Aritmetica booleana e circuiti logici - Informatica - Prof. Pantaleo Germinario
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Aritmetica booleana e
circuiti logici
Informatica – Prof. Pantaleo Germinario
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo Germinario
L’algebra dei calcolatori
Nel 1854, il prof. George Boole pubblica
un trattato ormai famosissimo:
“Le leggi del pensiero”.
Obiettivo finale del trattato è di far
nascere la matematica dell’intelletto
umano, un’algebra in grado di interpretare
le proposizioni logiche fondamentali in cui
le variabili e le funzioni possono sollo avere valori 0 e 1.
Il lavoro di Boole fu dimenticato per quasi 100 anni. Solo
nel 1950, quando nasce il calcolatore elettronico,
l’algebra di Boole diventa lo strumento principale per la
progettazione dei suoi circuiti, i cosiddetti circuiti logici.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo Germinario
L’algebra di Boole
Le componenti elettroniche dei computer sono
costituite da circuiti digitali che elaborano segnali
elettrici basati su due valori 1 e 0, che indicheremo,
rispettivamente, con i valori VERO (True) e FALSO (False).
Si studia l’algebra booleana poiché le funzioni
dell’algebra booleana sono isomorfe ai circuiti digitali. In
altre parole, un circuito digitale può essere espresso
tramite un’espressione booleana e viceversa.
Una funzione booleana ha una o più variabili in input e
fornisce risultati che dipendono solo da queste variabili.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioLe tabelle di verità
Poiché le variabili possono assumere solo i valori 0 o 1
una funzione booleana con n variabili di input ha solo 2n
combinazioni possibili e può essere descritta usando una
tabella, detta tabella di verità, con 2n righe.
Le tabella di verità rappresentano le
funzioni di trasformazione delle variabili
in input e fornisce i risultati che dipendono
da queste variabili. Tali funzioni sono dette
Funzioni Logiche.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioLe porte logiche
Gli elementi fondamentali dei circuiti logici sono le porte
logiche che sono in grado di soddisfare l’algebra di
Boole.
Le porte logiche le definiremo come porte logiche
fondamentali e porte logiche derivate.
Le porte logiche fondamentali, o elementari, sono le
porte AND, OR e NOT
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioIl prodotto logico AND
Si effettua su due o più variabili, l’uscita assume lo stato
logico 1 solo se tutte variabile di ingresso sono allo stato
logico 1. Nel caso di due variabili di ingresso A e B, detta
X la variabile di uscita, si scrive la funzione logica:
X=AB
Si legge A and B (Si può anche indicare con X=A · B), il
suo simbolo e la tabella di verità sono:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioLa somma logica OR
Si effettua su due o più variabili, l’uscita assume lo stato
logico 1 se almeno una variabile di ingresso è allo stato
logico 1. Nel caso di due variabili di ingresso A e B, detta
X la variabile di uscita, si scrive:
X=AB
Si legge A or B (Si può anche indicare con X = A + B), il
suo simbolo e la tabella di verità sono:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioNegazione NOT
Si effettua su una sola variabile. L’uscita assume il valore
logico opposto a quello applicato in ingresso.
Detta A la variabile di ingresso la negazione si scrive:
X=Ᾱ
e si legge A negato oppure A complementato (Si può
scrivere anche X = !A), il suo simbolo e la tabella di verità
sono:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioIl prodotto logico AND
Esempio di prodotto logico con il circuito elettrico:
Indichiamo con L la lampada, con X e Y gli interruttori.
Quando l’interruttore è aperto diciamo che in suo valore
è 0(FALSE), mentre vale 1 (TRUE) se è chiuso.
Che condizione si deve verificare affinché si accenda la
lampada?
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioIl prodotto logico AND
Esempio di prodotto logico con il circuito elettrico:
Indichiamo con L la lampada, con X e Y gli interruttori.
Quando l’interruttore è aperto diciamo che in suo valore
è 0(FALSE), mentre vale 1 (TRUE) se è chiuso.
Abbiamo quindi che, considerato L = X Y, la lampada si
accende solo se entrambe gli interruttori sono chiusi:
X Y L
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioIl somma logica OR
Esempio di somma logica con il circuito elettrico:
In questo circuito quando si accende la lampada?
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioIl somma logica OR
Esempio di somma logica con il circuito elettrico:
In questo circuito la lampada si accende quando almeno
un interruttore è chiuso.
X Y L
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioPorte logiche derivate
Le porte logiche derivate sono ottenute dalla
combinazione di due o più porte logiche elementari. Tra
esse ci sono alcune che assumono particolare
importanza e quindi vengono rappresentate con un
simbolo proprio.
Le porte logiche derivate più importanti sono gli
operatori NOR, NAND, XOR e XNOR
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioSomma logica negata NOR
Si effettua su due o più variabili, l’uscita assume lo stato
logico 0 se almeno una variabile di ingresso è allo stato
logico 1. In tutti gli altri casi Y=1. Corrisponde ad una OR
con in cascata una NOT. Per due variabili di ingresso A e
B la funzione logica è:
Y= A B
e si legge A NOR B (Si può anche scrivere !(A+B)).
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioSomma logica negata NOR
L’operatore NOR è la combinazione dell’operatore OR a
cui si applica l’operatore NOT.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioSomma logica negata NOR
Attenzione: la somma logica negata di due, o più
variabili, non è uguale alla somma logica delle variabili
negate. Esempio
!(A+B) ≠ !A + !B
A B A+B !(A+B) !A !B !A+!B
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioProdotto logico negato NAND
Si effettua su due o più variabili, l’uscita assume lo stato
logico 0 se tutte le variabili di ingresso sono allo stato
logico 1. In tutti gli altri casi Y=1. Corrisponde ad una AND
con in cascata una NOT. La funzione logica si scrive:
Y=AB
e si legge A NAND B. (Si può anche scrivere !(A · B)).
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioSomma logica negata NOR
L’operatore NAND è la combinazione dell’operatore AND
a cui si applica l’operatore NOT.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioProdotto logico negato NAND
Attenzione: il prodotto logico negato di due, o più
variabili, non è uguale al prodotto logico delle variabili
negate. Esempio
!(A · B) ≠ !A · !B
A B A· B !(A· B) !A !B !A· !B
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioOperatore OR esclusivo XOR
A differenza delle precedenti porte logiche, l’XOR (si può
anche indicare con EXOR) opera solo su due ingressi.
L’uscita vale 1 solo se gli ingressi assumono valore
diverso tra loro, per cui prende anche il nome di
anticoincidenza. La funzione logica si scrive:
Y =A ⊕ B
e si legge A or esclusivo B oppure A diverso da B.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioOperatore NOR esclusivo XNOR
L’operatore XNOR (si può anche indicare con EXNOR)
come per XOR opera solo su due ingressi. L’uscita vale 1
solo se gli ingressi assumono lo stesso valore, per cui
prende anche il nome di coincidenza. La funzione logica
si scrive:
Y=A⊕B=A⊙B
e si legge A nor esclusivo B oppure A è uguale a B.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioCircuiti combinatori e sequenziali
Tutti i circuiti digitali studiati finora (porte logiche)
appartengono alla categoria dei circuiti logici
combinatori.
Il nome deriva dal fatto che i valori presenti in uscita in
tali circuiti dipendono esclusivamente dalle combinazioni
binarie in ingresso e non dalla sequenza temporale con
cui tali combinazioni vengono fornite al circuito.
In parole più semplici: il valore delle uscite (0 oppure 1)
dipende solo dal valore presente (0 o 1) negli ingressi in
quello stesso istante. Cambiando gli ingressi, cambiano
anche i valori in uscita.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioCircuiti combinatori e sequenziali
I circuiti sequenziali sono caratterizzati dal fatto che le
uscite dipendono anche dalla sequenza (cioè dall'ordine
con cui vengono forniti gli ingressi).
Per fare un esempio, una porta AND è un circuito
combinatorio, in quanto non ha nessuna importanza
l'ordine con cui vengono forniti i due valori di ingresso:
l'uscita dipende semplicemente dalla combinazione (00,
01, 10 o 11) presente in ingresso. Invece in un circuito
sequenziale le uscite dipendono anche dall'ordine con
cui vengono dati i due ingressi.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioCircuiti combinatori e sequenziali
Esempio di circuito sequenziale
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioCircuiti combinatori e sequenziali
In questo esempio di circuito sequenziale il valore di Y è:
Y = ((A OR B) AND (NOT C)) OR (C AND D)
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioCircuiti combinatori e sequenziali
Quanto vale Y se:
A=1 B=0
C=0 D=0
Y = ((A OR B) AND (NOT C)) OR (C AND D)
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioEsempi di circuiti logici
Dati i seguenti circuiti logici, trovare le espressioni
algebriche booleane che le risolvono.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioEsempi di circuiti logici
Soluzione:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioEsempi di circuiti logici
Soluzione:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioEsempi di circuiti logici
Soluzione:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioEsempi di circuiti logici
Soluzione:
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
La funzione logica di un circuito, come abbiamo visto, è
espressa utilizzando i vari gli operatori logici
fondamentali (somma, differenza, negazione) ed è
sottoposta alle regole di un algebra, diversa da quella
che conosciamo, detta algebra di Boole.
Vi sono diverse proprietà dell'algebra Booleana che
risultano utili nel manipolare le equazioni logiche al fine
di semplificarla e quindi al fine di semplificare il circuito
corrispondente.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Proprietà di identità:
A 0 = A+0 = A
A 1 = A·1 = A
Proprietà di assorbimento
(o dell’annullamento):
A 1 = A+1 = 1
A 0 = A·0 = 0
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Proprietà dell’Inverso
( o del Complemento):
A Ᾱ = A+Ᾱ = 1
A Ᾱ = A·Ᾱ = 0
Proprietà della doppia negazione:
A = A
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Proprietà della idempotenza:
A A = A+A = A A A = A·A = A
Proprietà commutativa:
A B = B A A B = B A
A+B = B+A A·B = B·A
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Proprietà associativa:
Questa proprietà consente di rimuovere le parentesi da
una espressione e raggruppare le variabili.
A(BC)=(AB)C = ABC
A ·(B · C)=(A · B) · C = A · B · C
A(BC)=(AB)C = ABC
A+(B+C)=(A+B)+C = A+B+C
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Proprietà distributiva:
A (BC)=(A B) (A C)
A ·(B+C)=(A · B)+(A · C)
A (BC)=(A B)(A C)
A+(B · C)=(A+B) ·(A+C)
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Esempio di applicazione delle regole
Q =(A+B)·(A+C) (distrib.)
= A·A + A·C + B·A + B·C (idempot.)
= A·(1+C) + B·A + B·C (identità)
= A·1 + B·A + B·C (distrib.)
= A·(1+B) + B·C (identità)
= A·1 + B·C (identità)
= A + B·C (identità)
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Teoremi dell’Assorbimento
Questo teorema consente la riduzione di una
espressione complessa in una più semplice attraverso
l'assorbimento di termini uguali.
Primo teorema dell’assorbimento:
A · (A + B) = A
A (A B)= A
Secondo teorema dell’assorbimento:
A ᾹB = A B A (Ᾱ B) = A B
A + Ᾱ·B = A + B A · (Ᾱ + B) = A · B
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Teoremi di De Morgan:
Il primo teorema di De Morgan dimostra che quando due
(o più) variabili in input sono in AND e negate, esse sono
equivalenti alla somma logica (OR) dei complementi di
ciascuna variabile.
A B = A B
A · B = A + B
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Teoremi di De Morgan:
Il secondo teorema di De Morgan dimostra che quando
due (o più) variabili in input sono sommate (OR LOGICO)
e negate, esse sono equivalenti al prodotto (AND) dei
complementi di ciascuna variabile.
A B = A B
A + B = A · B
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioAlgebra di Boole
Una proprietà fondamentale dell’algebra booleana è
espressa dal seguente principio di dualità:
Data una funzione Y si chiama espressione duale !Y quella
che si ottiene scambiando
1. operatore AND con OR
2. 0 con 1
3. sostituendo alle variabili i loro complementi e
viceversa.
Ad esempio se: Y = A + ( !B · C )
l’espressione duale vale:
!Y = !A · (B + !C)
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioMappe di Karnaugh
Oltre all’utilizzo delle proprietà e dei teoremi visti, si può
ricorrere alle mappe di Karnaugh per semplificare una
espressione logica booleana.
Si costruisce una tabella (in seguito detta mappa)
contenente un numero di righe e di colonne tale da
identificare un numero di celle pari a 2n dove n è il numero
di variabili.
Questo metodo, tuttavia si può utilizzare fino a 5 variabili,
altrimenti la mappa si complica e diventa più complessa da
gestire.
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioMappe di Karnaugh
Per costruire le mappe di Karnaugh si posizionano sulle
colonne il prodotto di due variabili e sulle righe il prodotto
delle altre tenendo conto che, per due colonne adiacenti, il
valore delle variabili deve cambiare solo per una variabile:
Esempio
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioMappe di Karnaugh
Nelle celle di incrocio si riportano i valori della funzione,
ossia Y.
Esempio
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioMappe di Karnaugh
Si raggruppano, quindi, le caselle adiacenti contenenti un
valore 1. I raggruppamenti devono essere costituiti da un
numero di celle pari alle potenze di due. Per raggruppare le
celle si utilizzano le seguenti regole:
1. Si raggruppano le celle adiacenti includendo un numero di celle
relativo alla potenza di 2 più alta.
2. Le colonne opposte sono da considerare adiacenti.
3. I raggruppamenti possono
sovrapporsi.
4. Una casella già inclusa in un
raggruppamento, può essere
associata ad altre solo se
contribuisce a creare un nuovo
raggruppamento
Aritmetica booleana e circuiti logici Prof. Pantaleo GerminarioMappe di Karnaugh
Dopo aver disegnato i raggruppamenti si può scrivere la
funzione in forma semplificata:
- Si identificano le variabili che non cambiano valore nel
raggruppamento e si scrive il prodotto di esse.
- La funzione si otterrà in forma semplificata come
somma dei prodotti individuati nel passo precedente:
Y = BD + BCD+ CD
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