Le azioni del fare matematica

Le azioni del
fare matematica

GIOCARE
«Il gioco come tale oltrepassa i limiti dell’attività
puramente biologica; è una funzione che
contiene un senso. Al gioco partecipa qualcosa
che oltrepassa l’immediato istinto a mantenere
la vita, e che mette un senso nell’azione del
giocare. Ogni gioco significa qualche cosa»
(Homo ludens, J.Huizinga)

GIOCARE

• Nell’infanzia l’apprendimento del bambino
 è concreto e il gioco ne è uno strumento
 privilegiato
• Giocare non è un contenitore per evitare la
 noia, è il modo con cui il bambino entra in
 rapporto con la realtà, la comprende e la
 rielabora

GIOCARE

 IL PENSIERO SIMBOLICO
 • Il gioco presuppone l’ingresso in un mondo di
 fantasia, richiede una «trasfigurazione» della
 realtà con la peculiare possibilità di cogliere
 nelle cose nuovi nessi e significati
 • Tale trasfigurazione della realtà è la radice
 della funzione simbolica senza la quale non ci
 sarebbero né l’arte, né la scienza.

GIOCO E LINGUAGGIO
 Il gioco stimola l’acquisizione del linguaggio
• Il bambino usa la parola perché essa corrisponde a qualcosa di
 concreto, fino ad inventare parole nuove, perfette sintesi di
 segno e significato ( Il fermaforo, il vestitaio…)

• Il linguaggio del bambino è impregnato di metafora, che rivela
 la possibilità di attribuire alle parole un senso sommerso,
 eppure «reale» («Papà, vengo a farmi cucciolare da te»)

• Nel gioco il bambino usa le parole degli adulti, appropriandosi
 così in modo nuovo della lingua e dei suoi significati

GIOCARE

 SPAZIO E TEMPO
 «Facciamo che io ero la mamma….»
 L’uso dell’imperfetto esprime linguisticamente la
 distinzione che il bambino fa tra lo spazio e il tempo
 del gioco e lo spazio e il tempo reale

 L’acquisizione della consapevolezza dello spazio e del
 tempo è una funzione importante nello sviluppo della
 razionalità

GIOCARE

 LA RIPETIZIONE DELL’ATTO
 • Riprodurre la stessa azione, ascoltare le stesse parole o le
 stesse fiabe, rivedere gli stessi film, continuare a lanciare
 gli oggetti dal seggiolone: quello che a noi appare noioso
 o anche fastidioso è una necessità per il bambino.
 • La ripetizione dell’atto serve al bambino per elaborare
 l’esperienza che sta facendo secondo i propri tempi e le
 proprie modalità
 • Dal punto di vista del bambino ogni azione ha un suo
 senso proprio, il gesto successivo non è lo stesso del
 precedente; la ripetizione termina quando il bambino ha
 assimilato tutto il senso che può venire dall’azione stessa.

GIOCARE

 LA RAPPRESENTAZIONE
 I bambini non raccontano, ma mostrano, mettono in
 scena; essi sanno riprodurre i gesti, gli atteggiamenti,
 le funzioni.
 Rappresentando un ruolo nell’occasione del gioco, essi
 capiscono la funzione del personaggio che interpretano
 e cercano di assimilarne le ragioni.
 Attraverso questo, come anche attraverso il disegno, si
 avvia il passaggio alla rappresentazione simbolica

GIOCARE

 IL PENSIERO STRATEGICO
 Scrive Huizinga che il gioco è un atto libero, una
 occupazione volontaria, che tuttavia impegna in maniera
 assoluta … «Entro gli spazi destinati al gioco domina un
 ordine proprio e assoluto. Ed ecco qui un nuovo e più
 positivo segno del gioco: esso crea un ordine, è un ordine»
 • Il gioco necessita di regole che devono essere formulate
 e poi rispettate.
 • Quando il gioco è connesso alla competizione conduce
 alla necessità di elaborare strategie di comportamento.
 • Ciò contribuisce alla formazione del pensiero strategico,
 caratterizzato da un grande uso della ragione.

GIOCARE

 PER CONCLUDERE

 • Molte caratteristiche del pensare e dell’agire
 razionale sono presenti nel gioco, anche nelle
 sue forme più semplici e spontanee.
 • Nel gioco il bambino conquista ed esprime la
 forma della sua razionalità nel modo più
 adeguato al suo essere
 • E’ giusto allora considerare il gioco una attività
 tra le più utili.

IL GIOCO COME RISORSA
• L’adulto può usare consapevolmente il gioco per aiutare a
 sviluppare e consolidare quegli elementi di razionalità
 intrinsecamente connessi all’attività ludica
 (azione ludiforme)

• Il gioco può essere scelto consapevolmente come strumento
 didattico educativo, con la consapevolezza che non è un
 ‘trucco’ per indorare la pillola, ma un metodo che tiene conto
 del linguaggio e del livello di percezione a cui il bambino può
 pienamente accedere

• Con il gioco è possibile apprendere in una situazione meno
 rischiosa e meno soggetta a frustrazioni rispetto a quelle che
 si presentano nella realtà.

MATEMATICA E GIOCO
I concetti matematici trovano la loro origine nelle
esperienze percettive, attraverso le quali il bambino può
osservare, indagare la natura dello spazio intorno a sé,
acquisire l’idea del contare. Tali esperienze e la loro
rielaborazione interiore, che avvengono prevalentemente
nella forma del gioco, sono il retroterra di qualunque
apprendimento formale successivo.
Domanda: quali giochi sono più adatti per insegnare la
matematica o, più in generale, per insegnare a ragionare?
Due possibilità:
a)Giochi senza esplicito contenuto matematico, ma che
influiscono sulla formazione dei concetti matematici.
b)Giochi di matematica veri e propri, che hanno come
oggetto numeri, figure…….

GIOCARE

 a) Si possono considerare ‘intelligenti’ quei giochi che
 si basano sull’osservazione, sulla riflessione,
 sull’associazione di idee, che richiedono strategie
 - giochi linguistici, indovinelli, anagrammi, sciarade
 - giochi in cui i bambini stabiliscono o modificano
 regole
 - scatole di costruzioni, Lego, Meccano, Geomag…
 - giochi di carte, scacchi, dama…
 - …..

GIOCARE

b) -Tombola delle tabelline
 - giochi con le simmetrie
 - quadrati magici
 - sudoku
 - battaglia navale
 - gare di matematica
 -…..
Nel gioco si può spezzare il circolo vizioso regola-applicazione,
problema-schema risolutivo che avvilisce l’apprendimento
matematico ad addestramento e si possono reintrodurre
elementi che non dovrebbero mai mancare, quali creatività,
intuizione, prefigurazione, competizione, elementi che
contribuiscono a rendere l’attività matematica interessante e
piacevole.

IL PERCORSO
DALL’OSSERVAZIONE
 ALLA DEFINIZIONE

Le azioni del fare matematica

 OSSERVARE

Osservare
• Dalla spontanea formazione dei concetti nella mente del
 bambino fino alla concezione delle idee più astratte,
 l’origine dell’apprendimento matematico è rintracciabile
 nell’esperienza dell’osservazione della realtà almeno
 tanto quanto quello delle altre scienze della natura.

• L’azione dell’osservare va privilegiata e coltivata anche ai
 fine dell’educazione scientifica in generale e
 dell’apprendimento della matematica in particolare.

Osservare non è solo vedere
Osservare non è un rilevamento acritico e passivo di dati;
infatti, in generale, noi vediamo ciò per cui abbiamo
un’attesa; capita di ‘non vedere’ quello che si ha davanti se
la nostra mente è concentrata altrove
• L’azione dell’osservare richiede la compresenza di tre
 fattori: oggetto, soggetto e intenzionalità del soggetto.
• La capacità di osservare consiste nel saper scegliere quali
 sono le informazioni che interessano:
 essa dunque deriva da uno scopo
 che determina il punto di vista con cui si guarda
 qualcosa; osservare è un procedimento inscindibile di
 analisi e sintesi.

Osservare: l’Analisi
Elementi che caratterizzano una buona attività di
osservazione:
• cogliere le differenze, le diversità, i contrasti, le
 contraddizioni
• vedere le analogie, le regolarità, le uguaglianze, le
 somiglianze, le invarianze
• riconoscere oggetti uguali in contesti diversi
• riconoscere lo stesso oggetto in diverse funzioni

Osservare: l’Analisi

 Esempio 1
 Cosa hanno di diverso queste due figure?

 E cosa hanno di uguale?

Osservare: l’Analisi

 Esempio 2
 due tipi di problemi, ma analoga struttura logica

 SPESA + GUADAGNO = RICAVO

Osservare: l’Analisi

 Esempio 3
 In matematica il simbolo + viene utilizzato in contesti diversi

 • 2+3
 • a+b
 • AB + CD
 • + 

 In matematica, in generale, si sceglie di mantenere lo stesso
 simbolo per facilitare il riconoscimento di analogie, ma allo
 stesso tempo l’identità del segno può ostacolare la comprensione
 dei diversi significati di ciò che via via rappresenta

Osservare: La sintesi
• Raccogliere informazioni non è sufficiente a
 produrre comprensione: per saper osservare è
 necessario riconoscere nella realtà i nessi che la
 rendono significativa, è necessaria la scelta di
 un punto di vista sintetico.
• Tale scelta permette di precisare l’analisi, di
 migliorare l’osservazione; ciò fa guadagnare un
 nuovo livello di sintesi

 ESEMPIO CON GEOGEBRA

Osservare in matematica
Per fare matematica è necessaria una profonda capacità di
osservazione: i concetti matematici nascono dalla necessità di
razionalizzare esperienze della vita comune, di trovare strategie per
affrontare problemi della pratica abituale. Di fronte a certe difficoltà di
apprendimento della matematica si tende spesso ad insistere sul piano
formale, rafforzando alcune forme di addestramento; può essere
invece più efficace aiutare l’allievo a potenziare l’osservazione per
allargare e approfondire il suo rapporto con la realtà.

Saper osservare consiste nella capacità di stare davanti ad un oggetto
secondo un preciso punto di vista, formulando una domanda particolare
su di esso; ad esempio, in geometria, se guardiamo le figure
osservandone la forma ragioniamo in termini di similitudine, se
osserviamo la sua estensione ragioniamo in termini di
equiscomponibilità, e così via

Osservare in matematica

 L’osservazione delle regolarità e delle invarianze è la
 condizione per intuire proprietà generali.
 La risoluzione di problemi richiede capacità di osservazione, sia
 nell’aspetto dell’analisi che in quello della sintesi:
 -analizzare il testo per identificare dati, ipotesi….
 -individuare l’obiettivo da raggiungere, la risposta da dare.
 -La chiarificazione dell’obiettivo illumina le ipotesi e permette
 di sviluppare un percorso di soluzione.

Osservare: educare con il gioco
La capacità di osservazione può essere educata.
I bambini osservano spontaneamente: tale attività va stimolata e
valorizzata.
Uno strumento utile può essere il gioco:
• Gare di osservazione: si mostra un oggetto e lo si fa osservare per
 un po’ di tempo, poi lo si toglie alla vista e si chiede di rispondere
 ad una serie di domande
• Aguzziamo la vista
• Che cosa manca
• Scopri le differenze
• Fotografie da diversi punti di vista
• ……….
N.B. Il tempo dedicato ad educare l’osservazione è tempo guadagnato
per tutte le discipline!!!!!

Osservare

 E in matematica?
• Guardare le cose evidenziandone gli elementi
 matematici
• Ricercare simmetrie o regolarità
• Lavorare su problemi nei quali sia
 indispensabile esaminare il testo o la figura da
 uno specifico punto di vista
• ….

ESEMPIO
 Completa, osserva e pensa
+ 0 1 2 3 4 + 0 1 2 3 4
0 0 0 1 2 3 4
1 1 1 2 3 4 5
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 4 5 6 7
4 4 4 5 6 7 8

Le azioni del fare matematica

 DESCRIVERE

DESCRIVERE
• La descrizione è la presa d’atto dell’esperienza
 dell’osservare; perciò anche tale attività dipende
 dallo scopo con cui si è osservato e dall’intento
 comunicativo.
• Anche la scelta del mezzo descrittivo dipende dallo
 scopo, ma dipende anche dalle capacità espressive e
 dalla sensibilità di chi descrive.
• Una descrizione è sempre in qualche misura una
 schematizzazione della realtà e quindi anche una sua
 interpretazione

DESCRIVERE
È lo scopo a determinare il grado di adeguatezza di una
descrizione e la modalità espressiva

Esempi:
• Per dare le indicazioni di una località possiamo fare
 uno schizzo o una piantina.
• Per descrivere la scena di un incidente il verbale deve
 contenere tipi di informazione ben determinati.
• Una foto o un quadro sono metodi adeguati per
 descrivere un panorama.
• …….

Una descrizione scientifica:
• riguarda oggetti sottoposti a indagini di tipo
 scientifico
• sceglie forme e strumenti espressivi in cui prevale la
 funzionalità allo scopo, rispetto all’aspetto estetico
• mira a comunicare il proprio contenuto in modo
 intersoggettivo e senza ambiguità (eliminando,
 perciò, dalla descrizione tutto quello che è
 soggettivo)
• contiene forme di rappresentazione nel simbolismo
 della scienza stessa (formule, diagrammi, schemi…)

DESCRIZIONE COME RAPPRESENTAZIONE IN MATEMATICA
• La descrizione-rappresentazione riveste anche un altro
 ruolo, oltre a quello di comunicazione di una
 esperienza
• La rappresentazione è una funzione del pensiero,
 quando esso trasferisce i dati della realtà in forme e
 linguaggi diversi da quelli con cui si presentano , a
 scopo operatorio, per poter eseguire sulle
 rappresentazioni stesse quelle manipolazioni che
 consentono di comprendere nuovi aspetti del reale.
 Esempi:
• la rappresentazione della moltiplicazione come schieramenti
• la rappresentazione delle frazioni
• l’uso della rappresentazione nei problemi
• …….

DESCRIZIONE MATEMATIZZAZIONE
In matematica questo processo viene denominato
matematizzazione di un contesto, che si tratti del più
semplice problemino di scuola elementare, fino alle più
complesse equazioni in fisica:
-si costruisce una rappresentazione che deve contenere le
informazioni necessarie a fare operazioni o deduzioni su di
esse;
-poi si opera su tale rappresentazione, staccandosi dal suo
riferimento reale e seguendo le leggi proprie dell’ambiente
in cui si opera;
-infine le conclusioni vengono reinterpretate nella
situazione reale da cui si è partiti.

Descrivere
 ESEMPIO
Quando non piove Antonio va a scuola effettuando una prima parte del percorso in
auto fino all’ufficio del padre, poi in bici fino a scuola. Se, in media, il tempo
necessario per fare tutto il percorso è 11 minuti e il tempo per fare il tratto in auto
supera quello in bici di 3 minuti, per quanto minuti, in media, Antonio usa la bici?

 AB+CD=11
 AL+CD=11-3=8
 CD=8/2=4

 Antonio usa la bici per 4 minuti

La descrizione a scuola
• Il mezzo descrittivo primario è la lingua, parlata o scritta

• Le rappresentazioni grafiche sono altrettanto importanti delle
 descrizioni verbali

• Costruire identikit di persone è esercizio utile, anche in forma di
 gioco

• Di fatto la descrizione è una forma di codificazione dell’esperienza.
 Esercizio importante è quindi anche lavorare sulle decodifica di
 descrizioni fatte da altri; esempio:
  le istruzioni di un gioco
  le istruzioni di una scatola di montaggio
  le istruzioni di una ricetta di cucina
  I comandi di un software

Descrivere

 Prova tu
 Descrivi ognuna delle due figure

Le azioni del fare matematica

 DEFINIRE

DEFINIRE
• Perché è così difficile parlare, in matematica? È proprio
 necessario? Non basta saper fare?
• E le definizioni bisogna proprio impararle a memoria?

«La parola, in un certo senso, è costitutiva della realtà. Adamo
dà il nome alle cose, e dare il nome alle cose significa
riconoscerle per sé…Consegnare le parole vuol dire offrire delle
categorie, cioè delle esperienze possibili, vuol dire formare la
categorialità» (Eddo Rigotti, Questioni di lessico)

Finché ad una cosa non viene dato un nome, in un certo senso è
come se non esistesse

Definire

 Se spezziamo una ‘cimetta’ del
 cavolfiore otteniamo un particolare
 che è un cavolfiore in miniatura; se
 ripetiamo l’operazione sul particolare
 otteniamo una parte più piccola che
 assomiglia all’intero.
 Sappiamo dare un nome a questo
 fatto?

 Benoît Mandelbrot , matematico polacco naturalizzato francese, padre
 della geometria frattale, chiama questa proprietà autosomiglianza

DEFINIRE
• Dice Hans Freudenthal: “Bisogna insegnare non le parole, ma a
 parlare, non le definizioni, ma a definire”.
• La questione delle definizioni è una spia del problema più ampio del
 linguaggio nell’insegnamento scientifico.
• In quanto le parole scaturiscono da una storia, il linguaggio non è un
 semplice strumento in dotazione alle persone, ma tocca e richiama il
 livello dell’esperienza.
• Occorre allora indagare la forte connessione esistente fra l’uso delle
 parole che caratterizza il linguaggio comune e le parole che formano i
 linguaggi specifici

DEFINIRE
• Il procedimento della definizione sta alla base della possibilità di
 dare i nomi alle cose, azione costitutiva della capacità di
 astrazione, della formazione dei concetti.
• I termini del discorso si caratterizzano per estensione ( l’insieme
 degli oggetti a cui si riferisce) e intensione (il suo significato, il
 concetto che denomina).
• Es. Il termine parallelogrammo ha maggiore intensione e minore
 estensione del termine quadrilatero.
• In ambito scientifico si tende ad assumere un termine per
 designare un concetto solo dal punto di vista dell’estensione: un
 termine, usato in un linguaggio specifico, sta semplicemente a
 denotare l’insieme degli oggetti che identifica.

Definire

 IL LINGUAGGIO SCIENTIFICO
 • Un linguaggio scientifico si costituisce quando viene operata una
 selezione di ambito di esperienza, e per descrivere quella si
 producono gli strumenti espressivi necessari.
 • Infatti la realtà che la disciplina indaga influisce sullo strumento
 espressivo, piega, forma e arricchisce la lingua perché rifletta
 adeguatamente la struttura di ciò che vuole comunicare
 • Il linguaggio comune fornisce parole e discorsi al linguaggio
 scientifico, che non è però un sottoinsieme impoverito di esso; anzi
 l’intreccio tra i due livelli di espressione è molto complesso
 • Mettere a fuoco analogie e differenze tra la lingua del discorso
 comune e la lingua del “parlare” in matematica aiuta a focalizzare
 l’azione del definire

Descrizione Definizione
Definire vuol dire trovare una descrizione sintetica dell’oggetto in
esame a partire dalla quale possiamo essere certi di intenderci quando
ne parliamo.
Ogni termine che troviamo nel vocabolario è di fatto spiegato con una
definizione
Esempio
• Il lessico (o vocabolario) è il complesso delle parole e
 delle locuzioni di una lingua
• Per locuzione si intende un gruppo di parole in
 relazione grammaticale tra loro, costituente un'unità autonoma
 del lessico

 Cosa si può notare? C’è un problema!

La definizione in matematica
La matematica ha esigenze diverse da quelle del linguaggio
comune; i termini devono essere definiti in modo
inequivocabile, con significati univoci. Una definizione
matematica è anch’essa una descrizione, ma non si possono
ammettere circolarità
Dovendo ricorrere ad altre parole, devono esistere dei termini
il cui significato si suppone evidente e che non devono essere
definiti, cioè i termini primitivi o concetti primitivi
Mentre in una lingua non si sente la necessità di dichiarare
esplicitamente quali essi siano, nel linguaggio scientifico, e in
particolare matematico, tale operazione è assolutamente
necessaria.

La definizione in matematica
• Spesso la definizione matematica, oltre che una
 descrizione, è una abbreviazione (es. segmento,
 triangolo):ha la funzione di poter sostituire ad
 un’intera frase un unico termine, senza rischio
 di equivoci.
Es: il segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi.
• Questo uso rende scarno il linguaggio
 matematico, il che è un vantaggio, ma
 presuppone nella sua lettura una buona
 capacità interpretativa.

La definizione in matematica
La definizione matematica può anche avere
carattere operativo: essa cioè sintetizza in un singolo
termine le operazioni, concrete o mentali, eseguite
per arrivare ad un certo concetto. In questo senso la
definizione può essere considerata la descrizione di
un procedimento.
Esempio: la somma di due numeri interi è
 il numero che si ottiene contando di seguito al primo,
 tutte le unità del secondo.

Definire
 Esempio: il valore assoluto
 Se si da la seguente definizione (scorretta!!!):
 «il valore assoluto di un numero reale è il numero senza il
 segno»
 cosa si può dire del valore assoluto del numero 1 − 2 ?

 Invece esaminiamo la seguente definizione, che ha un
 carattere operativo:
 «il valore assoluto di un numero a è il numero stesso se a è
 maggiore o uguale a zero, è il suo opposto se a è un numero
 negativo»
 Qual è allora il valore assoluto del numero 1 − 2 ?

DEFINIRE A SCUOLA
• Nella didattica è particolarmente importante arrivare con i ragazzi a
 formulare definizioni, non partire dalla loro enunciazione.
• La definizione infatti deve essere la sintesi di un processo di comprensione,
 non ne può essere l’origine.
• Essa può essere conseguita alla fine di un percorso operativo, che parte da
 una osservazione o da una domanda, procede con altre osservazioni o
 deduzioni, giunge a formulare una risposta, che può essere sintetizzata in
 un termine nuovo.
• Durante questo percorso è possibile utilizzare un linguaggio approssimato,
 per favorire la comprensione, ma da quando si conquista la formulazione
 corretta della definizione è giusto pretenderne la ripetizione in termini
 rigorosi.

DEFINIRE
• Insegnare a “parlare” in matematica significa insegnare a
 utilizzare un adeguato apparato linguistico ed espressivo
 per comunicare le proprie conquiste intellettuali.
• Al linguaggio scientifico occorre arrivare per
 approssimazioni successive e non va mai dato per scontato;
 d’altra parte l’acquisizione graduale di un linguaggio
 disciplinare è un obiettivo permanente nella
 programmazione.
N.B. E’ necessario avere particolare attenzione a quanto le difficoltà di natura
linguistica influiscano sull’apprendimento, generando ostacoli alla comprensione dei
concetti.

• Lavorare sulla lingua è perciò uno degli interessi più
 importanti che accomuna l’educazione scientifica a ogni
 altro ambito disciplinare.

Le azioni del fare matematica

•SIMBOLIZZARE

Formalizzare significa dare espressione
all’insieme di conoscenze che possediamo
attraverso un sistema di segni: l’oggetto a
cui ‘diamo forma ‘ è il pensiero, usando
innanzitutto le parole e la lingua; in
matematica la formalizzazione avviene
soprattutto usando i simboli; potremmo dire
che il simbolismo è linguaggio della
matematica e contenuto della matematica al
tempo stesso.

La prima funzione del simbolo è quella di
rappresentare concetti nella forma più breve
e chiara possibile, ma è molto di più della
stenografia di un concetto; basta pensare alla
scrittura decimale del numero: il simbolo
contiene al proprio interno la
formalizzazione di alcune proprietà delle
operazioni sui numeri stessi, è già una sintesi
concettuale di un elevato grado di
complessità.

Se però il simbolo si stacca dal suo
significato, sorgono seri problemi di
apprendimento; l’uso dei simboli diventa
meccanico, le procedure vengono
applicate in maniera ripetitiva ed acritica.
Si può ad esempio fare un errore di
calcolo in una sottrazione, ottenere un
risultato maggiore del numero di partenza
e non accorgersene perché non si
considera la logica dell’operazione.

E’ pertanto indispensabile guidare il
bambino alla comprensione profonda
del significato dei simboli aritmetici,
anche attraverso la manipolazione di
oggetti concreti, per evitare un utilizzo
rigido dei simboli.

Le azioni del fare
 matematica

Ciascuno di noi ragiona per sua
natura.
Ognuno spontaneamente sa
mettere in atto inferenze, che
riconosce errate o corrette alla luce
dell’esperienza.

Spesso i bambini ragionano particolarmente
bene; ci stupiscono con le loro deduzioni
fulminee, con la stringente coerenza delle loro
conclusioni.
Non sempre però sanno rendere conto dei
procedimenti fatti, non sempre riescono ad
esplicitare completamente sul piano verbale e a
rendere coscienti, e quindi comunicabili, i
percorsi inferenziali che hanno spontaneamente
seguito.

Ma questo non vale solo per i
bambini:
 prendere coscienza del proprio
ragionamento, riflettere sul proprio
pensiero per orientarlo ed
organizzarlo non è facile e non è
spontaneo.
(Basta pensare ai problemi che si
incontrano nell’organizzazione delle
dimostrazioni di geometria sintetica)

In questo senso, la capacità di
ragionamento, che riconosciamo
innata in tutti, può essere coltivata
e approfondirsi.

Al contrario, se viene esercitata
solo in modo inconsapevole, può
addirittura affievolirsi

Si può quindi insegnare a
ragionare, nel senso cioè di
aiutare a sviluppare la
consapevolezza dei propri
ragionamenti.

In tal senso l’utilità di quella che viene
chiamata logica formale sta nel
fornire uno strumento che favorisce la
visione esplicita dei procedimenti
mentali, permette eventualmente di
correggerli e può aiutare in generale
ad organizzare la facoltà di ragionare.

ALCUNI CENNI

Una forma corretta del ragionamento è
una relazione tra implicazioni che conduce
da premesse vere a conclusioni vere e che
viene perciò accettata come regola di
procedimento corretto.

Forme di argomentazione
• Induzione: dal particolare al
 generale
• Abduzione: dalle conseguenze
 alle cause
• Deduzione: dal generale al
 particolare

CONFRONTIAMO

-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi
-questi fagioli sono bianchi
-questi fagioli vengono da questo sacchetto

-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi
-questi fagioli vengono da questo sacchetto
-questi fagioli sono bianchi

-da questo sacchetto vengono questi fagioli
-i fagioli estratti sono bianchi
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi

INDUZIONE
Il ragionamento induttivo, dal verificarsi di esperienze particolari,
porta a formulazioni di carattere generale
Es.
-da questo sacchetto vengono questi fagioli ( fatto particolare)
-i fagioli estratti sono bianchi (fatto particolare)
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi (conseguenza
 generale)
L’induzione è il ragionamento base delle scienze empiriche; più
 grande è il numero delle prove fatte, più attendibile è la previsione
 formulata

ABDUZIONE
È la forma di argomentazione che costituisce gran parte delle
nostre riflessioni: ricercare le cause, risalire alle spiegazioni degli
indizi….
Es.:
-tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa
generale)
-questi fagioli sono bianchi (fatto particolare)
-questi fagioli vengono da questo sacchetto (conseguenza)
Non è possibile stabilire il grado di validità di questo
ragionamento, senza ulteriori elementi relativi al contesto
L’abduzione è la struttura tipica dell’investigazione

DEDUZIONE
La matematica richiede di garantire le proprie affermazioni
attraverso dimostrazioni, cioè usando ragionamenti deduttivi.
Es.:
- tutti i fagioli di questo sacchetto sono bianchi(premessa
 generale)
- questi fagioli vengono da questo sacchetto (fatto particolare)
- questi fagioli sono bianchi (conseguenza particolare)
In questa forma di ragionamento, se sono vere le premesse, la
conclusione è necessariamente vera.
La deduzione è l’unico schema argomentativo in cui la verità
delle conclusioni è contenuta necessariamente nella verità delle
premesse.

Si può insegnare a ragionare:
cioè aiutare a sviluppare la
consapevolezza dei propri
 ragionamenti.

 COME?

ALCUNI SUGGERIMENTI

• La forma privilegiata è il dialogo:
 Perché hai fatto così? Spiegami!!!
• Proporre di scrivere il perché.
• Far spiegare ai compagni e ascoltare con
 attenzione il dialogo tra i bambini
• Valorizzare i progressi.
• Scegliere esercizi non banali.

Le azioni del fare matematica

•Progettare è una delle azioni più significative
dell’apprendimento, quando esso è proposto come
esperienza della persona.

•Chi progetta infatti vuole “mettere in opera” una propria
idea, concretizzandola in modo da far diventare patrimonio
comune una creazione della propria mente.

•All’interno di una progettazione, in qualunque campo, si
affronta una situazione complessa, che non può essere
dominata in modo frammentario, ma chiede che i
particolari si inseriscano in un’ipotesi globale.

PROGETTARE IN MATEMATICA
La matematica è un’attività mentale che è
essenzialmente un “progettare”, anche se non
sempre attraverso operazioni fisicamente
eseguibili.

Nell’azione del progettare, la matematica esprime
la caratteristica di essere inerente alla razionalità
globale della persona, alla modalità del suo
rapporto con la realtà.

RISOLVERE PROBLEMI E’ PROGETTARE

Per sua natura un problema richiede di orientare scelte,
di sviluppare strategie, di immaginare e prefigurare un
percorso risolutivo
In un problema, ogni particolare è collocato in un
contesto, ogni azione prende significato riferendosi ad
esso.

Risolvere problemi è un allenamento a progettare:
richiede un’azione libera e consapevole, cioè allarga
l’orizzonte della razionalità

Fasi di un
“progetto”

PRIMO PASSO
Lettura accurata e analisi attenta del testo

 DATI OBIETTIVO

 (Riformulazione del testo)

SECONDO PASSO

 Rappresentazione del problema

 Contesto Contesto
 linguistico matematico

Rappresentare è una condizione per matematizzare

TERZO PASSO

Strategia risolutiva

 Schema logico del
 procedimento

 Scomposizione in
 sottoproblemi

NOTA BENE
•Favorire, ove possibile, la costruzione di
più strategie risolutive e far eseguire una
valutazione a priori e una a posteriori.
•Meglio fare uno stesso problema in tre
modi diversi (confrontandoli) che
svolgere tre problemi diversi
acriticamente

QUARTO PASSO
 Esecuzione

 Aspetto tecnico

 Rielaborazione

QUINTO PASSO
 Verifica

Corrispondenza tra
risultato e Coerenza del
rappresentazione processo

 Nuovi problemi