Matematica a distanza, andrà tutto bene ? - UniFI

Matematica a distanza, andrà tutto bene ?

   Giorgio Ottaviani – 13 Maggio 2020

   Sunto: L’insegnamento a distanza della matematica nei corsi universitari pone delle
problematiche nuove e inaspettate. Non è possibile riprodurre lo stesso schema di una lezione in
presenza. Occorre immaginazione per sperimentare nuove strategie che mantengano gli obiettivi
formativi e rispondano con efficacia al difficile periodo che ci aspetta.

   a Carlo Casolo, con affetto e gratitudine.

     Tino Faussone, l’indimenticabile protagonista de “La chiave a stella“ di Primo Levi, narra la
sua passione per un lavoro ben fatto come tecnico montatore, che spesso si distingue per i
particolari, tutti ben curati e preparati.
     Molti matematici condividono con Faussone l’amore per il proprio lavoro (“che purtroppo è
privilegio di pochi” ammonisce Levi) e si trovano a sperimentare l’impossibilità di continuare a
farlo come prima in questi giorni di emergenza per il corona virus. I matematici universitari
riescono a proseguire a distanza la maggior parte della ricerca. Per la didattica no, per la didattica è
cambiato tutto. E’ assai probabile che anche l’anno accademico 2020/21 andrà cominciato a
distanza, e dobbiamo essere pronti ad elaborare delle strategie adatte a questa nuova situazione. La
nostra didattica si deve evolvere, in senso darwiniano.
     Tutti rimpiangiamo l’aula piena di studenti, con le nostre amate lavagne, e il dialogo diretto e
formativo volto a “costruire” una dimostrazione. Che ha lo scopo di “convincere” chi ci ascolta
della verità di una affermazione. E quando non vediamo chi ci ascolta, tutto diventa molto più
difficile. Qualcuno ha sperimentato l’effetto di tornare nella classe vuota. E di registrare una lezione
alla lavagna. C’è un effetto di tristezza, e un docente triste non fa una bella lezione. Ma c’è di più, e
questa è la prima tesi che vorrei sostenere. La didattica a distanza non va pensata come un
surrogato di quello che si faceva in presenza. Non possiamo ripetere le stesse cose che facevamo,
o tendere ad una approssimazione il più fedele possibile. Dobbiamo e possiamo pensare a strategie
diverse. Dobbiamo cercare il meglio, e non conservare l’esistente. Chi troverà le strategie migliori
avrà maggiori possibilità di sopravvivere. C’è il pericolo, dietro l’angolo, che i docenti universitari
vengano sostituiti da filmini precotti. Due, tre corsi di Calculus, che si ripetono in tutte le università
italiane. O magari del mondo, in lingua originale e con i sottotitoli. Questa sarebbe una sconfitta per
i docenti, ma soprattutto per gli studenti. Come Faussone dobbiamo prestare particolare attenzione
alla didattica dei prossimi anni. Dobbiamo impegnarci a trovare qualcosa di più, a curare con
attenzione tutti i particolari. Non vorrei essere frainteso. Condivido l'ansia e l'insicurezza di questi
giorni e vorrei tanto tornare indietro alle classi in presenza. Cerco solo di adattarmi alla situazione, e
dobbiamo adattarci nel migliore modo possibile. Molti di noi verranno invitati a fare lezione in aule
attrezzate per la registrazione e dovremo cercare il meglio da queste situazioni. Che hanno il
vantaggio di preparare una fase di transizione “mista”, che non sappiamo quanto potrà durare. Ma ci
possono essere altre modalità altrettanto efficaci e più economiche, anche dal proprio domicilio.
Che potrebbero convivere, con il metodo comune di avere una interazione diretta con gli
studenti, che è a mio avviso il punto irrinunciabile. Questa è l’occasione per sperimentare
davvero una didattica innovativa. Non ho ricette pronte e mi auguro che ai pochi suggerimenti
che cerco di dare se ne aggiungano altri. L’esperienza, che dobbiamo ancora farci, ci dirà quale
strada perseguire. Ma se non sperimentiamo nuove possibilità non avremo esperienza su cui basarci.
Dobbiamo avere la consapevolezza che siamo in un punto di svolta, per tutta la società, che avrà
delle ricadute profonde anche sulla professione del matematico e del docente.

La tavoletta grafica
    La prima volta che ho provato la tavoletta grafica ho avuto un senso di delusione, dovuto
probabilmente alla mia cattiva calligrafia. Ho provato ad insistere, su consiglio di colleghi, e con
l'uso sono un poco migliorato, tanto che mi permetto di raccomandare la diffusione delle tavolette
grafiche. Al prezzo di circa 60 euro permettono di trasformare la maggior parte dei computer,
munendoli di uno schermo grafico. L’esperienza di condividere lo schermo con un gruppo di
persone permette di discutere di Matematica con qualche formula davanti, in modo molto efficace.
E’ uno dei modi in cui si possono seguire a distanza laureandi e dottorandi. Ogni Dipartimento
potrebbe custodire un certo numero di tavolette grafiche di scorta, in caso di guasti. Durante una
lezione, la tavoletta permette di passare velocemente da una formula scritta a mano, a una
animazione, a un software. Permette insomma la convivenza tra schermo e lavagna che è difficile da
attuare nelle aule in presenza dove, quando va giù lo schermo, la lavagna viene spesso coperta o
drasticamente ridotta. Ricordiamoci che ogni nuova tecnologia necessita di un periodo di
apprendimento.

    La Matematica nei corsi per matematici e fisici
    L’insegnamento della matematica ha varie sfaccettature, con una parte di esposizione di teorie di
ampio respiro, che mettono lo studente a contatto con problematiche nuove sull’infinito, sullo
spazio, sulla logica dove si impara una certa spregiudicatezza a manipolare i quantificatori (“per
ogni epsilon esiste delta”). Accanto a questo c’è un aspetto maieutico di ricerca della verità
attraverso il dialogo e la sperimentazione continua, anche verso se stessi, esercitandosi a togliere e
mettere ipotesi, dapprima in contesti elementari e poi più avanzati . E infine c’è l’aspetto pratico, di
confidenza con i calcoli e la ricerca di strategie computazionali efficaci ed efficienti, che si
apprende con anni di esercizi. Tutti aspetti difficili da realizzare a distanza, ma non impossibili.
Non impossibili se riusciamo a trasmettere agli studenti le motivazioni e la passione per il lavoro
individuale e di gruppo. Con la speranza che gli studenti possano ritrovarsi in piccoli gruppi. Se non
in presenza, dovremo dare loro occasioni telematiche, magari chiedendo di preparare delle liste di
esercizi, delle brevi relazioni a gruppi, per dare loro la possibilità di conoscersi e di interagire tra
loro. La tradizione italiana dei corsi di matematica “undergraduate” dà ancora una ottima
preparazione a livello internazionale (e in questo siamo in buona compagnia con i colleghi
scientifici), come è purtroppo testimoniato dalla incessante fuga di cervelli. Dobbiamo prestare
molta attenzione che questo patrimonio non venga perduto.

     Le esercitazioni devono essere privilegiate rispetto alle lezioni. Il contatto con gli studenti
deve rimanere fondamentale. Non è pensabile limitarsi a registrare le lezioni in anticipo, senza
avere poi una interazione. Mi viene in mente qualche spunto preso dalla “Flipped classroom”, così
di moda in questo momento tra i docenti più audaci delle scuole superiori [Flipped]. Semplificando,
si tratta di un capovolgimento tra le attività svolte in classe e quelle svolte a casa. In una certa
misura, questo atteggiamento potrebbe fornire una strada da sperimentare nella didattica
universitaria. In quest'ottica, alcune lezioni potrebbero essere registrate in anticipo, e date per
scontate dal docente che, al momento dell’incontro a distanza, richiama alcuni punti fondamentali e
poi si dedica in pieno alle esercitazioni per apprendere i concetti con esempi ed esercizi, stimolando
domande da parte degli studenti, e ponendo lui stesso delle domande in diretta a chi lo sta seguendo
a distanza.
     “L'arte di insegnare e interrogare”, come insegnava Enriques nel suo classico testo sempre
attuale sull'insegnamento dinamico [Enriques]. Questo deve rimanere un punto pedagogico
irrinunciabile, senza il quale l’insegnamento perde di efficacia e qualità. Dobbiamo fare i conti
anche con i registri delle lezioni, e questo è un punto spinoso. Occorre flessibilità nel conteggio
delle ore frontali di lezione, che devono poter comprendere sia le lezioni registrate in precedenza
(magari in una certa percentuale) che quelle svolte in diretta con gli studenti. Tutti abbiamo avuto
esperienza che, registrando una lezione a distanza, si va più veloci. Ma al tempo stesso gli studenti

hanno la possibilità di ascoltare più volte una lezione registrata. Non ci può essere una equivalenza
di tempi tra una lezione a distanza e una lezione tradizionale in presenza.

    La Matematica nei corsi di servizio
    Uso il termine corsi di servizio, che si presta a interpretazioni poco benevole, nel senso che i
corsi di Matematica per studenti universitari che non diventeranno matematici o fisici sono un
servizio per loro, perché danno loro una formazione culturale e scientifica, e per il Dipartimento,
perché ci permette di diffondere la cultura matematica e di interagire con altri ambienti. Formazione
preziosa, perché insegna che la realtà viene descritta bene da modelli matematici, che poche
funzioni sono sufficienti a descrivere una varietà incredibile di situazioni.
    E’ indubbio che la matematica a distanza nei corsi di servizio pone le maggiori
preoccupazioni. Quando un corso numeroso è diviso in più canali (ad esempio A-L, M-Z) può
essere ragionevole che parte delle lezioni a distanza diventino comuni. Naturalmente le
esercitazioni dovrebbero rimanere distinte per ciascun canale e qui la maggiore attenzione per le
esercitazioni diventa ancora più vitale.
    Mi è stato fatto notare che il sistema Wolfram Alpha ha un solutore online che risolve la
maggior parte, se non la totalità, degli esercizi che possiamo dare a un corso di Matematica di primo
anno. A titolo di esempio si trovano successioni, serie, limiti, derivate, integrali, equazioni
differenziali, sistemi lineari, calcolo di autovalori e autovettori, classificazione di coniche e
quadriche. Pagando un abbonamento aggiuntivo, si ottengono anche i passaggi intermedi del
procedimento risolutivo.
    Con gli esami a distanza, è difficile verificare che lo studente non “bari”, utilizzando questi
strumenti. Questa osservazione rinnova la domanda su quali sono gli obiettivi di un corso di
servizio di Matematica. Il timore di un aiuto informatico può favorire la crezione di esercizi, sia
durante l'anno che agli esami, che richiedano una maggiore consapevolezza degli strumenti
matematici usati, che è quello che serve all'ingegnere, al biologo, ecc.. Per citare un esempio, è
istruttivo proporre esercizi su autovalori e autovettori, con una attenzione alle applicazioni, oltre lo
standard “trovare gli autovettori di A”, si veda ad esempio [Strang]. E' opportuno cercare di
mantenere il linguaggio visivo e grafico accanto a quello analitico delle formule, per questo la
tavoletta grafica, e magari software di geometria dinamica come GeoGebra, possono risultare
parecchio utili a distanza.

    La Matematica per l’insegnamento
     E’ indubbio che nei corsi di Matematica per l’insegnamento, come li abbiamo concepiti fino
adesso, la componente di approccio laboratoriale ai problemi e di discussione comune è
fondamentale. Mi piace riportare la notissima frase presa da “La Matematica per il cittadino”
[UMI] “L’ambiente del laboratorio di matematica è in qualche modo assimilabile a quello della
bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo e vedendo fare,
comunicando fra loro e con gli esperti”. Questi corsi soffrono, durante l'emergenza COVID, delle
stesse enormi difficoltà che hanno i corsi di Laboratorio di Fisica e Chimica. Se ci sono poche
deroghe per corsi da svolgere in presenza, i corsi di Matematica per l'insegnamento dovrebbero
avere la priorità e potrebbero essere trattati alla stregua dei corsi di laboratorio sperimentale. I
docenti dovranno avere ancora maggiore fantasia nell’inventarsi situazioni da descrivere con video
e a dare possibilità di discussione a tutti gli studenti. Accenno che il Dipartimento di Firenze ha
promosso dal 2014 il Premio “Laboratorio Matematico Riccardo Ricci”, rivolto a classi di scuola
superiore. Chi è interessato può trovare in rete [LabMat] il volume con i contributi presentati alle
prime edizioni, con delle idee veramente pregevoli e fantasiose. Purtroppo l’edizione 2020 è stata
rimandata per l’emergenza virus; attività di questo tipo sono davvero difficili, se non impossibili, da
progettare in questo periodo. Ho molto apprezzato che viceversa la tradizionale Gara Matematica
individuale sia stata trasformata in Gara a gruppi a distanza ! Ove possibile, cerchiamo di
continuare a distanza attività condivise con i colleghi delle scuole superiori.

Gli esami
    Come osservazione preliminare, le prove intermedie acquistano ancora maggiore importanza a
distanza, perché stimolano lo studente a seguire con costanza il corso, a svolgere gli esercizi, a
partecipare assiduamente ed attivamente. Una parte considerevole di studenti può sostenere l'esame
alla fine del corso se ha seguito le prove intermedie.
    Nella maggior parte delle università americane le prove intermedie (homework) sono svolte a
casa dallo studente. Non troverei scandaloso dare fiducia allo studente accettando degli elaborati
prodotti in autonomia a casa, evitando il controllo video a distanza, che in casi numerosi può
diventare molto complesso. A condizione di verificare alla fine con un esame orale.
    Veniamo a un aspetto positivo. La tradizione italiana degli esami orali di Matematica si rivela
molto preziosa. Ed è probabilmente alla base della buona preparazione undergraduate sottolineata in
precedenza. Uno scritto a quiz può essere copiato, nel mettere crocette è facile ricevere
suggerimenti. Ad un orale, soprattutto per gli studenti di Matematica e Fisica, siamo interessati a
una comprensione superiore, e non sarà mai il suggerimento di un eventuale complice nascosto a
cambiare il corso di un esame. La padronanza di un argomento è chiara da un dialogo docente –
studente, anche se svolto a distanza. E questo dialogo è facilitato se docente e studente condividono
lo stesso testo, magari l'elaborato scritto dallo studente. A distanza ogni dialogo si allunga nei tempi,
e questo è un aspetto negativo.

    Il numero degli appelli va ridotto, se non vogliamo che l’attività di docente diventi un
esamificio. L’abitudine a “provare l’esame”, così frequente nei corsi di servizio, potrebbe aumentare
con gli esami a distanza. Troveremo moltre difficoltà a convincere i colleghi che il numero di
appelli non è proporzionale alla qualità di una Università, è vero semmai il contrario.
    Un piccolo suggerimento pratico che potrebbe aiutare la riduzione degli appelli, insieme al
mantenimento delle prove intermedie: le date degli appelli vengono fissate dal Corso di Laurea,
mentre l’orario può essere scelto dal docente. In questo modo il Presidente del Corso di Laurea
riesce a programmare le prove in modo che gli esami siano sufficientemente distanziati tra loro. Il
docente, potendo scegliere l’ora, che può essere anche non standard, riesce ad ovviare al problema
che le risorse informatiche della stessa casa sono condivise da partner e figli. Molte/i colleghe/i
hanno figli piccoli in casa e devono attendere un aiuto che è disponibile solo a determinate ore. Il
problema e le preoccupazioni sulle pari opportunità in tempo di COVID sono state affrontate con
molta efficacia da Chiara de Fabritiis su [MaddMaths], sito che, in modo attuale, sta affrontando la
problematica della matematica a distanza.

    “un po' di stile”
    Sono rimasto piacevolmente sorpreso, grazie alla webcam, che circa un terzo degli studenti del
terzo anno di Matematica, dunque tutti nativi digitali, avevano arredato la loro stanza con una
lavagna. Evidentemente abbiamo trasmesso loro qualcosa di più dei contenuti dei corsi.

    Chissà cosa avrebbe detto Faussone del corona virus. Non avrebbe potuto continuare i suoi
viaggi intorno al mondo. La prima cosa da ricordarci è che il suo autore aveva passato periodi ben
peggiori di questo, e la storia ci può aiutare a non drammatizzare oltre misura. Anche noi, come
Faussone “ci terremmo a fare le cose con un po' di stile”(“Off-shore” in [Levi]). Questo rimane il
nostro punto fisso, qualunque sia la tecnologia che adottiamo. E allora riusciremo a togliere il punto
interrogativo del titolo.

Bibliografia

[Enriques] F. Enriques, L'insegnamento dinamico, Periodico di Matematiche, 1921
[Flipped] M. Maglioni, F. Biscaro, La classe capovolta, Erickson 2014
[LabMat] Il premio Laboratorio Matematico Riccardo Ricci, Florence University Press, 2019
[Levi] P. Levi, La chiave a stella, Einaudi 1978
[MaddMaths] http://maddmaths.simai.eu/category/divulgazione/covid/
[Strang] G. Strang, Algebra lineare, Apogeo 2008
[UMI] Matematica per il cittadino, 2001, reperibile sul sito UMI

Giorgio Ottaviani
Dipartimento di Matematica e Informatica Ulisse Dini, Università di Firenze
giorgio.ottaviani@unifi.it
http://www.math.unifi.it/users/ottavian