La congettura matematica che sto per raccontarvi ha veramente dell'incredibile (ammesso ovviamente che non ne siate già a conoscenza). Si tratta ...
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I Geometri e la matematica – a cura del geom. Gianni Rossi – gianni.rossi@corsigeometri.it
2.1.5 Perché la somma di tutti i numeri naturali è
incredibilmente pari a −1/2?
La congettura matematica che sto per raccontarvi ha veramente
dell’incredibile (ammesso ovviamente che non ne siate già a conoscenza).
Si tratta infatti di una teoria che afferma quanto segue:
La somma di tutti i numeri naturali è pari a −
Significa che se noi sommiamo tutti i numeri naturali, a partire da 1 e
fino all’infinito, anziché trovare che il risultato è +∞, come tutti siamo
portati a pensare, scopriamo invece che tale valore diventa incredibil-
mente − :
1
1 +2 + 3 + 4 +5 + 6⋯⋯ → ∞ = −
12
In pratica, secondo questa ipotesi succede questo: se noi fermiamo la
somma dopo un numero grande a piacere di numeri naturali, otteniamo
come risultato un numero positivo tanto più grande quanto più in là ci
siamo fermati, così come è del tutto intuitivo aspettarci. Ma se noi fos-
simo in grado di protrarre la somma fino all’infinito, vedremmo il risul-
tato “collassare” drasticamente e inaspettatamente al valore di − , vale
a dire ad un valore più piccolo del primo addendo (1) e addirittura nega-
tivo anche se la somma riguarda tutti numeri positivi. Naturalmente da
un punto di vista “umano” siamo tutti consci che proseguire la somma
dei numeri naturali fino all’infinito è un’operazione impossibile. Questo
perché l’infinito è … l’infinito, il che significa che la somma non avrebbe
mai fine. E se non riusciamo mai a terminare la somma, non riusciremo
mai nemmeno a conoscerne il risultato. Fortunatamente in matematica il
concetto di infinito è molto più affrontabile di quando non lo sia in natura
(dove anzi non lo è per niente).
Ad ogni modo, tornando all’affermazione di cui sopra, penso che dopo
averla letta starete dicendo anche voi quello che ho detto anch’io la prima
volta che ne sono venuto a conoscenza:
Ma chi è che sostiene una follia del genere!
È presto detto, a sostenerla per primo fu il matematico indiano Srini-
vasa Ramanujan vissuto a cavallo tra il 1800 e il 1900. In realtà Ramanu-
jan non era un matematico di stampo classico, nel senso che non aveva
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sostenuto il percorso di studi in materia che già all’epoca in Europa era
sufficientemente consolidato. Infatti, fino a quando non entrò in contatto
epistolare con l’ autorevole matematico inglese Godfrey Harold Hardy,
Ramanujan era più un “contabile” che un matematico. Tuttavia, proprio
questa sua distanza abissale dagli studi classici gli hanno permesso di ap-
procciare la materia con una visione completamente diversa da quella tra-
dizionale. Infatti fu proprio grazie a questa sua estrazione fuori dagli
schemi che gli permise di partorire una serie di teoremi e congetture,
come quella qui trattata, che non avrebbero nemmeno sfiorato la mente
dei più illustri matematici Europei del suo tempo.
Come vedete, quindi, non stiamo parlando della classica leggenda me-
tropolitana dell’ultima ora, ma di una teoria che ha ben un secolo e mezzo
sul groppone. Tuttavia è rimasta a lungo sotto traccia proprio per la sua
presunta “follia”. Avvalorarla significava infatti rischiare di essere presi
per matti, come del resto fu considerato lo stesso Ramanujan all’inizio dei
suoi contatti con i matematici inglesi. Il bello è che la ritrosia a conside-
rare questa sua tesi ha resistito per molto tempo nonostante che nel 1859
il famoso matematico tedesco Bernhard Riemann, estendendo la sua ce-
leberrima “funzione zeta” al contesto dei numeri complessi, perveniva
allo stesso risultato8. In epoca attuale, invece, la congettura è tornata alla
ribalta dopo che alcuni studi molto avanzati ne hanno dimostrato la vali-
dità in materie strettamente connesse con la matematica, come ad esem-
pio in alcuni ambiti della fisica dove viene utilizzata9.
Questa congettura è dunque una questione tutt’ora molto dibattuta tra
chi, da “matematico integralista”, la contesta in toto e chi, da “matema-
tico aperto”, la ritiene del tutto lecita e corretta nell’ambito del contesto
in cui la si considera. Ma tornerò su queste valutazioni “filosofico-mate-
matiche” alla fine del paragrafo.
8 Trattare la funzione zeta di Riemann (indicata con la zeta greca Ϛ) va ovviamente
oltre gli scopi di questo libro. Ma per gli appassionati di matematica questa fun-
zione costituisce una delle più affascinanti sfide tuttora aperte. Riemann ipotizzò
infatti, ma senza dimostrarlo, che gli zeri (non banali) di questa sua funzione fos-
sero tutti appartenenti alla linea che ha per ascissa il numero reale 1⁄2 (nel piano
cartesiano dei numeri complessi) e che la distribuzione di tali zeri fosse correlata
con la distribuzione dei numeri primi. Tale sua ipotesi è diventata nota per l’ap-
punto come “Ipotesi di Riemann” ed è considerata il più importante problema ma-
tematico tuttora irrisolto, visto che nessuno a tutt’oggi è ancora riuscito a dimo-
strarla, nonostante alcuni enti accademici abbiano messo in palio premi in denaro
molto consistenti a chi dovesse riuscirvi.
9 Uno di questi studi è opera di Joseph Polchinski, famoso fisico statunitense, autore
del libro “String Theory” (1998) sulla teoria delle stringhe, considerato uno dei
testi più autorevoli del settore.
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Per il momento conviene non perdere altro tempo e passare alla dimo-
strazione, cosa che cercherò di fare utilizzando sempre l’approccio “da
geometra a geometra”, un criterio espositivo che in questo caso ribadisco
volutamente in considerazione di due constatazioni. La prima è che la
dimostrazione iniziale di Ramanujan è molto più brillante e compatta di
quella che fornirò io, ma risulterebbe comprensibile solo a chi ha già una
buona preparazione matematica. La seconda è che le varie dimostrazioni
“più digeribili” che si trovano online sono purtroppo quasi tutte in lingua
inglese e diventano quindi piuttosto ostiche da seguire per chi non ha una
buona padronanza di questa lingua.
Bene, prima di iniziare con lo sviluppo vero e proprio della dimostra-
zione, è necessario focalizzare alcune proprietà delle somme in serie di
numeri interi. La prima cosa da chiarire è innanzi tutto che per “somma”
si intende quella algebrica, in cui appare sia il segno + che il segno −, vale
a dire la presenza sia di numeri positivi che negativi. In secondo luogo è
bene ribadire la neutralità dello 0 nella somma di numeri, cioè il fatto che
questo numero10 può essere aggiunto a piacere in qualsiasi posizione della
serie senza che ciò ne alteri il risultato. Questo significa che, data ed esem-
pio questa somma in serie:
= −1 + 12 + 3 − 2 + 7 − 3 = 16
se noi aggiungiamo uno 0 in qualsiasi posizione, ad esempio all’inizio,
il risultato non cambia:
= 0 − 1 + 12 + 3 − 2 + 7 − 3 = 16
So bene che alcuni di voi, leggendo questo passaggio, penseranno che
non c’era nemmeno bisogno di precisarlo. Ma l’ho fatto per non trala-
sciare niente di tutto ciò che serve a far capire la dimostrazione.
Ultima proprietà da considerare è che, date due somme in serie di cui
vogliamo calcolare la somma complessiva, questa può essere ottenuta in
due modi: 1) calcolando dapprima il risultato di ciascuna serie e poi som-
mando i due risultati, oppure: 2) sommando tra loro i singoli addendi
delle due serie per poi sommare i risultati così ottenuti. Tutto questo si
può facilmente capire dall’esempio che segue nel quale, per semplicità,
espongo due serie molto limiate. Ma il concetto vale ovviamente anche
quando le serie sono infinite.
10 Sarebbe anche interessante riflettere sul perché nell’antica Grecia lo zero non ve-
niva nemmeno considerato un numero.
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= −1 12 3 2 7 3 16
4 2 11 1 5 13 22
3 10 14 1 2 10 38
Questo artificio di sommare due serie di numeri addendo per addendo
mi porta inevitabilmente alla mente l’aneddoto del piccolo Karl Friedrich
Gauss scolaro elementare. Sono certo che molti di voi ne hanno già sen-
tito parlare ma, per chi non lo sa, è una storiella interessante e che, nello
specifico, si dimostrerà strettamente legata alla tesi di Ramanujan.
Naturalmente non serve nemmeno ricordare chi fu Karl Friedrich
Gauss visto che il suo nome viene nominato spesso da noi geometri
quando parliamo delle mappe catastali redatte nel sistema di riferimento
Gauss-Boaga, ma soprattutto quando applichiamo la teoria degli errori
nel calcolo dei rilievi topografici così come abbiamo fatto per tutta la
prima parte di questo libro. Gauss fu infatti un matematico che si appas-
sionò a molteplici discipline correlate alla matematica, come l’astronomia
e la geodesia. Da anziano, a chi gli chiedeva quando fosse stata la prima
volta che si rese conto del suo talento e della sua genialità matematica,
raccontava un episodio che gli era capitato quando frequentava le scuole
elementari11. Diceva che un giorno il maestro diede da svolgere agli sco-
lari il seguente esercizio:
Fate la somma di tutti i numeri da 1 a 100 !
L’intento dell’insegnante era probabilmente quello di tenere impegnati
i ragazzini per un bel po’ di tempo potendosi così rilassare. Senonché il
ragazzino Gauss, dopo appena un minuto, alzò la mano e disse:
Fatto, Maestro, fa 5050 !
Come ha fatto? Ha sfruttato proprio la somma di due serie di numeri
di cui stiamo parlando. Ha cioè scritto dapprima la serie in ordine da 1 a
100 e poi l’ha riscritta subito sotto in ordine inverso, da 100 a 112, il tutto
come mostrato qui sotto.
11 Lo raccontò più di una volta cambiando per la verità il dato relativo all’età: in
un’occasione disse che aveva 7 anni, in altre disse invece di averne avuti 10 o 11.
12 C’è da star sicuri che il piccolo Gauss le due serie le ha appena accennate, come
nell’esempio che segue. Non aveva certo bisogno di scrivere tutti e 100 i numeri.
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Poi ha sommato addendo per addendo accorgendosi che tutte queste
somme parziali davano come risultato 101:
= 1 +2 +3 ................ +98 +99 +100
= 100 +99 +98 .................. +3 +2 +1
2 = 101 +101 +101 .............. +101 +101 +101
100
A quel punto era chiaro che il doppio della somma cercata era pari a
100 volte il valore 101, per cui il risultato era dato da questa semplicissima
operazione:
2 = 100 • 101
100 • 101
= = 5050
2
Da allora questa brillante intuizione del Gauss scolaro elementare è
stata coniata nella formula per calcolare la somma dei primi numeri
naturali13:
• +1
=
2
Riprenderemo questa formula nella parte finale della dimostrazione.
A questo punto abbiamo tutte le “armi” per dimostrare la tesi di Ra-
manujan che, per comodità, ripeto qui:
1
1 +2 + 3 + 4 +5 + 6⋯⋯ → ∞ = −
12
Per riuscirci, dobbiamo prendere in considerazione altre due serie,
anch’esse infinite, che chiamerò e !14. La prima consiste semplicemente
nel continuare a sommare e a sottrarre 1:
13 Si faccia attenzione al fatto che la formula può sembrare una frazione e che come
tale può dare un risultato non intero. In realtà è una “frazione apparente” perché:
se è pari, si semplifica con il 2 al denominatore; se invece è dispari, a semplifi-
carsi sarà + 1. Il risultato sarà quindi sempre un numero intero.
14 Nelle dimostrazioni che si trovano online queste due serie vengono in genere chia-
mate e , ma io preferisco dargli due nomi distinti tra loro perché questo rende
più chiara la dimostrazione.
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= 1 − 1 + 1 − 1+ 1 − 1 ⋯⋯ → ∞
La seconda consiste invece nel sottrarre e sommare alternativamente i
numeri naturali alternando il segno + e il segno − :
! = 1 − 2 + 3 −4 + 5 − 6 ⋯⋯ → ∞
Quanto valgono queste due serie?
Partiamo dalla prima. È evidente che il risultato di questa serie è sem-
pre +1 se fermiamo la somma ad un numero dispari di elementi, mentre
è sempre 0 se invece ci fermiamo dopo un numero pari. Ma noi non dob-
biamo fermarci, dobbiamo protrarla all’infinito. Dunque?
Beh, intuitivamente verrebbe da dire che se la somma “balla” costan-
temente solo tra 0 e +1, il risultato non può essere che la media di questi
due valori, cioè . Ma in matematica non basta l’intuizione, le cose biso-
gna dimostrarle. E in questo caso la dimostrazione si ottiene sempre con
il metodo del piccolo Gauss, più una leggera variante. Sommiamo la serie
a sé stessa ma inseriamo nella seconda copia uno 0 iniziale, cosa che,
come abbiamo detto in precedenza, non altera il valore della serie stessa.
Con questo artificio, sommando le due serie addendo per addendo, otte-
niamo:
= 1 − 1 + 1 − 1+ 1 − 1 ⋯⋯ → ∞
= 0 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯⋯ → ∞
2 = 1 + 0 − 0 + 0 − 0 + 0 ⋯⋯ → ∞
Cioè un 1 seguito da tutti zeri fino all’infinito. Quindi:
2 =1
1
=
2
Il che conferma quello che potevamo dedurre intuitivamente. Pas-
siamo ora alla seconda serie e applichiamo lo stesso artificio: la raddop-
piamo inserendo sempre uno 0 in testa alla seconda copia. Come mo-
strato qui sotto, il risultato della doppia somma risulta essere esattamente
la serie appena trattata:
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! = 1 − 2 + 3 −4 + 5 − 6 ⋯⋯ → ∞
! = 0 + 1 − 2 +3 − 4 + 5 ⋯⋯ → ∞
2! = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ⋯ ⋯ → ∞
Cioè:
2! =
Ma adesso noi sappiamo che:
1
=
2
Quindi:
1
2! =
2
1
!=
4
Consideriamo ora la serie che ci interessa calcolare (che chiamerò ) e
quest’ultima ! appena calcolata. Questa volta sottraiamo la seconda dalla
prima (facciamo quindi attenzione che “meno per meno fa più”):
= 1 +2 +3 +4 +5 + 6⋯⋯ → ∞ = ?
# $%&' →− − − − − − −⋯⋯ → ∞
1
! =1 −2 +3 −4 +5 − 6 ⋯⋯ → ∞ =
4
− ! = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 ⋯ ⋯ → ∞ = ?
Il risultato è una serie in cui compaiono tutti i multipli di 4 e tutti zero
nei restanti addendi. Possiamo quindi raccogliere 4 a fattor comune ed
eliminare tutti gli zeri:
− ! = 4 • 1+ 2 + 3 + 4 +⋯⋯ → ∞
Ma poiché parliamo sempre di estendere il tutto all’infinito, la serie
dentro la parentesi non è altro che la serie che vogliamo calcolare. Dun-
que:
−! =4
Portiamo la del primo membro a destra dell’uguale, cambiandogli di
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segno:
−! = 4 −
Facendo la sottrazione a destra otteniamo:
−! = 3
Ma noi sappiamo che:
1
!=
4
Quindi, invertendo per semplicità i membri rispetto all’uguale, arri-
viamo alla conclusione:
1
3 = −
4
1
= −
12
1
= 1 +2 +3 +4 +5 + 6⋯⋯ → ∞ = −
12
Come accennavo all’inizio, questo incredibile risultato viene conte-
stato dai “matematici integralisti” e nel paragrafo che segue illustrerò le
loro tesi volte a dimostrare come questa congettura sia da considerarsi
del tutto priva di fondamento. Ci sono tuttavia altri matematici che invece
la considerano del tutto valida con la sola condizione che venga conside-
rata “in funzione del contesto”. Come già accennato, tale validità è infatti
dimostrata sia dalle applicazioni di fisica che utilizzano questa conget-
tura, sia dalla “funzione zeta” di Riemann che, estesa al contesto dei nu-
meri complessi, dà lo stesso identico risultato di − quando viene valu-
tata per il numero −1. In pratica, questi ultimi matematici sostengono
che le tesi vanno “contestualizzate”. Viceversa, dicono, nemmeno la ra-
dice quadrata dei numeri negativi ha alcun fondamento. Eppure l’unità
immaginaria ' alla base dei numeri complessi:
' = √−1
ha permesso alla matematica di estendere il proprio campo di azione
anche a quest’altra famiglia di numeri, la quale trova ampia applicazione
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nel risolvere molti problemi in varie discipline15. Personalmente io con-
cordo con questa visione della matematica contestualizzata perché, come
avrete notato in un paio di note a piè pagina, penso sempre che nemmeno
i numeri negativi avrebbero molto senso in natura, visto che non si può
possedere −1 pecora, eppure trovano applicazione dappertutto.
Seguendo questa scuola di pensiero, e da buon geometra, voglio termi-
nare questo paragrafo mostrando una visione “geometrica” della conget-
tura di Ramanujan, e per farlo ritorno alla formula del Gauss scolaro ele-
mentare per calcolare la somma dei primi numeri naturali:
• +1
=
2
Nella dimostrazione appena conclusa, visto che abbiamo esteso la
somma dei numeri naturali fino all’infinito, in pratica è come se avessimo
applicato questa formula sostituendo con ∞. Ma è ovvio che se faces-
simo davvero questa sostituzione non sapremmo più come calcolarla.
Tuttavia è molto interessante vedere che risultato dà questa formula se la
utilizziamo come una funzione, cioè considerando come la variabile in-
dipendente ) ed come la variabile dipendente *, costruendone poi il gra-
fico. Per fare questo, come prima cosa operiamo quindi la sostituzione
dei simboli e, con semplici passaggi algebrici, trasformiamo la formula in
un’equazione classica, cioè eliminando la frazione e trovando i coeffi-
cienti della ) (anch’essi senza frazione):
) • )+1
*=
2
) +)
*=
2
1 1
*= ) + )
2 2
* = 0.5 ) + 0. 5 )
Come vediamo, alla fine perveniamo ad un’equazione di 2° grado, il
che dovrebbe farci ricordare dai tempi di scuola che corrisponde geome-
tricamente ad una parabola. Cerchiamo quindi di disegnarla sul CAD. Per
15 Per restare nell’ambito delle materie di competenza dei geometri, ad esempio, i
numeri complessi appaiono anche in alcune formule dei calcoli per la certifica-
zione energetica degli edifici.
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farlo calcoliamo i valori della * a partire da quelli della ) sia per le ascisse
positive che negative. Questa operazione si può tranquillamente fare in
Excel16 inserendo i valori della ) e calcolando quelli della * dopo aver
impostato come formula l’equazione di cui sopra. Le due tabelle che se-
guono riportano i valori calcolati, la prima quelli da 0 verso il senso posi-
tivo delle ascisse, la seconda da −1 verso il senso negativo:
, ≥. , ≤ −0
, 1 , 1
0 0 -1 0
1 1 -2 1
2 3 -3 3
3 6 -4 6
4 10 -5 10
5 15 -6 15
Disegnando questi punti sul CAD ed unendoli con il comando Spline,
otteniamo il grafico della parabola:
Figura 1 – La parabola della formula di Gauss per calcolare la somma di numeri
naturali, trasformata in funzione.
16 Come infatti ho fatto io sul file Spline_Gauss.xlsx fornito a corredo del volume.
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Come possiamo notare, la parabola ha due zeri (punti in cui incontra
l’asse delle ascisse): uno nell’origine stessa del sistema cartesiano 0, 0 ,
l’altro nel punto di coordinate 1, 0. Concentriamoci ora proprio su quel
piccolo spicchio di parabola entro questi due punti che scende al di sotto
dall’asse delle ascisse. Se misuriamo con il comando AREA del CAD17 la
superficie di questo minuscolo settore, come mostrato in Figura 2, tro-
viamo che la stessa è pari a:
$ % 0.0833
Indovinate a cosa corrisponde questo valore!
Semplice:
1
0.0833
12
Ed è un valore che va considerato negativo proprio per il fatto che si
tratta di un’area che sta al di sotto dell’asse 3.
Figura 2 – L’area dello spicchio di parabola al di sotto dell’asse delle ascisse è esatta-
mente pari a .
Questo significa che, al di là di come la si pensi sulla validità della con-
gettura di Ramanujan, il valore di trova comunque una sua corri-
spondenza già con la formula di Gauss per calcolare la somma dei numeri
naturali. È chiaro che non può essere una semplice coincidenza.
17 Per fare questo bisogna dapprima spezzare la parabola sui due punti di interse-
zione con l’asse 3 e poi unire l’arco con la corda tra i due punti stessi in modo da
formare un’unica entità della quale interrogare l’area con l’apposito comando.
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