Fondamenti della matematica - Undicesima lezione
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Fondamenti della matematica Undicesima lezione
Correzione esercizi lezione 9 1) Provare, con un disegno, che un triangolo è equivalente alla metà di un rettangolo avente dimensioni congruenti alla base e all’altezza del triangolo. Il triangolo ADB è congruente al triangolo ABE; il triangolo BDC è congruente al triangolo BCF. Quindi il rettangolo ACFE ha superficie doppia di quella del triangolo ACB
2) Dato un segmento di lunghezza 1, Quanto vale la sua sezione aurea? La risoluzione di questo quesito permette di determinare il valore del rapporto aureo. = 1; = ; = 1 − Per la definizione della sezione aurea: : = : → 2 = ∙ 2 = 1 ∙ 1 − → 2 + − 1 = 0 È un’equazione di secondo grado, del tipo: 2 + + = 0 − ∓ 2 −4 la cui formula risolutiva è: 1,2 = quindi: 2 −1∓ 1+4 5−1 1,2 = → = (Si esclude la soluzione negativa, perché 2 2 la misura di un segmento è positiva)
3) Dato un triangolo equilatero quali e quante trasformazioni applicate ad esso lo trasformano in se stesso? (cambiando al più l’ordine dei vertici) identità simmetria simmetria simmetria rotazione rotazione
Modulo 4 Geometria solida
Assiomi • Tre punti non allineati individuano uno e un solo piano • Ogni piano divide lo spazio in due regioni, dette semispazi, di cui il piano stesso si dice origine o frontiera tali che: -il segmento che ha per estremi due punti A e B dello stesso semispazio non interseca il piano -il segmento che ha per estremi due punti C e D appartenenti a semispazi diversi interseca il piano in un punto
Posizione reciproca di due rette se giacciono incidenti • Complanari nello stesso parallele piano • Sghembe se non esiste un piano che le contiene
Posizione reciproca piano-retta • Se hanno un solo punto in comune sono incidenti • Se non hanno nessun punto in comune o se la retta giace interamente sul piano allora sono paralleli
Posizione reciproca tra piani Se due piani hanno in comune due punti A e B (oppure tre allineati), allora hanno in comune anche tutti i punti della retta AB r A B
Se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune i punti di una retta che passa per quel punto. α β A C B D
Piani paralleli Due piani si dicono paralleli se non hanno alcun punto in comune o coincidono.
• Se per un punto P non appartenente ad un piano α si conducono due rette ad esso parallele, il piano β da esse individuato è parallelo ad α • Dati un piano α ed un punto P fuori di esso esiste ed è unico il piano ad esso parallelo passante per P Preso atto dell’unicità dei piani paralleli si può evidenziare che la relazione di parallelismo fra piani è riflessiva, simmetrica e transitiva. Essa è dunque una relazione di equivalenza che definisce la giacitura di tutti i piani tra loro paralleli. Si dice fascio improprio di piani l’insieme di tutti i piani aventi la stessa giacitura e si dice strato la parte di spazio compresa tra due piani paralleli
Fasci di piani • Il fascio proprio di piani è l’insieme di tutti i piani che si intersecano lungo una retta che costituisce l’asse del fascio. • Il fascio improprio di piani è l’insieme di tutti i piani paralleli tra loro • L’insieme dei piani che passano per uno stesso punto si dice invece stella di piani.
Perpendicolarità tra retta e piano Una retta r incidente ad un piano α in un punto P è perpendicolare ad α se è perpendicolare a tutte le rette di α che passano per il punto P; il punto P si dice piede della perpendicolare. Le rette incidenti ad α che non sono ad esso perpendicolari si dicono oblique Dati un punto P e una retta r, tutte le rette passanti per P e perpendicolari ad r giacciono in uno stesso piano, che passa per P ed è perpendicolare ad r
Nota bene Per verificare che una retta sia perpendicolare ad un piano è necessario che sia perpendicolare ad almeno due rette del piano passanti per il suo piede. In figura è rappresentata una retta r, perpendicolare alla retta s giacente sul piano, ma r non è perpendicolare al piano.
• La distanza di un punto da un piano è il segmento di perpendicolare condotto dal punto al piano. • L’angolo di una retta con un piano è l’angolo formato dalla retta con la sua proiezione sul piano QH: distanza di Q dal piano :angolo della retta r con il piano
Diedri Si dice angolo diedro o più semplicemente diedro ciascuna delle due parti in cui due semipiani aventi la stessa retta origine dividono lo spazio, inclusi i semipiani stessi. La retta origine dei due semipiani si dice spigolo del diedro, ognuno dei due semipiani si dice faccia del diedro Si dice diedro convesso la parte di spazio che non contiene i prolungamenti della facce, diedro concavo l’altra.
• Due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune un’intera faccia e nessun altro punto. • Due diedri consecutivi si dicono adiacenti se i semipiani non in comune giacciono sullo stesso piano • La somma di due diedri consecutivi è il diedro che li contiene e ha per facce le facce non comuni.
Sezione normale di un diedro In figura è rappresentato l’angolo aOb sezione di un diedro con un piano α perpendicolare allo spigolo. Ogni sezione di un diedro con un piano perpendicolare allo spigolo è un angolo detto sezione normale del diedro; poiché tutte le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti, essa può essere assunto come rappresentante del diedro . Due diedri sono congruenti se lo sono le loro sezioni normali. Si dimostra che anche la relazione di congruenza tra diedri è una relazione di equivalenza. La grandezza comune a tutti i diedri congruenti è detta ampiezza e corrisponde all’ampiezza della sezione normale
Piani perpendicolari Due piani si dicono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro diedri congruenti β Se una retta è perpendicolare ad un P α piano α, tutti i piani che la contengono sono perpendicolari ad α
Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da I solidi che hanno superfici poligoni vengono curve vengono chiamati chiamati poliedri. solidi rotondi.
I poliedri I poligoni si dicono facce del poliedro; i loro lati si dicono due facce con spigoli del poliedro. uno spigolo comune si dicono adiacenti e i loro vertici si dicono formano un vertici del poliedro; diedro.
Poliedri convessi e concavi
1. I POLIEDRI Poliedro Un poliedro convesso è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema. Piramide /15
I prismi Si chiama prisma un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base. TRIANGOLARE QUADRANGOLARE PENTAGONALE
I prismi retti Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO ESAGONO REGOLARE
Se un prisma retto ha base rettangolare, il solido ottenuto si chiama parallelepipedo rettangolo. a, b, c sono le dimensioni del parallelepipedo. Il particolare parallelepipedo per il quale le dimensioni sono congruenti si chiama cubo o esaedro
Apriamo… un prisma Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.
Alcuni esempi Il solido P è un prisma quadrangolare P regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. Esercizio Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare.
Angoloide Piramide Si prendano nello spazio almeno tre semirette che si incontrano in uno stesso punto e tali che il piano di due consecutive lascia le altre da una stessa parte. Otteniamo una figura solida che ha per facce angoli piani . La parte di spazio da esse racchiusa si chiama angoloide. In sintesi: parte di spazio che si ottiene dall’intersezione di almeno tre diedri i cui spigoli passano per uno stesso punto. Le semirette sono i suoi spigoli. Il punto comune è il vertice. N.B.: L’ampiezza complessiva delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro Come si vede dalla figura, se tagliamo l’angoloide con un piano che intersechi tutti gli spigoli si ottiene una figura limitata da poligoni: la piramide
Le piramidi Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. faccia laterale Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE PIRAMIDE PIRAMIDE TRIANGOLARE QUADRANGOLARE PENTAGONALE
Piramidi rette e regolari Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO PENTAGONO EQUILATERO REGOLARE
Domande 1)Una piramide retta può avere per base: • Un triangolo? • Un rettangolo? • Un rombo? • Un trapezio? 2) Una piramide a base quadrata è sicuramente regolare?
Alcuni esempi Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Esercizio • Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? • Ogni faccia laterale è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?
Tronco di piramide Il tronco di piramide è un solido ottenuto tagliando una piramide con un piano parallelo al piano della base. Di conseguenza la base inferiore e quella superiore del tronco di piramide sono simili e si dicono base maggiore e base minore. La distanza tra le due basi è l'altezza (h) del tronco di piramide. base minore base maggiore
Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti. Tetraedro regolare Dodecaedro regolare 4 facce 12 facce (pentagoni regolari) (triangoli equilateri) 20 vertici, 30 spigoli 4 vertici, 6 spigoli Cubo (esaedro regolare) 6 facce (quadrati) 8 vertici, 12 spigoli Icosaedro regolare 20 facce (triangoli equilateri) 12 vertici, 30 spigoli Ottaedro regolare 8 facce (triangoli equilateri) 6 vertici, 12 spigoli
Perché solo 5? Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 60 = 180) ottenendo un tetraedro regolare,
Perché solo 5? • in un vertice possono convergere 4 facce (4 x 60 = 240) ottenendo un ottaedro regolare • in un vertice possono convergere 5 facce (5 x 60 = 300) ottenendo un icosaedro regolare.
Perché solo 5? • Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un esaedro o cubo • Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. È quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare.
Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano : (3 x 120 = 360). È quindi impossibile costruire un poliedro regolare con esagoni
Relazione di Eulero per i poliedri Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con: • V il numero dei vertici • F il numero delle facce • S il numero degli spigoli Per tutti i poliedri vale la seguente relazione: RELAZIONE DI EULERO V+F−S=2 o anche V+F=S+2
Esempio • Quanti spigoli ha il poliedro a fianco? I vertici sono 12 e le facce 8. Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero: V+F=S+2 12 + 8 = S + 2 Il numero degli spigoli è: S = 12 + 8 − 2 = 18 Esercizi • Quanti spigoli ha un poliedro con 6 facce e 8 vertici? Se è un prisma, che poligono di base ha? • Se una piramide ha 7 facce che poligono di base ha? Quanti sono i suoi vertici? E gli spigoli?
Possiamo fare un po’ di algebra con la Geometria solida! • Quanti vertici ha un prisma a base triangolare? Quanti spigoli? Quante facce? • E un prisma a base quadrangolare? • …….. • E un prisma con base un poligono di n lati? vertici=2n ; facce= n+2; spigoli = 3n (2n)+ (n+2)= (3n)+2 E la piramide con base un poligono di n lati? vertici=n+1 ; facce= n+1; spigoli = 2n (n+1)+(n+1)=2n+2
I solidi rotondi Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio: CILINDRI CONO SFERA Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a una retta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione. Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione.
Solidi di rotazione Ruotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto. Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto. Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera.
UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA SUA DIMENSIONE CILINDRO RETTO ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE
UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO CONO APOTEMA ASSE DI ROTAZIONE RAGGIO DI BASE
Apriamo… un solido di rotazione È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono. CILINDRO RETTO CONO RETTO
Tronco di cono Il tronco di cono è un solido ottenuto tagliando un cono con un piano parallelo al piano della base. Di conseguenza la base inferiore e quella superiore del tronco di cono sono due cerchi e si dicono base maggiore e base minore. La distanza tra le due basi è l'altezza (h) del tronco di cono. Tale solido si può ottenere anche facendo ruotare un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.
QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE? INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE?
N.B.1: Se si fa ruotare di un angolo piatto un quadrato attorno all’asse di simmetria passante per i punti medi di due lati opposti si ottiene un cilindro equilatero, che ha quindi il diametro di base congruente alla sua altezza N.B.2: Se si fa ruotare di un angolo piatto un triangolo equilatero attorno ad un suo asse di simmetria si ottiene un cono equilatero, che ha quindi il diametro di base congruente al suo apotema
Parti della sfera La superficie Segmento sferico del segmento ad una base sferico ad una base è la calotta Segmento sferico a due basi
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