Un'esperienza didattica con i frattali, espressione matematica della natura
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Un’esperienza didattica con
i frattali, espressione
matematica della natura
Roberto Franco
Laureato in Scienze Geologiche ed esperto in sistemazione bacini montani e difesa del suolo. Oggi è considerato un
“Geologo Umanista” ed un divulgatore scientifico. Membro della Società Italiana di Geologia Ambientale e presidente del
Centro Studi Francescani e Medievali, gli è stata conferita l’alta onorificenza storica “Accademico d’Italia della Storia
francescana”. Docente di Scuola Superiore di Secondo grado, ha pubblicato diversi saggi e articoli su riviste scientifiche
nazionali e internazionali.
L’articolo presenta un’esperienza didattica che consente di comprendere
come può essere utilizzato il potente linguaggio matematico dei frattali per
descrivere fenomeni naturali e risolvere problemi reali. Si tratta di un ap-
proccio sperimentale laboratoriale, basato sui principi del costruttivismo,
che consente di attuare una didattica interdisciplinare tra la matematica e le
scienze naturali.
Introduzione italiani (Bartolini Bussi, 2001) ha dato un
contributo determinante, riconosciuto persi-
In Italia, il confronto sulla didattica labo- no a livello internazionale. Queste compo-
ratoriale come “nuova” metodologia di in- nenti sono quella epistemologica, o di analisi
segnamento si è sviluppato dal Duemila. del contenuto, quella sperimentale, quella co-
Negli stessi anni, la Démarche d’Investigation gnitiva sull’analisi dei processi individuali e
e l’Inquiry Based Science Education (IBSE) collettivi, come osservazione e modellizza-
(Maass & Artigue, 2013; Schoenfeld & Kilpa- zione di processi di laboratorio e quella di-
trick, 2013; Calmette & Matheron, 2015; Ou- dattica mediante l’analisi dell’interazione e
vrier-Buffet et al., 2016; Franco, 2018) è stata del ruolo dell’insegnante.
proposta per l’insegnamento delle discipline In questa sede vogliamo porre
scientifiche e della tecnologia a livello mon- l’attenzione sui frattali che rappresentano
diale. un nuovo potente linguaggio matematico,
Nella didattica della matematica si pos- grazie al quale è possibile descrivere feno-
sono identificare alcune principali compo- meni naturali e risolvere problemi reali che
nenti alle quali la comunità dei ricercatori erano stati un tempo accantonati. Si tratta di
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una matematica moderna anche se la sua Particolare attenzione si è posta nelle in-
genesi è molto più antica. dagini sul campo, consapevoli del fatto che
I frattali possono essere resi materiali di- eventuali difficoltà che gli alunni incontrano
dattici e proposti in attività di sperimenta- nell’apprendimento della matematica pos-
zione laboratoriale al fine di creare “contesti sono essere rintracciate nella separazione fra
ricchi”, aperti alla matematizzazione (Freu- le pratiche di insegnamento e di apprendi-
denthal, 1994; Bonotto, 2007) e fortemente mento della matematica in ambito scolastico
legati alla realtà quotidiana. e la ricchezza di esperienze che gli alunni
Qui il termine “contesto” si riferisce a maturano fuori dalla scuola. Infatti, il potere
“quel dominio della realtà che può essere cognitivo, le capacità di imparare e le attitu-
matematizzato”, mentre il termine “ricco” dini all’apprendimento vengono implemen-
sottolinea le molte opportunità di struttura- tate mantenendo l’ambiente di apprendi-
zione che la situazione può offrire. In questo mento legato al contesto culturale
modo abbiamo voluto incoraggiare i ragazzi (D’Ambrosio, 1995).
(delle scuole superiori di primo grado) a ri- Inoltre, le esperienze didattiche extra sco-
conoscere un’ampia varietà di situazioni lastiche si pongono nella prospettiva che
esterne alla scuola come “situazioni mate- nello scenario contemporaneo denso, abita-
matiche”, o ancora, più precisamente, come to, iperconnesso, la scuola è agorà, luogo di
“situazioni matematizzabili”. incontro e di scambio, spazio di relazioni.
L’immagine è quella del caravanserraglio,
Alla scoperta della geometria della spazio di accoglienza e di contaminazione
natura per eccellenza. La scuola, pertanto, deve
avere porte aperte sul territorio in un’azione
A prima vista il mondo naturale appare
di corresponsabilità educativa nei confronti
casuale, frenetico e caotico; in realtà esiste
degli studenti, secondo un’ottica sinergica,
un ordine invisibile rivelato dalla matemati-
che superi la frantumazione per un’idea di
ca. C’è una geometria nel mondo che ci cir-
rete sistemica. In questo modo la scuola può
conda e questa geometria si chiama frattale.
diventare soggetto aggregante, propulsore e
Quest’ultimo è una struttura che si ripete su
trainante, capace di offrire servizi, mettere a
diverse scale, in modo che, guardando una
disposizione risorse, cooperare nella lettura
parte del frattale, si vede anche l’insieme,
condivisa dei bisogni culturali e formativi
ovvero non cambia aspetto anche se visto
del proprio territorio, volano per la co-
con una lente di ingrandimento. Pertanto,
costruzione del sapere e dare vita a para-
l’obiettivo principale di questa sperimenta-
digmi culturali complessi, ricchi e accessibili
zione didattica laboratoriale è stato di far
a tutti.
apprendere la geometria delle trasformazio-
ni, su basi intuitive, partendo
I frattali nella natura
dall’osservazione di alcune forme presenti
in natura. È stata attuata una didattica in- Dall’infinitamente piccolo all’infinitamen-
terdisciplinare tra la matematica e altre di- te grande, dalla piccola chiocciola che vive
scipline scientifiche, tra cui le scienze natu- nel sottobosco fino all’immensa galassia a
rali. spirale che contiene miliardi di stelle, tutto
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sembra essere regolato da precise leggi ma- tria dei frattali”. Il frattale è una figura geo-
tematiche, da calcoli predefiniti. Lo stesso metrica o oggetto naturale con una parte
Galileo Galilei, in una celeberrima afferma- della sua forma o struttura che si ripete a
zione, intese dire che l’armonia del mondo scala differente, con forma estremamente ir-
si manifesta nella forma e nel numero: regolare interrotta e frammentata a qualsiasi
scala e con elementi distinti di molte dimen-
La filosofia [naturale] è scritta in questo sioni differenti (Mandelbrot, 1975).
grandissimo libro che continuamente ci sta
aperto innanzi a gli occhi (io dico l’universo),
Un’esperienza con la matematica dei
ma non si può intendere se prima non s’impara
frattali
a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’
quali è scritto. Egli è scritto in lingua I frattali, veri e propri oggetti matematici,
matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, consentono un approccio interdisciplinare e
ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi si prestano a essere studiati a differenti livel-
è impossibile a intenderne umanamente parola;
li di complessità e di astrazione. Infatti, essi
senza questi è un aggirarsi vanamente per un
presentano aspetti estetici che coinvolgono
oscuro laberinto (Galileo Galilei, 1623, p. 25).
anche l’intelligenza emotiva e, grazie
L’anima e la poesia della filosofia natura- all’aiuto dei computer e della grafica, si dà
le s’incarnano nel concetto di bellezza ma- la possibilità ai ragazzi di maneggiare curve
tematica: ciò che è aggraziato e regolare è e concetti che una volta erano riservati a ma-
utile e perfetto. Già nelle antiche culture la tematici esperti. Inoltre, la natura dei frattali
perfezione ha destato curiosità e ammira- fa percepire che anche in matematica si può
zione stimolando lo studio dei segreti na- “inventare”!
scosti dall’incredibile bellezza. Osservando Questa progettazione didattica sperimen-
la natura si scoprono espressioni di eleganza tale e laboratoriale ha coinvolto gli alunni di
e di armonia: il tratto comune che definisce una seconda classe di un istituto
gli oggetti attraenti è generato da forze rigo- d’istruzione secondaria di primo grado.
rose e inequivocabili, che obbediscono a L’esperienza ha permesso di raggiungere i
precise leggi matematiche. Le forme sono il traguardi previsti per lo sviluppo delle
primo aspetto intuitivo della realtà che competenze: riconoscere e denominare le
l’occhio umano percepisce. forme del piano e dello spazio; cogliere le
Gli oggetti della nostra esperienza non relazioni tra gli elementi e utilizzare i con-
hanno di per sé i bordi lisci o le forme rego- cetti di proprietà caratterizzante e di defini-
lari di un cono, di un cerchio, di una sfera o zione; utilizzare strumenti per il disegno,
di una retta come afferma la geometria eu- per la misura e, talvolta, software di geome-
clidea. Il mondo in realtà è rugoso, increspa- tria dinamica. I contenuti utilizzati sono stati
to, di forma irregolare. Può sembrare strano, le trasformazioni geometriche, le traslazioni,
ma fino a non molto tempo fa non esisteva le rotazioni, le simmetrie, le omotetie e le
una geometria capace di descrivere i feno- similitudini.
meni naturali, ma ora c’è: si chiama “geome- Il progetto si è articolato nelle fasi artico-
late nella figura n. 1(fig. 1):
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ce, la sezione trasversale di un’antica am-
1. Dentro la parola trasformazione monite (esemplare estinto del Nautilus). Si è
L’attività è stata avviata con una serie di messo così in atto un percorso dove gli
domande-stimolo come ad esempio: A cosa alunni, partendo dalla comprensione, osser-
serve la matematica? A cosa serve la chimi- vazione e descrizione di questi oggetti, sono
ca? Le materie scientifiche sono difficili? La giunti a determinare la loro organizzazione
matematica, la chimica, la fisica possono e la rappresentazione matematica di questi
spiegare la forma di un fiume, di un fiore, di miracoli della natura.
un animale? Che cos’è un frattale e che cosa Il cavolo romano è uno dei tanti ortaggi
studia la sua geometria? che si lasciano ammirare nella loro accatti-
Per cercare di arrivare a conclusioni con- vante autosomiglianza. Esso ha la forma ti-
divise, si è applicata la tecnica del brainstor- pica di un frattale; infatti, se si stacca una
ming. Molti ragazzi, per non dire quasi tutti, cima dal corpo principale, essa assomiglia
a queste domande-stimolo hanno risposto ad un mini broccolo con tutte le sue cimette
che la matematica non spiegava le forme piccolissime. Oltre al broccolo romanesco, si è
della natura. Si è proceduto, pertanto, considerata anche una felce comune. La cosa
all’osservazione di oggetti presenti in natura che si è notato immediatamente è che un ra-
e si è scoperto come in essa sussistono metto di felce è una copia in piccolo della fo-
espressioni di eleganza e di armonia. Il trat- glia completa. Questa proprietà prende il no-
to comune che definisce gli oggetti attraenti me di autosimilarità (o autosomiglianza): una
è generato da leggi matematiche rigorose e parte dell’oggetto è simile al tutto.
inequivocabili. Il comportamento frattale viene da una
varietà di diversi fenomeni che agiscono si-
2. Le trasformazioni nel tempo e nello milmente a scale diverse. Si è considerato,
spazio ad esempio, un esemplare fossile di Ammo-
Questa fase ha rappresentato un momen- nite. Le Ammoniti hanno la stessa caratteri-
to molto importante, in quanto agli studenti stica di autosimilitudine a diversi ingrandi-
è stata proposta l’osservazione diretta di al- menti senza essere veramente un frattale. È
cuni esemplari di frattali che esistono in na- solo una spirale logaritmica: l’animale ap-
tura, come il cavolo romano, la foglia di fel- plica continuamente la stessa regola durante
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il suo sviluppo: costruire un guscio legger- di costruire e gestire oggetti geometrici in
mente più grande ad un particolare angolo. modo interattivo, permettendo non solo di
Esempi di spirali logaritmiche (o spirali au- disegnare le figure, ma anche di “manipo-
ree) sono molto diffuse in natura, nel modo larle”, sottoponendole mediante il mouse al-
vegetale, ma non solo. Nelle conchiglie, nel- le varie possibilità di trascinamento che il
le corna del muflone, nella coda programma mette a disposizione.
dell’ippocampo, negli echinodermi, nella GeoGebra, inoltre, è un elemento facilita-
struttura di molte piante grasse, tore per l’insegnamento della matematica
dall’infinitamente piccolo, come nella strut- nelle situazioni di difficoltà e uno strumento
tura molecolare a doppia elica del DNA, fi- di inclusione all’interno della classe.
no alla forma dei cicloni e delle galassie. La caratteristica fondamentale
dell’architettura di GeoGebra, che lega la
3. Le trasformazioni geometriche rappresentazione visuale di un oggetto alla
In questa fase, inizialmente, sono stati relativa formalizzazione algebrica, consente
formalizzati i concetti di vettore e di tra- l’esplorazione immediata del legame tra teo-
sformazione geometrica; dopodiché si è pro- ria e realtà, fornendo un valore aggiunto al
ceduto, con l’ausilio di riga, squadre, go- processo di apprendimento.
niometro e compasso, alla rappresentazione Per favorire il cooperative learning, in que-
grafica di traslazione, rotazione e simmetria. sta fase, si sono riuniti gli studenti in piccoli
Inoltre, in base agli oggetti visti nella fase gruppi dove hanno potuto cimentarsi nel
precedente del progetto, ci si è soffermati costruire l’“Albero di Pitagora” nelle diverse
particolarmente sul loro aspetto matematico. variabili.
Si è visto che il numero di rosette che
compongono il broccolo romano è un nume- 5. Una passeggiata matematica
ro di Fibonacci (ovvero un numero della Ogni percorso didattico inizia con “ogget-
successione omonima composta da numeri ti” da osservare per finire in un “luogo” da
interi positivi in cui ciascun è la somma dei visitare per consentire agli studenti di fare
due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 e così un’esperienza diretta e “reale” degli oggetti
via). precedentemente osservati. Lo scopo princi-
Anche la felce è un oggetto geometrico e pale di quest’ultima fase del progetto, chia-
come tale si può ottenere usando delle tecni- mata “Una passeggiata matematica” è con-
che matematiche. I ragazzi hanno provato a sistita nel far apprendere la geometria delle
realizzare le trasformazioni, ottenute cia- trasformazioni, partendo dall’osservazione
scuna come composizione di una rotazione, di forme presenti in natura, sia del mondo
di una omotetia e di una traslazione. vegetale che di quello animale. È stata,
Dall’Ammonite si è potuta ricavare la quindi, attuata una didattica interdisciplina-
proporzione aurea (o sezione aurea o sezio- re tra la matematica e le scienze naturali.
ne divina). Di per sé, le scienze naturali riescono a
suscitare grande interesse e passione, stimo-
4. I frattali con GeoGebra lando una grande varietà di sentimenti. Nel-
GeoGebra è un software open source di lo studio delle scienze naturali, infatti, una
“geometria dinamica” che offre la possibilità funzione determinante è assolta dalla com-
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ponente emozionale, in quanto, facilita costruire le antiche forme di vita e di capire
l’interazione fra diversi tipi di conoscenza, come siano cambiate nel tempo la geografia
semplifica il processo di apprendimento e (paleogeografia) e le condizioni ambientali
concorre a osservare i fenomeni abituali del (paleoecologia e paleoclimatologia) delle
mondo circostante in maniera diversa e a Madonie. La presenza di certi organismi
darne un significato alternativo. fossili in una regione, infatti, può indicare,
La “passeggiata matematica”, un connu- per esempio, la presenza di mare dove oggi
bio tra biologia e geologia, è avvenuta attra- ci sono terre emerse (o viceversa), oppure il
verso un’escursione all’interno del Parco re- sussistere di condizioni ambientali e climati-
gionale delle Madonie, in provincia di Pa- che diverse da quelle attuali (Vialli, 1985).
lermo, che rappresenta un’area di ecceziona- È apparso subito chiaro e fondamentale
le interesse botanico, zoologico e geologico; come il Parco delle Madonie rivolga la co-
per quest’ultima valenza il Parco delle Ma- municazione della sua esistenza e dei suoi
donie, nel 2001, è entrato a far parte obiettivi anche alle istituzioni scolastiche,
dell’European Geoparks Network. favorendo l’instaurarsi di sinergie che pos-
Il territorio madonita accoglie l’80% della sono essere di beneficio a entrambe.
biodiversità siciliana così come l’area di
Gorgonero che ospita una serie stupefacente L’ambiente come risorsa didattica
di specie naturalistiche alcune delle quali
Per essere vissuta come risorsa, la scuola
endemiche, come l’Osmunda Regalis (o Filicia
deve certamente superare l’isolamento cul-
Francisi) che vive all’interno dell’unico am-
turale in cui è rimasta per tanti anni. Essa
biente umido del territorio, lo stagno Gor-
deve pertanto diventare risorsa locale, un si-
gonero. Il primo step di questa escursione
stema dinamico in grado di co-evolversi con
didattica è iniziata proprio con la visita di
lo sviluppo dell’ambiente di cui è parte in-
quest’area. Si tratta di un habitat particolare
tegrante.
che ha permesso il mantenimento
L’ambiente, infatti, è inteso come spazio
dell’Osmunda regalis. La pianta, che può ave-
culturale alternativo; diviene una sorta di
re foglie da uno a tre metri, è tra le più
“libro di testo” estremamente ricco e poliva-
grandi del nostro continente dove ormai è
lente da cui attingere oggetti, interessanti e
una rarità. Cresce bene nei luoghi umidi e
innovativi, sorgente infinita di problemi da
nei boschi acquitrinosi.
porsi. Esso in effetti – come ha opportuna-
Il secondo step è stato la nota stazione
mente rilevato Frabboni (1987) – può essere
sciistica di Piano Battaglia dove, nei blocchi
giustamente considerato “specchio didattico
calcarei che costeggiano sempre la strada, si
ed alfabeto” e, inoltre, come “grammatica di
sono potuti osservare, in sezione, esemplari
conoscenza e di fantasia”, con finalità cogni-
di Ammoniti delle Madonie. Purtroppo, il
tive che mirano ad elevare il territorio a
tipo di fossilizzazione che presentano questi
“banca delle conoscenze”; finalità estetiche
esemplari non ha consentito di poter fare
che puntano ad elevare l’ambiente a “botte-
analisi approfondite. Nonostante ciò, i fossili
ga della fantasia”; finalità etico-sociali per la
hanno permesso ai ragazzi di acquisire un
salvaguardia dell’ambiente quale “tempio”
gran numero di informazioni sul passato del
dei valori sociali e culturali; infine,
territorio madonita, permettendo così di ri-
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l’ambiente come “fabbrica di cultura”, che euristici a partire da problemi reali, presen-
presuppone l’abbandono della struttura sco- tano aspetti estetici che coinvolgono anche
lastica come luogo privilegiato dei processi l’intelligenza emotiva degli studenti. Inoltre
di insegnamento-apprendimento (Santagata, consentono agli insegnanti di matematica un
2007). ruolo importante nelle attività interdiscipli-
nari che sono sempre più richieste dal si-
Considerazioni conclusive stema scolastico. In definitiva, i modelli ma-
tematici dei frattali piacciono agli studenti e
Nell’articolo si è cercato di mostrate come
spingono alcuni di loro ad approfondire ar-
sia opportuno realizzare attività che consen-
gomenti matematici perché anche in mate-
tono agli alunni la partecipazione alla co-
matica “si inventa”. Tale aspetto motivazio-
struzione del proprio sapere, anche per gli
nale è di fondamentale importanza di fronte
apprendimenti scientifici.
alla difficoltà di veicolare l’importanza e
Per quanto riguarda la matematica, vi so-
l’interesse verso la cultura scientifica nella
no molte ragioni per usare i frattali come
formazione delle nuove generazioni.
stimolo di studio nella scuola secondaria.
Essi possono essere studiati con approcci
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