Dalla relatività ai buchi neri - Lavoro di maturità Enea Di Dio Liceo Locarno 2004-2005 Professore responsabile: Christian Ferrari
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Dalla relatività ai
buchi neri
Lavoro di maturità
Enea Di Dio
Liceo Locarno
2004-2005
Professore responsabile: Christian Ferrari
i
Indice
1. Introduzione .............................................................................................................. 1
2. Biografie..................................................................................................................... 4
2.1 Galileo Galilei..................................................................................................... 4
2.2 Isaac Newton....................................................................................................... 6
2.3 Albert Einstein .................................................................................................... 8
3. Introduzione alla relatività galileiana ................................................................... 10
3.1 Referenziali inerziali o di Galileo ..................................................................... 10
3.2 Assiomi non relativisti ...................................................................................... 11
3.2.1 La simultaneità e l’intervallo di tempo ..................................................... 11
3.2.2 L’intervallo di spazio ................................................................................ 11
3.3 Le trasformazioni di Galileo ............................................................................. 12
3.4 Formulazione di Galileo del concetto di relatività............................................ 12
3.5 Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica...................................... 13
4. Introduzione alla relatività ristretta...................................................................... 15
4.1 Il campo elettromagnetico di Maxwell ............................................................. 15
4.2 L’etere ............................................................................................................... 15
4.3 L’esperimento di Michelson e Morley.............................................................. 16
5. La relatività ristretta .............................................................................................. 19
5.1 Le considerazioni di Einstein............................................................................ 19
5.2 Postulati di Einstein sulla luce .......................................................................... 19
5.3 Concetto di simultaneità ................................................................................... 20
5.4 Principio di relatività......................................................................................... 21
5.5 Intervallo ........................................................................................................... 21
5.6 Diagrammi di Brehme....................................................................................... 22
5.7 Le trasformazioni di Lorentz ............................................................................ 24
5.8 Carattere limite della velocità della luce........................................................... 28
5.9 Contrazione apparente delle lunghezze ............................................................ 29
5.10 Dilatazione apparente dell’intervallo di tempo................................................. 30
5.11 Effetto Doppler non relativista.......................................................................... 31
5.12 Effetto Doppler relativista................................................................................. 33
5.13 I risultati ottenuti con l’effetto Doppler ............................................................ 35
5.13.1 L’espansione dell’universo ....................................................................... 35
5.13.2 Il Big Bang................................................................................................ 35
5.13.3 Le ipotesi precedenti ................................................................................. 35
5.14 Il cono di luce.................................................................................................... 37
5.15 Il tempo proprio e la tetravelocità..................................................................... 40
5.16 L’equivalenza massa energia ............................................................................ 41
6. La relatività generale.............................................................................................. 43
6.1 La gravità secondo Newton .............................................................................. 43
6.2 L’azione a distanza ........................................................................................... 44
6.3 Incoerenza tra relatività ristretta e gravità di Newton....................................... 45
6.4 Il campo gravitazionale..................................................................................... 46
6.5 Equivalenza tra massa inerziale e gravitazionale.............................................. 46
6.6 I principi della relatività generale ..................................................................... 47
i
6.6.1 Principio di oggettività.............................................................................. 47
6.6.2 Principio di covarianza ............................................................................. 47
6.6.3 Principio di equivalenza debole ................................................................ 47
6.6.4 Principio di equivalenza forte ................................................................... 49
6.6.5 Principio di Mach...................................................................................... 49
6.7 Conseguenze del principio di equivalenza........................................................ 50
6.7.1 Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 50
6.7.2 Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 51
6.7.3 Effetto della gravità sullo spazio............................................................... 51
6.7.4 Redshift ..................................................................................................... 52
6.8 Alcune prove sperimentali a sostegno della relatività generale........................ 54
6.8.1 Effetto della gravità sul tempo.................................................................. 54
6.8.2 Effetto della gravità sulla luce .................................................................. 55
6.9 Le geodetiche .................................................................................................... 56
6.10 Complemento: la struttura della spazio secondo la relatività generale............. 58
6.11 Le equazioni di Einstein.................................................................................... 59
6.12 La geometria dello spazio-tempo...................................................................... 61
7. I buchi neri............................................................................................................... 64
7.1 Definizione di buco nero................................................................................... 64
7.2 La storia ............................................................................................................ 65
7.3 La formazione ................................................................................................... 65
7.3.1 Il Sole ........................................................................................................ 66
7.3.2 Il principio di esclusione........................................................................... 68
7.3.3 Le nane bianche ........................................................................................ 70
7.3.4 Le stelle a neutroni.................................................................................... 71
7.3.5 I buchi neri ................................................................................................ 71
7.4 Il raggio di Schwarzschild ................................................................................ 72
7.4.1 Calcolo classico del raggio di Schwarzschild........................................... 72
7.4.2 La soluzione relativistica del raggio di Schwarzschild............................. 72
7.4.3 La censura cosmica ................................................................................... 73
7.5 Il comportamento dei coni di luce nelle vicinanze di un buco nero ................. 74
7.5.1 Visti da un osservatore lontano................................................................. 74
7.5.2 Visti da un osservatore vicino................................................................... 75
7.6 Alcuni effetti dei buchi neri .............................................................................. 77
7.6.1 Paradosso dell’astronauta.......................................................................... 77
7.6.2 Effetti marea.............................................................................................. 78
7.6.3 Macchina del tempo.................................................................................. 79
7.7 Radiazione di Hawking..................................................................................... 80
8. Conclusione.............................................................................................................. 85
9. Ringraziamenti........................................................................................................ 85
10. Appendice A “Cos’è la teoria della relatività?” di A. Einstein.......................... 86
11. Bibliografia .............................................................................................................. 89
ii
Dalla relatività ai buchi neri 1. Introduzione
1. Introduzione
Chi non ha mai sentito il nome di Albert Einstein? Credo che, nella parte del mondo che
noi chiamiamo occidente e che consideriamo la più sviluppata, non ci sia persona che non
abbia sentito questo nome e che non sappia che era uno scienziato. Ora sorge spontanea
la seguente domanda: cosa ha fatto Albert Einstein nella sua vita? La risposta più
evidente dovrebbe essere la famosissima formula E = mc 2 . A questo punto chiunque
abbia ricevuto un’istruzione a livello liceale dovrebbe almeno capire cosa esprima questa
semplice, ma fondamentale, formula. Però è molto riduttivo ricordare Einstein solo per
questa formula, nonostante sia importantissima, perché il suo contributo alla fisica è stato
enormemente più grande, infatti ci ha dato una nuova rappresentazione dello spazio e del
tempo. Per far tutto ciò è andato contro molte idee consolidate dell’epoca e considerate
giuste, ciò aumenta il suo valore come scienziato. Le sue scoperte hanno avuto un enorme
impatto sulla nostra concezione dell’universo, ma queste purtroppo sono conosciute e
studiate solo da scienziati, l’uomo comune, il cosiddetto uomo della strada, ricorda
semplicemente la sua formula che lega tramite la velocità della luce al quadrato l’energia
intrinseca della materia con la massa. Per l’uomo della strada ciò che conta è il senso
comune, ciò che riesce a percepire con i propri sensi e sfortunatamente la conclusione
alle quali è arrivato Einstein sono in contraddizione con il senso comune. Infatti tutti
definirebbero il tempo o lo spazio come dei concetti assoluti, nel senso che non
dipendono dal sistema di riferimento, e così si pensava sino all’arrivo di Einstein. Questo
fattore del nostro senso comune porta a distanziare il mondo scientifico dal resto del
mondo. È chiaro che il nostro uomo della strada sia più propenso a pensare che i risultati
a cui è arrivato Einstein sono più dei giochini matematici che considerazione reali, perché
la sua esperienza personale non verifica le ipotesi dello scienziato. Qui occorre
specificare che le grandi scoperte di Einstein sono basate su considerazioni di tipo
puramente fisico e la matematica è stato solo un mezzo, anche se di notevole importanza,
per arrivare a queste formidabili conclusioni.
Ora gettiamo uno sguardo veloce al passato per potere fare un paragone con la situazione
attuale. La tradizione greca vuole che Pitagora fu il primo nel 550 a.C. a scoprire e
insegnare che la Terra è una sfera sospesa nello spazio. Una simile affermazione lasciava
certamente perplesso l’uomo comune, infatti si chiedeva da cosa era sostenuta e in caso
contrario come faceva a stare su. Un altro dilemma non da poco era capire come mai le
persone che abitavano nell’altro emisfero non cadevano ma restavano saldamente
attaccati alla Terra proprio come loro. Il senso comune prima di Pitagora era che la Terra
fosse piatta, ma con il passare dei secoli è cambiato e ora nessuno oserebbe sostenere che
la Terra sia piatta e non sferica. Quindi si può pensare che il nostro senso comune è
determinato anche da ciò che ci viene insegnato e non solo da ciò che percepiamo.
Un’altra prova a sostegno di questa tesi è il fatto che una volta si riteneva che la Terra
fosse al centro dell’universo e il resto ci girasse attorno e invece ora si sa che noi siamo
posti in una zona periferica della nostra galassia e che giriamo attorno al Sole.
Certamente non siamo al centro dell’universo ed è stata un’idea non facile da accettare
dalla Chiesa, in fondo le Sacre scritture dicono che Dio ci ha creato a sua immagine e
somiglianza e ci ha creati per ultimi perciò la nostra centralità nell’universo non poteva
essere messa in dubbio. Il tempo passa e ora non siamo più così presuntuosi da ritenerci
1
Dalla relatività ai buchi neri 1. Introduzione
al centro di tutto. Quindi si può ragionevolmente pensare e supporre che arriverà un
giorno in cui considerare il tempo e lo spazio come un qualcosa di assoluto e invariante
sarà un’assurdità. La scienza indica la strada e prima o poi arriverà a rimorchio anche il
resto del mondo.
Come mai il nostro senso comune è spesso in contrasto con le nuove scoperte? Forse la
natura ci vuole nascondere i suoi segreti?
Forse è vero che la natura ci vuole nascondere i suoi segreti, o forse meglio non ci
permette di vedere tutto, e per questo comportamento c’è anche una teoria chiamata
censura cosmica, che è strettamente legata ai buchi neri e che tratterò più avanti nel corso
del mio lavoro. Nonostante ciò credo che le nuove scoperte sono in contrasto con il senso
comune perché questo è fortemente influenzato dalle certezze precedenti che vengono a
cadere con le nuove scoperte. Questo succede perché siamo ai piedi di una lunga scala
della conoscenza, una scala che si allunga man mano che si sale e di cui non si vede la
fine e, come se non bastasse, non si sa se ci sia una fine. I grandi scienziati come Galileo,
Newton e Einstein sono quelli che sanno andare oltre al senso comune della loro epoca e
basano le proprie considerazioni su basi verificate scientificamente.
“Non so come io posso apparire al mondo, ma per quanto mi riguarda mi sembra di
essere stato soltanto un bambino che giuoca sulla spiaggia ed è contento quando trova un
ciottolo più levigato o una conchiglia più graziosa del solito, mentre il grande mare della
verità è davanti a lui ancora tutto da scoprire.”
I. Newton
Da [6], pagina 14
Questa frase pronunciata da uno dei più grandi scienziati di ogni tempo descrive bene ciò
che fa uno scienziato e soprattutto ricorda che si deve restare umili davanti alle proprie
scoperte. Ci si deve rendere conto che quel che si sa seppure ci pare tanto in realtà è poco
o niente. Soprattutto non si devono più fare errori gia fatti nella storia di credere di sapere
già tutto, infatti all’epoca di Galileo Galilei si credeva di sapere tutto sui corpi celesti ma
in realtà si stava sbagliando tutto. Anche prima di Einstein si era arrivati a un punto di
stallo della scienza cosmologica, si discuteva di cosa fosse l’etere ma si credeva di aver
quasi scoperto tutto e poi è arrivato Einstein a fare cadere tutte le convinzioni precedenti.
E chi sarà il prossimo che ci farà cadere nuovamente dalla scala su cui ci siamo
arrampicati affannosamente in questi anni credendo che sia stata la volta buona? Prima o
poi qualcuno e qualcosa che andranno ancora contro il nostro senso comune ci sarà
sicuramente. La differenza forse è che adesso sappiamo che accadrà e lo speriamo anche
per fare un ulteriore progresso nelle nostre piccole conoscenze, anche se con esse
abbiamo un enorme potere e non è detto che sia un bene, ma qui si aprirebbe un altro
capitolo sull’etica della scienza che non vorrei trattare in questo lavoro. Adesso si sa che
la teoria della relatività generale non funziona su scale enormemente piccole dove a
prevalere è la meccanica quantistica che non si accorda con le equazioni di Einstein.
Arriverà un giorno in cui si scoprirà tutto? Questo è sempre stato il sogno di tutti gli
scienziati. Chi non vorrebbe scoprire la M-Teoria?
2
Dalla relatività ai buchi neri 1. Introduzione
Ma quello sarà veramente un bel giorno per l’umanità (se ci sarà ancora)? Io non credo
perché verrebbe meno il nostro istinto di andare verso l’ignoto. L’uomo da sempre ha
cercato di scoprire quel che ancora non sapeva e il giorno che saprà tutto non vivremo più
per questo scopo ma unicamente per mandare avanti la nostra specie, torneremmo
paradossalmente a essere degli animali come gli altri.
3
Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
2. Biografie
Le biografie seguenti sono state prese da www.biografieonline.it e liberamente adattate.
2.1 Galileo Galilei
Padre della scienza moderna, Galileo
Galilei è il gigantesco pensatore grazie al
quale si diffuse un nuovo modo di fare
scienza, fondato su un metodo solido non
più basato sull'osservazione diretta della
natura, bensì sull'utilizzazione degli
strumenti scientifici.
Nato a Pisa il 15 febbraio 1564, Galileo
compie i primi studi di letteratura e logica
a Firenze dove si trasferisce con la
famiglia nel 1574. Nel 1581 per volere del
padre si iscrive alla facoltà di medicina
dell'Università di Pisa, ma per questa
disciplina non mostrerà un vero interesse.
Lasciata dunque l'università pisana fa armi
e bagagli e ritorna a Firenze.
Figura 2-1: Galileo Galilei.
Qui sviluppa una passione per la
meccanica cominciando a costruire
macchine sempre più sofisticate, approfondendo la matematica e compiendo osservazioni
di fisica sotto la guida di Ostilio Ricci.
Nel 1589 ottiene la cattedra di matematica all'Università di Pisa che manterrà fino al
1592; nel 1591 il padre Vincenzo muore lasciandolo alla guida della famiglia; in questo
periodo si interessa al movimento dei corpi in caduta e scrive il "De Motu".
Nel 1593 Galileo viene chiamato a Padova dove la locale Università gli offre una
prestigiosa cattedra di matematica, geometria e astronomia. Galileo accetta con
entusiasmo e vi rimarrà fino al 1610.
E' in questo periodo che comincia ad orientarsi verso la teoria copernicana del moto
planetario, avvalorata dalle osservazioni effettuate con un nuovo strumento costruito in
Olanda: il telescopio. Galileo apporterà poi significativi miglioramenti allo strumento.
Nel 1609 pubblicava la sua "Nuova astronomia", che contiene le prime due leggi del
moto planetario.
4
Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
Nel marzo 1610 rivela nel "Sidereus Nuncius" l’esistenza di quattro satelliti di Giove.
La scoperta di un centro del moto che non fosse la Terra comincia a minare alla base la
teoria tolemaica del cosmo. Le teorie astronomiche di Galileo Galilei vengono ben presto
ritenute incompatibili con le verità rivelate dalla Bibbia e dalla tradizione aristotelica.
Una prima conseguenza è un'ammonizione formale del cardinale Bellarmino. Galileo
dopotutto non fa altro che confermare la teoria copernicana, teoria già conosciuta da
tempo.
L'Inquisizione ecclesiastica non sente ragioni, bolla come eretico questo impianto
cosmologico e proibisce formalmente a Galileo di appoggiare tali teorie.
Nell'aprile del 1630 Galileo, sì intimidito ma non a sufficienza per interrompere la sua
straordinaria esplorazione scientifica, termina di scrivere il "Dialogo sui due Massimi
Sistemi del Mondo", nel quale le teorie copernicana e tolemaica vengono messe
dialetticamente a confronto.
Concorda anche con il Vaticano alcune modifiche per poter far stampare l'opera, ma
decide poi di farla stampare a Firenze, nel 1632.
Arrivata nelle mani di Papa Urbano VIII, costui ne proibisce la distribuzione e fa istituire
dall'Inquisizione un processo contro Galileo.
Lo scienziato, ormai anziano e malato, viene chiamato a Roma e processato (1633).
Imprigionato e minacciato di tortura, Galileo viene costretto ad abiurare pubblicamente
(umiliato indossava un rozzo sacco) e condannato alla prigione a vita.
Questo colossale scienziato e pensatore a cui si devono i mattoni fondamentali del
progresso scientifico così come lo conosciamo oggi, morì a Firenze il giorno 8 gennaio
1642, circondato da pochi allievi e nella quasi totale cecità.
Trecentocinquanta anni dopo la sua morte (1992) la Chiesa ha riconosciuto formalmente
la grandezza di Galileo Galilei, "riabilitandolo" e assolvendolo dall'accusa di eresia.
5
Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
2.2 Isaac Newton
Fisico e matematico tra i più grandi di
ogni tempo. Ha dimostrato la natura
composita della luce bianca, ha codificato
le leggi della dinamica, ha scoperto la
legge della gravitazione universale,
ponendo le basi della meccanica celeste ed
ha creato il calcolo differenziale ed
integrale. Nato orfano di padre il 4
Gennaio 1643 in Woolsthorpe, nel
Lincolnshire.
Dopo un'educazione rudimentale nella
scuola locale, viene spedito all'età di
dodici anni alla King's School di
Grantham.
Alla sua nascita, Newton è l'erede
legittimo di una modesta eredità legata
alla fattoria che avrebbe dovuto
cominciare ad amministrare una volta
divenuto maggiorenne. Durante il periodo
di prova alla King's School, diviene chiaro
Figura 2-2: Isaac Newton.
che l'agricoltura e la pastorizia non sono
proprio il suo mestiere. Così, nel 1661,
all'età di 19 anni, entra al Trinity College di Cambridge.
Dopo aver ricevuto la laurea di baccellierato nel 1665, apparentemente senza particolare
distinzione, Newton si ferma ancora a Cambridge per fare un master ma un'epidemia
provoca la chiusura dell'università. Torna allora a Woolsthorpe per 18 mesi (dal 1666 al
1667), durante i quali non solo effettua degli esperimenti fondamentali e getta le basi
teoriche di tutti i seguenti lavori sulla gravitazione e sull'ottica ma sviluppa anche il suo
personale sistema di calcolo.
Tornando a Cambridge nel 1667, Newton completa velocemente la sua tesi di master e
prosegue intensamente l'elaborazione di un lavoro iniziato a Woolsthorpe. Il suo
professore di matematica, Isaac Barrow, è il primo a riconoscere l'inusuale abilità di
Newton in materia e, quando nel 1669, abbandona il suo incarico per dedicarsi alla
teologia, raccomanda il suo pupillo come successore. Newton diventa così professore di
matematica all'età di 27 anni, rimanendo al Trinity College per altri 27 con quel ruolo.
Grazie alla sua prodigiosa ed eclettica mente ha modo di fare anche esperienza politica,
precisamente come deputato al Parlamento di Londra, tanto che nel 1695 ottiene la carica
di ispettore della Zecca di Londra. L'opera più importante di questo matematico e
scienziato sono i "Philosophiae naturalis principia mathematica", autentico immortale
6
Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
capolavoro, nel quale espone i risultati delle sue indagini meccaniche e astronomiche,
oltre a gettare le basi del calcolo infinitesimale, ancora oggi di importanza indiscussa. Tra
gli altri lavori si annovera "Optik", studio in cui sostiene la famosa teoria corpuscolare
della luce e "Arithmetica universalis e Methodus fluxionum et serierum infinitarum",
pubblicato postumo nel 1736.
Newton muore nel 1727 seguito da grandissimi onori. Sepolto nell'abbazia di
Westminster, sulla sua tomba vengono incise queste altisonanti e commoventi parole:
"Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus" (si rallegrino i
mortali perché è esistito un tale e così grande onore del genere umano).
7Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
2.3 Albert Einstein
Albert Einstein, nasce il 14 marzo del
1879 a Ulm, in Germania, da genitori
ebrei non praticanti. Un anno dopo la sua
nascita la famiglia si trasferisce a Monaco
di Baviera. L'infanzia di Einstein si svolge
nella Germania di Bismarck, un paese in
via di massiccia industrializzazione, ma
anche retto con forme di dispotismo che si
fanno sentire a vari livelli e in vari
ambienti della struttura sociale.
Il piccolo Albert era per istinto un solitario
ed impara a parlare molto tardi. L'incontro
con la scuola è da subito difficile: Albert,
infatti, trovava le sue consolazioni a casa,
dove la madre lo avvia allo studio del
violino, e lo zio Jacob a quello
dell'algebra. Da bambino, legge libri di
divulgazione scientifica con quella che
definì "un'attenzione senza respiro".
Nel 1894 la famiglia si trasferisce in Italia
Figura 2-2: Albert Einstein.
per cercarvi miglior fortuna con una
fabbrica a Pavia, vicino a Milano. Albert
rimase solo a Monaco per poter terminare l'anno scolastico al ginnasio, raggiunse poi la
famiglia.
Gli affari della fabbrica cominciarono ad andare male e il padre Hermann esortò il figlio
a iscriversi al famoso Istituto Federale di Tecnologia, noto come Politecnico di Zurigo.
Non avendo però conseguito un diploma di scuola secondaria superiore, nel 1895 dovette
affrontare un esame di ammissione e fu bocciato per insufficienze nelle materie letterarie.
Ma ci fu di più il direttore del Politecnico, impressionato dalle non comuni capacità
mostrate nelle materie scientifiche, esortò il ragazzo a non rinunciare alle speranze e a
ottenere un diploma abilitante per l'iscrizione al Politecnico nella scuola cantonale
svizzera progressiva di Aargau. Qui Einstein trovò un'atmosfera ben diversa da quella del
ginnasio di Monaco. Nel 1896 può finalmente iscriversi al Politecnico. Lì prende una
prima decisione non farà l'ingegnere ma l'insegnante.
Nel corso dei suoi studi a Zurigo matura la sua scelta: si dedicherà alla fisica piuttosto
che alla matematica.
Si laurea nel 1900. Prende dunque la cittadinanza svizzera per assumere un impiego
all'Ufficio Brevetti di Berna. Il modesto lavoro gli consente però di dedicare gran parte
del suo tempo allo studio della fisica.
8Dalla relatività ai buchi neri 2. Biografie
Nel 1905 pubblica tre studi teorici. Il primo e più importante studio contiene la prima
esposizione completa della teoria del moto brawniano. Il secondo studio,
sull'interpretazione dell'effetto fotoelettrico, conteneva un'ipotesi rivoluzionaria sulla
natura della luce; egli affermò che in determinate circostanze la radiazione
elettromagnetica ha natura corpuscolare, ipotizzando che l'energia trasportata da ogni
particella che costituiva il raggio luminoso, denominata fotone, fosse proporzionale alla
frequenza della radiazione è proprio quest'ultimo studio che gli valse in seguito il premio
Nobel per la Fisica nel 1921. Il terzo e più importante studio del 1905, che reca il titolo
"Elettrodinamica dei corpi in movimento": conteneva la prima esposizione completa della
teoria della relatività ristretta, frutto di un lungo e attento studio della meccanica classica
di Isaac Newton, delle modalità dell'interazione fra radiazione e materia, e delle
caratteristiche dei fenomeni fisici osservati in sistemi in moto relativo, l'uno rispetto
all'altro,
Nel 1916 pubblica la memoria: "I fondamenti della teoria della Relatività generale",
frutto di oltre dieci anni di studio. Questo lavoro è considerato dal fisico stesso il suo
maggior contributo scientifico e si inserisce nella sua ricerca rivolta alla
geometrizzazione della fisica.
Con l'avvento al potere di Hitler, Einstein fu costretto a emigrare negli Stati Uniti, dove
gli venne offerta una cattedra presso l'Institute for Advanced Study di Princeton, nel New
Jersey. Di fronte alla minaccia rappresentata dal regime nazista egli rinunciò alle
posizioni pacifiste e nel 1939 scrisse assieme a molti altri fisici una famosa lettera
indirizzata al presidente Roosevelt, nella quale veniva sottolineata la possibilità di
realizzare una bomba atomica. La lettera segnò l'inizio dei piani per la costruzione
dell'arma nucleare.
Einstein ovviamente disprezzava profondamente la violenza e, conclusi quei terribili
anni, s'impegnò attivamente contro la guerra e le persecuzioni razziste, compilando una
dichiarazione pacifista contro le armi nucleari.
Più volte poi, ribadì la necessità che gli intellettuali di ogni paese dovessero essere
disposti a tutti i sacrifici necessari per preservare la libertà politica e per impiegare le
conoscenze scientifiche a scopi pacifici.
Morì, a Princeton, il 18 aprile 1955, circondato dai più grandi onori.
9Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana
3. Introduzione alla relatività galileiana
3.1 Referenziali inerziali o di Galileo
Ipotizziamo che ci siano due scienziati che abbiano il compito di descrivere
matematicamente la caduta di una pallina, questa pallina però è lasciata cadere da una
persona che si trova su di un treno in moto uniforme rispetto alla banchina della stazione.
Il primo scienziato, che si trova sul treno in movimento, non ha problemi a descrivere il
moto della pallina con una semplice linea retta. Infatti considera la pallina in caduta
libera e come ogni corpo in caduta libera segue una linea retta diretta al centro della
Terra. Il secondo scienziato è posto sulla banchina della stazione e descrive il moto come
una semiparabola. Per lui la pallina è come se fosse lanciata in avanti e non
semplicemente lasciata cadere. Ma è possibile che uno dei due scienziati abbia sbagliato
l’interpretazione?
A questo problema diede una soluzione Galileo, che fu il primo ad osservare che non
esiste un unico sistema di riferimento1, bensì ce ne possono essere infiniti equivalenti.
Perciò tutti e due gli scienziati avevano ragione. Se si vuole descrivere un moto di una
particella si deve prima determinare un sistema di riferimento. Si accorse anche che se
venivano considerati due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme tra di loro
valevano comunque le stesse leggi fisiche.
Quindi formulò questo enunciato (per i fenomeni meccanici):
Il moto degli oggetti è regolato dalle stesse leggi sia in un riferimento fermo sia in uno
che si muova di moto rettilineo uniforme rispetto ad esso.
Una volta che si è stabilito che ci sono dei sistemi di riferimento equivalenti si possono
cercare delle formule che permettano il passaggio da un referenziale all’altro.
1
Nel testo utilizziamo i termini sistema di riferimento e referenziale come sinonimi.
10Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana
3.2 Assiomi non relativisti
Prima di trattare gli assiomi non relativisti è necessario dare una definizione di
simultaneità nella relatività galileiana.
Definizione
Due eventi A e B sono detti simultanei per l’osservatore O , che si trova nel referenziale
inerziale R , se t A = t B .
3.2.1 La simultaneità e l’intervallo di tempo
Due eventi simultanei rispetto a R sono simultanei rispetto ad ogni altro referenziale
inerziale R' .
Il concetto di simultaneità è un concetto assoluto.
Da questo assioma si può concludere che la simultaneità degli eventi non dipende dal
referenziale considerato. Inoltre implica che anche il concetto di intervallo di tempo è
assoluto e non dipende dal referenziale.
Un’altra conseguenza importante dell’assioma è l’esistenza di un tempo universale,
infatti è sempre possibile porre t = t ' .
3.2.2 L’intervallo di spazio
Gli intervalli di spazio, cioè la distanza, tra due eventi A e B simultanei misurati in R e
R' sono uguali, ossia
At Bt R = A't ' B't ' R ' dove t = t '
Da questo secondo assioma non relativista si può dedurre che l’intervallo di spazio è un
concetto assoluto.
Possiamo riassumere i due assiomi non relativisti qua sopra formulati dicendo che in
meccanica newtoniana ci sono due invarianti:
o L’intervallo di tempo
o L’intervallo di spazio
11Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana
3.3 Le trasformazioni di Galileo
Siano ( x, y, z , t ) le coordinate spazio-temporali di un evento E descritto dal referenziale
R , e ( x' , y ' , z ' , t ' ) quelle relative sempre ad E ma descritte da R' .
Allora dagli assiomi non relativisti si ha
⎛ vx ⎞
⎜1 0 0 − ⎟
⎛ ⎞ ⎜
x ' c ⎟⎛⎜ x ⎞⎟ ⎧ x' = x − v x t
⎜ ⎟ ⎪ y' = y − v t
⎜ y' ⎟ ⎜ 0 ⎟⎜ y ⎟
vy
1 0 − ⎪
⎜ z' ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ y
c ⎨
= −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ z ⎟ ⎪ z ' z v zt
vz
⎜ ct ' ⎟ ⎜ 0 0 1 − ⎟⎜ ct ⎟ ⎪⎩ ct ' = ct
⎝ ⎠ ⎜ c ⎟⎟⎝ ⎠
⎜0
⎝ 0 0 1 ⎠
Da questo enunciato segue direttamente che, prendendo in considerazione due
referenziali inerziali R e R ' , si ha a = a ' e F = F ' .
La seconda legge di Newton nella forma F = ma , è identica nei due referenziali inerziali
F = ma e F ' = ma ' .
Il moto è perciò descritto dalle stesse leggi in R come in R' .
3.4 Formulazione di Galileo del concetto di relatività
Nel seguente brano di Galileo si può notare il suo modo di formulare il concetto di
relatività. Con l’esempio della nave, che rappresenta un referenziale inerziale o di
Galileo, ha l’intenzione di far capire a tutti questo concetto basilare per l’oggettività della
fisica. Inoltre si mette in evidenza che la nave deve essere in moto costante per poter
osservare e verificare il concetto di relatività. Tutte le esperienze che elenca in questo
testo sono considerabili quotidiane per della gente che era abituata a solcare i mari, ma
nonostante ciò solo nel XVI secolo venne formulato questo importante principio.
“[…] Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun
gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un
gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che
a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia
posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti
volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar
notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso
sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete
gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando
voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che
avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello
sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità;
12Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana
ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete
una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete
comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i
medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete
maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il
tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa
al compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e
voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima
nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per
aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso
la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al
cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche
continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si
riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro
al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno
state separate […]”
Da [11], pagine 227-228
3.5 Concezione dello spazio e del tempo pre-relativistica
Prima di considerare lo spazio e il tempo nella visione relativistica è fondamentale
considerare la concezione pre-relativistica, cioè quella descritta da Newton. Egli studiò a
fondo la meccanica dei corpi e le sue leggi sono tutt’ora studiate. Secondo lo scienziato
inglese tutti i moti dei corpi avvengono nello spazio e nel tempo, ora bisogna però capire
cosa siano questi due concetti. Si dedicò con molta cura alla ricerca di una definizione di
spazio e di tempo. Arrivò a sostenere che lo spazio e il tempo esistono indipendentemente
l’uno dall’altro e dalla materia e inoltre fece una distinzione tra spazio e tempo assoluto e
relativo.
“Il vero tempo matematico assoluto scorre, grazie alla sua natura, uniformemente e senza
rapporto a un oggetto esterno. Esso viene designato anche col nome di periodo. Il tempo
consueto, apparente, relativo, è una misura, precisa o meno, tangibile ed esteriore del
periodo, come ora, giorno, mese, anno, della quale abitualmente ci si serve al posto del
tempo vero e proprio. Lo spazio assoluto, grazie alla sua natura, rimane costantemente
uguale e immobile, senza rapporto a un oggetto esterno. Lo spazio relativo è una misura o
una parte mobile del primo, il quale viene definito dai nostri sensi per mezzo della sua
condizione rispetto ad altri corpi, e abitualmente scambiato con lo spazio immutabile.”
Da [1], pagina 32
13Dalla relatività ai buchi neri 3. Introduzione alla relatività galileiana
È con queste parole che Isaac Newton espone la propria visione dello spazio e del tempo.
È interessante notare come divide nettamente tra relativo e assoluto. Prendiamo in
considerazione solamente lo spazio in quanto è qualcosa di più concreto e meno astratto
del tempo. Lo spazio relativo è quello che ci circonda, in cui ci muoviamo e con tre
dimensioni. Invece quello assoluto è lo scenario dove si svolge tutto, ma tutti i fenomeni
che avvengono non lo perturbano in quanto è immobile e costantemente uguale.
Ci sono però delle contraddizioni nel lavoro di Newton, infatti è lui stesso a formulare il
principio d’inerzia:
“Un corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme se la risultante
delle forze agenti su di esso è nullo”
Con la formulazione di questo principio lo stesso Newton si rese conto che non c’è
alcuna differenza tra un corpo in stato di quiete o in movimento. Questo concetto
inerziale si può estendere, come abbiamo appena visto con le trasformazioni di Galileo, ai
referenziali inerziali. Abbiamo anche detto che possono esserci infiniti referenziali
inerziali equivalenti e allora qui sorgono spontanee alcune domande: Quali di questi
referenziali rappresenta lo spazio assoluto e immobile?
Infatti se sono equivalenti non ha senso che uno sia più assoluto di un altro.
Inoltre ha senso parlare di spazio che esiste indipendentemente dalla materia? Avrebbe
senso parlare di spazio privo di materia?
Io non credo che sia possibile che uno scienziato del calibro di Newton non si sia accorto
di questa sua incoerenza, ma l’idea di uno spazio assoluto, eterno, infinito, immutabile,
indistruttibile si avvicinava di più all’idea di una creazione divina e perfetta. Alla fine ha
prevalso la sua fede sulla sua ragione.
14Dalla relatività ai buchi neri 4. Introduzione alla relatività ristretta
4. Introduzione alla relatività ristretta
4.1 Il campo elettromagnetico di Maxwell
James Clerk Maxwell unificò nel 1865 le leggi che in precedenza erano state elaborate
per descrivere l’elettricità e il magnetismo. Teorizzò l’esistenza dei campi che
trasmettono azioni da un luogo ad un altro e comprese che i campi che trasmettono
perturbazioni elettriche e magnetiche sono entità dinamiche: oscillano e si muovono nello
spazio.
Di Maxwell si ricordano le sue quattro famose equazioni
Q
Φ S (E) =
ε0
1 d
ΓC ( B ) − Φ S (E) = µ0 I
c 2 dt C
Φ S ( B) = 0
d
ΓC ( E ) + Φ S ( B) = 0
dt C
dove Φ S è il flusso attraverso una superficie chiusa, ΓC la circuitazione la curva chiusa
C e Φ SC il flusso attraverso la superficie che ha C come bordo.
da cui trasse anche questa importante conclusione:
le onde elettromagnetiche di tutte le frequenze viaggiano nello spazio alla stessa velocità
fissa, quella della luce, chiamata c .
4.2 L’etere
Come abbiamo appena visto la teoria di Maxwell prediceva che la luce come tutte le onde
elettromagnetiche si propaghino a un certa velocità fissa. Ma qui sorgeva un problema,
infatti si doveva dire rispetto a cosa si propagava la luce alla sua velocità fissa. Per
risolvere il problema i fisici ipotizzarono la presenza di una sostanza che fu chiamata
etere. Secondo questa ipotesi l’etere doveva essere presente ovunque, persino nel vuoto.
L’etere era il mezzo con il quale le onde luminose e più generalmente le onde
elettromagnetiche si propagavano, un po’ come l’aria per il suono. Quindi era una
conseguenza logica che se ci si muoveva nella direzione della luce questa doveva avere
una velocità minore di quella fissa, in quando questa ultima era relativa all’etere.
15Dalla relatività ai buchi neri 4. Introduzione alla relatività ristretta
4.3 L’esperimento di Michelson e Morley
Un caso particolare di questa ultima considerazione è il movimento di rotazione della
Terra. Infatti un raggio di luce sarebbe stato più veloce se fosse emesso nella direzione
ortogonale al moto e rispettivamente più lento se fosse emesso nella direzione del moto.
Nel 1887 Albert Michelson ed Edward Morley fecero questo esperimento.
Figura 4-1: L’immagine rappresenta i raggi luminosi emessi dalla Terra
parallelamente e ortogonalmente al moto di questa intorno al Sole.
Descriviamo la versione moderna di questo esperimento.
Un raggio laser colpisce uno specchio argentato semitrasparente che divide il fascio in
due parti. I due fasci che si formano sono tra di loro perpendicolari, in modo che uno sia
parallelo al moto terrestre e l’altro perpendicolare. I due raggi laser vengono riflessi da
altri due specchi che li rimandano sulla specchio semitrasparente centrale. Dallo specchio
vengono deviati verso un’unica direzione. Alla fine apparranno delle frange di
interferenza, che saranno fondamentali per trarre le conclusioni dell’esperienza.
16Dalla relatività ai buchi neri 4. Introduzione alla relatività ristretta
u
Figura 4-2: Schema dell’esperimento di Michelson e Morley.
Sia u la velocità con cui l’intero oggetto si muove rispetto all’etere e l la distanza tra gli
specchi e lo specchio semitrasparente posto al centro.
Tempo che impiega il raggio di luce a fare il percorso di andata e ritorno fra i due
specchi:
l l 2l
t1 = + = (direzione parallela al moto)
c−u c+u u2
c(1 − 2 )
c
2l
t2 = (direzione ortogonale al moto)
u2
c 1− 2
c
u2
dove c 1 − 2 è la velocità della luce nella direzione del moto
c
Se un raggio di luce arriva prima dell’altro all’osservatore significa che deve esserci uno
sfasamento nelle onde luminose. Chiameremo questo sfasamento φ .
17Dalla relatività ai buchi neri 4. Introduzione alla relatività ristretta
u
ConsideriamoDalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
5. La relatività ristretta
5.1 Le considerazioni di Einstein
La concezione della relatività di Galileo fu messa in crisi con la teoria di Maxwell sui
campi elettrici e magnetici, infatti quest’ultima non è invariante rispetto alle
trasformazioni di Galileo, perché compare nelle sue equazioni la velocità della luce.
Ora ci sono due possibilità:
1. Si deve rinunciare al principio di relatività formulato da Galileo
2. Si deve abbandonare le legge della propagazione della luce.
Einstein credeva fermamente al concetto di relatività espresso da Galileo, infatti senza di
questo la fisica perderebbe il suo valore oggettivo e sarebbe sottoposta a cambiamenti di
leggi a dipendenza del referenziale considerato. Nonostante ciò era anche convinto della
validità delle equazioni di Maxwell.
Questo lo portò a formulare una nuova teoria in cui non vi era incompatibilità tra il
principio di relatività e la legge della propagazione della luce.
5.2 Postulati di Einstein sulla luce
1. In tutti i referenziali inerziali la velocità della luce è indipendente dalla direzione
(isotropia).
2. La velocità della luce ha lo stesso valore in tutti i referenziali inerziali
(invarianza).
Una volta che si hanno i nuovi postulati bisogna trovare dei nuovi invarianti che
permettano di determinare nuove formule di trasformazione. Forse però prima è
interessante vedere le conseguenze dei postulati di Einstein sulla luce.
19Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
5.3 Concetto di simultaneità
Definizione
Due eventi sono simultanei per un osservatore, posto alla stessa distanza dai due eventi,
se sono visti simultaneamente.
M
A B
Ora pensiamo a questa semplice situazione
M'
A M B
Il disegno sopra raffigura un ipotetico vagone di un treno. Gli eventi A e B sono
l’accensione di una luce. Quando questo è fermo i due avvenimenti simultanei per M a
terra lo sono anche per M ' , dove M è il punto medio tra A e B . Invece quando il treno
è in movimento rettilineo uniforme i due eventi per un osservatore posto su M ' non sono
più simultanei ma questi vedrà prima l’evento B rispetto a quello A .
Questo è facilmente spiegabile e comprensibile considerando il fatto che la luce
proveniente dall’evento A deve compiere lo spazio tra A e M più quello percorso dal
treno nel lasso di tempo che trascorre da quando l’evento accade a quando viene recepito.
Rispettivamente il raggio di luce emesso da B deve compiere la distanza tra B e M da
cui si deve sottrarre lo spazio percorso dal treno in quel periodo.
Da questo piccolo esperimento si conclude che il concetto di simultaneità non è più
assoluto, bensì relativo al referenziale scelto.
Il postulato sulla velocità della luce fa crollare la pietra miliare della concezione
newtoniana di spazio e di tempo.
20Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
5.4 Principio di relatività
Einstein come è stato detto prima credeva al concetto di relatività e quindi non può che
metterlo come principio, assieme ai postulati sulla luce, su cui si dovrà basare la sua
nuova teoria. Il principio di relatività è lo stesso di quello che qualche secolo prima aveva
già formulato, anche se con termini diversi, lo scienziato italiano Galileo Galilei.
Le leggi della fisica sono le stesse relativamente ad ogni referenziale inerziale, esse sono
invarianti rispetto ai cambiamenti di referenziale, referenziali in traslazione uniforme
l’uno rispetto all’altro.
5.5 Intervallo
Nella relatività ristretta ci sono due invarianti:
1. la velocità della luce c
3
2. l’intervallo definito da ∆s 2 = c 2 ∆t 2 − ∆x , dove ∆x = ∑ (∆x )
2 2
i
i =0
∆x
2
Osserviamo subito che se v = c allora = c 2 da cui segue ∆s 2 = 0
∆t 2
di conseguenza abbiamo anche (∆s ' ) = 0 che implica v ' = c
2
Dimostriamo che ∆s è un invariante. Si cerca una relazione tra ∆s e ∆s' sapendo che
questa dipende dalla velocità u di R' rispetto a R e sappiamo inoltre che ∆s e ∆s'
devono essere nulli simultaneamente poiché c è un invariante.
Poniamo quindi
∆s ' = k (u )∆s
La relazione vale dalle due parti:
⎧ ∆s' = k (u )∆s ⎫
⎨ ⎬ ⇒ ∆s' = k (−u )k (u )∆s' ⇒ k (−u )k (u ) = 1
⎩∆s = k (−u )∆s'⎭
Arrivati a questo punto è fondamentale una trasformazione di coordinate:
∆x ∆x
(x → − x) ⇔ ( → − ) ⇔ u → −u
∆t ∆t
da ciò si deduce che k (u ) = k ( −u ) e quindi k (u ) = 1 ⇔ k (u ) = ±1
2
però − 1 è escluso poiché u = 0 ⇒ ∆s = ∆s'
In conclusione k (u ) = 1 e quindi ∆s = ∆s' .
Abbiamo perciò dimostrato che l’intervallo ∆s è invariante.
21Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
5.6 Diagrammi di Brehme
I diagrammi di Brehme sono dei diagrammi che servono per rappresentare gli eventi
relativamente a due referenziali inerziali R e R' .
Nei diagrammi di Brehme si proietta perpendicolarmente all’asse scelto.
Condizioni iniziali:
⎧ x ' = x1
• ⎨ 1
⎩t ' = t (= 0)
• Sia l’evento E 0 all’origine dei due referenziali e sia l’evento E1 la posizione
dell’osservatore O ' dopo un tempo t (visto da R )
Abbiamo perciò
x1(O ') (t ) = ut ⇔ ∆x1 = ut
La retta ct è la linea di universo di O ' e viene imposto come il secondo asse del
referenziale inerziale R .
ct ' ct
ut
E1
∆ct
∆ct '
α
∆x1 (O ') (t ) = ut
E0 α
x1
x1 '
22Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
Sapendo che x'1( O ') (t ) = 0 si possono costruire gli assi del referenziale R ' .
Dato che l’osservatore O' è fermo nel referenziale R ' possiamo trovare l’asse x'1 , infatti
è perpendicolare a ct e passante per l’origine (per le condizioni iniziali poste).
Abbiamo già dimostrato che ∆s è invariante in ogni referenziale inerziale e qui lo
possiamo utilizzare per trovare l’asse ct ' del referenziale R ' .
∆s 2 = ∆s ' 2 ⇔ (ct ' ) 2 − 0 2 = (ct ) 2 − (ut ) 2 ⇔ (ct ' ) 2 + (ut ) 2 = (ct ) 2
Conoscendo ut e ct troviamo facilmente l’asse ct ' , il quale risulta perpendicolare
all’asse x1 .
ut u
Si deduce direttamente dal grafico che sin α = = .
ct c
Per dimostrare la correttezza di questi diagrammi non ci possiamo fermare qui ma
dobbiamo considerare il caso in cui E1 non sia posto sull’asse ct .
ct ' ct
∆ x1 '
E1
∆ ct
∆ ct ' l
α
E0
α ∆ x1
x1
∆ x1 '
x1 '
Dobbiamo dimostrare che la lunghezza di l sia uguale nei due referenziali inerziali presi
in considerazione.
Si frutta sempre il fatto che ∆s è invariante in ogni referenziale inerziale, abbiamo
∆ s 2 = ∆ s ' 2 ⇔ c ∆ t 2 − ∆ x 2 = c∆ t ' 2 − ∆ x ' 2 ⇔ c∆ t 2 + ∆ x ' 2 = c∆ t ' 2 + ∆ x 2 ⇔ l = l
23Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
5.7 Le trasformazioni di Lorentz
Le trasformazioni di Lorentz sono l’equivalente relativistico delle trasformazioni di
Galileo. Permettono di passare dalla descrizione di un evento E rispetto ad un
referenziale inerziale R (coordinate ( x, y, z , t ) ) a un altro referenziale inerziale R'
(coordinate ( x' , y ' , z ' , t ' ) ).
ct ' ct
ct − b
α
ct ct '
x1 − a a
α x1
b x1
x1 '
x1 '
Dal diagramma di Brehme si deduce che:
a b x' ct '
tan α = ; tan α = ; cos α = 1 ; cos α =
ct ' x1 ' x1 − a ct − b
Da queste relazioni si trovano le formule di passaggio da un referenziale inerziale a un
altro (trasformazioni di Lorentz).
24Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta
u
Poniamo γ = = sin α
c
Allora
⎧ a ⎫
⎪ tan α = ⇔ a = ct ' tan α ⎪
ct ' ⎪
⎪ x'
⎪cos α = 1 ⇔ x1 ' = cos α ( x1 − a)⎪
⎪ x1 − a ⎪
⎨ b ⎬
⎪ tan α = ⇔ b = x1 ' tan α ⎪
⎪ x1 ' ⎪
⎪ ct ' ⎪
⎪ cos α = ⇔ ct ' = cos α (ct − b) ⎪
⎩ ct − b ⎭
⎧ sin α ⎫
⎪⎪ x1 ' = cos α ( x1 − ct ' tan α ) = cos α ( x1 − ct ' cos α ) = x1 cos α − ct ' γ ⎪
⇒⎨ ⎬
sin α
⎪ ct ' = cos α (ct − x1 ' tan α ) = cos α (ct − x1 ' ) = ct cos α − x1 ' γ ⎪
⎩⎪ cos α ⎭
⇒ x1 ' = x1 cos α − γ (ct cos α − x1 ' γ ) = x1 cosα − γct cos α + x1 ' γ 2 ⇔ x1 ' (1 − γ 2 ) = cosα ( x1 − γct )
1 − γ 2 ( x1 − γct ) x1 − γct
⇔ x1 ' = =
1− γ 2 1− γ 2
Inoltre abbiamo anche
⎧ sin α ⎫
x ' = cos α ( x1 − ct ' tan α ) = cos α ( x1 − ct ' ) = x1 cos α − ct ' γ ⎪
⎪⎪ 1 cos α
⎨ sin α ⎬
⎪ ct ' = cos α (ct − x1 ' tan α ) = cos α (ct − x1 ' ) = ct cos α − x1 ' γ ⎪
⎪⎩ cos α ⎭
⇒ ct ' = ct cos α − γ ( x1 cos α − ct ' γ ) = ct cos α − γx1 cos α + ct ' γ ⇔ ct ' (1 − γ ) = cos α (ct − γx1 )
2 2
1 − γ 2 (ct − γx1 ) ct − γx1
⇔ ct ' = =
1− γ 2 1− γ 2
Dato che la traslazione è parallela all’asse Ox si ha x2 = x2 ' e x3 = x3 ' le trasformazioni
di Lorentz sono date da
⎛ ct − γx1 ⎞
⎜ ct ' = ⎟
⎛ ct ⎞ ⎜ 1− γ 2 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ x1 ⎟ ⎜ x ' = x1 − γct ⎟
⎜x ⎟ ⎜ 1
⎜ 2⎟ 1− γ 2 ⎟
⎜x ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 3⎠ ⎜ x2 = x2 ' ⎟
⎜ ⎟
⎝ x3 = x3 ' ⎠
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