.322 log n
K: numero di classi
n: numero osservazioniRappresentazion
e grafica
Vantaggi
Presenta la totalità
delle informazioni
Svantaggi
A) l’insieme non è chiaro ® presentare sotto forma più breve e più chiara
B) l’insieme non si presta a calcoli né a rigorosi confronti ® occorre trasformarlo
“ Non è efficace”
Un parametro statistico è più efficace:
1) quanto meglio riassume il contenuto informativo dei dati iniziali con la
minor perdita di informazioni (sintetico)
2) quanto meglio si presta ai calcoli ed ai test ulteriori (numerico e
trasformabile)2° criterio di organizzazione dei dati: la media
La media aritmetica (m) è ottenuta dividendo la somma dei valori per il numero dei casi
Es. consideriamo le seguenti tre serie di misure:
A: 99, 100, 101 (media = m = 100)
B: 90, 100, 110 (media = m = 100)
C: 1, 100 ,199 (media = m = 100)
Risultato: la media da sola non è in grado di fornire una sufficiente
informazione sul campione da cui è estratta.
E’ necessario considerare la dispersione di valori attorno alla
media cioè la variabilità del set di dati
La variabilità può essere espressa in diversi modi:
1. Intervallo di variazione: differenza tra il valore massimo e minimo;
2. Devianza o scarto quadratico medio: somma delle singole distanze dalla
media elevate al quadrato
3. Varianza (s 2): rapporto tra la devianza ed il numero delle osservazioni
meno 1 (gdL)
4. Deviazione standard (s): radice quadrata della varianza;
5. Coefficiente di variazione (CV): rapporto tra la deviazione standard e la
media il tutto per 100Esempio: calcolare la media, la varianza e la deviazione standard delle
produzioni parcellari di frumento (Kg)
Quadrati degli
valori Scarti scarti
18,2 18,2 20,3 = 2,1 4,41
22,2 22,2 20,3 = 1,90 3,61 Numero osservazioni (n) = 5
18,7 18,7 20,3 = 1,60 2,56
22,6 22,6 20,3 = 2,3 5,29 Gradi di libertà: numero
19,8 19,8 20,3 = 0,5 0,25 osservazioni meno uno
(n1) = 51=4
Totali 101,5 0 16,12
Soluzione
1. Media (m) = 101,5 Kg
2. Varianza (s 2) : somma quadrati degli scarti/ Gradi libertà
16,12 / 4 = 4,03
3. Deviazione standard (s): √Varianza
√4,03 = 2,0074Che cosa significa “ gradi di libertà”
I gradi di libertà sono “ la quantità di dati necessaria alla stima di un
parametro, ossia il numero di dati indipendenti”
Matematicamente corrispondono al numero delle osservazioni meno 1
Consideriamo l’esempio precedente Quadrati degli
valori Scarti scarti
18,2 18,2 20,3 = 2,1 4,41
22,2 22,2 20,3 = 1,90 3,61
18,7 18,7 20,3 = 1,60 2,56
22,6 22,6 20,3 = 2,3 5,29
19,8 19,8 20,3 = 0,5 0,25
101,5 0 16,12
La somma degli scarti è uguale a 0 Per poter determinare la
somma dei quadrati degli scarti
è sufficiente disporre di tutti gli
scarti meno uno poiché
Se non è indipendente significa quest’ultimo è ricavabile per
che la sua informazione è già differenza (cioè non è
contenuta implicitamente negli indipendente)
altri datiDistribuzione normale: relazioni campione popolazione
I parametri statistici, media, varianza e deviazione standard, fin qui
discussi sono relativi ad un campione, poiché teoricamente è impossibile
determinare tali parametri per un’intera popolazione
Fino a quale punto i dati raccolti su un campione permettono di stimare le
caratteristiche della popolazione di origine?
Per dare una risposta a tale domanda facciamo il percorso inverso:
partiamo dalle caratteristiche della popolazione per arrivare a quelle
del campione
L’esperienza ha dimostrato che le variabili biologiche quantitative di
una popolazione sono “ distribuite normalmente”Che significa “ distribuite normalmente” ?
Distribuzione del peso di 175 topi Distribuzione del peso di un
numero elevatissimo di topi
In una popolazione normalmente distribuita si ha un addensamento dei
valori attorno ad una frequenza massima ed una dispersione simmetrica che
declina man mano che ci si allontana dai valori centrali.
Tipica curva a campana o di GaussCaratteristiche della
curva di Gauss Media
1. è simmetrica rispetto ad un asse
2. l’asse di simmetria coincide con la
media
3. le distanze misurate a partire dalla
media sono le deviazioni standard
La media della popolazione (m) è diversa di
quella del campione
La deviazione standard della popolazione (s)
è diversa di quella del campioneQuanto si scosta la media di un campione da una media della popolazione?
Studi matematici hanno calcolato la
probabilità che un campione preso a
caso dalla popolazione presenta un
valore medio (m) compreso entro certi
limiti
La probabilità di estrarre un
campione che abbia
1) una media uguale a quella della
popolazione ± 1s è del 68%
m = m ±1s ® 68%; Conclusioni:
1. a partire da un campione estratto da
2) una media uguale a quella della una popolazione, è impossibile
popolazione ± 2s è del 95,44%
calcolare esattamente i parametri m e s;
m = m ± 2s ® 95,44%;
2. è invece possibile stimare i loro valori
3) una media uguale a quella della più probabili che sono la media del
popolazione ± 3s è del 99,73% campione (m) e la deviazione standard
m = m ±3s ® 99,73%;
(s)Teorema del limite centrale
“ Se una popolazione è distribuita normalmente con una media m ed una
deviazione standard s, le medie (m 1, m 2, …., m n) di un numero infinito di
campioni, ciascuno composto da n individui estratti a caso dalla
popolazione si distribuiscono secondo la curva di distribuzione normale la
cui media è uguale a m e la deviazione standard è uguale a s/√n”
Il valore s/√n viene definito deviazione standard della media o errore standard (s m , SE
Dai dati di un campione è possibile inferire sulla popolazione :
1. m±1sm ha il 67% delle probabilità di contenere la media della
popolazione
2. m±1sm ha il 95% delle probabilità di contenere la media della
popolazione
3. m±1sm ha il 99% delle probabilità di contenere la media della
popolazioneConclusioni pratiche
1. Una serie di misurazioni devono essere considerati come n individui
di un campione la cui media (m) e deviazione standard (s)
rappresentano la migliore stima della media (m) e deviazione standard
(s) della popolazione da cui il campione è estratto;
2. L’estrazione del campione deve essere casuale;
3. Una serie di campioni ognuno aventi n individui ed estratti da una
popolazione, hanno una media m ed una deviazione standard pari a
s/√n che è l’errore standardStatistica inferenziale: il confronto fra campioni
In precedenza
Confronto fra un
singolo campione e
una popolazione
Confronto fra due
2 campioni:
1. Fanno parte della
stessa popolazione?
2. Fanno parte di
popolazioni diverse?
Praticamente
1 Si stabilisce, scelto un
arbitrario livello di probabilità,
se due campioni trattati in
maniera diversa siano
significativamente differenti tra
loroRisultati significativi e nonsignificativi
Conoscere con chiarezza 1) le convenzioni abitualmente usate
nell’applicazione dei test statistici e 2) alcune nozioni teoriche fondamentali
nell’inferenza.
Test statistico: procedure che, sulla base di dati campionari e con un
certo grado di probabilità, consente di decidere se è ragionevole
respingere l’ipotesi nulla H0 oppure non esistono elementi sufficienti per
respingerla.
Ipotesi nulla o H0: gli effetti osservati nei campioni sono dovuti a fluttuazioni casuali
1. Se l’HO è accettata ® i campioni non sono significativamente differenti:
appartengono alla stessa popolazione;
2. Se l’HO non è accettata ® i campioni sono significativamente differenti:
appartengono a popolazioni differenti;
La scelta delle ipotesi (H0) è fondata sulla probabilità di ottenere per
caso il risultato osservato nel campione nella condizione che l’ipotesi
nulla sia vera. Quanto più tale probabilità è piccola, tanto più è
improbabile che H0 sia vera.La probabilità dipende dal valore stimato con il test o indice statistico (P)
L’insieme di valori ottenibili con il test formano la distribuzione campionaria
dell’indice statistico (P) e può essere diviso in due zone:
1. la zona di rifiuto dell’ipotesi nulla (regione critica), che corrisponde ai
valori collocati agli estremi della distribuzione; quelli che hanno una
probabilità piccola di verificarsi per caso;
2. la zona di accettazione dell’ipotesi nulla, che comprende i restanti valori
Se il valore dell’indice statistico cade nella zona di rifiuto, si respinge l’ipotesi nulla
Per convenzione, i livelli di soglia delle probabilità sono tre:
0.05 (5%), 0.01 (1%) e 0.001 (0.1%)Confronto tra due medie con il test di t Student
Assunzioni:
A. I campioni provengono da popolazioni distribuite
normalmente
B. le rispettive varianze siano omogenee (omoscedasticità)
Quando si utilizza?
1. per il confronto della media di un campione (media osservata) con una generica
media attesaSoluzione:
3
Onesample t test of VAR1 with 7 cases;
Ho: Mean = 25.00000
2
Mean = 23.00000
Count
SD = 1.73205
95.00%
1
CI = 21.39812 to 24.60188
t = 3.05505
df = 6
Prob = 0.02237 0
20 21 22 23 24 25 26
VAR1
Con probabilità inferiore a 0.05 Praticamente:
(di commettere un errore) si Le sostanze tossiche disperse
rifiuta l’ipotesi nulla, cioè le inibiscono la crescita delle piante
differenze non sono dovute al della specie A in modo significativo
caso15
Onesample t test of VAR1 with 13 cases;
Ho: Mean =1.25000
10
Mean = 1.23538
Count
99.00%
CI=1.18579 to 1.28498
5
SD= 0.05854
t = 0.90018
df = 12
Prob = 0.38573 0
1.1 1.2 1.3 1.4
VAR1
Praticamente:
La dimensione media dei 13
individui della specie Hetrocypris
Con probabilità inferiore a 0.01 incongruens pescati nel fiume, non
(di commettere un errore) si è significativamente diversa da
accetta l’ipotesi nulla, cioè le quella degli individui della stessa
differenze sono dovute al caso specie che vivono nei laghi della
regione.2. Confronto tra le medie di due campioni indipendenti
2A. Confronto tra un campione di individui sottoposti a trattamento ed un altro
campione di individui che servono come controllo (non trattato)
Test unilaterale o ad una coda: il test dirà se una media è superiore ad
un’altra escludendo a priori che essa possa essere minore. O viceversa, ma
solamente l’una o l’altra.
2B. Confronto tra le medie di due trattamenti diversi
Test bilaterale o a due code: hanno significato tutte le teoriche possibili
risposte. Questo test stabilisce se le due medie sono differenti
Entrambi i test si possono attuare sia con campioni indipendenti o appaiati sia
su campioni dipendenti o non appaiatiSono campioni dipendenti o appaiati quando un’osservazione di un
campione si accoppia ad una sola osservazione dell’altro campione
Esempio 3
Osservare che i
dati sono
appaiati
La sostanza può essere la causa di variazioni significative di peso?Paired samples t test on PRIMA vs DOPO with 10 cases
Mean PRIMA = 168.20000
Mean DOPO = 177.40000
Mean Difference = 9.20000
99.00%
CI = 18.13032 to 0.26968
SD Difference = 8.68971
t = 3.34798
df = 9
Prob = 0.00855
Prob = 0.00855 < 0.05
Si rifiuta l’ipotesi nulla in quanto la probabilità che la
differenza riscontrata sia dovuta al caso è minore di 0.05
Praticamente: la nuova dieta determina nelle cavie una differenza ponderale significativaSono campioni indipendenti o dati non appaiati campioni formati da individui
differenti. Quindi sono due gruppi di osservazioni ottenute in modo indipendente.
Vantaggi: possono avere un numero differente di osservazioni e sono
espressione della variabilità casuale
Esempio 4
In questo caso i dati sono indipendenti
Gli animali cresciuti nella soluzione con
concentrazione algale maggiore (gruppo X1)
hanno raggiunto dimensioni significativamente
superiori a quelli cresciuti nella soluzione con
concentrazione algale minore (gruppo X2) ?Twosample t test on VARIABL grouped by CONC$
5
Group N Mean SD
X1 20 4.04430 0.12596
X2 20 3.05135 0.08995
4
Separate Variance
VARIABL
t = 28.68940
df = 34.4
Prob = 0.00000 3
Difference in Means = 0.99295 95.00% CONC
CI = 0.92264 to 1.06326
X1
2 X2
Pooled Variance 20 15 10 5 0 5 10 15 20
Count Count
t= 28.68940
df = 38
Prob = 0.00000
Difference in Means = 0.99295 95.00%
CI = 0.92289 to 1.06301
Praticamente
La maggior concentrazione algale
Prob = 0.00000Esempio 5
Dati indipendenti e mancanza di un datoTwosample t test on PH grouped by ROCCE
Group N Mean SD 9
X1 12 8.11667 0.12287
X2 13 7.13615 0.17727
8
Separate Variance
t =16.17330
PH
df = 21.4
7
Prob = 0.00000
Difference in Means = 0.98051 ROCCE
95.00% X1
6 X2
CI = 0.85458 to1.10644 15 10 5 0 5 10 15
Count Count
Pooled Variance
t =15.93822
df = 23
Prob = 0.00000
Difference in Means = 0.98051
95.00%
CI = 0.85325 to 1.10778
Praticamente
Si rifiuta l’ipotesi nulla in quanto la I due gruppi di laghi hanno un
probabilità che la differenza riscontrata sia pH medio statisticamente
dovuta al caso è minore di 0.05 molto diversoErrore di I e II tipo
In ogni confronto è possibile, per effetto del caso:
1. che venga considerato diverso (rifiuto dell’ipotesi nulla) ciò che in realtà non
lo è (errore di tipo I o a)
2. che venga considerato simile (accettazione dell’ipotesi nulla) ciò che in
realtà è differente (errore di tipo II o b)
Non è possibile evitare tali errori, ma è possibile stabilire un limite massimo in
cui il caso possa condurre a commettere errori
Lo scarto di a dall’unità rappresenta il livello di protezione del test
Esempio: con a=0.05, il livello di protezione è pari a 0.95 cioè al 95% delle probabilità
Lo scarto di b dall’unità, rappresenta il livello di potenza del test cioè la
capacità di evidenziare differenze
All’inizio di ogni test si stabiliscono i valori di a o bEsempio nell’utilizzare diversi livelli di protezione e potenza del test
Se si effettua una prova di prescreening per individuare specie di
probabile interesse per la produzione di biomassa, potrebbe essere utile
abbassare il livello di protezione (a=0.1) a vantaggio di una maggiore
potenza del test.
Quindi, è meglio correre il rischio di includere specie che potrebbero
essere inferiori, piuttosto che eliminare specie che potrebbero rivelarsi di
estremo interesse
La potenza del test
1. diminuisce all’aumentare di a
2. Aumenta se l’effetto del trattamento è maggiore
3. Aumenta se la varianza diminuisce (incremento del numero delle osservazioni)Analisi della varianza (ANOVA)
Nella ricerca sperimentale, il confronto avviene spesso simultaneamente
tra più di due gruppi di individui
“ Non è corretto ricorrere al test t Student per ripetere l’analisi tante volte
quanti sono i possibili confronti a coppie tra i singoli gruppi”
Perché ?
Con il t test
1. si utilizza solo una parte dei dati
2. la probabilità a prescelta per l’accettazione dell’ipotesi nulla è valida solamente
per ogni singolo confronto
L’analisi della varianza consente di effettuare il confronto simultaneo tra
più medie mantenendo invariata la probabilità a prefissataNovità introdotta dall’ANOVA:
Permette di scomporre e di misurare l’incidenza delle diverse fonti di
variazione sui valori osservati di due o più gruppi
Permette la ripartizione della varianza totale della variabile dipendente nella
varie componenti attribuibili a fonti di variabilità nota (variabili indipendenti)
e non nota (errore)
Esempio Con il t test
Per confrontare l’effetto di due tossici su un gruppo di cavie questi dovevano
essere raggruppati il più omogeneo possibile. Cioè gli animali dovevano essere
raggruppati per sesso, età, dimensione, ecc. Quindi, le conclusioni sono limitate
al gruppo di animali con le caratteristiche prescelte, senza la possibilità di
estensione ad altri caratteri. Per comprendere l’incidenza degli altri caratteri si
doveva ripetere l’esperimento variando un carattere alla volta.
Con l’ANOVA
Conoscendo le cause ed i diversi fattori, è possibile attribuire ad ognuna di
essi la parte di effetto determinata e contemporaneamente ridurre la
variabilità d’errore.
Quindi, posso testare contemporaneamente l’effetto dei diversi fattori e le
loro interazioni:
1) sesso
2) età
3) dimensioniIl giudizio di significatività viene dedotto dal rapporto tra varianza apportata dal
trattamento (oggetto d’indagine) e quella dovuta ai fattori non controllabili (errore
o varianza dovuta al caso).
Tale rapporto (Foss ) viene poi confrontato con la distribuzione di F (statistica di
Fisher) (Ftab )
Se Foss ≥ a Ftab , alla probabilità prefissata (a=0.05 o a=0.01)
L’ipotesi nulla può essere rifiutata ® almeno una delle medie è diversa dalle altreAssunzioni
’errore e le osservazioni devono essere distribuite normalmente ed indipendentemente
2. le varianze dei campioni devono essere omogenee (omoscedasticità)
3. le varianze dei campioni non sono correlate alle rispettive medie
4. gli effetti principali devono essere additivi1A. Distribuzione normale ed indipendente dell’errore
Procedura
1. Costruire la tabella degli
errori: ad ogni dato si
sottrae la media generale,
quella del trattamento e
quella del blocco (se è un
disegno a blocchi
randomizzati)
2. Osservare l’andamento
dell’errore: es. errori
differenti tra i trattamenti
indicano non indipendenza
L’errore è simile nei
blocchi 1 e 4, e 2 e 3,
per cui non è
distribuito in modo
randomizzato
Soluzione: trasformazione dei dati1B. Le osservazioni devono essere distribuite normalmente
Test di KolmogorvSmirnov
Test negativo: trasformazione dei dati
2. Le varianze dei campioni devono essere omogenee (omoscedasticità)
Test Hartley Test Bartlett si utilizza quando Test negativi:
Test Cochran ci sono dati mancanti trasformazione dei
Test Bartlett Test Levene è preferibile in dati
Test Levene quanto è il più robusto
Comunque per osservare che le varianze sono omogenee è bene controllare
graficamente la distribuzione dell’errore sia prima del test sia dopo aver
trasformato i dati4. gli effetti principali devono essere additivi Test di Tukey
Trasformazione dei dati
La trasformazione dei dati stabilizza le varianze, normalizza le distribuzioni e
linearizza i rapporti fra le variabili
Esistono diversi tipi di trasformazione: logaritmica, esponenziale, ecc.
Considerazioni per la scelta del tipo di trasformazione:
1. La logaritmica ® effetto moltiplicativo dell’errore o quando la varianza è
correlata alla media
2. radice quadrata ® rende le varianze omogenee
3. reciproci ® efficace quando la varianza aumenta in modo molto
pronunciato rispetto alla media
4. trasformazioni angolari ® dati in proporzioni o percentualiAnalisi della varianza a un criterio di classificazione (ANOVA I)
Caratteristicihe
1 fattore a più livelli
Esempio 6Source SumofSquares df MeanSquare Fratio P
FATTORE$ 0.50294 2 0.25147 2.53815 0.12043
Error 1.18890 12 0.09908
P > 0.05 per cui si accetta l’ipotesi nulla, cioè le differenze sono dovuta al caso
Praticamente
Le tre zone non mostrano differenze significative nella quantità in ferroConfronti multipli o a posteriori
Quando il confronto statistico avviene fra più di due campioni e l’ANOVA
mostra differenze significative,
confrontano le medie
per conoscere quali gruppi sono significativamente differenti e quali no
I confronti possono avvenire fra singole medie o fra gruppi di medie
1 2 3
Cultivar X 20 Kg/ha azoto Confronto X20
Cultivar Y 80 Kg/ha azoto X80 X 20
Y20 Y 40
Y80
Confronto semplice Confronto complessoPuoi anche leggere
