Fondamenti della matematica - Quinta lezione

Fondamenti della
 matematica
 Quinta lezione

Correzione esercizi
1) La squadra del Borgorosso partecipa ad un torneo di calcio a 20 squadre con
partite di andata e ritorno. In ogni partita la squadra che vince guadagna 3 punti,
quella che pareggia ne guadagna 1 e quella che perde prende 0 punti. Alla fine del
torneo il Borgorosso ha totalizzato N punti, avendo vinto una partita in meno di
quelle che ha pareggiate. Quale delle seguenti alternative è quella corretta?
[A] N=43. [B] N=54. [C] N=65. [D] Dati insufficienti.
2) Se a, b sono numeri naturali, l’espressione «a non è minore di b» ha lo stesso
significato dell’espressione «a è maggiore di b»?
3) Giulio sta partecipando al gioco della “Tombola” e constata che la somma dei
primi tre numeri estratti è 8. Si può dire con certezza quali numeri sono stati
estratti? Se non c’è certezza di tutti e tre i numeri, si è almeno certi di qualcuno di
essi?
4) In una divisione fra numeri naturali il dividendo è 47 ed il resto è 12.
Determinare il divisore ed il quoziente.
5) Una cometa ha un periodo di 75 anni, un’altra di 100. Se le due comete erano
entrambe visibili 90 anni fa, fra quanti anni saranno di nuovo visibili insieme?
6) Si hanno a disposizione 126 penne e 162 matite. Si vuole suddividere questo
materiale in gruppi uguali. Quanti gruppi si possono fare?

Esercizio 1
Dopo aver premesso che il numero totale di partite
giocate è 38 si può:
a) Andare per tentativi (es: 10 vinte, 11 pareggiate,
 che risultato ottengo?)
b) Matematizzare:
n = numero di partite vinte
 n+1=numero partite pareggiate
Punteggio totale: 3 + + 1 = 4 + 1
Tra le soluzioni devo trovare quel numero che, tolto 1,
sia divisibile per 4; l’unico è 64.
Sarebbe l’unica possibilità?

Esercizi 3, 4
3) Soluzioni possibili:1, 2, 5 ; 1, 3, 4:
L’unico numero di cui si può essere certi è 1.
4) 47 = × + 12 → × = 47 − 12 = 35
Il divisore deve essere un numero maggiore di 12
Ma gli unici divisori di 35 sono 7 e 5, quindi:
 = 35; = 1
5)Se le due comete si incontrano oggi, si rincontreranno dopo un
numero di anni pari al minimo comune multiplo dei loro periodi.
mcm(75, 100)=300. essendosi incontrate 90 anni fa, si rincontreranno
fra 210 anni
6)Ogni gruppo deve avere un numero di penne e di matite pari a
quello degli altri gruppi. Bisogna suddividere i due insiemi nello stesso
numeri di parti, quindi trovare il MCD (126, 162)=18

Approfondimento 1: lo zero
Come già anticipato, lo zero come numero non
ha la stessa immediatezza degli altri numeri
naturali.
Finché i numeri sono associati a ‘cose’ lo zero
non ha un corrispettivo, può solo esprimere il
nulla; è necessario invece quando il numero
esprime una posizione.

Stella Baruk, Dizionario di matematica elementare,
Zanichelli, 1998, pag. 645-646:

“Tra gli “oggetti”, sia linguistici sia matematici,
che utilizziamo per parlare, leggere e scrivere,
“zero” ha uno statuto particolare, che si
manifesta soprattutto tramite gli innumerevoli
errori che provoca, su cui è stato spesso scritto,
ma sui quali si potrebbero ancora scrivere volumi.
Al contrario, dai matematici e dagli storici della
matematica, lungi dall’apparire sorgente di
difficoltà, lo zero è apprezzato per le facilitazioni
che procura e celebrato per i risultati che solo la
sua esistenza ha permesso di ottenere.

Essi lo considerano il punto decisivo di
un’evoluzione senza la quale non sarebbe stato
concepito il progresso della scienza,
dell’industria, del commercio moderni,
un’invenzione che ha giocato un ruolo
fondamentale in tutte le branche della
matematica; nella storia della civiltà, in effetti,
la scoperta dello zero resterà sempre una delle
opere individuali tra le più considerevoli della
razza umana.”

Popoli di antichissima civiltà, come gli Egizi, e
popoli di raffinatissima civiltà, come i Greci, non
hanno conosciuto lo zero come cifra. Essi
potevano benissimo farne a meno perché i loro
sistemi di numerazione erano additivi, come
quello romano ben noto. I Greci, inoltre, che per
primi hanno costruito una “teoria dei numeri”
non potevano avere lo zero come numero in forza
della loro definizione di numero riportata nel
libro settimo degli Elementi di Euclide: “numero è
una pluralità composta di unità”.

Lo zero, invece, è assolutamente necessario per i sistemi
della seconda categoria, quelli posizionali. In questo sistema
di numerazione la cifra “0” è assolutamente necessaria per
indicare la mancanza di qualche potenza della base nella
quale si scrivono i numeri ed eliminare, quindi, ogni possibile
ambiguità.
In alcuni antichi sistemi di numerazione compare un simbolo
per indicare uno spazio vuoto, ma «accettare un segno
specifico che indica vuoto o nulla o assenza come una vera e
propria cifra che indica un segno numerale, è un vero atto di
coraggio culturale, filosofico.»
(D’Amore, Lo zero, da ostacolo epistemologico a ostacolo
didattico. La matematica e la sua didattica.)

Lo zero come numero, almeno dal punto di vista
operativo, nasce infatti in India, così come le
nostre cifre indo-arabe. I matematici indiani,
infatti, nel VII secolo dopo Cristo, ma forse anche
prima, sapevano fare le quattro operazioni
utilizzando lo zero, anche se avevano, come è
ovvio, delle incertezze nella divisione per zero.
Furono anche i primi a rappresentare lo zero
come cifra con un circoletto, dal quale derivò il
nostro simbolo 0.

Per esempio Brahmagupta (nato nel 598),
nella sua opera Brahmasphuta Siddhanta,
scrive:
“La somma di zero e di un negativo è
negativa; di un positivo e di zero è
positiva; di due zeri è zero”. “Il prodotto di
zero e di un negativo, o di zero e di un
positivo è zero; di due zeri è zero.”

Ciò che lo zero è
• Una cifra del nostro sistema di numerazione.
 In realtà lo è in qualunque sistema di
 numerazione posizionale, qualunque sia la
 base scelta.
• Un numero, come tutti gli altri, con dei suoi
 comportamenti specifici rispetto alle
 operazioni ed alle relazioni che si introducono
 nei mondi numerici. Proprio di questi
 comportamenti ci occuperemo.

Lo zero e le operazioni nei Naturali
• Addizione:
dato un qualunque numero a si verifica sempre l’uguaglianza:
 + 0 = 0 + = .
lo zero è quindi l’elemento neutro o indifferente rispetto alla
addizione.
• Sottrazione:
-Lo zero lo troviamo come risultato quando il sottraendo è uguale al
minuendo;
 - Quando lo zero funziona come sottraendo si comporta come ci
 suggerisce il senso comune: dato un qualunque numero si verifica:
 – 0 = .
- Lo zero non può essere un minuendo

• Moltiplicazione:
rispetto alla moltiplicazione lo zero si presenta come un elemento
prepotente e livellatore: quando lui entra in scena come fattore,
non c’è scampo: il risultato è sempre zero. Cioè:
per ogni numero a : × 0 = 0
Di conseguenza: × = se e solo se almeno uno dei due
fattori è uguale a zero.
• Divisione :
- Lo zero può occupare la posizione del dividendo; in tal caso,
 qualunque sia il divisore il risultato dell’operazione è zero;
- Lo zero non può occupare la posizione del divisore; infatti
 : =? ( ≠ 0)
 Quale numero, moltiplicato per 0 da come risultato a?
- e : ? L’operazione è indeterminata, perché qualunque
 numero moltiplicato per 0 da come risultato 0

Osservazione
E’ interessante quindi notare il duplice aspetto dello 0:
• Nella somma e nella sottrazione lo 0 può benissimo essere
 associato a ‘niente’ : se tolgo o aggiungo 0 ad un numero, il
 numero non cambia.
• Nella scrittura di un numero se lo 0 è in mezzo, indica
 un’assenza (es. 203: non ci sono decine)
• Nella moltiplicazione lo 0 è un operatore, compie un’azione,
 infatti è elemento assorbente, porta tutto a 0.
• Nella scrittura di un numero se lo 0 sta alla fine del numero
 indica si un’assenza ma anche che c’è stata una
 moltiplicazione per 10, 100… a seconda del numero di zeri con
 cui il numero termina; anche in questo caso quindi lo 0
 funziona da operatore.

Approfondimento 2: il principio di induzione

Il principio di induzione matematica si basa sul 5° assioma di
Peano :
 per dimostrare che tutti i numeri naturali godono della proprietà
P è sufficiente dimostrare due cose:
1. il numero 0 gode di P (base dell’induzione);
2. per ogni n, se n gode di P, anche n + 1 ne gode, (passo
 dell’induzione)
N.B. Non è necessario partire da 0, si può partire anche da un
numero ; si dimostrerà allora che la proprietà vale da in poi.

Esempio
Teorema: la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è uguale a ( −
 ) angoli piatti
a) P(3) vale, perché la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un
 angolo piatto
b) Supponiamo ora che sia vero che somma degli angoli interni di un poligono di n
 lati è uguale a (n-2) angoli piatti.

Aggiungiamo un lato al poligono in questo modo

 Ora il poligono ha ( + 1) lati e la somma degli angoli interni
 è ( − ) angoli piatti più l’angolo piatto del triangolo. Quindi
 se la proprietà è vera per n, lo è anche per ( + 1) .
 Possiamo perciò concludere che la proprietà è vera da 3 in poi,
 quindi il teorema è dimostrato.

Il sistema del calcolo
Le più recenti ricerche affermano che il sistema
del calcolo è organizzato secondo tre livelli, che
si attivano in relazione alle richieste:
• Segni delle operazioni: consente di attribuire al segno
 algebrico le relative procedure di calcolo
• Fatti aritmetici: tabelline, calcoli semplici, altri risultati
 memorizzati
• Procedure del calcolo: regole di esecuzione degli
 algoritmi

Tipologie di calcolo

• Calcolo mentale
• Calcolo scritto

Calcolo mentale
Come già anticipato il calcolo mentale si basa sull’applicazione,
spesso intuitiva, della struttura del sistema posizionale e delle
proprietà delle operazioni. Le modalità di svolgimento sono
spesso personali e ci si possono costruire delle proprie strategie.
Ne propongo alcune, ormai entrate nell’uso comune.
• Moltiplicazione di un numero per 101.
Esempio:
25×101=25×100+25=2500+25=2525.
Detto a parole: per moltiplicare un numero per 101 si moltiplica
il numero per 100 e si aggiunge il numero stesso al prodotto
ottenuto. In modo analogo se si moltiplica per 11, 1001,
100001, …

• Moltiplicazione di un numero per 99. Esempio:
14×99=14×100–14=1400–14=1386.
Detto a parole: per moltiplicare un numero per 99 si moltiplica il
numero per 100 e si toglie il numero stesso dal prodotto
ottenuto. Analogamente se si moltiplica per 9, 999, 9999, … .
• Moltiplicazione di un numero per 5, 50, 500, … . Esempio:
98×50=49×100=4900.
Vale a dire: per moltiplicare un numero per 50, se la calcola la
metà e si moltiplica per 100.
Analogamente se si moltiplica per 5, 500, 5000, … .
• Moltiplicazione per se stesso di un numero che termina per 5.
Per moltiplicare per se stesso un numero che termina con la cifra
5, basta prendere il numero che si ottiene da quello dato
tralasciando il 5, moltiplicarlo per il suo successivo e fare seguire
da 25 il prodotto ottenuto. Esempi: 25×25=625, 85×85=7225.

Attività

Proporre strategie di calcolo mentale (max. 5)
scoperte attraverso:
• la propria esperienza
• proposte fatte da altri ( familiari, testi, rete,…)
Consegnare il file nella cartella di consegna della
lezione 5.

Il calcolo scritto
Riprendiamo le procedure note, per ritrovare e
approfondire le ragioni di ogni singola procedura.
Riporto poi alcune procedure per la moltiplicazione e
una per la divisione non note o meno note, invitando a
capire perché funzionano, cioè qual è la loro logica.
Un lavoro di questo tipo aiuta a focalizzare meglio la
differenza che c’è tra significato dell’operazione e
algoritmo di risoluzione.

Le operazioni in colonna
• Le operazioni in colonna sono possibili
 grazie al fatto che il nostro sistema di
 numerazione è posizionale.
• Esse infatti si basano sulle possibilità di
 allineare le cifre in base al loro peso.

Addizione
 Con riporto
 • Senza riporto c d u 168 + 354 =

 • 125 + 343 = 1 6 8 +
 3 5 4 =
 •c d u 4 11 12

 1 2 5 + 12
 4 2 Primo
 3 4 3 = cambio
 4 6 8 5 2 2 Secondo
 cambio

In forma polinomiale:
(1 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 8 ∙ 100 ) + (3 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 4 ∙ 100 )=
=(1+3) ∙ 102 + (6 + 5) ∙ 101 + (8 + 4) ∙ 100 = 4∙ 102 + 11 ∙ 101 + 12 ∙ 100 =
=4∙ 102 + 10 ∙ 101 + 1 ∙ 101 + 10 ∙ 100 +2 ∙ 100 = 5 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 2 ∙ 100

Sottrazione con riporto

c d u c d u c d u
 1°cambio 14 2°cambio 3 15 14 -
4 6 4 - 4 5 -
2 7 8 = 3 7 8 = 2 7 8 =
 1 8 6

 E con la scrittura polinomiale? Provare!

Moltiplicazione
• Ad una cifra A due cifre
 × = × ( + ) =
 = × + × = + = 
• × = + × =
• = + = 8

 3 4 × 3 4 ×
 7 2 7
 4×7 2 8 + 34 × 7 2 3 8 +
 30 × 7 2 1 0 = 34 ×20 6 8 0 =
 2 3 8 9 1 8

E con la scrittura polinomiale?

divisione
 : ?
• Iniziamo con le centinaia:
 1 2 4 1 7
• 12 . = 7 × 1 . +5 . 7 1 7 7
• Ora le decine: 5 4

• 54 . = 7 × 7 . +5 . 4 9
 5 1
• Ora le unità: 4 9
• 51 . = 7 × 7 . +2 . 2

 1241 = 7 × 177 + 2
Analogamente si procede con due cifre.

Qualche procedura alternativa

Moltiplicazione a gelosia
 719 × 64 = 46.016

 7 1 9 ×
 6 4 =
 2 8 7 6
4 3 1 4 0
4 6 0 1 6

Proviamo: 243 × 134
1) facciamo la griglia

2) Moltiplichiamo ogni numero della riga per ogni numero della
colonna e mettiamo la cifra delle decine sopra la diagonale e la
cifra delle unità sotto la diagonale.

3)Ora sommiamo lungo le fasce ( che rappresentano
unità, decine, centinaia…) con i relativi riporti

 243 × 134 = 32562

Metodo degli incroci o moltiplicazione cinese

 314 × 22 = 6908

Per capire meglio è possibile visionare
dei video su youtube, ad es.
https://www.youtube.com/watch?v=B
W-8ouW_QkE

La moltiplicazione russa
 Supponiamo di dover eseguire il seguente calcolo:
 × 
• per prima cosa si dispongono i numeri in cima a due
 colonne:
 45 26
• dividiamo il primo numero per 2 e moltiplichiamo il
 secondo per due; la divisione è intera e il resto non ci
 interessa, quindi:
 22 52
• continuiamo finché il primo numero non arriva a 1

ecco la sequenza intera
 45 26
 22 52
 11 104
 5 208
 2 416
 1 832
a questo punto basta sommare i numeri sulla colonna
destra, scartando quelli che sono in corrispondenza di
numeri pari sulla colonna sinistra:

45 26
 22 52
 11 104
 5 208
 2 416
 1 832

 832 + 208 + 104 + 26= 1170

Funziona? Provare per credere

Moltiplicazione per ‘scapezzo’ o per
 ‘spezzato’
Consiste nel ridurre entrambi i fattori in numeri più piccoli e
meglio trattabili, applicando cioè la proprietà distributiva.
Nell’esempio si esegue l’operazione 12 × 15; i due fattori 12
e 15 vengono frantumati rispettivamente in 10 e 2, e 10 e 5 e
disposti a lato del rettangolo. Alla fine vengono sommati tutti i
risultati.

Moltiplicazione per crocetta o casella
Si scrivono i due fattori incolonnati
spaziando un po’ le cifre; si
uniscono a due a due le cifre in alto
con quelle in basso: questo creerà
una serie di “incroci”; si
considerano le intersezioni con la
linea mediana (in rosso);
moltiplicando n cifre per m cifre gli
incroci intersecano la linea
mediana in n + m - 1 punti; in
corrispondenza di ciascuno di
questi punti si considerano i
prodotti delle cifre agli estremi dei
segmenti che convergono in quel
punto (in rosso nell’esempio) e si
scrive sotto ogni incrocio la cifra
delle unità del numero che si
ottiene sommando i prodotti di
quell’incrocio (in blu nell’esempio);
le decine si riportano al punto Provate con numeri a due cifre e vedrete che
successivo. non è difficile.
 538 × 732 = 393 816

Divisione canadese
Iniziamo con una divisione ad una cifra:
 ∶ 
• Domandiamoci: quante volte il 9 sta nel 217?
 Sicuramente 10 volte!
• Possiamo quindi sottrarre il 90 a 217:
 − = 
• Quante volte il 9 sta nel 127? Sicuramente ancora 10.
 − = 
• Ora quante volte 9 sta nel 37? 4 con il resto di 1
• A questo punto non ci resta che sommare i quozienti
 parziali: 10+10+4=24 e possiamo concludere che :
 = × + 

Proviamo con due cifre
 ∶ 

23 × 10 = 230 → 346 − 230 = 116

 23 × 4 = 92 → 116 − 92 = 24

 24 − 23 = 1 → 10 + 4 + 1 = 15

 = × +