DIDATTICA DELLA MATEMATICA - 11 Lezione

DIDATTICA DELLA
 MATEMATICA
 11° Lezione

«La mente intuitiva è un dono sacro
 e la mente razionale
 è un fedele servo.
 Noi abbiamo creato una società
 che onora il servo
 e ha dimenticato il dono.»
 (Albert Einstein)

I PROBLEMI
“… per quanto attiene alla matematica e al suo
apprendimento, è ormai formalizzato, anche nei
programmi scolastici fin dalla scuola elementare, che il
pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di
risoluzione dei problemi. Come a dire che pensare, in
tale disciplina, è pensare per problemi, anzi per
soluzioni.”
( D. Lucangeli – Perché i problemi matematici
sono difficili? in Età Evolutiva nr. 67)

Problema: etimologia
Dal greco próblēma "sporgenza, promontorio, impedimento, ostacolo", dal
verbo προβάλλω (probállō) "mettere davanti"

«Risolvere un problema significa trovare una strada per uscire da
una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per
raggiungere uno scopo che non sia immediatamente
raggiungibile. Risolvere problemi è un’impresa specifica
dell’intelligenza e l’intelligenza è il dono specifico del genere
umano»
George Polya – La scoperta matematica

«Se ho trovato delle nuove verità nelle scienze, posso dire che
sono tutte derivate, o che dipendono, da cinque o sei problemi
principali che sono riuscito a risolvere e che io considero come
altrettante battaglie in cui la fortuna della guerra è stata dalla mia
parte.»
(Descartes – Discorso sul metodo)

I problemi
nella scuola
dell’infanzia

I problemi e la loro risoluzione
rappresentano un elemento costitutivo
nella vita di ognuno di noi, a partire dalla
più tenera età, come per un bambino di
poco più di un anno che vuole scendere da
solo dal suo lettino.
E come pensare che tale problema non sia
pertinente alla matematica? Il bambino
deve compiere delle stime metriche per
ottenere il risultato che desidera.

Per i bambini piccoli il risolvere problemi
è caratteristica costante del loro agire
perché il mondo a cui si affacciano è
assolutamente nuovo e molto spesso
sono nuove le situazioni che si trovano ad
affrontare; l’assumere decisioni è perciò
connaturato alla loro esistenza.

Si può quindi operare nella scuola dell’infanzia
per aiutare il bambino a sviluppare un
atteggiamento positivo verso la risoluzione dei
problemi imparando a costruire ed utilizzare
strategie e abituandosi a controllare e
correggere il proprio operare sulla base degli
effetti prodotti dalle sue azioni.

Non è difficile trovare attività normalmente svolte nella
scuola dell’infanzia che siano ricche di situazioni
problematiche, ma esse possono essere pianificate in
modo tale che ogni problema sia già risolto all’origine;
se il docente invece ne riconosce la potenzialità può
utilizzarle nel senso detto precedentemente.

Si possono comunque costruire giochi o situazioni ad
hoc per mettere i bambini di fronte a problemi da
risolvere ed osservare le modalità di risposta che
utilizzano.

Non si tratta di ‘precocizzare’ in senso
disciplinare l’approccio, ma di far leva su attività
fortemente ancorate a contesti significativi,
basate sul fascino della scoperta e in un
contesto libero e ‘seriamente’ giocoso.

L’esempio che presento è tratto dal testo
«Infanzia e matematica» di D’Amore, Pinilla,
Gabellini, Marazzani, Masi, Sbaragli.

Proposta: prepariamo un braccialettino di
perle da regalare alla mamma.

L’attività è rivolta a bambini di 5 anni, che sono radunati
attorno a dei tavoli in gruppi di 3, 4; su un altro tavolo sono
disposti:
• tre recipienti di vetro contenenti perline di forma diversa:
 rotonde, allungate, sfaccettate;
• vasetti di yogurt vuoti;
• un gomitolo di filo e un pezzo di filo che fa da modello;
• quadrati di carta bianca 20 × 20 e rettangoli di carta da
 regalo 30 × 40;
• nastri da regalo lunghi 8 ;
• scatoli e vassoi di carta per trasportare il materiale.

Dopo aver fatto manipolare il materiale ai bambini, in
modo che essi sappiano distinguerle.
Viene poi stabilito che il braccialetto sarà formato da:
• tre perle allungate
• sei perle sfaccettate
• otto perle rotonde
L’insegnante precisa che ciascuno avrà bisogno di tre
vasetti di yogurt per deporre separatamente i tre tipi di
perle, un filo per infilare le perline, carta da regalo e
nastro per la confezione del regalo.

Le consegne:
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere tre
 vasetti di yogurt per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere tre perle
 allungate per sé e per ciascuno dei compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere sei perle
 sfaccettate per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere otto
 perle rotonde per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo;

• due bambini per ciascun tavolo devono prendere
 il filo necessario per sé e per ciascun compagno
 ritagliando dalla matassa pezzi lunghi come il
 campione.
Alla fine del confezionamento del braccialetto:
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 foglio di carta bianca per sé e per ciascuno dei
 compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 foglio di carta da regalo per sé e per ciascuno dei
 compagni di tavolo;
• un bambino per ciascun tavolo deve prendere un
 nastro per sé e per ciascuno dei compagni di
 tavolo

OSSERVARE!
È molto interessante notare (ed annotarsi) quali modalità
strategiche i bambini mettono in atto per eseguire le
consegne:
• nel contare le perline, le contano a gruppi o in sequenza?
• Nel distribuire le perle si danno una per una o ad ognuno
 si assegna da subito la quantità prestabilita?
• I bambini si accorgono di eventuali errori ? Se vedono
 che il loro compagno fa un errore come reagiscono?
 Propongono strategie alternative?
• ….

Operazioni di tipo aritmetico e logico
 connesse all’attività
 • Numerazione
 • Conteggio
 • Addizione , moltiplicazione ( e sottrazione in
 caso di errori)
 • Distribuzione di quantità
 • Ordinamento
 • Successione
 • Classificazione in base ad un attributo
 • Riconoscimento di attributi
 • Corrispondenza uno ad uno
 • Costruzione di insiemi equinumerosi
 • Situazioni di distribuzione di quantità
 • Confronto tra grandezze

I problemi nella
scuola primaria

Dalle Indicazioni Nazionali
La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo
nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati,
intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che
comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione
graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della pratica matematica
è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni
autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a
carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando
una definizione o una regola. Gradualmente, stimolato dalla guida
dell’insegnante e dalla discussione con i pari, l’alunno imparerà ad
affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche,
rappresentandole in diversi modi, conducendo le esplorazioni opportune,
dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto
e di ciò che s’intende trovare, congetturando soluzioni e risultati,
individuando possibili strategie risolutive.

Traguardi per lo sviluppo delle competenze al
 termine della scuola primaria

• Legge e comprende testi che coinvolgono
 aspetti logici e matematici.
• Riesce a risolvere facili problemi in tutti gli
 ambiti di contenuto, mantenendo il controllo
 sia sul processo risolutivo, sia sui risultati.
 Descrive il procedimento seguito e riconosce
 strategie di soluzione diverse dalla propria.

Prima premessa: esercizi o problemi?
• Gli esercizi possono essere risolti utilizzando
 regole o nozioni già apprese e in via di
 consolidamento e quindi rientrano nelle
 categorie: rafforzamento e verifica.
• I problemi coinvolgono o l’uso di più regole o
 nozioni ( alcune anche in via di esplicitazione
 proprio in quell’occasione), o la successione di
 operazioni la cui scelta è atto strategico, talvolta
 creativo, dell’allievo stesso.
(tratto da ‘Problemi di matematica nella scuola primaria’ di
Bruno D’Amore)

(Immagine tratta da un lavoro di Marisa Magnan , scuola primaria ‘Da Vinci’,
Albisengo , PD)

Nota bene

Uno stesso quesito può
essere un problema in classe
prima e un esercizio in
classe quinta

Seconda premessa: il problema ha
 sempre una soluzione?
«Su una nave ci sono 26 montoni e 10 capre; quanti
anni ha il capitano?»
I bambini rispondono. «36!»
Perché? Scatta il cosiddetto ‘contratto
didattico’: se la maestra dà un problema questo deve
essere risolto con i numeri che ci dà.
Tale comportamento va sotto il nome di: effetto ‘Età del
capitano ’; mutando la richiesta tale comportamento si
ritrova in ogni ordine di scuola.

Altro esempio:
 bisogna fare sempre i calcoli?
«Giovanna e Paola vanno a fare la spesa; Giovanna spende
10 euro e Paola 20 euro. Alla fine chi ha più soldi nel
borsellino?»
III primaria: 58,4% ha risposto «Giovanna»; perché?
Siccome il problema deve avere sempre una soluzione lo
studente introduce implicitamente un dato: «Giovanna e
Paola partivano dalla stessa somma», ma non basta: per un
problema di matematica si devono fare sempre i calcoli
(contratto didattico!), alcuni bambini corredano la risposta
con calcoli del tipo: 10+20=30, o 20-10=10.
(gli esempi sono tratti da ‘Problemi di matematica nella scuola primaria’ di
Bruno D’Amore)

Gli studi inerenti ai meccanismi cognitivi implicati nella
“soluzione di problemi” dettagliano le abilità implicate
distinguendo cinque processi fondamentali:

a) comprendere sia il testo verbale sia gli schemi matematici
sottostanti;
b) rappresentare cognitivamente le “situazioni problema”;
c) categorizzare attraverso il riconoscimento di somiglianze e
differenze tra schemi di soluzione;
d) pianificare adeguati e congruenti piani d’azione traducibili in
sequenze di operazioni concrete (procedure risolutive);
e) monitorare e autovalutare il processo complessivo e ogni
singola sua fase.
( cfr. Daniela Lucangeli in Perché i problemi matematici sono difficili? Età evolutiva nr.
67)

(tratto da ‘Il problem solving matematico: analisi delle componenti
implicate e proposta di potenziamento’ Daniela Lucangeli )

Come si evince dalla rappresentazione, secondo
Lucangeli la comprensione è condizione necessaria per
l’attivazione delle altre componenti, che contribuiscono
separatamente alla soluzione.

Comprensione del testo

 Quali testi?

Il prezioso libretto del prof. Giorgio
Bolondi, dal titolo «La matematica
quotidiana», pone una questione didattica
molto interessante e profondamente
significativa in relazione ai testi dei
problemi.
Molte osservazioni e problemi che
seguono sono tratti dal libro, che figura tra
i testi consigliati per il presente corso.

Quali testi?
Esaminando i testi dei problemi in molti
sussidiari, appare spesso evidente che la parola
viene usata per indicare nient’altro che un
esercizio di calcolo, superficialmente ricoperto
da un contesto.
La conseguenza è che i bambini spesso non si
accorgono di dare risposte non ragionevoli,
perché si focalizzano sull’operazione
dimenticando completamente la situazione
problematica.

Esempio
Un camion dell’esercito può trasportare 36
soldati. Quanti camion occorrono per
trasportare 1.128 soldati dalla caserma al
campo di addestramento?

Su un campione di 45.000 scolari, il 29% ha
risposto «31 con il resto di 12» e il 18% «31» : il
testo è diventato qualcosa di superfluo, che si
dimentica appena viene individuata l’operazione

«Caratteristica della pratica matematica è
la risoluzione di problemi, che devono
essere intesi come questioni autentiche e
significative, legate alla vita quotidiana, e
non solo esercizi a carattere ripetitivo o
quesiti ai quali si risponde semplicemente
ricordando una definizione o una regola.»
(Indicazioni Nazionali)

Se vogliamo educare la razionalità
del bambino il testo del problema
non può essere un elemento
accessorio, un contenitore di dati,
altrimenti il problema diventa un
semplice esercizio di calcolo.

Precisazione

La parola «testo» va intesa in senso
ampio, come l’insieme delle forme
attraverso le quali si può presentare
una situazione da analizzare, con i
dati da gestire e le domande cui
viene chiesto di dare risposta.

Testo è tutto ciò che veicola
 informazione.

Oltre quindi ai testi ‘discorsivi’ ci
possono essere tabelle, grafici, figure e
tutte le possibili forme di testi
strutturati (orari, calendari…) nei quali
parte dell’informazione è contenuta
nella stessa struttura.

Esaminiamo i testi delle prove
Invalsi del 2016, relative ai
traguardi sui problemi, con
particolare attenzione alla
forma con cui il quesito viene
presentato.

SECONDA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgono
aspetti logici
e
matematici.

SECONDA PRIMARIA

Legge e comprende testi che coinvolgono
aspetti logici e matematici.

SECONDA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgon
o aspetti
logici e
matematici.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo, sia
sui risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere facili
problemi in tutti gli
ambiti di contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo, sia
sui risultati.

SECONDA
PRIMARIA
Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

SECONDA PRIMARIA

Riesce a risolvere
facili problemi in
tutti gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo risolutivo,
sia sui risultati.

QUINTA PRIMARIA

Legge e
comprende
testi che
coinvolgono
aspetti logici
e matematici

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

QUINTA PRIMARIA
Riesce a
risolvere facili
problemi in tutti
gli ambiti di
contenuto,
mantenendo il
controllo sia sul
processo
risolutivo, sia sui
risultati. Descrive
il procedimento
seguito e
riconosce
strategie di
soluzione diverse
dalla propria.

I brani che seguono sono tratti dall’articolo
sottocitato e allegato come materiale alla lezione

 La dimensione narrativa
 di un problema:
 il modello C&D per l'analisi
 e la (ri)formulazione del testo
 Rosetta Zan
 Dipartimento di Matematica,
 Università di Pisa

«Per analizzare le caratteristiche del testo di un problema
standard è necessario sottolineare quella che a nostro parere
è la differenza intrinseca più significativa fra problemi reali e
problemi scolastici: a differenza dei problemi reali i problemi
che gli allievi affrontano a scuola sono eteroposti, nel senso
che chi pone il problema (insegnante o libro di testo) è
persona diversa da chi lo deve risolvere.
Da qui il fatto che i problemi a scuola sono espressi
attraverso un testo (per lo più scritto), e la necessità di
comunicare a chi deve risolvere cosa deve risolvere: questa è
appunto la funzione di una richiesta esplicita, in genere
formulata come domanda.

Inoltre, dati gli obiettivi che l'insegnante si
pone con l'attività di soluzione di problemi,
l'attenzione prioritaria dell'autore di un
problema va alla sua struttura matematica: a
partire da tale struttura egli sceglie una
situazione in cui contestualizzarla, in genere
inserendo solo le informazioni qualitative e
quantitative necessarie per la soluzione
(Nesher, 1980).

Proprio il testo sintetico del problema secondo Nesher può
spiegare il fatto che molti allievi seguono scorciatoie
cognitive (quali inferire direttamente dal testo le
operazioni da fare) invece che rappresentarsi la situazione
descritta e su tale rappresentazione costruire il processo
risolutivo. D'altra parte, il fatto che tale strategia abbia
successo in molti dei problemi della pratica scolastica a
causa della loro struttura stereotipata fa sì che tale
abitudine si consolidi in un atteggiamento verso il testo dei
problemi: l'allievo si abitua a una lettura selettiva,
caratterizzata dall'individuazione dei dati numerici e delle
parole chiave, che suggeriscono come 'combinare' i numeri
presenti nel testo.»

«In un lavoro precedente (Zan, 2011) abbiamo proposto
un'interpretazione di questo fenomeno, suggerendo di
considerare accanto alla dimensione matematica del
problema un'altra dimensione: quella narrativa, che riguarda
le caratteristiche della storia in cui la struttura matematica è
contestualizzata e il legame di tale storia con la domanda
posta.»
Dalla ricerche condotte Rosetta Zan desume che «i legami
narrativi fra le parti del testo - in particolare i legami di
causalità - sono importanti per comprendere la storia
narrata» e per costruire adeguate rappresentazioni del
problema

ESEMPIO
(Da una ricerca di D’Amore et al. : La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici
standard,1995)

Formulazione classica di un problema classico:

«Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto
impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?»

Si richiede agli allievi – senza risolverlo! – di riformularlo per proporlo
ad altri allievi… nel modo che ritengono migliore. Ecco la formulazione
che emerge più frequentemente:

«Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e
ogni volta impiegano 6 ore. Ma uno di loro si ammala e non va a
lavorare. Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro. Secondo te, impiegheranno più
tempo o meno tempo? Perché ? Calcola quanto tempo
impiegheranno.»

Il collegamento fra domanda e contesto
«Finora ci siamo occupati della comprensione della storia,
quindi del contesto. Ma c'è un altro elemento importante
in un problema: la domanda. Come abbiamo già
osservato la presenza di tale elemento è legata al fatto
che i problemi scolastici sono eteroposti: chi pone il
problema (insegnante o libro di testo) è persona diversa
da chi lo deve risolvere.
Da questa struttura 'contesto + domanda' segue che la
comprensione del problema implica non solo la
comprensione del contesto - della storia - ma anche
quella della domanda. Maggiore è il collegamento fra la
domanda e la storia narrata nel contesto, più la
comprensione della storia favorirà la comprensione della
domanda e in definitiva del problema.»

ESEMPIO
«Per il compleanno di Ciancicasorci, uno dei gattini gialli, sono
venuti tanti amici. Nel cortile del castello ci sono 40 gattini in
festa. Pasticcia fa avanti e indietro dalla cucina portando frittelle
di alici e succo di erba gatta. Ha preparato tavoli rotondi, coperti
di tovaglie fatte di mortadella. Intorno a ogni tavolo c’è posto per
5 gattini. Quanti sono i tavoli?»

Il contesto narra un fatto già avvenuto: la strega ha già invitato i gattini,
ha già preparato la quantità di tavoli necessari. La storia è chiusa: a chi
serve adesso sapere quanti sono i tavoli?
In definitiva la domanda non ha una relazione narrativa con una storia
già chiusa, se non quella di utilizzare (alcuni) elementi della storia
stessa per controllare le conoscenze e abilità di chi deve rispondere.

‘Aprire’ la storia
Per 'aprire' la storia e poter immaginare che i protagonisti
possano incidere sugli eventi, possano fare scelte e prendere
decisioni che ne modificano il corso dobbiamo quindi introdurre
degli scopi, ma anche trasformare il resoconto di un fatto
accaduto nella descrizione di un progetto da realizzare.

Per il compleanno di Ciancicasorci, uno dei gattini gialli, la
strega Pasticcia vuole invitare 40 gattini.
Nel giardino ha dei tavoli rotondi. Intorno a ogni tavolo c’è
posto per 5 gattini. La strega vuole coprire i tavoli con
tovaglie fatte di mortadella. Quanti tavoli deve preparare?

Ancora un esempio
Per preparare la marmellata di pesche la nonna ha usato 10 kg di
pesche e 5 kg di zucchero. La marmellata che si ottiene
(togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del
peso iniziale di pesche e zucchero. Quanti vasetti della capacità
di 250 grammi ha utilizzato la nonna?
Apriamo la storia:
La nonna deve preparare la marmellata di pesche con 10 kg di
pesche e 5 kg di zucchero. La marmellata che si ottiene
(togliendo gli scarti e tenendo conto della cottura) è i 3/5 del
peso iniziale complessivo di pesche e zucchero.
Quanti vasetti della capacità di 250 grammi servono alla nonna?

O ancora di più:
Anche quest'anno la nonna vuole preparare insieme alla sua nipotina Martina la
marmellata con la frutta del suo giardino che le piace tanto: hanno raccolto ben
10 kg di pesche, e per fare la marmellata bisogna aggiungere 5 kg di zucchero,
come dice la ricetta.
Martina è tutta contenta: "Nonna, ti immagini? Quanta marmellata solo per me!"
E la nonna le dice: "Vedi di non mangiartela tutta in un mese! Comunque quando
avremo tolto gli scarti e avremo cotto tutto, ci rimarrà all'incirca i 3/5 del peso
iniziale complessivo di pesche e zucchero! Anzi, fammi un piacere. Vai a prendere
in cantina i barattoli così li lavo per bene prima di metterci la marmellata: prendi
quelli dello scaffale in basso, da 250 grammi."
Martina è contenta di fare un piacere alla nonna, ma non ha voglia di fare viaggi
inutili. Deve trovare il modo per capire quanti barattoli servono: puoi aiutarla?

Modello C&D
 per la
formulazione
 o
 ri-
formulazione
 di
un problema

Esempi di problemi con testi
 di vario tipo tratti dal testo
«La matematica quotidiana»
 del prof. Giorgio Bolondi,

Esempio 1: il racconto
La macchina nuova
A casa di Luigi hanno deciso di cambiare l’automobile, che ormai ha tanti anni. Dopo aver
comprato QuattroRuote, averlo letto e aver discusso in famiglia per tante sere, il papà e la
mamma hanno finalmente scelto. La nuova macchina costerà 12.500 euro, una bella cifra… .
Inoltre bisogna prenderla con la vernice metallizzata ( indispensabile per il papà), che costa
250 euro, e con l’autoradio ( a cui la mamma non vuole rinunciare), che costa altri 250 euro.
E poi bisogna vendere la vecchia macchina al concessionario.
Il papà e Luigi passano tutto il sabato seguente andando in giro per le concessionarie della
città.
Il primo concessionario, il signor Automobiloni, è molto simpatico ed è pronto a fare un un
bello sconto: 1875 euro sul prezzo dell’auto. Però trova che la vecchia auto della famiglia di
Luigi sia proprio messa male, e non può dare più di 2500 euro per quella vecchia carretta.
Luigi e il papà vanno allora dalla Automacchine, un negozio che ha una bellissima sede fuori
città. L’impiegato con cui parlano ha un po’ di fretta, ma riescono a sapere quello che
importa: è più generoso per la macchina usata, che paghera 3250 euro, e può fare uno
sconto di 1250 euro sulla macchina nuova e di 25 euro su ciascuno degli optional.
Con le idee un po’ confuse, Luigi e il papà vanno in un altro negozio, la Car&Car. Qui sono
molto gentili ma decisi: non si fanno sconti! In compenso, regalano al cliente gli optional (
autoradio e vernice metallizzata) e pagano per la vecchia auto quello che vale realmente:
3750 euro.
Cosa fare? Luigi vorrebbe aiutare il suo papà a scegliere bene, cioè a spendere il meno
possibile. Da chi conviene andare per comperare la macchina nuova?

«Un testo ricco serve per far entrare il bambino in
situazione e far si che si ponga veramente come
domanda quella consegna che viene proposta. ….
Pensare che i dati essenziali si ‘impongano’ da sé è
quanto mai arbitrario; è dalla domanda (e dalla sua
eventuale scomposizione in consegne intermedie) che
deve partire l’analisi del testo, analisi che si ripete e si
modifica in itinere a mano a mano che si sviluppa la
strategia di soluzione.

Ai bambini di solito non vanno fatti grandi discorsi di
metodo; i metodi vanno proposti in azione, in modo
molto discorsivo e naturale. … e allora mentre lavoriamo
su casi concreti cercheremo con naturalezza di mettere in
evidenza alcuni elementi chiave:
a) L’individuazione della situazione matematizzabile e
 della richiesta
b) L’individuazione progressiva dei dati importanti
c) La costruzione della strategia risolutiva
d) Il confronto della soluzione ottenuta con il testo»

(Bolondi, La matematica quotidiana)

Elementi presenti nel problema:
• Prezzo dell’auto
• Prezzo degli optional
• Concessionari contattati:
 -Sconto sull’auto e sugli optional
 -Valutazione della vecchia auto
Obiettivo:
• Scegliere l’offerta più conveniente

Si può fare una rappresentazione del
problema

 Contesto Contesto
 linguistico matematico

Rappresentare è una strada per matematizzare

Automobiloni Automacchine Car&Car
Costo Auto 12500 12500 12500
Costo vernice m. 250 250 /
Costo autoradio 250 250 /
Sconto auto 1875 1250 /
Sconto vernice m. / 25 /
Sconto autoradio / 25 /
Valutazione usato 2500 3250 3750

Consegne intermedie
Calcoliamo il prezzo finale per ogni concessionaria:

• Automobiloni:
 ( 12.500 + 250 + 250 − 1.875 − 2.500) = 8.625

• Automacchine:
 12.500 + 250 + 250 − 1.250 − 25 − 25 − −3.250 = 8.450

• Car &Car: 12.500 − 3.750 = 8.750

A questo punto si può rispondere alla domanda: il
concessionario più conveniente è Automacchine

Automobiloni Automacchine Car&Car
 Costo Auto +12500 +12500 +12500
 Costo vernice m. + 250 +250 /
 Costo autoradio +250 +250 /
 Sconto auto -1875 -1250 /
 Sconto vernice m. / -25 /
 Sconto autoradio / -25 /
 Valutazione usato -2500 -3250 -3750
 Totale 8625 8450 8750

La tabella, così formulata, presenta già sia il procedimento risolutivo che la
scomposizione in sottoproblemi.
Da ciò si evince la centralità e l’utilità degli strumenti che si introducono nel
tema «Relazioni, dati e previsioni»

Verifica

Corrispondenza tra
risultato e Coerenza del
rappresentazione processo

 Nuovi problemi

Prova a rispondere
1) Corrispondenza tra risultato e rappresentazione

2) Coerenza del processo

3) Nuovi problemi

Esempio 2: testo strutturato

Problema:
1) Metti in ordine le città, guardando la temperatura massima, dalla più calda
alla più fredda.
2) Calcola l’escursione termica di tutte le città elencate
3) Metti in ordine le città, partendo da quella con escursione termica minore e
arrivando a quella con escursione termica maggiore

Osservazioni
• Il problema fornisce l’occasione per introdurre, senza
 farci lezioni ad hoc, i concetti di temperatura massima
 o minima e di escursione termica

• Per risolvere il problema si fanno operazioni consuete,
 come mettere in ordine crescente o decrescente, ma i
 numeri in questo caso hanno un significato.

Esempio 3
Il papà di Fabio nel mese di Gennaio 2017 deve andare per lavoro a Civitanova Marche
tutti i lunedì, mercoledì e venerdì del mese. La famiglia abita a Macerata. In famiglia si
discute se convenga o no al papà fare l’abbonamento mensile. Vuoi aiutarlo a prendere
la decisione giusta? E se l’impegno di lavoro slittasse a febbraio?
 -La distanza tra Macerata e Civitanova Marche è di 29,5 km

È un problema il cui svolgimento richiede calcoli
non difficili e la sequenza logica necessaria per
costruire la soluzione è fatta di passaggi semplici;
eppure il problema non è semplice perché
richiede di avere ben presente la situazione e di
incrociare due testi strutturati.

 Proviamo a fare uno schema logico
 del procedimento

Esempio 4
Giovanna racconta ai genitori di essere andata con sua zia
in un negozio di lampadari, perché la zia ne doveva
comperare uno; i lampadari erano a due o tre luci e
Giovanna dice di aver contato 20 lampadine.
La mamma chiede a Giovanna di essere più precisa e
chiede : «Quanti erano i lampadari con due lampadine?»
Ma Giovanna ricorda solo che di ogni tipo ce n’era più di
uno e che quelli a tre luci erano di più di quelli a due. Il
papà commenta: «Impossibile!»
Ha ragione? Perché?

Come procedere?
Il procedimento qui di seguito è quello emerso a lezione.
Esaminiamo le varie possibilità e vediamo quali corrispondono ai dati del
problema.
Osservazione preliminare: I lampadari a tre luci possono essere solo in
numero pari.

 Lampadari a tre luci Lampadari a due luci
 6 1
 4 4
 2 7
Nessuno dei risultati corrisponde ai dati del problema,
quindi il papà ha ragione

«La prima cosa che vorremmo stimolare è
l’abitudine a porsi delle domande. La vogliamo
stimolare nei bambini perché fa parte della
formazione che è fondamentale dare ad ogni
persona responsabile e perché è alla base del
pensiero scientifico. Riusciremo però a stimolare
questa abitudine nei bambini solo se l’avremo
opportunamente sviluppata in noi insegnanti.»
(Giorgio Bolondi – La matematica quotidiana)

Sfogliamo i giornali
Si può scegliere un pezzo di giornale, un articolo o un
trafiletto da cui porre una domanda, con cui iniziare un
discorso, sviluppare delle idee.
Scelto il pezzo e individuate le consegne da proporre o gli
argomenti da sviluppare, la prima cosa da fare è dare in
mano ai ragazzi l’articolo e lasciare che lo leggano, senza
pensare alla matematica, lasciare che capiscano la
situazione, magari discutendo tra loro.
Poi arriveranno le domande, poste in modo chiaro, che
dovranno spingere i ragazzi a rileggere il testo e lavorarci
su per tutto il tempo necessario.

Sfogliamo i giornali

PROBLEMA
Quante sono esattamente le versioni possibili del nuovo furgone?

Sintetizziamo

• Sei Motorizzazioni
• Tre classi di portata
• Quattro passi
• Tre altezze
• Tre destinazioni
 d’uso

Primo passo

Secondo passo

Terzo passo

 Quindi:
 6 × 3 × 4 × 3 × 3 = 648

motorizzazioni classi passi altezze destinazioni

 648 versioni diverse!!!

Il problema richiede di contare tutte le possibilità; è un po’
complesso perché gli elementi in gioco sono tanti.
Se fossero solo due si potrebbe utilizzare una tabella a doppia
entrata.
Ma, analizzando con calma i vari passaggi , si riesce a capire
perché bisogna usare la moltiplicazione per contare tutte le
possibilità
Così i bambini possono iniziare a prendere dimestichezza con il
modo di ragionare e di operare tipici del Calcolo Combinatorio,
senza alcun bisogno di introdurne gli strumenti, assolutamente
inadatti a questo livello scolare.

Osservazione conclusiva
Problemi presi dalla vita reale, proprio perché hanno contesti
ricchi, possono aiutare a perseguire l’obiettivo:
 Eseguire le quattro operazioni con sicurezza, valutando
 l’opportunità di ricorrere al calcolo mentale, scritto o con la
 calcolatrice a seconda delle situazioni.
Infatti, invece di ‘inventare’ artificiosamente delle situazioni in
cui far applicare l’uno o l’altro dei metodi di calcolo, le situazioni
reali offrono numerose occasioni per valutare se ricorrere o no
alla calcolatrice, come anche a stimare se i risultati ottenuti sono
attendibili in relazione al contesto del problema.