La moltiplicazione

La moltiplicazione

La moltiplicazione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 1 La moltiplicazione Primo incontro

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 2 Gli incontri si terranno nei seguenti giorni: 1° Incontro: martedì 6 MARZO 2018 2° Incontro: martedì 13 MARZO 2018 3° Incontro: martedì 20 MARZO 2018 4° Incontro: martedì 27 MARZO 2018 5° Incontro: martedì 10 APRILE 2018 6° Incontro: martedì 17 APRILE 2018 sede del corso: I.S.I.S. “NEWTON “- Via ZUCCHI, 3 – VARESE orario degli incontri: dalle 15.00 alle 17.00 Sito internet: www.mathesis.eduva.org per scaricare materiale

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 3 La moltiplicazione ... a fumetti

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 4 Itinerario didattico Capitolo ottavo La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche 8.1 Risoluzione di problemi di schieramento 8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta 8.3 Risoluzione di problemi di incroci 8.4 Risoluzione di problemi di combinatoria Capitolo nono La moltiplicazione tra numeri naturali 9.1 Calcolo di un prodotto con l’utilizzo di materiale predisposto 9.2 Le proprietà della moltiplicazione 9.3 Calcolo di un prodotto mediante l’algoritmo Capitolo decimo Consolidamento dei significati e della tecnica della moltiplicazione 10.1 Risoluzione di esercizi relativi alla moltiplicazione 10.2 Risoluzione di problemi relativi alla moltiplicazione (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol.

3 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 154 a pag.185

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 5 Indagine sulle conoscenze pregresse L’indagine sulle conoscenze pregresse può esse guidata da domande e attività come le seguenti: 1. Che cosa significa “moltiplicare”? 1.a – Cosa significa raddoppiare, fare il doppio? 1.b – Come si fa a fare il doppio? Fate un esempio. 1.c – Cosa significa triplicare, fare il triplo? 1.d – Come si fa a fare il triplo? Fate un esempio. 2. Formiamo degli schieramenti.

2.a – Tre di voi formino una riga. 2.b – Quattro di voi formino una fila. 2.c – Mettetevi in fila a cinque a cinque.

Si fanno schierare alcuni bambini oppure si schiera del materiale e si chiede: 3. Come fate a sapere quanti bambini (o oggetti) sono schierati? Si pone all’attenzione dei bambini l’immagine di un parcheggio con auto schierate; si chiede loro di ricostruire lo schieramento con materiale, tipo cubetti: 4. Come possiamo sapere quanti cubetti serviranno per ricostruire lo schieramento di auto? Si legge ai bambini un testo come il seguente e lo si fa drammatizzare al fine di rilevare la comprensione di termini frequenti nell’espressione di problemi moltiplicativi: 5. La mamma per la festa ha preparato 3 vassoi di pasticcini; in ogni vassoio ci sono 7 pasticcini.

Quanti pasticcini ha preparato la mamma in tutto?

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 6 Esito dell’indagine Il termine moltiplicare, se noto, viene associato dai bambini alla azione del “creare oggetti” e al conseguente aumento della loro quantità, talvolta con riferimenti religiosi come la moltiplicazione biblica dei pani e dei pesci. In genere, gli alunni conoscono gli operatori moltiplicativi espressi dalle parole raddoppiare-fare il doppio e triplicare-fare il triplo e sanno applicarli sia attraverso la manipolazione di materiale sia graficamente e numericamente. In merito agli schieramenti, le conoscenze pregresse sono influenzate da eventuali esperienze scolastiche già condotte nell’ambito dell’orientamento spaziale (si veda in proposito Nel mondo della geometria Volume 1); in ogni caso il significato delle parole fila e riga è noto.

Tale calcolo viene eseguito tramite addizioni ripetute, soprattutto se i bambini hanno già lavorato con gli operatori additivi e la loro applicazione successiva.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 7 La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche La moltiplicazione è un’operazione che si presta a diverse interpretazioni, nelle quali possono ricorrere anche grandezze non omogenee, ossia i numeri naturali della coppia ordinata ai quali viene applicata la moltiplicazione possono essere la quantificazione di “oggetti” di natura diversa. È questa una differenza fondamentale della moltiplicazione rispetto all’addizione, che è interpretabile solo come operazione tra numeri di “oggetti” omogenei (si veda in proposito Nel mondo dei numeri e delle operazioni Volume 2).

Inoltre, a sua volta il risultato di una moltiplicazione può essere la quantificazione di grandezze di natura diversa rispetto ai numeri dati.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 8 Moltiplicazioni tra due quantità non omogenee: si consideri l’esempio “Vi sono 3 vasi, ciascuno dei quali contiene 4 fiori; quanti fiori vi sono in tutto?”. Dal punto di vista formale, se si indica con f la grandezza “fiori” e con v la grandezza “vasi”, la traduzione simbolica del testo è: f 12 3v La moltiplicazione non è, dunque, tra numero di fiori e numero di vasi, ma tra numero di “fiori per vaso” e numero di vasi e il risultato è il numero di fiori.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 9 Moltiplicazioni tra due quantità omogenee: sono moltiplicazioni tipiche della geometria e generano grandezze diverse rispetto a quella dei dati; per esempio, il prodotto di due lunghezze è un’area: 5cm x 3cm = 15 cm2 concettualmente

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 10 3 cm 5 cm AREA DEL RETTANGOLO 1 cm2 Se 5cm e 3cm sono le lunghezze dei lati si ha: 2 2 2 15cm x3 5cm x3righe righe cm 5  

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 11 Moltiplicazioni tra due quantità  Moltiplicazioni tra una quantità e un numero: il prodotto è una quantità omogenea a quella data; per esempio, nella moltiplicazione utilizzata per determinare la lunghezza C di una circonferenza di diametro lungo d, espressa dalla formula C = d,  è un numero, mentre d e C sono due grandezze dello stesso tipo (lunghezze): se d = 4m si ha C  4m  12,56m

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 12 8.1 Risoluzione di problemi di schieramento
  • 8.1.1 Conteggio degli elementi manipolati o disegnati
  • 8.1.2 Messa in evidenza della coppia ordinata dei numeri associati ai dati e del relativo risultato
  • 8.1.3 Denominazione e scrittura formale della moltiplicazione Si ritiene opportuno introdurre la moltiplicazione attraverso gli schieramenti, in quanto ad essi si possono ricondurre le altre accezioni della moltiplicazione tra numeri naturali.

Uno schieramento, infatti, è uno schema che consente di disporre spazialmente in modo ordinato una certa quantità e la moltiplicazione è la descrizione di questa organizzazione, nella quale ogni posizione è individuata da una riga e da una colonna.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 13 Attività sugli schieramenti a livello corporeo: giochi in palestra Fa parte dell’esperienza dei bambini il mettersi in riga – uno di fianco all’altro in modo che per tutti i bambini della riga valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari davanti/dietro il mettersi in fila – uno dietro l’altro in modo che per tutti i bambini della fila valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari destra/sinistra.

Esempio Si consideri il gioco “Leprottino scappa tra le siepi” e lo si supponga proposto ad una classe di 20 alunni: un alunno è il leprottino, un altro il lupo e i rimanenti 18 si dispongono in fila a tre a tre per formare le siepi.

Se l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare tra le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando è “Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi. Se il leprotto riesce a completare la propria corsa tra le siepi è salvo, mentre se viene preso diventa a sua volta lupo; in ogni caso, un altro bambino assume il ruolo di leprotto.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 14 Se l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare tra le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando è “Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi. Corsa tra le righe Corsa tra le file

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 15 Quando l’insegnante dice “Cambio” i bambini che formano le siepi ruotano di un quarto di giro verso destra e il gioco riprende con le siepi orientate in modo diverso, per cui: Corsa tra le righe Corsa tra le file

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 16 Riflettere Guidare l’attenzione dei bambini sul numero delle righe e delle file e sulla rispettiva equonumerosità, con domande come: Quanti bambini in ogni riga? Quante righe? Quanti bambini in tutto? Quest’ultima domanda ha lo scopo di fare esplicitare le strategie messe in atto per stabilire il numero complessivo degli elementi schierati: è possibile che alcuni bambini procedano contando uno a uno gli elementi, ma è anche probabile che qualcuno utilizzi addizioni ripetute (3+3+3+3+3+3 oppure 6+6+6).

Abbiamo formato 6 righe di 3 bambini ciascuna e abbiamo sistemato 18 bambini” sinteticamente resa con la scrittura (6, 3)  18

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 17 Schieramenti relativi alla moltiplicazione come operatore
  • Si chiede ai bambini di costruire uno schieramento avente il numero doppio o triplo di righe rispetto ad uno dato;
  • si suggerisce di partire da uno schieramento costituito da una sola riga, per poi passare a schieramenti iniziali costituiti già da più righe Formalizzazione con i numeri: (3 x 2) 6

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 18 Osservazione sugli schieramenti Il numero degli elementi di una riga è uguale a quello delle colonne e, viceversa, il numero degli elementi di ogni colonna è uguale a quello delle righe.

Nel proseguo del lavoro questa rilevazione consentirà di parlare di schieramento semplicemente come insieme di posizioni ordinate e individuate dall’intersezione di righe e colonne, indipendentemente dagli elementi che occupano tali posizioni.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 19 TRA I GIOCHI Luca ha una camera colma di giochi di tutti i tipi. E’ un bambino molto preciso e ama molto vedere i suoi giochi perfettamente in ordine. I peluches sono sempre tutti sul suo letto. Ogni mattina Luca li sistema come raffigurato qui sotto. Quanti sono i peliches di Luca Quanti sono i peluches in ogni riga? Quante sono le righe? Quanti peluches ha Luca? . .

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 20 TRA I GIOCHI Luca è appassionato di macchinine e le colleziona.

Le ha sempre in bella mostra sulla sua scrivania per poterle rimirare. Sistema le macchinine sempre nello stesso modo, schierandole come vedi nel disegno. Quante sono le macchinine di Luca? Quanti macchine ci sono in ogni riga? Quante sono le righe? Quanti macchinine ha Luca? . . moltiplicazione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 21 TRA I GIOCHI Luca, terminati i suoi compiti, dispone i suoi birilli per una partita. Schiera su una riga 6 birilli e rispetta questa regola per tutto il gioco. Dopo i primi lanci i birilli vengono tutti abbattuti. Luca decide allora di iniziare una seconda partita. Schiera, questa volta, il triplo dei birilli messi in gioco nella partita precedente, in modo che su ciascuna fila ci sia lo stesso numero di birilli. Quanti birilli sistema Luca per la seconda partita? Disegna i birilli che schiera Luca.

Prima partita Seconda partita I birilli nella prima partita sono .

moltiplicazione I birilli nella seconda partita sono . . moltiplicazione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 22 NEL NEGOZIO DI DOLCI Luca è entrato con la mamma in una favolosa e invitante dolceria. Si guarda intorno incantato I ciucci ... dolci Quanti ciucci in ogni fila? Quante file? Quanti ciucci in tutto? . . moltiplicazione . . x

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 23 NEL NEGOZIO DI DOLCI Lecca lecca Quanti lecca lecca in ogni righe? Quante righe? Quanti lecca lecca in tutto? Operazione: ... x ... ...

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 24 8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta Dal conteggio all’operazione aritmetica L'approccio alla moltiplicazione tramite l'addizione ripetuta è quello più praticato.

Tuttavia c’è una differenza fondamentale tra addizione e moltiplicazione: l'addizione è eseguibile solo tra quantità dello stesso tipo, mentre la moltiplicazione opera in genere su grandezze non omogenee.

Inoltre, se la moltiplicazione viene letta come la scrittura stenografata di una successione di addizioni con gli addendi uguali, non hanno senso le scritture a0 e a1 (con a numero naturale qualunque), dato che l'addizione è un'operazione binaria, dunque può essere applicata solo quando si hanno due addendi (o più di due, per la proprietà associativa): cosa significa, allora, addizionare a con se stesso 0 volte o 1 volta? Né vale invocare la proprietà commutativa e dire che, se a è maggiore di 1, a0 = 0a e a1 = 1a, quindi i prodotti sono, rispettivamente, la somma di 0 con se stesso e la somma di 1 con se stesso a volte, dato che non si può attribuire la proprietà commutativa ad un’operazione non ancora definita.

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 25 Attenzione
  • Infine, l’utilizzo dell’addizione ripetuta rafforza ulteriormente il misconcetto secondo cui il risultato di una moltiplicazione è sempre un numero maggiore dei due numeri moltiplicati, indipendentemente dal tipo di numeri utilizzati.
  • Si suggerisce di ricondurre le situazioni problematiche di addizione ripetuta agli schieramenti.
  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 26 Esempio 1
  • “Sul balcone di zia Teresa ci sono 4 vasi; ogni vaso contiene 3 fiori. Quanti fiori ci sono in tutto?”.
  • La rappresentazione della situazione con il disegno è:

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 27 Si suggerisce ai bambini di togliere i fiori dai vasi e di schierarli, in modo da contarli più facilmente:

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 28
  • La descrizione di questa disposizione spaziale è “3 fiori in ogni riga per 4 righe; sono in tutto 12 fiori”
  • Gli alunni, in forza del lavoro fatto sugli schieramenti, sanno già tradurre questa affermazione nell’operazione: 3x4=12 Invece dei vasi, nello schieramento come “contenitore” c’è la riga: il tipo di problema non cambia. La risoluzione del problema con un'addizione ripetuta comporta di trascurare "vasi e righe" e considerare solo il numero dei fiori: prendendo un gruppo di 3 fiori per 4 volte si hanno in tutto 12 fiori" e, astraendo anche dai fiori si può dire: 3 unità per 4 volte danno 12 unità. Questa frase viene matematizzata con la scrittura 3+3+3+3 =12 del problema iniziale non restano che 4 raggruppamenti equonumerosi, ciascuno formato da 3 unità.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 29 I golosi di mele Chiara ha invitato i suoi amici Martina, Davide, Riccardo e Sara a giocare. La mamma sapendo che Chiara e i suoi amici sono golosi di mele, prende il cesto della frutta, prepara 5 piatti e mette 3 mele in ogni piatto. Quante mele ha preso la mamma di Chiara dal cesto della frutta?

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 30 I golosi di mele Si rappresenta la situazione finale sul quaderno: Si fa verbalizzare ai bambini come hanno fatto a trovare il numero di tutte le mele.

La risposta comune sarà: “Abbiamo contato facendo abbiamo trovato 15” Successivamente si descrive l’operazione concreta: “Abbiamo preso 5 piatti e in ogni piatto abbiamo messo 3 mele, in tutto sono servite 15 mele”. Con i numeri possiamo scrivere: (3, 5) 15 Dalla conversazione dei bambini dovrebbe emergere che:  ci sono gruppi equonumerosi di mele se mettiamo insieme le mele di tutti i gruppi scopro quante sono le mele è come negli schieramenti

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 31 Come poter disegnare le mele in modo da contarle con facilità? Basta togliere le mele dai piatti e formare con esse 5 righe ciascuna con 3 mele In questo schieramento si mette in evidenza la presenza di 5 righe ciascuna di 3 mele, perciò si può scrivere: 3  5 = 15

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 32 IN MEZZO AL MAR 6 pesci palla di grossa taglia ballano in tondo un bel girotondo. Ad ogni nota di RE-BEMOLLE da ogni bocca escono 5 bolle. Disegna le bolle che escono dalla bocca dei pesci e scopri quante sono se le mettiamo tutte insieme tutte insieme.

Quante bolle fa ogni pesce palla? Quanti sono i pesci palla? Quante sono tutte le bolle? Operazione ... ...

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 33 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Dal conteggio all’operazione aritmetica L’utilizzo degli incroci in ambito aritmetico ha uno scopo essenzialmente quantitativo: stabilire il legame operativo tra la coppia ordinata dei numeri di linee che si incrociano e il numero dei punti intersezione ottenuti. Per riprendere o introdurre i problemi di incroci si può proporre, ricostruita sul pavimento, la mappa di un quartiere nel quale le strade sono di due tipi: due strade di uno stesso tipo sono tra loro parallele, mentre ogni strada di un tipo è perpendicolare ad ogni strada dell’altro tipo.

Le strade possono essere tracciate con nastri trasparenti di colore diverso, così che il punto in cui due strade si incontrano ha entrambe le colorazioni.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 34 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Esempio Si supponga che nel quartiere le strade di un tipo siano 3 e quelle dell’altro tipo siano 2; la vista dall’alto della rete stradale sarà per esempio: nastro blu nastro giallo Si fanno evidenziare gli incroci con dei bollini adesivi e si fa rappresentare la situazione sul quaderno: “3 strade blu si incrociano con 2 strade gialle e abbiamo 6 incroci” Con i numeri si può scrivere: (3, 2) 6 I bollini che evidenziano gli incroci sono disposti secondo uno schieramento: 2 file di 3 bollini ciascuna.

Il numero complessivo degli incroci è, dunque, risultato di una moltiplicazione: 3  2 = 6

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 35 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Gli incroci consentono di dare significato intuitivo anche alle moltiplicazioni a x 1, per la quale anche gli schieramenti sono idonei, e, in particolare, a x 0. Esempio 1 Se si continua con la modalità di lavoro dell’esempio precedente, tracciando sul pavimento 3 strade rosse e nessuna gialla non si ottengono incroci La verbalizzazione della situazione è dunque: “3 strade rosse incrociano 0 strade gialle; si formano 0 incroci”.

Con i numeri si avrà perciò: (3, 0) 0 ossia Se almeno uno dei numeri della coppia è 0 il risultato è della moltiplicazione è 0.

conclusione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 36 8.3 Risoluzione di problemi di incroci Esempio 2 Sul pavimento dell’aula si tracciano 4 strade rosse e 1 gialla. La descrizione della situazione è dunque: “4 strade rosse incrociano 1 strada gialla; si formano 4 incroci”. Con i numeri si avrà perciò: (4, 1) 4 ossia Se almeno uno dei numeri della coppia è 1 il risultato è della moltiplicazione è uguale all’altro numero della coppia.

conclusione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 37 LA CITTÀ DI STRADOPOLI Cinque strade principali, tra loro parallele, attraversano la città di Stradopoli, che è divisa in quattro quartieri A, B, C e D.

In alcuni quartieri vi sono delle strade secondarie; ognuna di esse incontra tutte e cinque le strade principali. In ogni quartiere quanti sono gli incroci? Quartiere A Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione ... ...

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 38 Quartiere B Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione ... ... Quartiere C Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione ... ...

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 39 Quartiere D Le strade principali sono Le strade secondarie sono Gli incroci sono Operazione ... ...

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 40 ATTENZIONE AGLI INCROCI Completa come nell'esempio, disegnando ciò che manca.

15 ... ... ... ... (6,3) 6 (3,2) INCROCI STRADE DISEGNO

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 41 8.3 Risoluzione di problemi di combinatoria Dal conteggio all’operazione aritmetica La moltiplicazione tra numeri naturali può essere fondata ricorrendo a una particolare operazione tra insiemi finiti, in analogia con quanto fatto per l’addizione e la sottrazione: si considerino due insiemi finiti A e B, di cardinalità rispettivamente a e b, e sia c la cardinalità dell’insieme prodotto cartesiano A  B, costituito da tutte e sole le coppie ordinate aventi il primo elemento in A e il secondo elemento in B; si definisce prodotto cartesiano l’operazione che associa alla coppia (a, b) il numero c.

Del prodotto cartesiano si ritengono significativi i problemi di tipo combinatorio, nei quali è necessario descrivere tutti i casi possibili di abbinamento di elementi appartenenti in genere a due insiemi distinti, per cui è opportuno procedere con un certo ordine al fine di essere certi di non avere trascurato alcuna coppia o averne ripetute altre. La disposizione ottenuta tramite una tabella a doppia entrata rimanda facilmente agli schieramenti, quindi alla moltiplicazione .

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 42 Si suggerisce di partire con l’esperienza diretta dei bambini e con un numero ridotto di elementi per poter controllare tutte le combinazioni possibili e rappresentarle nei vari modi.

Esempio 1 Si individuano 3 bambini della classe (siano Marco, Elena e Giorgia) e si mettono a disposizione 2 attrezzi della palestra (palla e funicella). La situazione dei dati viene rappresentata alla lavagna. Disegnare a sinistra del foglio 3 bambini in colonna: Marco, Elena, Giorgia; a destra del foglio una palla e una funicella in colonna Marco Elena Giorgia

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 43 Per stabilire in quali e quanti modi può giocare ogni bambino è necessario procedere con ordine, per esempio aiutandosi con frecce: Marco Elena Giorgia Si sono formate le coppie: (Marco, palla) (Marco, funicella)

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 44 Marco Elena Giorgia Si sono formate le coppie: (Giorgia, palla) (Giorgia, funicella) Marco Elena Giorgia Si sono formate le coppie: (Elena, palla) (Elena, funicella)

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 45 Si fa porre l’attenzione dei bambini sul numero di coppie ottenute nella distribuzione dei giochi: – (Marco, palla) – (Marco, funicella) – (Elena, palla) – (Elena, funicella) – (Giorgia, palla) – (Giorgia, funicella)
  • Si fa descrivere ai bambini la situazione sia a parole: “Con 3 bambini e 2 attrezzi abbiamo ottenuto 6 coppie”, sia con i numeri: (3, 2) 6

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 46 Rappresentare sinteticamente tutte le coppie distinte ottenute con una tabella a doppia entrata.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 47 L’analisi della struttura della tabella consente di ritrovare uno schieramento: per ogni bambino è stata ottenuta una riga della tabella e per ogni gioco una colonna, quindi le coppie ottenute sono tante quante le posizioni in uno schieramento formato da 3 righe e 2 colonne. Dato che interessa non il tipo di coppie, ma il loro numero, si sostituisce ciascuna di esse con un simbolo e se ne mette in evidenza la struttura ordinata: Questa rappresentazione consente di formalizzare la situazione problematica di tipo combinatorio con la moltiplicazione: 3  2 = 6

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 48 Diagramma ad albero Il diagramma ad albero può essere esteso a contesti combinatori con più di due insiemi. M,p M,f E,p E,f G,p G,f I rami dell’albero corrispondono a come possono essere abbinati i bambini con i giochi; la moltiplicazione può, dunque, essere interpretata come la descrizione della struttura dell’albero: 3 rami, da ognuno dei quali partono altri 2 rami, portano a 6 uscite.

  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 49 AL GHIOTTONE Al ristorante "Il ghiottone" il cuoco Gastone ha preparato, per il pranzo di lavoro, il seguente menu del giorno: PRIMI PIATTI
  • Pasta al ragù
  • Spaghetti al pomodoro
  • Ravioli in brodo
  • Gnocchi alla romana SECONDI PIATTI
  • Scaloppina al limone
  • Trota alla mugnaia
  • Arrosto di vitello Quante possibili ordinazioni può fare un cliente che vuole prendere un primo ed un secondo?
  • Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 50 AL GHIOTTONE PRIMI PIATTI
  • Pasta al ragù
  • Spaghetti al pomodoro
  • Ravioli in brodo
  • Gnocchi alla romana SECONDI PIATTI
  • Scaloppina al limone
  • Trota alla mugnaia
  • Arrosto di vitello Traccia tra i due "menù" tutte le frecce necessarie per scoprire tutti i diversi abbinamenti che si possono ottenere.

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 51 AL GHIOTTONE Completa un diagramma ad albero che rappresenta le possibilità di scelta del cliente Quanti primi piatti? Quanti secondi piatti? Quanti abbinamenti? Operazione .

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 52 9o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO Prima prova gennaio - febbraio 2001 1. LE CARAMELLE DI CARLETTO (Cat. 3, 4) Carletto è un bambino molto goloso. Per il suo compleanno ha ricevuto in regalo una scatola con 28 caramelle. Ogni giorno ne mangia il doppio del giorno precedente. In tre giorni Carletto le ha mangiate tutte. Quante caramelle ha mangiato Carletto in ciascun giorno? Spiegate come l’avete scoperto.

ANALISI A PRIORI Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 53 Ambito concettuale: - Aritmetica (numerazione, addizione, doppio) - Logica: ragionamento deduttivo, formulazione di ipotesi Analisi del compito: - Risoluzione per tentativi organizzati: scelto il numero di caramelle del primo giorno (inferiore a 28:3), calcolarne il doppio per il secondo giorno e il doppio del doppio per il terzo.

Verificare ogni volta se la somma di tutte le caramelle mangiate è 28. - Risoluzione con l'uso delle parti: il 1° giorno mangia 1 parte, il 2° ne mangia 2 e il 3° ne mangia 4, in totale 7 parti.

Concludere che Carletto ha mangiato 4 caramelle il primo giorno, 8 il secondo e 16 il terzo. Attribuzione dei punteggi: 4 Risposta corretta (4-8-16) con spiegazione esauriente che denota tentativi organizzati o ragionamento coerente 3 Risposta corretta che evidenzia tentativi anche se non organizzati 2 Risposta errata causata da errori di calcolo ma ogni numero doppio del precedente 1 Risposta errata: i numeri non sono uno il doppio dell’altro , ma la somma è 28 0 Incomprensione del problema o nessuna soluzione

Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 54 8o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO finale - maggio 2000 1.

L'ACQUARIO (cat. 3, 4) Paolo ha comprato dei pesci rossi che vuole mettere in un acquario da 36 litri. Per riempire l’acquario, va a prendere dell’acqua. Egli ha a disposizione due brocche, una da 3 litri e una da 5 litri. Ad ogni viaggio sceglie una sola brocca, la riempie fino all’orlo, e la vuota del tutto nell’acquario. Quanti viaggi, al minimo, dovrà fare per riempire esattamente il suo acquario?

Spiegate la vostra soluzione.

ANALISI A PRIORI Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018 55 Ambito concettuale: - Aritmetica : le quattro operazioni Analisi del compito: - Comprendere che ci sono più possibilità per riempire l’acquario e che bisogna cercare quella che necessita del minor numero di viaggi - Comprendere che non ci deve essere resto - Comprendere che con la brocca da 5 litri occorrono 8 viaggi e che ci saranno 4 litri di troppo – - Trovare che si possono fare 6 viaggi da 5 litri e 2 viaggi da 3 litri e che questo è il minimo Valutazione: 4 Risultato ottimale, 8 viaggi, con dettagli del numero dei viaggio da 3 litri (2) e da 5 litri (6) 3 Risultato ottimale con spiegazione poco chiara, mostrando tuttavia che sono state utilizzate le due brocche 2 Risultato non ottimale con le due brocche: 10 viaggi (3 da 5 litri e 7 da 3 litri) con spiegazione 1 Risultato "8 viaggi senza alcuna spiegazione" o risultato “8 viaggi da 5 litri”, “12 viaggi da 3 litri” o altre soluzioni che non rispettano tutte le consegne 0 Incomprensione del compito