Fondamenti della matematica - Decima lezione

Fondamenti della
 matematica
 Decima lezione

Come visto nella precedente
lezione, ad ogni lunghezza si può
associare un numero che esprime
il rapporto tra tale lunghezza e
quella presa come unità di misura.
Affrontiamo ora il problema della
misura di superfici.

Poniamo le basi

Ad ogni superficie piana S è associato uno ed un solo
numero reale non negativo A(S), chiamato misura (o
area) di S, tale che:
 - se S è un segmento allora: ( ) = 0;
- se S è un rettangolo di dimensioni , allora la sua area
 è: = ∙ ;
- se S’ ed S” sono due superfici congruenti allora:
 ( ’) = ( ”) ;
- se la superficie S è la somma delle superfici S’ ed S”
 allora: ( ) = ( ’) + ( ”).

Un percorso per le aree: Utilizzando i teoremi
sull’equivalenza di figure piane si possono dedurre le
formule per il calcolo delle aree di molti poligoni

Un parallelogramma P è equivalente ad un
rettangolo avente base ed altezza congruenti
a base b e altezza h del parallelogramma
 ( ) = ∙ ℎ

Un rombo R è equivalente alla metà di un ∙ 
rettangolo avente base ed altezza congruenti ( ) =
alle diagonali D e d del rombo 2
Un triangolo T è equivalente alla metà di un ∙ℎ
rettangolo avente base ed altezza congruenti ( ) =
a base b e altezza h del triangolo. 2
Un trapezio Q è equivalente ad un triangolo
avente base congruente alla somma delle ( + ) ∙ ℎ
basi B e b del trapezio ed altezza congruente ( ) =
all’altezza h del trapezio.
 2

L’area di ogni altro poligono può essere calcolato
scomponendolo in parti di cui si sa calcolare l’area

 = 1 + 2 + 3 + ( 4)

Caso particolare: i poligoni regolari
 Il calcolo dell’apotema richiede
 conoscenze di trigonometria.
 Per tale ragione è stata stilata una
 tabella in cui compare un numero
 fisso , dipendente dal numero dei
 lati, con cui calcolare l’apotema:
 = ∙ 

Ogni poligono regolare P di n lati può essere diviso in n triangoli T tra
loro congruenti, quindi
 ∙ ( ∙ ) (2 )∙ 
 = ∙ = ∙ 2
 = 2
 = 2

Esercizi
1) Dimostra che sono equivalenti i quattro triangoli in cui le diagonali
 dividono un parallelogramma.
2) Dimostra che il quadrato costruito su una diagonale di un
 quadrato ha area doppia di quella del quadrato dato.
3) Dimostra che la retta passante per i punti medi delle basi di un
 qualsiasi trapezio lo divide in due trapezi equivalenti.
4) Ammesso che le dimensioni di un rettangolo aumentino, una del
 15% e l’altra del 10%, in quale percentuale aumenta l’area del
 rettangolo?
 [A] 1,5% [B] 15% [C] 26,5% [D] 30% .
 Una sola alternativa è corretta. Individuarla e fornire
 un’esauriente spiegazione della scelta operata.
5) Internamente al quadrato ABCD si prenda il punto E in modo che il
 triangolo EAB sia equilatero. Si “intuisce” che, dei triangoli AED e
 DEC, uno è acutangolo e l’altro è ottusangolo: è richiesto di
 dimostrarlo.

Area delle figure curvilinee
Ad ogni poligono si può perciò associare un numero che
corrisponde alla sua area, cioè alla misura della sua superficie.
Rimane però il problema del calcolo delle aree di figure
curvilinee; questo problema, affrontato nel mondo greco già a
partire dal V secolo a.C., veniva chiamato un problema di
quadratura: costruire cioè un quadrato di area uguale a quella
della figura considerata.
La sfida più grande era la quadratura del cerchio.
Ippocrate di Chio, matematico e astronomo, si occupò di
problemi di quadratura di superfici limitate da archi di cerchio,
riuscendo a determinare l’area di una figura chiamata lunula.

AREA DELLA LUNULA
Ippocrate dimostrò che la lunula ADCE è equivalente al triangolo ACO.
Il semicerchio ABC ha area doppia di quella del semicerchio AEC.
Infatti:
 
 Area (semicerchioABC)/Area(semicerchioAEC) = / = = 
 
Di conseguenza , considerando il quarto di cerchio OADC
 Area(OADC)= Area (ACE).

 La lunula AECD si ottiene
 sottraendo da AEC la parte
 color fucsia; il triangolo AOC
 si ottiene sottraendo da
 OADC la parte color fucsia,
 quindi AECD è equivalente
 ad AOC

Esercizio

 Utilizzare quanto dimostrato nella
 slide precedente per giustificare
 la seguente affermazione relativa
 alla figura a fianco:
 «La superficie colorata è
 equivalente al quadrato»

La quadratura del cerchio
La risoluzione dei problemi sulle lunule non contribuì però a
risolvere il problema della quadratura del cerchio, (della
costruzione cioè del lato del quadrato equiesteso ad un
assegnato cerchio) , o meglio a risolverlo secondo la concezione
greca, cioè con i soli strumenti di riga e compasso.
Il problema della quadratura del cerchio è equivalente a quello
della rettificazione della circonferenza (tracciare un segmento
congruente alla circonferenza rettificata di raggio assegnato)
Di fatto quindi si tratta di determinare il rapporto tra
circonferenza e diametro, cioè, oggi noi possiamo dire, il valore
di .
Esaminiamo un solo tentativo, il contributo di Archimede

IL CONTRIBUTO DI ARCHIMEDE

Archimede (287-212 a.C., Siracusa), stabilì, per primo, la costanza
del rapporto della circonferenza con il diametro e cercò il valore
di con procedimenti di indefinita approssimazione successiva,
ottenuti considerando i perimetri dei poligoni regolari inscritti e
circoscritti al cerchio, con numero di lati sempre crescente.
Archimede assunse come postulato, che la lunghezza di ogni
arco minore della semicirconferenza è maggiore della corda
sottesa e minore della somma delle lunghezze dei segmenti
tangenti negli estremi dell’arco.
Da ciò segue che la circonferenza rettificata è maggiore del
perimetro di ogni poligono regolare inscritto e minore del
perimetro di ciascun poligono regolare circoscritto.

 < < + 

 ( ) < < ( )

Da tale disuguaglianza Archimede passò a quella fra le
corrispondenti misure rispetto al diametro.
Detto 2p il perimetro del poligono inscritto e 2P il perimetro del
poligono circoscritto si può dire che :
 
 < <
 
All’aumentare del numero n dei lati dei poligoni regolari
considerati, poiché la differenza 2 2 
 − 2 
 2 
 diventa sempre più
piccola, il grado di approssimazione diventa sempre maggiore.
Archimede, partendo dagli esagoni regolari inscritto e
circoscritto e raddoppiando successivamente il numero n dei lati
fino a 96, determinò i perimetri di questi poligoni e ne dedusse
 
che + < < + 

Ottenne così un valore di approssimato di a meno di
due millesimi. Va tenuto presente che né Archimede né
alcun altro matematico greco fece mai uso della
notazione per indicare il valore del rapporto tra
circonferenza e diametro.
Il metodo di Archimede non rispetta certo i canoni
richiesti dalla matematica greca, ma si può dire che
anticipa i metodi dell’analisi infinitesimale, che si
svilupperà a partire dal XVII secolo.
Solo alla fine del XVIII secolo si è dimostrata
l’irrazionalità del rapporto tra circonferenza e diametro,
cioè di .

Oggi quindi possiamo concludere che, data una
circonferenza C di raggio r :
 2 = 2 
mentre il cerchio associato C ha superficie di
area
 A = πr 2
Il problema del calcolo di aree di superfici
qualunque, anche illimitate, ha trovato infine
una risoluzione esauriente con il calcolo
integrale.

Esercizio
C’è relazione tra perimetro e area?
• se (perimetro di A > perimetro di B) allora (area di A > area di B)?
• due figure isoperimetriche sono necessariamente equiestese?
Per rispondere considerare la seguente tabella:

 Mostrare un esempio per ciascuno dei 9 possibili casi.
 Ad es. guardando la prima casella in alto, si tratta di trovare due figure A e
 B, tali che il perimetro di A è maggiore del perimetro di B e l’area di A è
 maggiore dell’area di B

La geometria
 analitica

LA GEOMETRIA DELLE
 COORDINATE
•Nasce nel secolo XVII, favorita sia dallo
sviluppo delle ricerche e dei risultati in campo
aritmetico ed algebrico, sia dalle richieste , nello
studio della natura, di risultati quantitativi
•Padri fondatori sono Fermat e Descartes, mossi
dalle necessità della scienza e dall’interesse per la
metodologia,

I LIMITI DELLA MATEMATICA GRECA

• Incapacità di cogliere il concetto di numero
 irrazionale.

• Mancanza di un metodo generale nella
 risoluzione dei problemi.

• Difficoltà a capire l’infinitamente grande,
 l’infinitamente piccolo, i procedimenti infiniti.

• PIERRE DE FERMAT (1601-1665), avendo lavorato nel campo
 dell’algebra è preparato ad applicarla allo studio delle curve,
 volendo trovare per esse dei metodi generali di analisi.
• RENEE DESCARTES (1596-1650) si avvicina alla matematica
 attraverso tre vie:
 -come filosofo
 -come studioso della natura
 -come uomo interessato agli usi della scienza.
 Egli si propone di prendere quanto di meglio c’è nella geometria e
 nell’algebra e di correggere i difetti dell’una con l’aiuto dell’altra.
 A Cartesio è evidente la potenza dell’algebra e la sua superiorità
 rispetto ai metodi geometrici greci nel fornire una metodologia più
 estesa e nel rendere meccanici i ragionamenti e minimo perciò il
 lavoro necessario per risolvere i problemi.

L’essenza della geometria analitica consiste nel porre un
ambiente geometrico in corrispondenza con un insieme
numerico e nel tradurre sistematicamente questioni
geometriche in questioni algebriche e viceversa.
 In tale modo, ai ragionamenti dimostrativi e costruttivi
tipici della geometria sintetica si sostituiscono o si
affiancano procedure di calcolo algebriche così che per
la soluzione di un problema si utilizzano sia le risorse
della geometria sia quelle dell’algebra e dell’analisi.
La geometria analitica è quindi un nuovo metodo
matematico per la rappresentazione e lo studio delle
proprietà di enti geometrici (punti, linee, superficie,
ecc.) per mezzo di relazioni analitiche.

La base di tale metodo sta nella corrispondenza biunivoca tra i punti di
una retta e i numeri reali che si ottiene fissando sulla retta:
• un punto O, detto origine del riferimento,
• un punto unitario U
• un verso di percorrenza.
In tal modo ad ogni punto della retta si può associare il valore del
 
rapporto , dove indica il segmento orientato e il segmento
assunto come unità di misura.
Tale valore, che chiamiamo x, è positivo se P segue O nel verso di
percorrenza, negativo in caso contrario.

 > 0
 < 0

Nel piano

 =
 
 =
 ′

 ≡ ( , )

La corrispondenza biunivoca tra punti del piano e
coppie ordinate di numeri reali è assicurata dall’unicità
della parallela e dall’unicità del punto di intersezione
tra due rette.

Se gli assi sono perpendicolari e i segmenti unità di misura
sono congruenti il sistema di riferimenti si dice ortogonale
monometrico o ortonormato. L’asse orizzontale si chiama
asse delle ascisse, quello verticale asse delle ordinate

Algebra Geometria
• Punto • Coppia ordinata di
 numeri reali ( , )
• Linea • Equazione , = 0
• Stabilire se un punto • Verificare che la coppia
 appartiene ad una linea ordinata sia soluzione
 dell’equazione
• Determinare i punti di • Risolvere un sistema di
 intersezione tra curve equazioni
• …… • …….

La retta
Nel piano cartesiano ogni equazione di 1° grado
rappresenta una retta:
• : = 0
• : = 0
• ’ : = ℎ
• ’ : = 
• : = + 
 (m : coefficiente angolare della retta)
 Se la retta passa per l’origine degli assi: = 

Come si può vedere anche dal grafico se il coefficiente angolare è positivo, la
retta con l’orientamento positivo dell’asse x forma un angolo acuto , se è
negativo l’angolo è ottuso.

 = → = 
 
 = , per valori
 positivi di m e di x, è
 l’equazione della
 proporzionalità diretta:
 due grandezze sono
 direttamente
 proporzionali se il loro
 rapporto è costante

 Il grafico della
 proporzionalità diretta
 è una retta passante
 per l’origine

L’equazione = + ( ≠ 0) rappresenta una retta non
passante per l’origine degli assi; q è il valore dell’ordinata del
punto in cui la retta incontra l’asse y

 Come si vede dal grafico ad
 incrementi uguali della x
 corrispondono incrementi
 uguali della y: la relazione di
 proporzionalità diretta non
 è tra x e y, ma tra i loro
 incrementi.
 Per i valori di x positivi, si ha
 quindi il grafico della
 relazione lineare

La parabola
Ci limitiamo a ricordare due equazioni particolari
 = 2
 E’ la parabola con vertice
 nell’origine.
 Se > 0 la concavità è rivolta
 verso l’alto,
 Se < 0 la concavità è rivolta
 verso il basso.
 Per valori positivi di x e di a la
 parabola rappresenta il grafico
 della proporzionalità quadratica:
 se x raddoppia y quadruplica, se
 x si dimezza y si riduce ad ¼ del
 valore precedente … e così via.

Dall’equazione = 2 , che rappresenta una
parabola con vertice l’origine, ma con asse di
simmetria l’asse x, si ricava l’equazione = 

 =2 
 In questo caso è la y a
 crescere più lentamente: se la
 x quadruplica la y raddoppia…
 e così via
 = 

L’iperbole equilatera

 L’equazione dell’iperbole
 equilatera è:
 
 =
 
 Se > 0 la curva grafico si trova
 nel primo e terzo quadrante;
 Se < 0 la curva grafico si trova
 nel secondo e quarto quadrante.
 Per valore positivi di x e di k, la
 curva è il grafico della
 proporzionalità inversa: due
 grandezze sono inversamente
 proporzionali se il loro prodotto è
 costante

Esercizio

Associare ad ognuno dei seguenti casi l’equazione corretta,
stabilire il tipo di proporzionalità e tracciare il grafico
1) x= lato del rombo; y=perimetro del rombo.
2) x= raggio del cerchio; y=area del cerchio.
3) x e y dimensioni di un rettangolo di area 20.
4) x= lato di un triangolo isoscele, di base fissa pari a 10;
 y= perimetro del triangolo isoscele.
5) x=area del quadrato; y=lato del quadrato