DESCRIZIONE E INTENTI DIDATTICI DEL LABORATORIO MATEMATICA E MUSICA

DESCRIZIONE E INTENTI DIDATTICI DEL LABORATORIO
                        MATEMATICA E MUSICA

                                             Laura Catastini

Scelte metodologiche
L’attività laboratoriale si prefigge lo scopo di trattare e mettere in collegamento tra loro i concetti di
“rapporto”, “proporzione”, “frazione”. La scelta delle attività concrete – musicali e matematiche -
da affiancare a quelle teoriche e del particolare percorso proposto tiene conto della natura delle
difficoltà cognitive che il pensiero deve affrontare nello studio della matematica e dell’importanza
del pensiero immaginativo ed emotivo, legato alle esperienze concrete del corpo (vedi file
Narrazione e Musica). La matematica è linguaggio e forma a un tempo ma l’immaginazione deve
formarsi spesso sulle sole parole e per questo preferiamo, quando è possibile come in questo caso,
l’approccio storico: le tappe storiche delle formalizzazioni matematiche, la loro concettualizzazione
progressiva, permette, a nostro avviso, che nella mente degli studenti sia attui la costruzione di
oggetti matematici via via più elevati e coerenti nel loro sviluppo, che non costringano a un
continuo cambio di riferimento nel progredire del corso degli studi. Il percorso scelto mira a
costruire una rete di parole e di significati che creino forti rimandi tra argomenti di ambito
geometrico, algebrico e musicale, intrisi anche delle intense esperienze emotive e fisiche di gruppo
create dal fare musica insieme. Si forma così una narrazione efficace che, come nel pensiero di tutti
i giorni, sostiene la memoria, la vivacità e la capacità ragionativa del nostro cervello

Queste scelte metodologiche hanno determinato il percorso scelto nel laboratorio già effettuato
dalla proponente, ma non è naturalmente il solo percorso possibile, esistono ampi spazi per
proposte alternative.

Contenuti multidisciplinari

 Gli argomenti trattati nel laboratorio si prestano a una possibile trattazione multidisciplinare perché
riguardano contemporaneamente più discipline: la fisica e la musica, la matematica. L’insegnante
di matematica e scienze potrà, a piacere, spiegare come si diffonde il suono, le caratteristiche
dell’onda sonora, il fatto che, in uno strumento a corda, a parità di spessore, corde più corte
producono suoni più acuti di quelli prodotti da corde più lunghe, esporre il fenomeno fisico delle
armoniche e delle consonanze. L’insegnante di musica potrà, a piacere, approfondire le scarne e
essenziali definizioni di “intervallo musicale ” date dal docente di matematica, e progettare una
concreta attività musicale per gli studenti, applicativa dei concetti in questione (vedi file
Narrazione e Musica). Potrebbe poi essere raccontata e approfondita, dall’uno o dall’altro, la
leggenda1 che narra come Pitagora intuì queste leggi e il modo in cui costruì la scala musicale
diatonica dalla quale nascerà l’odierna scala musicale cromatica. Questo elenco non è ovviamente
esaustivo ma solo indicativo di possibili contenuti multidisciplinari.

1
    vedi ad es. Giamblico, La vita pitagorica, ed BUR

Strumenti del laboratorio e compito pratico proposto

                                              La parte matematica verrà svolta, nel suo aspetto
                                              geometrico e sintetico, col solo uso della riga e
                                              del compasso. Con l’introduzione della “misura”
                                              è permesso anche l’uso di calcolatrici e di righe o
                                              righelli graduati.

Il compito pratico che hanno avuto gli
studenti è stato quello di determinare,
sull’ottavometro, (vedi file “Presentazione
laboratorio Matematica e musica”) la
lunghezza di ogni corda di una ottava
diatonica conoscendo la lunghezza di una di
esse (vedi file “Intervalli e Matematica”).

In campo musicale gli studenti, dopo ascolti illustrativi dell’uso degli intervalli per comunicare
determinate emozioni in musica, hanno affrontato un percorso recitativo e musicale nel quale,
usando i giusti intervalli, sono state rappresentate le emozioni della paura, del coraggio e della
minaccia, dell’amore genitoriale e sociale. Ecco qualche momento di prove di canto e recitazione:

Qualche flash matematico sul laboratorio già effettuato

Come già detto l’attività laboratoriale si prefigge lo scopo di trattare e mettere in collegamento tra
loro i concetti di “rapporto”, “proporzione”, “frazione”, creando una sinergia coerente tra situazioni
geometriche e numeriche.

Di norma gli studenti conoscono il rapporto tra due numeri o due grandezze come divisione o
frazione dei due numeri o delle misure delle due grandezze.
Senza interferire con quel che già sanno, si introduce il concetto di “parte” di una grandezza nel
senso in cui è definito2 negli Elementi di Euclide: la “parte” di una grandezza è una grandezza a lei
omogenea che entra in essa esattamente un numero intero di volte.

Si usa, come esemplificazione di grandezza geometrica, il segmento, che verrà poi usato anche
come rappresentazione delle corde dell’ottava.
Quindi si dirà che p è parte del segmento A se sta esattamente un numero intero di volte in A.
            p
    A

SiB propone poi, per la proposizione “due segmenti, AB e CD, stanno in rapporto n a m” ,
la seguente lettura: se due segmenti, A e B, stanno in rapporto n a m allora la parte di A che sta in
A n volte, sta in B m volte , e viceversa (si usano sempre esempi numerici).
        p
    A                     B

    C                D

Come primo esercizio si chiede agli studenti di disegnare ognuno su un foglio bianco un segmento
AB
A   (si evitano quadrettiBche possono indurre a misurare) e di trovare un segmento CD che sia un
dato rapporto con AB usando solo squadre non graduate, per tracciare rette parallele, e un

2
 “Una grandezza è parte di una grandezza, la minore della maggiore, quando misuri completamente la
maggiore” (Elementi di Euclide libro V Termini)

p
                                   A                                   B

                                    C                         D
compasso. È il momento di insegnare la costruzione fondata sul teorema di Talete per dividere un
segmento in un numero dato di parti uguali!

                                  A                                B

Appena gli studenti hanno raggiunto una sufficiente dimestichezza con la costruzione di Talete, si
presenta loro il seguente compito, sempre su foglio non quadrettato:
(*) Disegnare due segmenti, AB e CD, tali che AB sta a CD come 4 sta a 3.
 In questo caso ogni studente disegnerà a piacere un segmento e potrà scegliere se dividerlo in 4
parti e determinare l’altro trovando così CD, o dividerlo in 3 parti e determinare l’altro, trovando
così AB.

Esercizi di questo tipo portano nel puro spirito della geometria – e dei rapporti - perché non si usano
misure, ogni studente lavora su segmenti diversi da quelli dei compagni, ma su stessi rapporti, e
contribuiscono a rafforzare la conoscenza e la comprensione

Il confronto e la discussione tra gli studenti sui procedimenti adottati per le soluzioni di esercizi
di questo tipo è molto produttivo.

Attraverso il concetto di rapporto così costruito possiamo sviluppare il mondo delle proporzioni,
delle frazioni, dei numeri, anche dal punto di vista del linguaggio. Vediamo alcuni esempi:

   • L’esercizio (*) precedente porta immediatamente al concetto di “proporzione” attraverso il
   confronto tra le coppie di segmenti costruite dagli studenti, diverse tra loro ma nello stesso
   rapporto, e altre che non lo sono, proposte dal docente,
   • Si chiede agli studenti, negli esercizi, di scrivere il numero di parti non come frazione ma
   come un aggettivo numerale (il numeratore) e un sostantivo (che informa di quale parte si tratta,
   cioè la “denomina”). Così non “5/3” ma 5 terzi, per esempio. Questa pratica crea una immagine
   del denominatore che potrà facilitare l’uso delle frazioni negli esercizi geometrici e la
   comprensione delle regole di calcolo.
   • Gli studenti, parlando tra loro o scrivendo, sono obbligati a dare sempre il riferimento alla
   grandezza . Per indicare una parte determinata non basta loro dire “1 quinto” ma devono sempre
   specificare “1 quinto DI…”. Partendo da questo linguaggio geometrico e introducendo la
   misura, ci possiamo avvicinare facilmente e coerentemente alla forma algebrica senza alterare
   né perdere significati. Ecco alcuni esempi:

           • Perché “3 dodicesimi di AB” equivale, nel linguaggio matematico dei numeri e
                               3
          delle operazioni, a    " A B ? Perché per trovare la misura di 3 dodicesimi di AB si deve
                              12
          dividere AB per 12 per determinare quanto misura una sua parte e poi occorre
          moltiplicarla per 3. Ma per le proprietà delle operazioni
                    !                 AB     AB " 3        3  3
                                         "3=        = AB " = " AB
                                      12      12          12 12

                          !

pratica notazione finale, riassuntiva del processo
        • Con questa tecnica si può anche esplorare il mondo delle frazioni numeriche. Per non
                                                                              3         3
       creare fratture fra i concetti che costruiamo possiamo leggere adesso come 1 , cioè 3
                                                                              4         4
       quarti di 1, dell’unità numerica. Questa visione sarà coerente con le situazioni analitiche,
       nelle quali i numeri sono situati all’estremo di un segmento di lunghezza pari al numero
       in questione, e con l’altro estremo nell’origine del riferimento, e si spera sostituisca il
                                                3
       frequente e errato posizionamento di        in 3,4!
                                                4

• I numeri irrazionali: Gli studenti conoscono i numeri razionali come numeri con coda
decimale finita o periodica, trasformabili in frazioni a numeratore e denominatore interi, e i
numeri irrazionali come numeri con coda decimale infinita aperiodica che non possono essere
trasformati in frazioni come nel caso precedente.
Si può facilmente introdurre A il produttivo concetto di B“commensurabilità” e
“incommensurabilità” tra due grandezze, spiegando che due grandezze A e B sono
commensurabili quando esiste una parte che misuri entrambe, cioè che entri un numero m di
volte in A e un numero n di volte in B. Questa situazione crea la proporzione A : B = m : n
(affrontata molte volte in musica) e la possibilità di esprimere la misura di una grandezza come
frazione della misura dell’altra, utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere: A =
m/n B e B = n/m A
Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili se non esiste alcuna frazione
razionale in grado di esprimere il rapporto tra di loro. Non esiste cioè nessuna parte comune che
riesca a misurare esattamente entrambe. Comunque si trovi una parte che misura esattamente A,
quella non misura esattamente B, e viceversa. Nel laboratorio è stato proposto il famoso
problema del Menone di Platone, che chiede di determinare un quadrato che abbia l’area doppia
di un quadrato dato, scelto per l’occasione di lato 1:
                                                  F

                                                                E
                                   A               B

                                   C               D            G

 Di norma gli studenti propongono subito come risposta un quadrato di lato CG = 2 (come lo
 schiavo del Menone) ma l’indagine e il ragionamento sulla figura porta presto alla soluzione.
  Si sottolinea come la costruzione geometrica determini esattamente il quadrato cercato, e che
 ABDC : ADEF = 1 : 2, cioè i due quadrati sono commensurabili, ma i loro lati, AC e AD, non
 lo sono, misurando rispettivamente 1 e 2 . È stata presentata agli studenti la tradizionale
 dimostrazione per assurdo dell’irrazionalità di 2 , trasmessa da Euclide, basata sui numeri
 pari e dispari. Per la cronaca, la dimostrazione ha appassionato gli studenti più capaci, ma,
 ripetendola anche il giorno dopo, è stata anche capita da quasi tutti i partecipanti al laboratorio.
                              !
È stato un momento di gran fatica !      mentale, per ammissione di tutti, ma anche di gran
soddisfazione, alla fine La ricerca di una soluzione numerica che porti al lato cercato, che

misura 2 , non dà pertanto nessun risultato esatto. Si potrà dire agli studenti che l’esigenza di
  portare avanti calcoli senza perdere esattezza per strada, come accadrebbe approssimando i
  numeri irrazionali tagliando loro la coda infinita, giustifica l’introduzione del simbolo di √ , che
  non costringe all’approssimazione, e lo sviluppo di un apposito calcolo con questi simboli, che
! gli studenti dovranno imparare nel proseguimento degli studi.

   Anche questo è ciò che intendo quando parlo di “narrazione” in matematica, cioè la
   presentazione di parole e concetti il più possibile intrisi di partecipazione attiva da parte degli
   studenti, e il più possibile compatibili e interattivi con le parole e i concetti che impareranno nel
   loro lungo corso di studi.

La pratica laboratoriale sull’ottavometro aiuta a rinforzare e a chiarire queste e         molte altre
questioni legate agli argomenti trattati (vedi file “Intervalli e Matematica”).