Teoria evoluzionistica dei giochi - riflessioni sul testo "Equazioni della vita, la matematica dell'evoluzione" Di John Maynard Smith

Teoria evoluzionistica dei
         giochi
 riflessioni sul testo “Equazioni della vita, la
         matematica dell’evoluzione”
           Di John Maynard Smith

Cosa è la teoria dei giochi:
 La teoria dei giochi è la scienza matematica che
 analizza situazioni di conflitto e ne ricerca
 soluzioni competitive e cooperative tramite
 modelli, ovvero
  uno studio delle decisioni individuali in situazioni
 in cui vi sono interazioni tra i diversi soggetti, tali
 per cui le decisioni di un soggetto possono influire
 sui risultati conseguibili da parte di un rivale,
 secondo un meccanismo di retroazione.
 (wikipedia)

Un po’ di storia:
•1913 - E. Zermelo provided the first theorem of game
theory asserts that chess is strictly determined
•1928 - John von Neumann proved the minimax theorem
•1944 - John von Neumann / Oskar Morgenstern’s wrote
         "Theory of Games and Economic Behavior”
•1950-1953, John Nash describes Nash equilibrium
•1972 - John Maynard Smith wrote
          “Game Theory and The Evolution of Fighting”

Assumptions:
- humans are rational beings
- humans always seek the best alternative in a set of
possible choices

Why assume rationality? narrow down the range of
possibilities Predictability
Utility Theory based on: rationality and maximization of
utility
It is a quantification of a person's preferences with respect
to certain objects.

Teoria Evoluzionistica dei giochi
   Nel 1972 John Maynard-Smith ha
   pubblicato un articolo, dal titolo “Game
   theory and the evolution of fighting”, in
   cui si fanno affondare le radici della
   teoria evoluzionistica moderna. Nel suo
   lavoro, poi ripreso e perfezionato in
   collaborazione con George Price si
   trovavano condensate già molte delle
   idee dominanti della teoria.

Alcuni precedenti
- nel 1930, R.A. Fisher si era occupato di una
problematica strettamente affine . Egli ricercava una
giustificazione evolutiva al fatto che il rapporto tra il
numero di abitanti di sesso maschile e femminile si
mantenesse prossimo al 50%/50%, anche in società in
cui la maggior parte dei maschi non contribuisce alla
riproduzione.
-Nel 1969 David Lewis: collegamento tra la teoria dei
giochi classica e dei problemi di linguistica. l
Lʼarbitrarietà delle parole è corroborata da un accordo
stipulato tra i componenti della stessa societ`a. Questa
idea, non originale, trova una giustificazione nella
teoria dei giochi, secondo cui i parlanti della stessa
lingua divengono dei giocatori cooperativi.

Evolutionary Game Theory
 Natural selection replaces rational behavior
 Survival of the fittest
 Why use evolution to determine a strategy?

 Evolutionary Stable Strategy:
 - Strategy becomes stable throughout the
 population
 - Mutations becoming ineffective

Un modello matematico
     particolare:
-Teoria Evoluzionistica dei Giochi nasce come un
modello per spiegare alcuni aspetti del
comportamento di animali ma la sua applicabilità
è diventata sempre più ampia
-Lo spunto nasce dalle osservazioni dell’etologo
Lorenz: quando due animali competono per una
risorsa spesso non usano tutte le loro armi ma
fanno esibizioni ritualizzate. Il tutto spiegato con
tesi “bene comune specie” non giustificata dalla
selezione naturale primariamente individuale.

Immaginiamo il gioco
    colombe/falchi
  Due animali sono in competizione per una
  qualche risorsa di valore V (cibo, partner,
                   territorio)
  L’individuo può scegliere di praticare una
 “strategia” fra due: falco e colomba ( i nomi
                sono simbolici!!)
  ATTENZIONE: per strategia si intende un
comportamento ma in esempi più complessi
       un qualsiasi carattere ereditabile

colombe/falchi
             In una gara per la risorsa:
    -il falco combatte con tutte le sue armi e
   quando vince si appropria della risorsa di
   valore V; quando perde ciò ha un costa C
 -Una colomba: fugge se c’è avversario, se
          incontra un’altra colomba divide.
   -Quindi: un Falco contro una colomba ha
  compenso V. La colomba non ottiene nulla
       ma non subisce danni (compenso 0)
-Falco contro falco: può vincere V, perdere -C
                  in media (V-C)/2

Assunzioni per simulare gioco
     colombe/falchi ?
  1)   Ogni individuo si impegna in uno scontro
       con contendente che si incontra (stesso
       risultato se ha scontri con avversari
       casauli)
  2)    Ogni individuo produce un numero di
       figli dipendente dal compenso che riceve
       nella lotta
  3)    Quando individui si riproducono: fa
       falchi/colombe nascono falchi/colombe

Se assumiamo compenso V=10 e costo C=4

              Falco                  Colomba

Compenso          3                      10
falco

Compenso
Colomba            0                    5

      Come questi valori il falco farà sempre meglio
      della colomba e la popolazione sarà alla di solo
      falchi

E se fosseC>V ? V=4 e C=10

                     Falco                      Colomba

Compenso                 -3                          4
falco

Compenso
Colomba                    0                        2

In questo caso: se la popolazione è fatta principalmente da falchi conviene
comportarsi come colombe. Ma se la popolazione è principalmente da
colombe conviene essere falco.
Concetto “invasione” da parte di una strategia nuova, “mutante”!

A questo punto si possono pensare
    tutte le possibili strategie
   Interessante è:
  -a volte si riescono a spiegare
  alcuni “comportamenti” reali(vedi
  problema iniziale Lorenz)
  - a volte si scopre che una
  strategia “inventata” è utilizzata
  in natura

L’obiettivo è trovare una Strategia
       Evoluzionistica Stabile (SES)
- Una SES è una strategia non “invalidabile” da
mutanti ovvero:
Se tutti i membri adottano una strategia S e
immaginiamo un mutante Y, il compenso “Y contro
S” dovrà essere inferiore a “S contro S”.
-Una SES è una strategia che ottiene nei confronto
con se stessa migliori risultati di quelli che ottiene
qualsiasi altra strategia
(caso falchi/colombe: se V=10 e C=4 la strategia “falco” è una SES)

“Strategie diverse”: RITORSIONE (Tit for Tat) ovvero
  Comportati da Colomba ma se il tuo avversario è
  aggressivo combatti a tua volta
                 Falco    Colomba        Ritorsore
Compenso
falco                -3       4              4

Compenso              0                         2
Colomba                        2

Compenso            -3        2             2
Ritorsione

 Ritorsione: strategia evoluzionistica stabile nei
 confronti degli altri

Modelli più complicati: se la
 risorsa non è divisibile?
 Anche se c’è l’accordo nel
 suddividere la risorsa potrebbe
 non essere suddivisa.
 - Si cerca l’asimmetria della
 situazione: un esempio è quello
 dell’asimmetria fra “padrone” della
 risorsa e “intruso”

Strategia “Borghese”: lotta per risorsa che già
  possiedi ma non altrimenti

                 Falco       Colomba     Borghese
Compenso
falco                -3         4            1,5

Compenso                 0                      1
Colomba                         2

Compenso          -1,5          3           2
Borghese

 Ritorsione: strategia evoluzionistica stabile nei
 confronti degli altri

Le stategie possono essere
    diverse e sempre più
complesse e vicine alla realtà
  Esempio: “guerra di logoramento”
  Due individui sono in competizione per
  risorsa indivisibile di valore V.
  Utilizzare atteggiamento minaccioso
  finchè i loro avversari non decidano di
  ritirarsi
  Supponiamo che la minaccia abbia un
  costo che aumenta all’aumentare del
  tempo

Problema: non tutti i giochi
     hanno una SES
   Esempio della “morra cinese”

Demo CoopSim
A Computer Simulation of the
   Evolution Cooperation

Installazione e lancio
              applicazione

Libreria scritta in
python con
interfaccia grafica

Risultato della simulazione con
4 strategie:
Dove, Hawk, Random,
TitForTat (ritorsione per prova)

Definizione
       simulazione:
-si scelgono le
strategie
- di indicano i valori
della matrice dei
compensi (payoff)
- si lancia la
simulazione

- Ci sono dei vincoli
   nella scelta dei
   parametri della
matrice dei compensi

Diagramma della dinamica della popolazione

Nuova strategia Grim: Cooperates until the
first defection of the opponent, then nevers
cooperates any more.

Conclusioni
- La teoria evoluzionistica dei giochi può essere
applicata ogni volta che la cosa migliore da farsi per
un individuo per conseguire un buon successo
biologico (“fitness”) dipende da ciò che fanno gli altri
- Ciò che è sottoposto al test sono i modelli e NON la
teoria dell’evoluzione per selezione naturale che
deve essere assunta vera e “testata” con altri mezzi

Riflessioni di Maynard Smith
 sull’importanza di un modello
          matematico
-E’ diverso il ruolo di un modello matematico in fisica
e matematica e uno in biologia: nel primo lo
scostamento dei risultati può portare alla scoperta di
cose nuove o ad invalidare una teoria (da irregolarità
moto Nettuno esempio scoperta Plutone) . Nel
secondo l’andamento è qualitativo: gli assunti iniziali
sono come minimo molto approssimati.

-Nel secondo casi si cerca di isolare un problema e si
ipotizza un “meccanismo” per spiegarlo. Le equazioni
fanno previsione solo qualitativa (lasciamo tante cose
fuori dal modello)

-La matematica consente di mettere per
iscritto con concisione e precisione un
modello che deve essere chiaro nelle sue
ipotesi (implicitamente un modello porta ad
includere o escludere delle ipotesi)
- Ci sono delle domande sulle quali è troppo
difficile riflettere senza l’aiuto della
matematica