Modelli matematici per lo studio del Covid-19 - Liceo scientifico "Galileo Galilei" - Tecnica della ...

Liceo scientifico “Galileo Galilei”

Modelli matematici per lo studio del
 Covid-19

 Alunno: Giuseppe Dattilo
 Docente: Prof.ssa Antonella Mongiardo
 Classe VD

Evoluzione epidemiologica coronavirus

Tre fisici, Alessio Traficante, Daniele Teresi e Dario Buttazzo, hanno studiato, dal
punto di vista matematico, l’evoluzione epidemiologica del Coronavirus utilizzando
due modelli di funzioni: l’esponenziale e la logistica. Questo studio è partito da alcune
evidenze sperimentali e dai dati diffusi dai bollettini quotidiani della protezione civile.
Questi numeri prendono in considerazione tutti i contagiati (con e senza sintomi) a
partire dal 19 febbraio, che si considera come giorno “zero” (giorno in cui si conosceva
un solo contagiato, il cosiddetto paziente “uno”), e solo i contagiati con sintomi a
partire dal 27 febbraio. Tuttavia, questi dati si possono ritenere omogenei, perché
anche il numero totale dei contagiati considerato tra il 19 e il 27 febbraio si può
pensare coincidente con quello dei sintomatici; infatti, si è visto che fino al 27 febbraio
il numero dei contagiati asintomatici era inferiore al 5%, quindi trascurabile. Per
modellizzare matematicamente il fenomeno dei contagi, si parte dall’evidenza che ogni
giorno il numero di contagiati da Coronavirus aumenta. Il 19 febbraio si aveva notizia
di un solo contagiato; il 27 febbraio il numero dei contagiati era circa 650; il 5 marzo il
numero era circa 4000. Gli studiosi hanno preso in considerazione due funzioni che
possono rappresentare questa evoluzione: la funzione esponenziale e la funzione
logistica.

Funzione esponenziale
La funzione esponenziale presenta un “andamento a J”, all’inizio cresce lentamente per
poi accelerare in maniera impressionante. La funzione esponenziale ha un equazione
del tipo:

 = 
A rappresenta il numero di persone infette il giorno 0, mentre K esprime la velocità
dell’infezione.

Funzione logistica
L’equazione logistica presenta un “andamento ad S”: una lenta crescita iniziale, seguita
da un’accelerazione e poi da un successivo rallentamento in prossimità del valore
massimo permesso, che costituisce un limite asintotico della funzione. La funzione
logistica ha un equazione del tipo:
 
 = − 
 1+ 

A rappresenta la velocità dell’infezione, B è il giorno in cui si sono verificate le infezioni
massime mentre C è il numero totale di persone infette registrate alla fine dell’infezione.
Gli studiosi hanno fatto un confronto tra queste due curve, che in questa prima fase
possono entrambe rappresentare il fenomeno. Dal confronto, emerge che mentre fino
al 5 marzo, le due curve si somigliano e quasi si confondono, dunque entrambe
possono modellizzare bene la situazione, dal 5 marzo in poi, invece, l’evoluzione reale
dei contagi si discosta nettamente dalla esponenziale e segue l’andamento logistico.
Questo studio è, dunque, confortante, perché se l’evoluzione seguisse sempre un
andamento esponenziale, il numero di contagiati potrebbe raggiungere presto un
numero ingestibile per il nostro sistema sanitario. Invece, fortunatamente, osservando i
dati ufficiali, si vede che l’andamento reale dei contagi si discosta dall’evoluzione
esponenziale e, sotto misure di contenimento valide ed efficaci, segue un andamento
logistico, ovvero arriverà un momento in cui il numero di contagiati raggiungerà un
limite massimo, oltre il quale non salirà più.

E’ necessario sottolineare che si tratta di una simulazione dell’evoluzione dell’epidemia
di coronavirus tramite un classico modello matematico epidemiologico, tale
elaborazione NON può assolutamente sostituirsi ai dati ufficiali diffusi dal Ministero
della Salute e dalla Protezione Civile, ed ha un valore puramente teorico, suscettibile di
variazioni, ma molto utile per capire la possibile evoluzione dell’emergenza.

Passiamo ora allo studio di queste due funzioni:

Studio funzione logistica
Si consideri una generica funzione logistica:
 
 = − 
 1+ 
Per ricavare il valore dei 3 parametri A, B e C si impongono le seguenti condizioni:
 • Y(0)=1
 • Y(8)=650
 • Y(15)=4000
 
 =1 
 1+ = 1+ 
 
 −8 = 650 → { −8

 1+ = 650 + 650 
 −15
 
 −15 = 4000 = 4000 + 4000 
{1+ 

Sostituisco la prima equazione nella seconda e nella terza:
 
 = 1 + =1+ 
 −8 −8
 1 + = 650 + 650 
 → { 1 + = 650 + 650 
 
 −15
 −15
 1 + = 4000 + 4000 
 1 + = 4000 + 4000 
{ 
 
Ricavo : 

 = 1+ 
 =1+ 
 
 −8 649
 =
 −8
 (1 − 650 ) = 649 →
 
 1−650 
 −15 
 3999
{ (1 − 4000 
 ) = 3999 =
 
 −15
 { 1−4000 
Eguaglio la seconda e la terza equazione:

−15 −8
 649 3999
 −8 = −15 → 649 − 2596000 = 3999 − 2599350 
1−650 1−40000 
 −15 −8
2596000 − 2599350 + 3350 = 0
 −1
Pongo: = 

2596000 15 − 2599350 8 + 3350 = 0
Risolvo graficamente l’equazione:

 −1

 1 = −0.435123590904927 → Non accettabile, poichè non può essere
negativo

 2 = −0.4354455379949619 → Accettabile
 −1

 3 = 1 → Non accettabile, in quanto affinchè sia uguale a 1 è necessario che
l’esponente sia uguale a 0 e ciò è impossibile.
Quindi:
 −1
 −1 1
 = → = ln → = − = 1,202810859 ≅ 1,2
 ln 
Sostituisco A nella seconda equazione per trovare B:
 649 649
 = −8 → = ln −8 = 9,9944767 ≅ 10
 1− 650 1 − 650 
Sostituisco A e B nella prima equazione per trovare C:

 
 = 1 + = 4062,335347 ≅ 4062
 
 = 1,2 4062
{ = 10 → = 10− 
 = 4062 1+ 1,2
 4062
 = 10− 
 1+ 1,2

Dominio: ℝ
Parità e disparità:

F(-X): → Diverso da F(X), quindi la funzione non è pari.

 → Diverso da –F(X), quindi la funzione non è dispari.
Intersezioni con gli assi:
 =0 =0
{ = 4062 → { 4062 → { = 0
 10− = 10 =1
 1+ 1,2 1+ 1,2
 =0
{ = 4062 →Ø
 10− 
 1+ 1,2
Segno:
Sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, quindi anche la funzione è
sempre positiva.
Asintoti:
 • Asintoti verticali:
Sono assenti in quanto la funzione non presenta punti di discontinuità.
 • Asintoti orizzontali:
 4062 4062
lim 10− = = 4062 → y=4062 è a. orizzontale per → ∞
 →∞ 1+ 1,2 1+ −∞

4062 4062
lim 10− = =0 → y=0 è a. orizzontale per → −∞
 →−∞ 1+ 1,2 1+ +∞

 • Asintoti obliqui:
 Sono assenti in quanto la funzione presenta un asintoto orizzontale sia per → ∞
 che per → −∞.
 Derivata prima e relativo studio:
 10− 10− ′
 ′ 10− 10− 
 (4062) (1+ 1,2 )−(4062)(1+ 1,2 ) −1
 −4062( 1,2 )(1.2) 3385( 1,2 )
 ′ = 10− 2
 = 10− 2
 = 10− 2
 (1+ 1,2 ) (1+ 1,2 ) (1+ 1,2 )

 Dominio: ℝ
 Monotonia:
 Sia numeratore che denominatore sono sempre positivi, quindi anche la derivata
 prima è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente.
 Punti di non derivabilità:
 Sono assenti in quanto la derivata non presenta punti di discontinuità.
 Derivata seconda e relativo studio:
 10− ′ 10− 2 10− 10− 2
 (3385)( 1,2 ) (1+ 1,2 ) −3385( 1,2 )((1+ 1,2 ) )′
 ′′ = 10− 4
 (1+ 1,2 )

 10− 10− 2 10− 10− 10− 
 1,2 −1 1,2 1,2 1,2 −1
 3385( )(1.2)(1+ ) −3385( )(2(1+ )( 1,2 )(1.2)
= 10− 4
 (1+ 1,2 )

 10− 10− 10− 10− 10− 10− 
 1,2 −1 1,2 1,2
 (3385)( )( )(1+ )(1+ −2 1,2 ) 2821( 1,2 )( 1,2 −1)
 1.2
= 10− 4
 = 10− 3
 (1+ 1,2 ) (1+ 1,2 )

 Dominio: ℝ

Concavità e convessità:
 Il denominatore è sempre positivo, quindi è sufficiente studiare il segno del
 numeratore:
 10− 10− 
 2821( 1,2 )( 1,2 − 1) > 0
 10− 10− 
2821 ed ( 1,2 ) sono sempre positivi, quindi basta studiare il segno di ( 1,2 − 1):
 10− 
 10− 
 1,2 −1>0 → > 0 → 10 − > 0 → < 10
 1,2

 0
 10

 + -
 U ∩
X=10 è punto di flesso discendente.

F(10;f(10)) → F(10;2031)
Grafico:

In verde l’asintoto orizzontale: y = 4062
Il punto F rappresenta il punto di flesso, il decimo giorno il numero di infetti
giornalieri sarà massimo.

Studio funzione esponenziale
Si consideri la funzione esponenziale:

 = 
Per trovare i due parametri si impongono le seguenti condizioni:
 • y(8)=650
 • y(15)=4000
 650
 8 =
{ 15 = 650 → { 8 
 4000
 = 4000 =
 15 

Eguaglio le due equazioni:

650 4000 15 4000
 = → 650 15 = 4000 8 → =
 8 15 8 650
 80
 80 ln13
 7 = → = = 0.2595824682 ≅ 0.26
 13 7

Sostituisco k nella prima equazione per ricavare A:
 650
 = = 81.47633561 ≅ 81.5
 8 
 = 0.26
{ → = 81.5 0.26 
 = 81.5
 = 81.5 0.26 
Dominio: ℝ

Parità e disparità:
F(-X): → Diverso da F(X), quindi la funzione non è pari.
 → Diverso da –F(X), quindi la funzione non è dispari.
Intersezione con gli assi:
 =0 =0
{ → {
 = 81.5 0.26 = 81.5
 =0
{ →Ø
 = 81.5 0.26 

Segno:
La funzione è sempre positiva.
Asintoti:
 • Asintoti verticali:
Sono assenti in quanto la funzione non presenta punti di discontinuità.
 • Asintoti orizzontali:

lim 81.5 0.26 = ∞
 →∞

 lim 81.5 0.26 = 0 → y=0 è a. orizzontale per → −∞
 →−∞

 • Asintoti obliqui:

Per → ∞ potrebbe esserci un asintoto obliquo in quanto la funzione non presenta
quello orizzontale:
 ( ) 81.5 0.26 
 = lim = = ∞ → Non c’è l’asintoto obliquo
 →∞ →∞ 

Derivata prima e relativo studio:

 ′ = 81.5( 0.26 )′ = 81,5( 0.26 + 0.26)
Dominio: ℝ
Monotonia:
La derivata prima è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente.

Punti di non derivabilità:
Sono assenti in quanto la derivata non presenta punti di discontinuità
Derivata seconda e relativo studio:
 ′′ = 81,5( 0.26 + 0.26)′ = 81,5 0.26 

Dominio: ℝ
Concavità e convessità:
La derivata seconda è sempre positiva, quindi la funzione è sempre convessa.
Grafico:

Grafici a confronto:

In blu la funzione logistica.
In rosso la funzione esponenziale.

14/03/2020
Tuttavia queste due funzioni non rappresentano l’andamento reale dell’epidemia in
quanto le equazioni sono state ottenute attraverso un sistema, dunque sono frutto di
approssimazione. Per ottenere delle funzioni che siano più fedeli possibili alla realtà è
necessario ricorrere a strumenti matematici più complessi: la regressione statistica e
l’interpolazione curvilinea. Grazie all’utilizzo di un software online è possibile
individuare le due funzioni:
Funzione logistica:
 56908
 = 26.3− 
 1− 4.3
In questo caso il numero massimo delle persone infette è 56908, mentre il picco dei
contagi è previsto tra il ventiseiesimo e il ventisettesimo giorno.
Funzione esponenziale:

 = 233.5 0.19 

Analizziamo il grafico:

I punti evidenziati in verde rappresentano il numero totale dei contagiati dal 19
febbraio al 14 marzo.
Il punto F (in nero) rappresenta il punto di flesso, tra il ventiseiesimo e il ventisettesimo
giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.

24/03/2020
Inserendo i dati dei nuovi contagi, si ottengono delle funzioni più precise:
Funzione logistica:
 114903
 = 31.8− 
 1+ 5.1
In questo caso il numero massimo delle persone infette è 114903, mentre il picco dei
contagi è previsto tra il trentunesimo e il trentaduesimo giorno.
Funzione esponenziale:

 = 843 0.13 
Analizziamo il grafico

I punti evidenziati in verde rappresentano il numero totale dei contagiati dal 19
febbraio al 24 marzo.
Il punto F (in nero) rappresenta il punto di flesso, tra il trentunesimo e il trentaduesimo
giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.
Rispetto al grafico precedente è possibile notare che la funzione logistica è più fedele
all’andamento reale dei contagi, e che il picco dei contagi (F) è slittato in avanti di
cinque giorni, ciò significa che in un primo momento non sono state rispettate al
massimo le misure di sicurezza imposte dal governo, e di conseguenza si è verificato un
ritardo degli effetti positivi.

In biologia si usa anche un altro modello, la “campana” di Gauss. Si tratta di una curva
statistica che rappresenta molti fenomeni sperimentali ed è usata in presenza di un
numero elevato di osservazioni. Il suo nome deriva dal fatto che le frequenza tendono
a distribuirsi secondo un andamento a campana, cioè si concentrano intorno alla
media per diminuire verso gli estremi della variabile. Nel nostro caso, la campana di
Gauss è utile per rappresentare il numero dei contagi giornalieri.
Una generica curva di Gauss ha equazione:
 −( − )2
 = 2

a, b e c sono dei parametri: a rappresenta il numero massimo di contagi giornalieri, b
rappresenta il giorno in cui si verifica il picco dei contagi, c esprime la velocità
dell’infezione.

Nel nostro caso, approssimando il passaggio per tutti i punti, la curva diventa:
 −( −31.6)2
 = 5568 (10.6)2

In questo caso il numero massimo dei nuovi contagi è 5568, mentre il picco dei contagi
è previsto tra il trentunesimo e il trentaduesimo giorno.
Analizziamo il grafico:

I punti evidenziati in verde rappresentano i contagi giornalieri dal 19 febbraio al 24
marzo.
Il punto M (in rosso) rappresenta il punto di massimo assoluto, tra il trentunesimo e il
trentaduesimo giorno il numero di infetti giornalieri sarà massimo.

 Giuseppe Dattilo 5D