TEOREMA DI PITAGORA: DIMOSTRAZIONE MECCANICA - Atuttascuola
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Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. Gennaio 2015
ALDO BONET
TEOREMA DI PITAGORA:
DIMOSTRAZIONE MECCANICA.
Regola Sumero-Babilonese
TRENTO – Gennaio 2015
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Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. Gennaio 2015
ALDO BONET 1
Definizione di macchina matematica del prof. Marcello Pergola: “Una macchina matematica
(in un contesto geometrico) ha come scopo fondamentale ( indipendentemente dall’uso che poi se
ne farà della macchina) risolvere questo problema: obbligare un punto, o un segmento, o una
figura qualsiasi (sostenuti da un opportuno supporto che li renda visibili) a muoversi nello spazio o
a subire trasformazioni seguendo con esattezza una legge astrattamente, matematicamente
determinata.”
Per contatti: aldo@storiadellamatematica.it
1. http://www.atuttascuola.it/collaborazione/bonet/index.htm
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Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. Gennaio 2015
Introduzione.
Nel mio precedente articolo “ il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi”, abbiamo visto come già nel periodo
tardo Uruk (3.200 a.C. circa), i Sumeri molto probabilmente conoscevano la relazione del Teorema di
Pitagora, sotto una forma di Regola empirica, al culmine di quel periodo cronologico del Vicino Oriente noto
come “La rivoluzione urbana", proprio ai tempi di Ötzi, l’uomo del tardo neolitico alpino contemporaneo
all’uomo del tardo calcolitico mesopotamico; una Regola che si dimostrò poi fondamentale per la nascita e il
futuro dell’algebra e della geometria. Questa Regola, fu visualizzata dagli artigiani Sumeri attraverso la loro
formidabile macchina di svago, da me ipotizzata nel lontano 1978 e accolta con due pubblicazioni
universitarie solo nel 1989 e poi nel 2008. Questa macchina matematica di argilla comparve in Mesopotamia
probabilmente nella seconda metà del IV millennio a.C. dopo una millenaria arte edile fatta con i mattoni
standardizzati; una macchina algebrica unica e versatile: Il Diagramma di argilla.
Un Diagramma ludico, a fini didattici - educativi, che evocava i primi e più antichi giochi da tavolo allora
conosciuti presso le prime civiltà potamiche (dei grandi fiumi). Questa macchina ricreativa era utilizzata
come una sorta di gioco logico-enigmistico, fatto con mattoni movimentabili e sovrapponibili. I primi
pionieri ellenici la videro nella sua funzione didattica dentro le rinomate scuole degli scribi delle millenarie
civiltà potamiche. Fortunatamente, tra i primi pionieri ellenici, nel VI sec.a.C., vi fu anche Pitagora di Samo
che andò a visitare la Mesopotamia, l’India e l’Egitto; Pitagora, verosimilmente affascinato dalla semplicità e
versatilità didattica di questa macchina algebrica di svago fatta in mattoni di argilla, la introdusse in Patria, a
Crotone, nella Magna Grecia.
Nel presente articolo propongo, come efficace strumento didattico, un congegno meccanico da me progettato
in conformità a quanto già esposto nel mio articolo in precedenza citato: il Teorema di Pitagora ai tempi di
Ötzi. Un meccanismo che ho studiato per attivare concretamente, con un movimento sincrono, il metodo
dimostrativo per rotazione di questa importante Regola arcaica, semplice e comprensibile anche ai non
matematici.
Propongo inoltre questa macchina algebrica a tutti i seguenti link:
Musei matematici, archeologici e della scienza:
• Simmetria giochi di specchi
• La collezione di Macchine Matematiche del Museo Universitario di Modena e il Laboratorio
• Mathematikmuseum
• Atractor
• Giardino di Archimede
• Laboratorio scienza
• Mathematics: Exploratorium's Ten Cool Sites
• Muse di Trento
• Museo Archeologico di Bolzano
• Museo Parco delle Scienze di Granada
• Museo dell’Alhambra di Granada
Specialisti di storia del pensiero scientifico:
• MacTutor History of Mathematics Archive
• Jöran.Friberg
• Duncan J. Melville
• Jens Høyrup
• Jean-Pierre_Houdin
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Aldo Bonet Teorema di Pitagora: dimostrazione meccanica. Gennaio 2015
1. BREVE SUNTO DELLA REGOLA SUMERA… ALL’INIZIO FU IL MATTONE.
E con l’argilla, gli uomini mesopotamici plasmarono i mattoni. Dai mattoni, spontaneamente, scaturì una
base statica a modulo quadrato che formò un Diagramma ricreativo: nacque così l’algebra geometrica, l’alba
del pensiero scientifico.
Nell’articolo precedente “Il Teorema di Pitagora ai tempi di Ötzi “ abbiamo ripercorso assieme, secondo la
mia teoria, le verosimili fasi cruciali degli anonimi artigiani Sumeri che scoprirono questa importante Regola
empirica e crearono induttivamente con i mattoni un piacevole gioco di argilla, un’originale macchina
algebrica destinata ad accompagnare l’uomo mesopotamico fuori dalla preistoria e nella sua evoluzione
sociale e rivoluzione culturale. Un arcaico strumento didattico di facile utilizzo che riepilogo brevemente:
Abbiamo visto come attraverso le prime fasi…
FASE. 1:
FASE. 2:
Siamo passati, quasi per magia, alla FASE. 3.
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FASE. 3:
Passando poi per induzione dalla FASE. 4…
FASE. 4:
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…alla FASE. 5: La base del Diagramma di argilla a modulo quadrato!
FASE. 5:
In seguito, sempre per induzione, abbiamo proseguito con le seguenti fasi…
FASE. 6- A:
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FASE. 6- B:
Fino ad arrivare alla FASE. 6- C.
FASE. 6- C:
Arrivati alla FASE: 6- C, con due semplici mosse e, ancora quasi per magia, abbiamo visualizzato la
superficie equivalente del quadrato costruito sopra la diagonale dei mattoni. Vedere FASI: 7- A- B – C- D.
Prima mossa: Siamo partiti con il mezzo mattone in bicolore grigio/nero A, che abbiamo trasferito vicino
all’altro in zona A1 in modo tale che, i due mezzi mattoni (in bicolore grigio/nero) si ritrovassero adiacenti o
aderenti con la relativa parte colorata, quella colorata di nero.
Seconda mossa: Infine, abbiamo trasferito il mezzo mattone B, in zona B1.
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Allo scopo, abbiamo applicato due metodi equivalenti:
1) Metodo per rotazione. Abbiamo ruotato di 270° il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato
con A, in zona A1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo C, FASE 7- A. Infine, abbiamo ruotato
di 270° il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo D,
FASE. 7- C.
FASE. 7- A/C:
2) Metodo per traslazione. Prima, abbiamo trasferito il mezzo mattone in bicolore grigio/nero indicato
con A, in zona A1, come nelle seguenti fasi…
FASE. 7- B:
Infine, FASE. 7- C, abbiamo trasferito il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, come nelle
seguenti fasi…
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FASE. 7- C:
Entrambi i metodi infine, abbiamo visto che terminavano in quest’ultima FASE. 7- D, vedere qui...
FASE. 7- D:
Ecco il risultato universale dell’arcaica Regola Sumera, che doveva grossomodo recitare: In ogni mattone, il
quadrato costruito sulla sua diagonale (FASE 6-C), è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti
sul fianco e sul fronte del mattone stesso (FASE 7-D). Probabilmente, i Sumeri, per distinguere visivamente
i due quadrati, hanno prima colorato di nero con il bitume (nella FASE 7-D) il quadrato sul fronte del
mattone. Come si vede, il Teorema “di Pitagora” era in origine legato tra la diagonale e le due facce del
mattone rettangolo; Pitagora invece, lo legò alla figura geometrica stilizzata del solo mezzo-mattone, che
prese il nome di: triangolo rettangolo.
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2. SINTESI SCHEMATICA DELLA REGOLA SUMERO-BABILONESE.
=>
Attraverso il Diagramma di argilla è facile visualizzare che, in ogni mattone, il quadrato costruito sulla sua
diagonale “ d ” (linea obliqua posta sotto la tassellatura) è sempre equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sul fianco “ X ” e sul fronte “ Y ” del mattone stesso. Questa regola fu ulteriormente sviluppata
dalla discendenza dei Sumeri. Ho pensato di complementare, coniandola come: Regola Sumero-Babilonese.
3. ANALISI DEL METODO A ROTAZIONE.
Nel metodo a rotazione abbiamo visto che sono stati ruotati di un angolo, pari a 270°, sia il mezzo
mattone in bicolore grigio/nero indicato con A, in zona A1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo
C, sia il mezzo mattone di colore grigio B, in zona B1, assumendo come asse di rotazione lo spigolo D,
rivedere la seguente FASE. 7- A/C:
FASE. 7- A/C
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4. L’IDEA MECCANICA PER UN MOVIMENTO A ROTAZIONE SIMULTANEA.
Proprio l’uguaglianza di rotazione degli angoli, pari a 270° ciascuno, dei due distinti mezzi mattoni, mi ha
fatto pensare che, questa peculiarità poteva essere utilizzata per ricreare questo strumento ludico in mattoni
dentro una struttura alternativa efficace e attraente per la didattica, con l’ausilio di un congegno meccanico di
supporto, il quale, avrebbe attivato un movimento sincronizzato attraverso un’unica manovella di rotazione.
Il congegno da me ideato con ingranaggi in lega di metallo, perché sia funzionale, bisognerà inserirlo dentro
una base lignea di supporto che sia solida e nello stesso tempo spaziosa per ospitare tutto il meccanismo.
Anche gli originali mattoni di argilla del Diagramma, sarà opportuno sostituirli con un altro materiale più
leggero, pure per questi ultimi, meglio direi se di legno.
Il tutto poi, sarà rifinito esternamente per dare una parvenza costruttiva molto simile ai mattoni di argilla, in
modo che rievochi l’origine arcaica della macchina e, con la dimostrazione della Regola Sumero-Babilonese,
l’origine della più scolastica dimostrazione del noto “Teorema di Pitagora”.
5. LE TRE FASI DEL METODO A ROTAZIONE MECCANICA SIMULTANEA.
TEOREMA DI PITAGORA: DIMOSTRAZIONE MECCANICA.
Regola Sumero-Babilonese
FASE n°1
[ 0°]
Nella prima fase, con la manovella immobile o in posizione di 0°, si osserva che il quadrato tassellato è
perfettamente costruito sulla diagonale di ogni mattone sottostante. Per vedere a cosa equivale il quadrato
soprastante, bisognerà iniziare a muovere la manovella in senso orario…vedere la fase 2 intermedia
seguente:
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FASE n°2
[ 180°]
Muovendo la manovella in senso orario, nei primi 180° si vedranno i due mezzi mattoni ( A e B) staccarsi
dal quadrato iniziale e muoversi simultaneamente in rotazione angolare nello spazio, assumendo come
assi di rotazione rispettivamente gli spigoli C e D ai quali sono incardinati.
Il quadrato soprastante, in questa fase intermedia, subisce una trasformazione geometrica equivalente:
mediante l’invarianza dell’area e il mutamento della forma.
Una costante matematica che ritroviamo nei SulbaSūtra e che fu alla base della costruzione degli altari di
fuoco nella matematica Vedica Indiana.
Per vedere a quale forma geometrica elementare finale equivale il quadrato iniziale soprastante,
bisognerà semplicemente continuare a muovere la manovella in senso orario per i rimanenti +90° finché i
due mezzi mattoni non raggiungeranno simultaneamente e rispettivamente le zone A1 e B1… 180° + 90° =
270° …vedere l’ultima fase (Fase 3) seguente:
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FASE n°3
[ 270°]
Raggiunta, a 270°, la fase finale della dimostrazione meccanica, abbiamo osservato che, il quadrato
iniziale (visibile nella Fase n°1) ha subito, durante il percorso angolare della movimentazione meccanica,
una trasformazione geometrica per equivalenza.
Mantenendo invariata l’area durante la rotazione angolare, la macchina ha prodotto nello spazio un
mutamento della forma, raggiungendo così una figura geometrica finale costituita dall’unione di due
quadrati adiacenti e complementari: quadrato grigio + quadrato nero = gnomone; quello grigio costruito
sul fianco dei mattoni più quello nero costruito sul fronte dei mattoni costituenti il Diagramma
meccanico.
6. L’ARCAICA VERIFICA ARTIGIANALE
Questo risultato universale, oltre ad essere facilmente percepibile con l’osservazione diretta della
disposizione dei mattoni sul Diagramma meccanico nelle due fasi (iniziale e finale) è anche percepibile
mediante una verifica artigianale già vista nella sua forma primitiva nel mio articolo: “ Il Teorema di
Pitagora ai tempi di Ötzi ” alle pagg. 11 e 12.
Una rapida verifica che ripresento qui sulla macchina utilizzando questa volta dei mezzi-mattoni (a forma
di triangolo rettangolo) e mediante le distinte fasi successive: Fase n°4 , Fase n°5 e Fase n°6.
Si porta la macchina come in FASE n°1 di pag.11, con la manovella su 0°, poi, si prendono due mezzi-
mattoni (in questo caso di legno) e si affianca il taglio riguardante la diagonale (l’ipotenusa) a due lati
consecutivi del quadrato iniziale (quello di FASE n°1), per fare la verifica di quanto segue:
1a verifica - FASE n°4: ” Il quadrato regolarmente costruito (FASE n°1 di pag.11) sulla diagonale del
mezzo- mattone, è sempre …“
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FASE n°4 (FASE n°1)
Si tolgono temporaneamente i due mezzi-mattoni e si fa ruotare di 270° gli ingranaggi con la manovella della
macchina sino alla Fase n°3 di pag. 13, e poi, si riprendono ancora i due mezzi-mattoni e si fa combaciare il
fianco di ognuno (cateto maggiore) con due lati consecutivi del quadrato grigio…
2a verifica- FASE n°5: ”… equivalente all’unione del quadrato (grigio) costruito sul fianco del mezzo-
mattone …”
FASE n°5 (FASE n°3)
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Si riprendono ancora i due mezzi-mattoni e si fa combaciare infine il fronte (cateto minore) di ognuno con
due lati consecutivi del quadrato nero…
3a verifica: “… più il quadrato (nero) costruito sul fronte del mezzo-mattone stesso.”
FASE n°6 (FASE n°3)
Abbiamo fatto combaciare prima (FASE n°4) il taglio della diagonale (l’ipotenusa) dei due mezzi- mattoni
su due lati consecutivi del quadrato iniziale di FASE n°1, poi, (FASE n°5=FASE n°3) abbiamo fatto
combaciare gli stessi mezzi-mattoni col rispettivo fianco (cateto maggiore) a due lati consecutivi del
quadrato (colore grigio) e infine (FASE n°6=FASE n°3) abbiamo fatto combaciare gli stessi mezzi-
mattoni col rispettivo fronte (cateto minore) a due lati consecutivi del secondo quadrato (colore nero).
Quanto sopra, era la verifica dell’universalità della Regola, della relazione esistente tra la diagonale e i
lati di un mattone rettangolare qualsiasi. Era, per gli artigiani delle civiltà potamiche, più una verifica del
“mostrare” che del “dimostrare”; rudimentale ma efficace.
Con la stessa arcaica tecnica artigianale, abbiamo inoltre verificato che, sia il quadrato della costruzione
iniziale (FASE n°4) sia i due quadrati adiacenti della costruzione equivalente finale ottenuta per rotazione
meccanica (FASE n°5 e Fase n°6) risultano, per prima cosa, costituiti da tre quadrati regolari ma anche,
perfettamente costruiti sulle tre rispettive facce del mezzo-mattone; pezzo sostanziale del Diagramma. Una
verifica artigianale che probabilmente ha generato le figure simbolo nella costruzione degli altari di fuoco
nella matematica Vedica Indiana, mediante l’invarianza dell’area e il mutamento della forma.
Dal Diagramma iniziale all’altare a forma di Airone. Fasi di mutamento equivalente della forma.
=> =>
Dimostra che i tre distinti quadrati sono perfettamente costruiti sulle tre facce del mezzo-mattone.
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7. DISPOSIZIONE E COMPOSIZIONE INTERNA DEL MECCANISMO.
Il meccanismo l’ho pensato con una composizione di cinque ingranaggi metallici: un pignone motore a ruota
dentata, fissato all’asse incidente di trasmissione del momento meccanico, che ingrana e movimenta una
corona circolare la quale, a sua volta, ingrana e movimenta altri tre ingranaggi a rullo, tutti e cinque gli
ingranaggi sono lavorati con denti a evolvente di cerchio; il tutto, è stato pensato con questa disposizione
interna:
ALCUNI PARTICOLARI DEGLI INGRANAGGI:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Involute_wheel.gif/220px-Involute_wheel.gif
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PLANIMETRIA DELLA MACCHINA CON DISPOSIZIONE DEGLI INGRANAGGI:
M
Come si vede, la manovella (M) mette in azione l’asse incidente di trasmissione del momento meccanico
sul quale è fissato il pignone che muove la corona dentata e di conseguenza i tre ingranaggi a rullo, dove,
i due più esterni e periferici, muovono in rotazione angolare simultanea i due mezzi-mattoni (A e B) che
sono rispettivamente imperniati nei vertici dell’ipotenusa e saldamente collegati all’asse di rotazione degli
stessi ingranaggi a rullo.
La vasta tipologia d’ingranaggi oggi esistente, ci permette di studiare moltissime combinazioni e soluzioni,
ad esempio, il pignone motore a ruota dentata, fissato all’asse incidente di trasmissione del momento
meccanico, saremmo in grado di sostituirlo con un quarto ingranaggio a rullo, con asse di trasmissione
non più incidente ma parallelo a quello della corona; la manovella in questo caso, dovremmo collocarla
sopra o sotto la base di supporto della macchina matematica.
Le dimensioni della base di supporto si ricavano dalla misura standard dei mattoni pieni qui espressa in
centimetri (5,5 x 12 x 25); in funzione della planimetria sopra indicata, si aumenterà lievemente la
larghezza: Altezza cm 5,5 x Larghezza cm 12,5 x Lunghezza cm 25.
Pertanto, la base di supporto misurerà: cm 62,5 x cm 62,5 per un’altezza pari a cm 22. Il Diagramma
posto sopra la base misurerà di conseguenza: cm 37,5 x cm 37,5 x cm 5,5 il primo quadrato. Il secondo
quadrato costruito sulla diagonale misurerà: cm 27, 95 x cm 27, 95 x cm 5,5. L’altezza totale della
macchina da terra sarà di cm 33. Con misure standard dei mattoni (6 x 12 x 24) si otterranno valori interi.
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PARTICOLARI SULLE PARTI CHE COMPONGONO LA MACCHINA
Come detto in precedenza, la vasta varietà d’ingranaggi oggi esistente, permette di studiare diverse
combinazioni e di collocare la manovella in qualsiasi punto e su qualunque faccia della base di supporto:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Worm_Gear.gif
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8. LE ULTIME IMPRONTE RIMASTE DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA.
Questo arcaico diagramma a modulo quadrato, si trova raffigurato e posato anche interamente in alcuni
pavimenti a mosaico di epoca imperiale romana tuttora esistenti: a Ostia (Roma), nel Santuario della Bona
Dea e nell’isolato IX, Regio IV, testacea spicata tiburtina; a Roma, mosaico dell’area del Doloceum,
sull’Aventino, Domus di Via di San Domenico e nell’Aedes Concordiae, pavimento in opus sectile di età
Augustea; a Pompei (Napoli) VII Regia insula 16 Domus; a Corfino (Aquila) Loc. Piano San Giacomo:
Edificio porticato, pavimentazione musiva in ambiente a); Arezzo, nell’area della Fortezza Medicea 1, a
Luni (La Spezia) nella Casa degli affreschi; a Brescia nel piano interrato dell’Istituto scolastico Veronica
Gambara 2; a Desenzano sul Garda (BS) – Villa-romana ; a Montegrotto Terme (PD) nella Villa di via
San Mauro 3; a Trento, in via Rosmini, nella Casa del mosaico di Orfeo 4. Questo motivo geometrico a
modulo quadrato (o a stuoia) è stato chiaramente catalogato assieme ai numerosi disegni geometrici a
mosaico rinvenuti dagli studiosi dell’antica civiltà romana.5
È ipotizzabile, così come per gli altri disegni geometrici rinvenuti, che questo motivo a modulo quadrato,
affondi le sue radici nelle più antiche culture millenarie e fu carpito dagli antichi romani alle conquistate
civiltà talassiche e potamiche contemporanee e precedenti all’epoca imperiale romana; per questa ragione, il
diagramma di argilla, ricompare in forma decorativa nei pavimenti di diverse Domus romane sparse un po’
ovunque sul territorio dell’antico impero.
Il diagramma di argilla, quasi a voler testimoniare la sua arcaica importanza storico-scientifica per l’uomo,
giace impresso e nella sua forma matematica più vera (Gruppo di simmetrie 442), nei pavimenti e negli
infissi principeschi dell’Alhambra di Granada in Andalusia6, un gioiello di arte islamica conosciuta anche col
nome di: Medina della simmetria. Vedere le Tavole da pag.22 e seguenti.
9. IL DIAGRAMMA DI ARGILLA FU IMPORTANTE PER L’EVOLUZIONE DELL’UOMO?
Probabilmente sì, e questo spiegherebbe per esempio, perché l'uomo venuto dal ghiaccio o del Similaun o
del tardo neolitico alpino detto Ötzi, viveva ancora in uno stato primitivo rispetto ai suoi contemporanei delle
grandi civiltà potamiche: Sumeri, Egizi, Cinesi, Indiani. Ötzi visse nel periodo di transizione: tra il tardo
neolitico e l'inizio del calcolitico (o eneolitico) alpino.
La tipologia abitativa di Ötzi era ancora quella tipica del tardo neolitico, mentre per esempio, il suo
contemporaneo mesopotamico della seconda metà del IV millennio a.C. si trovava già nel periodo tra il tardo
calcolitico e l'inizio dell'antica età del bronzo, con un’esperienza nell'arte del costruire mediante mattoni
standardizzati consolidata già da millenni, dentro un’innovativa rivoluzione organizzativa stanziale ben
impostata, con la scrittura e il calcolo già sbocciati al culmine di quel periodo cronologico del Vicino
Oriente, noto come:" La rivoluzione urbana " 7
1 http://www.arezzoora.it/blog/2014/02/26/la-fortezza-svela-un-altro-tesoro-una-domus-romana/
2
http://www.arifs.it/caserom.htm
3
http://www.aquaepatavinae.it/portale/?page_id=1690
4
Atti del III /XVI Colloquio, Associazione Italiana per lo Studio e la Conservazione del Mosaico-1995/2010 - pagg.
533- 534- 676 / Tavola tipologica dei pavimenti Fig.1,3 di pag. 271; Fig. 6 pag. 493, Fig. 8 e 9 pag. 494.
5
Le Décor Géometrique de la Mosaïque Romaine – Picard – Paris - 1985- répertoire graphique et descriptif des
compositions linéaires et isotropes – A.A. V.V. pag. 95 e pag. 141.
6
Gli Europei medievali ricercarono in Spagna quel sapere orientale che fu poi importante per il Rinascimento.
7
Mario Liverani ,Antico Oriente, Storia società economia, Editori Laterza, in particolar modo la parte seconda: l'antica
età del bronzo, capitoli IV, V, VI, VII, VIII, IX. Dalla rivoluzione urbana (cap.IV) alla età neo-sumerica (cap. IX)
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Ötzi quindi, si trovava a transitare tra la fine della preistoria e l'inizio della protostoria, mentre, per quanto
citato, il suo contemporaneo mesopotamico entrava già, di fatto (e di diritto) grazie all’invenzione del
mattone e alla successiva scoperta del diagramma di argilla, nella storia. 8
Pertanto, lo stato primitivo di Ötzi era dovuto alla limitazione di non aver acquisito, esattamente come i suoi
antenati, un salto mentale evolutivo di qualità nell’arte del costruire, privandosi così, contrariamente al suo
contemporaneo mesopotamico, dell’idea geniale del mattone standardizzato.
Purtroppo, a causa del tipico habitat delle Alpi, delle condizionanti materie prime predominanti e del rigido
clima alpino, per Ötzi e i suoi antenati, sarebbe stato difficile pensare a una diversa tipologia abitativa
stanziale tecnicamente più pratica ed evoluta, poiché sarebbe avvenuta solo mediante un impiego abbondante
di argilla per una produzione in serie, con essiccazione all’aria aperta, di laterizi modulari geometrici e
standardizzati a stampo: prismi- parallelepipedi.
Una tecnica rivoluzionaria nell’arte del costruire fatta con una sfilza di mattoni unitari prefabbricati,
facilmente manipolabili e che si mostrarono soprattutto pratici da imbastire o impilare tra loro con calcine o
bitume. Una tecnica che, se fosse stata ampiamente impiegata già dagli antenati di Ötzi, avrebbe nel
quotidiano, condotto anche l’uomo del neolitico alpino all’inevitabile scoperta del versatile Diagramma di
argilla a modulo quadrato. Un diagramma artigianale col quale poi, per svago,9 il primitivo uomo del
ghiaccio avrebbe mentalmente instaurato (così come avvenne per il primitivo uomo mesopotamico) un
rapporto simbiotico - contemplativo di tipo algebrico - geometrico che l’avrebbe indotto alla conquista
dell’incognito e, fatalmente stimolato di conseguenza, verso uno sviluppo evolutivo sociale e culturale. 10
Le primitive tassellature qui sotto esposte (Fig.1), da sinistra a destra, servirono agli artigiani Sumeri per la
visualizzazione iniziale del loro “teorema di Pitagora” dell’alta antichità: Il quadrato costruito sulla
diagonale del mattone (Fase C ) è uguale (in Fase C1, rotazione angolare dei due mezzi-mattoni) all’unione
del quadrato costruito sul fianco (X ) più quello costruito sul fronte (Y ) del mattone stesso (Fase D ).
Fig. 1
8
La tavoletta algebrica più antica, finora rinvenuta, risale a 4500 anni fa, ma io ritengo che il diagramma di argilla fosse
utilizzato nella bassa Mesopotamia già alcuni secoli prima, nel periodo cronologico della “rivoluzione urbana” noto
come “tardo-Uruk”, circa 5200 anni fa, quindi all'epoca di Ötzi, e corrisponde alla prima urbanizzazione, avvenuta al
culmine della rivoluzione urbana attraverso il sito-guida della città di Uruk e con la scrittura e il calcolo, già sbocciati.
9
Nella matematica cinese anche i quadrati magici e le bacchette numeriche evocavano uno spirito familiare con i giochi
da tavolo e così anche la matematica Vedica indiana dei mattoni con quella mesopotamica dove, il loro artigianale
“teorema di Pitagora” era presentato con una forma algoritmica riconducibile al comune diagramma di argilla, a
dimostrazione del fatto che, questa ricreativa macchina algebrica era presente presso tutte le civiltà potamiche.
10
Il diagramma di argilla, a mio parere, avrebbe cooperato allo sviluppo evolutivo degli strumenti linguistici con quelli
concomitanti del calcolo e della scrittura. Secondo alcuni autori, la nascita del carattere algebrico della matematica
antica (indiana ad esempio) sarebbe stata agevolata dai progressi linguistici: Gheverghese Joseph G. (2012). C’era una
volta un numero. Milano: il Saggiatore. Cap. 8, pag. 218.
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10. L’IMPORTANZA DEL MATTONE E DEL DIAGRAMMA DI ARGILLA NELLA STORIA.
I‹‹mattoni››, sin dall’alba dei tempi (A.T. Libro della Genesi 11), dopo che furono inventati dall’uomo
mesopotamico e in seguito standardizzati in gran quantità, diedero impulso e forma al primordiale
pensiero algebrico - geometrico prescientifico e a tutto lo sviluppo che ne seguì.
Fig. 2- Babilonesi intenti con progetti e problemi algebrici - geometrici, mediante mattoni.
In Fig. 2, le prime tre imbastiture del Diagramma di argilla, visibili a sinistra (A – B – C) e con quella in (B)
utilizzata come base per tutte le altre (A-C-D), servivano rispettivamente a risolvere i problemi di 1° e di 2°
grado e, indifferentemente sia quelli diretti ( x ± a = b. x2 ± a x = c) che quelli con sistema:
Le tassellature a destra (D = E) come abbiamo già visto, servivano per la dimostrazione iniziale del loro
“teorema di Pitagora” dell’alta antichità: Il quadrato costruito sulla diagonale del mattone (D) è uguale
all’unione del quadrato costruito sul fianco più quello costruito sul fronte del mattone stesso (E).
Senza la comparsa del mattone, senza la scoperta del diagramma di argilla, senza l’avvento di quell’arcaico
pensiero algebrico nato in simbiosi contemplativa con i mattoni grazie agli artigiani-costruttori11
mesopotamici che lo scoprirono come un gioco logico-enigmistico e, senza aver assimilato prima, una certa
maturità con una vera consapevolezza dell’uomo di poter sfidare e conquistare facilmente l’incognito
mediante una costante preparazione mentale algebrico - geometrica, sarebbe stata impossibile, se non
addirittura impensabile, la realizzazione delle più grandi sfide e conquiste future dell’umanità.
Poiché gli archeologici, finora si sono interessati principalmente a siti con palazzi mesopotamici di primaria
importanza, sede soprattutto dei Re, mentre le fornaci per la cottura degli innumerevoli mattoni, poste in siti
fuori dalle mura delle Città mesopotamiche, non sono mai state interessate agli scavi archeologici, credo che,
per quanto ho fatto vedere, la matematica dei mattoni o il Diagramma di argilla potrebbero trovare nelle
fornaci un probabile riscontro, qualora un giorno, l’archeologia decidesse di cominciare a occuparsi anche di
questi siti ritenuti di secondaria importanza.
11
Anche la matematica indiana dei mattoni, nella cultura Harappa (3000 a.C.), come quella degli altari Vedici, era
affidata ad artigiani.
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TAVOLE
L’ALHAMBRA DI GRANADA (secolo XIII - XIV)
Fig. 3- Patio de los Arrayanes con vista verso l’accesso al Salone del Trono.
http://it.wikipedia.org/wiki/Alhambra
Fig. 4- Patio de los Arrayanes: otto finestre con grate lignee a modulo quadrato.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Patio_de_los_Arrayanes_detail_Alhambra_Granada_Spain.jpg
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Fig. 5- Pavimento del Salone del Trono dell’Alhambra noto come: Gruppo Simmetrie 442.
Il diagramma a modulo quadrato è chiaramente visibile nell’intreccio del pavimento.
-Du Sautoy M. (2007). Il Disordine Perfetto, pag.107. Milano: Rizzoli .
http://www.hola.com/imagenes/viajes/2013051064819/fotogaleria-granada-andalucia/0-236-74/a_Salon-de-Embajadore-a.jpg
Fig. 6 /a– Patio de la Acequia: intagli lignei a modulo quadrato nei due grandi portoni.
http://en.infoglobe.cz/res/data/637/072471_56_773719.jpg?seek=137423251
Fig. 6/b- Pavimentazione a modulo quadrato lungo tutto il Patio de la Acequia – Palacio de Generalife
(in arabo: Jannat al-'Arif - Giardino dell'Architetto)
https://c2.staticflickr.com/8/7166/6721177587_a4039dde21_z.jpg
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Fig. 7 - Porta del Vino dell’Alhambra: particolare delle grate a modulo quadrato.
http://www.europaenfotos.com/granada/pho_gra_83.html
Fig. 8 - Grandi bifore nel Salone del Trono: grate lignee a modulo quadrato.
http://it.wikipedia.org/wiki/Alhambra#mediaviewer/File:Hall_of_Ambassadors_-_Alhambra_(5).JPG
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Tavoletta Babilonese BM 15285
Fig. 9 - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con linee
bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della
tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante al disegno è andato purtroppo distrutto.
Il disegno geometrico ipoteticamente ricostruito sarebbe pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo
tipo di Diagramma, secondo la mia teoria, serviva a risolvere i problemi con sistema di 2° grado nella forma
standard: x . y = c; x ± y = b.
Tavoletta Babilonese BM 15285
Fig. 10 - Tavoletta Babilonese BM 15285: impronte residue di disegni geometrici. Contorni marcati con
linee bianche per evidenziare un probabile diagramma a modulo quadrato che si scorge a fatica sul retro della
tavoletta; risalente al 1800 a. C. circa. Il testo cuneiforme sottostante, fortunatamente sopravvissuto, ha
permesso la fedele ricostruzione geometrica del disegno, il quale, descrive un quadrato unitario suddiviso in
sedici quadratini. È facile osservare come il disegno sia pressoché identico al Diagramma di argilla. Questo
Diagramma in mattoni così imbastito, secondo la mia teoria, serviva a risolvere problemi di 2°grado diretti
del tipo: x2 ± ax = c, presenti sulla tavoletta BM 13901.
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Lastra votiva
Fig. 11 - Lastra votiva, in calcare (cm 39 x 47), proveniente da Ḡirsu (nel distretto di Lagash), risalente al
XXV secolo a.C. e conservato nel Museo del Louvre (Parigi). Nella parte superiore della lastra, a sinistra, si
vede il re Ur-Nanshe che porta una grande cesta sul capo, contenente dei mattoni pieni, ed è indicato nella
rappresentazione tradizionale come "costruttore di templi". Nella parte inferiore la figura principale seduta è
sempre Ur-Nanshe, rappresentato a destra mentre banchetta per festeggiare l'avvenuta costruzione del
tempio. Questa lastra votiva è rappresentativa di come i mattoni erano venerati anche dagli stessi re sumeri.
Notare inoltre, come la disposizione dei quattro bassorilievi che compongono la Lastra votiva sia stata
impostata a “girandola” o a “girotondo” attorno al quadratino centrale forato, un accorpamento già visto
all’inizio dell’articolo per il Diagramma di argilla.
Arte sumera: http://it.wikipedia.org/wiki/Arte_sumera
Gioco Reale di Ur
Fig.12 - Il Gioco reale di Ur,si riferisce ad alcune tavole da gioco trovate nel cimitero reale dell’antica città-
stato di Ur (capitale dei Sumeri, la biblica Urim) da Charles Leonard Woolley durante una campagna
archeologica tra il 1922 e il 1934 e datate in un periodo compreso tra il 2600 e 2400 a.C. Due di questi
tavolieri sono integri e completi di pedine e dadi da gioco, e conservati al British Museum ( Londra). È
considerato tra i più antichi reperti completi di un gioco da tavolo che sia mai stato scoperto. La tavola più
semplice è in ardesia decorata con motivi geometrici in madreperla mentre altre sono decorate anche con
inserti in lapislazzuli e corniola. Una tavola da gioco simile, realizzata in legno, è stata scoperta nell'Iran
meridionale negli scavi di Shahr-i Sokhta , un insediamento dell’età del bronzo (circa 3200 a.C.).
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Insieme all’antico gioco egizio Senet risalente tra il periodo predinastico e la prima dinastia dell’Antico
Egitto (3500-3100 a.C.) è considerato da alcuni uno dei predecessori del moderno backgammon.
Fig. 13 a Fig.13 b
Fig. 13 - Sulla tavola è presente questa coppia di caselle a disegno geometrico con dei valori tre (Fig.13 a) e
cinque (Fig.13b). Le ho estratte fuori poiché danno l’idea di una suddivisione in quattro parti uguali, molto
simile a quella da me ipotizzata per il Diagramma di argilla 12
12
Fonti tratte da Wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Gioco_reale_di_Ur
E da: http://www.pergioco.net/Giochi/GiochiDiTavoliere/Ur/Ur.htm
L’autore, Aldo Bonet, ha deciso di distribuire i contenuti con licenza Creative Commons “Creative Commons,
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(totale o parziale) o citazione futura del presente articolo e di tutte le ricerche personali dell’autore, predilige
il cautelativo benestare dall’autore stesso. Il presente articolo è pubblicato da Luigi Gaudio sul Portale
ATUTTASCUOLA – Gennaio – 2015 su richiesta dell’autore.
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