LE GEOMETRIE NON - EUCLIDEE

LE   GEOMETRIE

NON - EUCLIDEE

I SISTEMI ASSIOMATICI
          O IPOTETICO-DEDUTTIVI
   un elenco di concetti primitivi con i quali si possono introdurre
       mediante definizione ulteriori concetti;

 un elenco di proposizioni primitive, gli assiomi, dai quali si possono
        dedurre ulteriori proposizioni, i teoremi, mediante
        dimostrazione;

 un insieme di regole di deduzione da utilizzare nella conduzione di
        una dimostrazione
 gli assiomi devono essere coerenti (non contraddittori), completi
    (sufficienti per la stesura della teoria) e indipendenti uno dall’altro

IL RUOLO DEGLI ASSIOMI
   costituiscono le fondamenta di una teoria e possono
       essere accettati per due motivi essenziali:

     perché la loro verità è ritenuta evidente
               (assiomatica classica)

     perché sono scelti convenzionalmente
              (assiomatica moderna)

ASSIOMATICA CLASSICA
                   E ASSIOMATICA MODERNA

Nell’assiomatica classica gli assiomi vengono scelti per l’evidenza della loro
verità e vengono quindi ritenute delle verità assolute

Nell’assiomatica moderna il criterio di scelta è quello della convenienza.

Occorre però che la scelta venga fatta con attenzione poiché l’obiettivo
della matematica è quello di costruire teorie che:

 siano coerenti e corrette dal punto di vista formale;

 abbiano riscontri positivi nella descrizione, interpretazione e

    previsione dei fenomeni reali

SCHEMA ASSIOMATICO DELLA GEOMETRIA
     EUCLIDEA («Elementi» di Euclide – 300 a.C.)

 23 TERMINI

      5 POSTULATI

      8 ASSIOMI O NOZIONI COMUNI

Postulati e assiomi non hanno una sostanziale differenza: sia gli uni che gli
altri assumono il carattere di proposizioni primitive. Però i primi sono
tipici degli enti geometrici mentre i secondi sono validi anche al di fuori
della geometria.

TERMINI

1. Un punto è ciò che è privo di parti

2. Una linea è ciò che ha lunghezza ed è priva di larghezza

3. Gli estremi di una linea sono punti

4. Una linea retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai propri punti

5. Una superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza

………
23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo
prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano fra loro
da nessuna delle due parti

POSTULATI

1. Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto

2. Ogni tratto di retta può essere prolungato per dritto indefinitamente

3. Con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio

4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro

5. Se   una retta, incontrandone altre due, forma con esse
angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore
di due retti, queste due rette, prolungate all’infinito, si
incontrano dalla parte in cui giacciono tali angoli

ASSIOMI O NOZIONI COMUNI

1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro

2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali

3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali

4. Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono
    disuguali

5. I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro

6. Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro

7. Cose che coincidono tra loro sono uguali

8. Il tutto è maggiore della parte

IL QUINTO POSTULATO DI EUCLIDE

In tempi moderni il postulato di Euclide viene
riformulato con una espressione equivalente:

“ Assegnati nel piano una retta ed un
punto non appartenente ad essa esiste
ed è unica la retta passante per il punto
dato e parallela alla retta data”

IL PROBLEMA DELL’ESISTENZA E DELL’UNICITA’

Dalla nuova formulazione emergono due richieste:
      l’esistenza e l’unicità della parallela.

 Ci sono quindi due possibili vie per negare il quinto
 postulato di Euclide:
  negare l’ esistenza della parallela (in questo caso è
        necessario rinunciare anche al secondo postulato di
        Euclide)

  negare l’ unicità della parallela

COME VIENE AFFRONTATO IL PROBLEMA DEL
                     QUINTO POSTULATO?
Le dispute si possono dividere in tre fasi:

PRIMA FASE: si cerca di ridefinire il postulato, ma si arriva alla sua

                sostituzione, più o meno esplicita, con uno equivalente.

                (Tolomeo, Posidonio, Proclo)

SECONDA FASE: si tenta di dimostrare il quinto postulato (dal 1500 in poi)

                   (G. Saccheri)

TERZA FASE: ci si convince dell’impossibilità di dimostrare il V postulato e si

                costruiscono le prime geometrie non - euclidee (Lobačevsky,

                Bolyai, Gauss)

TENTATIVI DI DIMOSTRAZIONE

Furono tantissimi tra cui quelli di Gemino, Tolomeo, Al - Nayrizi, Nasir-
Ed-Din, Commandino, Clavio, Patrici, Cataldi, Borelli.

La figura più importante è quella del padre gesuita Girolamo
Saccheri (1667 - 1733) autore del trattato “Euclides ab omni naevo
vindicatus” in cui tentò una dimostrazione per assurdo con la
speranza di trovare tra le conseguenze qualche risultato
contraddittorio.

Purtroppo Saccheri non si rese conto che le conclusioni cui era
giunto non erano affatto “assurde”.

La nascita delle geometrie non euclidee dovette così attendere
ancora un secolo.

LA NASCITA DELLE GEOMETRIE NON - EUCLIDEE
                       GEOMETRIA IPERBOLICA

                                                               Janos Bolyai
Karl Friedrich Gauss    Nikolaj Ivanovic Lobacevskij
                                                               (1802 - 1860)
  (1777 - 1855)                (1793 - 1857)

                       GEOMETRIA ELLITTICA

                  Bernhard Riemann
                   (1826 - 1866)
                                                Felix Klein
                                               (1849 - 1925)

 Viene riconosciuta l’indimostrabilità del V postulato e cioè la sua
   indipendenza dagli altri quattro

 Ci si convince che il V postulato sta alla base di una teoria geometrica

 Il rifiuto del V postulato coincide col rifiuto della geometria
   euclidea in favore di altre geometrie

 Alla geometria euclidea si affiancano altri imponenti edifici logici
   altrettanto coerenti e validi

 Il tentativo di dimostrazione per assurdo di Saccheri viene rivalutato
   e si trasforma in una grande ricerca attraverso campi inesplorati in
   un’avventura logica senza precedenti.

GEOMETRIA IPERBOLICA

                 Esiste più di una parallela ad
                  una retta passante per un
                     punto esterno ad essa

Nikolaj Ivanovic Lobačevskij    Janos Bolyai      Henri Poincarè
       (1793 - 1857)           (1802 - 1860)      (1854 - 1912)

GEOMETRIA ELLITTICA

    Non esistono parallele ad una
     retta passanti per un punto
           esterno ad essa

Berhard Riemann            Felix Klein
 (1826 - 1866)            (1849 - 1925)

LA GEOMETRIA IPERBOLICA

     Postulato di Lobačevskij:
assegnati in un piano una retta ed un
  punto non appartenente ad essa,
    esistono (almeno ) due rette
      parallele alla retta data.

Un modello di geometria iperbolica

                      Lobačevskij - Bolyai
Piano :       insieme dei punti interni ad una circonferenza T
Punto :       un qualunque punto P interno al “piano”
Retta : una qualunque corda AB di T

         due rette si dicono incidenti se hanno in comune un punto
          interno a T
     due rette sono parallele se non hanno in comune un punto
      interno a T
                                          C                         D
          D
                                                        C       P
                           B
                  P
                               A                                        B
          A
                       C                  B                 A

LA GEOMETRIA ELLITTICA
Postulato di Riemann: in un piano
qualunque retta passante per un
punto dato incontra un’altra retta
in altri termini: assegnati in un piano
una retta ed un punto non
appartenente ad essa non esistono
parallele alla retta data passanti
per tale punto

Un modello di geometria ellittica

                      Riemann
Piano :   una superficie sferica S
Punto :   ogni coppia di punti estremi di un diametro di S

Retta :   ogni circonferenza massima di S

                         A           C

                        D            B

PRIMA DELLA NASCITA DELLE GEOMETRIE
           NON EUCLIDEE:

Esiste un solo modello geometrico
per descrivere il mondo reale: la
geometria euclidea

         RIVOLUZIONE
        NON-EUCLIDEA

CON LA NASCITA DELLE GEOMETRIE
        NON EUCLIDEE:

Cambia il modo di pensare dei
matematici:
- si possono creare altri modelli
geometrici ugualmente validi
- il requisito principale di questi
sistemi assiomatici è la coerenza

LA RIUNIFICAZIONE DELLE GEOMETRIE

  1872 Felix Klein
       “Programma di Erlangen”
Un sistema geometrico è caratterizzato
da un GRUPPO DI TRASFORMAZIONI.
Gli oggetti della geometria sono le
PROPRIETÀ INVARIANTI rispetto a
tale gruppo di trasformazioni.

LA SISTEMAZIONE DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

1899 David Hilbert “Grundlagen der Geometrie”
6 CONCETTI PRIMIIVI (3 enti e 3 relazioni binarie)

        21 ASSIOMI di:

                             CONNESSIONE (8)

                            ORDINAMENTO (4)

                             CONGRUENZA (6)

                              PARALLELE (1)

                             CONTINUITÀ (2)

LA SISTEMAZIONE DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA

1899 David Hilbert “Grundlagen der Geometrie”
6 CONCETTI PRIMIIVI (3 enti e 3 relazioni binarie)

        ENTI PRIMITIVI:
                     • PUNTO
                     • RETTA
                     • PIANO
        RELAZIONI BINARIE PRIMITIVE:
                     • CONTIENE
                     • È COMPRESO TRA
                     • È CONGRUENTE A