La moltiplicazione - Primo incontro - Mathesis

 
 
La moltiplicazione - Primo incontro - Mathesis
La moltiplicazione

                                                              Primo incontro
Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018          1
Gli incontri si terranno nei seguenti giorni:
1° Incontro: martedì                       6 MARZO 2018
2° Incontro: martedì                      13 MARZO 2018
3° Incontro: martedì                      20 MARZO 2018
4° Incontro: martedì                      27 MARZO 2018
5° Incontro: martedì                      10 APRILE 2018
6° Incontro: martedì                      17 APRILE 2018
sede del corso:
I.S.I.S. “NEWTON “- Via ZUCCHI, 3 – VARESE
orario degli incontri: dalle 15.00 alle 17.00

Sito internet: www.mathesis.eduva.org per scaricare
materiale
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La moltiplicazione … a fumetti

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Itinerario didattico
         (da “Nel mondo dei numeri e delle operazioni” vol. 3 a cura di
C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson)da pag. 154 a pag.185

   Capitolo ottavo
La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche
8.1 Risoluzione di problemi di schieramento
8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta
8.3 Risoluzione di problemi di incroci
8.4 Risoluzione di problemi di combinatoria
   Capitolo nono
La moltiplicazione tra numeri naturali
9.1 Calcolo di un prodotto con l’utilizzo di materiale predisposto
9.2 Le proprietà della moltiplicazione
9.3 Calcolo di un prodotto mediante l’algoritmo
   Capitolo decimo
Consolidamento dei significati e della tecnica della moltiplicazione
10.1 Risoluzione di esercizi relativi alla moltiplicazione
10.2 Risoluzione di problemi relativi alla moltiplicazione

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Indagine sulle conoscenze pregresse
L’indagine sulle conoscenze pregresse può esse guidata da domande e attività come le seguenti:
1. Che cosa significa “moltiplicare”?
     1.a – Cosa significa raddoppiare, fare il doppio?
     1.b – Come si fa a fare il doppio? Fate un esempio.
     1.c – Cosa significa triplicare, fare il triplo?
     1.d – Come si fa a fare il triplo? Fate un esempio.

2. Formiamo degli schieramenti.
    2.a – Tre di voi formino una riga.
    2.b – Quattro di voi formino una fila.
    2.c – Mettetevi in fila a cinque a cinque.

Si fanno schierare alcuni bambini oppure si schiera del materiale e si chiede:
3. Come fate a sapere quanti bambini (o oggetti) sono schierati?
Si pone all’attenzione dei bambini l’immagine di un parcheggio con auto schierate; si chiede loro di
ricostruire lo schieramento con materiale, tipo cubetti:
4. Come possiamo sapere quanti cubetti serviranno per ricostruire lo schieramento di auto?
Si legge ai bambini un testo come il seguente e lo si fa drammatizzare al fine di rilevare la
comprensione di termini frequenti nell’espressione di problemi moltiplicativi:
5. La mamma per la festa ha preparato 3 vassoi di pasticcini; in ogni vassoio ci sono 7 pasticcini.
Quanti pasticcini ha preparato la mamma in tutto?

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Esito dell’indagine
Il termine moltiplicare, se noto, viene associato dai bambini alla azione del
“creare oggetti” e al conseguente aumento della loro quantità, talvolta con
riferimenti religiosi come la moltiplicazione biblica dei pani e dei pesci.
In genere, gli alunni conoscono gli operatori moltiplicativi espressi dalle parole
raddoppiare-fare il doppio e triplicare-fare il triplo e sanno applicarli sia
attraverso la manipolazione di materiale sia graficamente e numericamente.
In merito agli schieramenti, le conoscenze pregresse sono influenzate da
eventuali esperienze scolastiche già condotte nell’ambito dell’orientamento
spaziale (si veda in proposito Nel mondo della geometria Volume 1); in ogni
caso il significato delle parole fila e riga è noto.
Tale calcolo viene eseguito tramite addizioni ripetute, soprattutto se i bambini
hanno già lavorato con gli operatori additivi e la loro applicazione successiva.

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La moltiplicazione in diverse situazioni problematiche

La moltiplicazione è un’operazione che si presta a diverse interpretazioni,
nelle quali possono ricorrere anche grandezze non omogenee, ossia i
numeri naturali della coppia ordinata ai quali viene applicata la
moltiplicazione possono essere la quantificazione di “oggetti” di natura
diversa.
È questa una differenza fondamentale della moltiplicazione rispetto
all’addizione, che è interpretabile solo come operazione tra numeri di
“oggetti” omogenei (si veda in proposito Nel mondo dei numeri e delle
operazioni Volume 2).
Inoltre, a sua volta il risultato di una moltiplicazione può essere la
quantificazione di grandezze di natura diversa rispetto ai numeri dati.

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Moltiplicazioni tra due quantità
non omogenee:
         si consideri l’esempio “Vi sono 3 vasi, ciascuno dei quali
         contiene 4 fiori; quanti fiori vi sono in tutto?”. Dal punto di
         vista formale, se si indica con f la grandezza “fiori” e con v la
         grandezza “vasi”, la traduzione simbolica del testo è:

                   f
                  4 x 3v  12 f
                   v
La moltiplicazione non è, dunque, tra numero di fiori e numero di vasi, ma tra
numero di “fiori per vaso” e numero di vasi e il risultato è il numero di fiori.

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Moltiplicazioni tra due quantità
omogenee:
    sono moltiplicazioni tipiche della geometria e
    generano grandezze diverse rispetto a quella dei
    dati; per esempio, il prodotto di due lunghezze è
    un’area:

                 5cm x 3cm = 15 cm2

                           concettualmente

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AREA DEL RETTANGOLO

3 cm
                                                         1 cm2

                   5 cm

 Se 5cm e 3cm sono le lunghezze dei lati si ha:

         cm 2
       5       x3righe  5cm2 x3  15cm2
         righe

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Moltiplicazioni tra due quantità
 Moltiplicazioni tra una quantità e un numero:

        il prodotto è una quantità omogenea a quella data; per
        esempio, nella moltiplicazione utilizzata per determinare la
        lunghezza C di una circonferenza di diametro lungo d,
        espressa dalla formula C = d,  è un numero, mentre d e C
        sono due grandezze dello stesso tipo (lunghezze):
        se d = 4m si ha

                     C =   4m  12,56m

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8.1 Risoluzione di problemi di
                   schieramento
• 8.1.1 Conteggio degli elementi manipolati o disegnati
• 8.1.2 Messa in evidenza della coppia ordinata dei numeri associati
  ai dati e del relativo risultato
• 8.1.3 Denominazione e scrittura formale della moltiplicazione

 Si ritiene opportuno introdurre la moltiplicazione attraverso gli
 schieramenti, in quanto ad essi si possono ricondurre le altre accezioni
 della moltiplicazione tra numeri naturali.
 Uno schieramento, infatti, è uno schema che consente di disporre
 spazialmente in modo ordinato una certa quantità e la moltiplicazione è la
 descrizione di questa organizzazione, nella quale ogni posizione è
 individuata da una riga e da una colonna.

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Attività sugli schieramenti a livello corporeo:
                giochi in palestra
Fa parte dell’esperienza dei bambini
il mettersi in riga – uno di fianco all’altro in modo che per tutti i bambini della
riga valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari
davanti/dietro
il mettersi in fila – uno dietro l’altro in modo che per tutti i bambini della fila
valga la stessa partizione dello spazio nei due semispazi complementari
destra/sinistra.
Esempio
Si consideri il gioco “Leprottino scappa tra le siepi” e lo si supponga proposto
ad una classe di 20 alunni: un alunno è il leprottino, un altro il lupo e i
rimanenti 18 si dispongono in fila a tre a tre per formare le siepi. Se
l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare tra
le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando è
“Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi. Se il leprotto riesce
a completare la propria corsa tra le siepi è salvo, mentre se viene preso
diventa a sua volta lupo; in ogni caso, un altro bambino assume il ruolo di
leprotto.
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Se l’insegnante dà il comando “Scappa tra le righe” il leprotto deve scappare
tra le righe di siepi per non farsi acchiappare dal lupo; se, invece, il comando
è “Scappa tra le file”, la fugga deve essere tra le file di siepi.

     Corsa tra le righe                                        Corsa tra le file

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Quando l’insegnante dice “Cambio” i bambini che formano le siepi ruotano di
un quarto di giro verso destra e il gioco riprende con le siepi orientate in
modo diverso, per cui:

         Corsa tra le righe                                 Corsa tra le file

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Riflettere
Guidare l’attenzione dei bambini sul numero delle righe e delle file e
sulla rispettiva equonumerosità, con domande come:

    Quanti bambini in ogni riga?
    Quante righe?
    Quanti bambini in tutto?

Quest’ultima domanda ha lo scopo di fare esplicitare le strategie messe in
atto per stabilire il numero complessivo degli elementi schierati: è
possibile che alcuni bambini procedano contando uno a uno gli elementi,
ma è anche probabile che qualcuno utilizzi addizioni ripetute
(3+3+3+3+3+3 oppure 6+6+6).

“Abbiamo formato 6 righe di 3 bambini ciascuna e abbiamo sistemato 18
bambini”
                   sinteticamente resa con la scrittura
                                    (6, 3)  18

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Schieramenti relativi alla moltiplicazione come
                       operatore
•   Si chiede ai bambini di costruire uno schieramento avente il numero doppio
    o triplo di righe rispetto ad uno dato;
•   si suggerisce di partire da uno schieramento costituito da una sola riga, per
    poi passare a schieramenti iniziali costituiti già da più righe

       Formalizzazione con i numeri:
                        (3 x 2)                 6

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Osservazione sugli schieramenti
Il numero degli elementi di una riga è uguale a quello delle colonne e,
viceversa, il numero degli elementi di ogni colonna è uguale a quello delle
righe. Nel proseguo del lavoro questa rilevazione consentirà di parlare di
schieramento semplicemente come insieme di posizioni ordinate e
individuate dall’intersezione di righe e colonne, indipendentemente dagli
elementi che occupano tali posizioni.

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TRA I GIOCHI
Luca ha una camera colma di giochi di tutti i tipi.
E’ un bambino molto preciso e ama molto vedere i suoi giochi
perfettamente in ordine. I peluches sono sempre tutti sul suo letto.
Ogni mattina Luca li sistema come raffigurato qui sotto.
Quanti sono i peliches di Luca
                                                                      Quanti sono i peluches in
                                                                      ogni riga?

                                                                      Quante sono le righe?

                                                                      Quanti peluches ha
                                                                      Luca?

                                                                      (…, …)           …..

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TRA I GIOCHI
Luca è appassionato di macchinine e le colleziona.
Le ha sempre in bella mostra sulla sua scrivania per poterle rimirare.
Sistema le macchinine sempre nello stesso modo, schierandole come
vedi nel disegno.
Quante sono le macchinine di Luca?

Quanti macchine ci sono in ogni riga?
Quante sono le righe?
Quanti macchinine ha Luca?

                          (…, …)      moltiplicazione       …..

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TRA I GIOCHI
Luca, terminati i suoi compiti, dispone i suoi birilli per una partita. Schiera
su una riga 6 birilli e rispetta questa regola per tutto il gioco.
Dopo i primi lanci i birilli vengono tutti abbattuti.
Luca decide allora di iniziare una seconda partita. Schiera, questa volta, il triplo dei
birilli messi in gioco nella partita precedente, in modo che su ciascuna fila ci sia lo
stesso numero di birilli.
Quanti birilli sistema Luca per la seconda partita?
Disegna i birilli che schiera Luca.

               Prima partita                                        Seconda partita

   I birilli nella prima partita sono                   I birilli nella seconda partita sono
        (…, …)      moltiplicazione     …..               (…, …)        moltiplicazione     …..

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NEL NEGOZIO DI DOLCI                                                 I ciucci …. dolci
Luca è entrato con la
mamma in una favolosa
e invitante dolceria.
Si guarda intorno
incantato

                                                                    Quanti ciucci in ogni fila?
                                                                    Quante file?
                                                                    Quanti ciucci in tutto?

   (…, …)   moltiplicazione   …..                       (…, …)              x            …..
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NEL NEGOZIO DI DOLCI
             Lecca lecca

                                       Quanti lecca lecca in ogni righe?
                                       Quante righe?
                                       Quanti lecca lecca in tutto?

                Operazione: …… x ……… = …………

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8.2 Risoluzione di problemi di addizione ripetuta
           Dal conteggio all’operazione aritmetica
L'approccio alla moltiplicazione tramite l'addizione ripetuta è quello più
praticato.
Tuttavia c’è una differenza fondamentale tra addizione e moltiplicazione:
l'addizione è eseguibile solo tra quantità dello stesso tipo, mentre la
moltiplicazione opera in genere su grandezze non omogenee.
Inoltre, se la moltiplicazione viene letta come la scrittura stenografata di una
successione di addizioni con gli addendi uguali, non hanno senso le scritture
a0 e a1 (con a numero naturale qualunque), dato che l'addizione è
un'operazione binaria, dunque può essere applicata solo quando si hanno due
addendi (o più di due, per la proprietà associativa): cosa significa, allora,
addizionare a con se stesso 0 volte o 1 volta? Né vale invocare la proprietà
commutativa e dire che, se a è maggiore di 1, a0 = 0a e a1 = 1a, quindi i
prodotti sono, rispettivamente, la somma di 0 con se stesso e la somma di 1
con se stesso a volte, dato che non si può attribuire la proprietà commutativa
ad un’operazione non ancora definita.

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Attenzione
• Infine, l’utilizzo dell’addizione ripetuta rafforza
  ulteriormente il misconcetto secondo cui il risultato
  di una moltiplicazione è sempre un numero
  maggiore dei due numeri moltiplicati,
  indipendentemente dal tipo di numeri utilizzati.
• Si suggerisce di ricondurre le situazioni
  problematiche di addizione ripetuta agli
  schieramenti.

          Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   25
Esempio 1
• “Sul balcone di zia Teresa ci sono 4 vasi; ogni vaso
  contiene 3 fiori. Quanti fiori ci sono in tutto?”.
• La rappresentazione della situazione con il disegno è:

           Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   26
Si suggerisce ai bambini di togliere i fiori dai vasi e di schierarli, in modo da
contarli più facilmente:

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•La descrizione di questa disposizione spaziale è “3 fiori in ogni riga per 4
righe; sono in tutto 12 fiori”
•Gli alunni, in forza del lavoro fatto sugli schieramenti, sanno già tradurre
questa affermazione nell’operazione:
                                          3x4=12
Invece dei vasi, nello schieramento come “contenitore” c’è la riga: il tipo di
problema non cambia.

La risoluzione del problema con un'addizione ripetuta comporta di trascurare
"vasi e righe" e considerare solo il numero dei fiori: prendendo un gruppo di 3
fiori per 4 volte si hanno in tutto 12 fiori" e, astraendo anche dai fiori si può
dire:
                        3 unità per 4 volte danno 12 unità.
Questa frase viene matematizzata con la scrittura
                                    3+3+3+3 =12
del problema iniziale non restano che 4 raggruppamenti equonumerosi,
ciascuno formato da 3 unità.

             Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   28
I golosi di mele
Chiara ha invitato i suoi amici Martina, Davide, Riccardo e Sara a giocare. La
mamma sapendo che Chiara e i suoi amici sono golosi di mele, prende il
cesto della frutta, prepara 5 piatti e mette 3 mele in ogni piatto. Quante mele
ha preso la mamma di Chiara dal cesto della frutta?

               Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   29
I golosi di mele
Si rappresenta la situazione finale sul quaderno:

Si fa verbalizzare ai bambini come hanno fatto a trovare il numero di tutte le mele.
La risposta comune sarà:
“Abbiamo contato facendo 3 + 3 + 3 + 3 + 3 e abbiamo trovato 15”
Successivamente si descrive l’operazione concreta:
“Abbiamo preso 5 piatti e in ogni piatto abbiamo messo 3 mele, in tutto sono servite 15
mele”.
Con i numeri possiamo scrivere:
                                       (3, 5)  15

               Dalla conversazione dei bambini dovrebbe emergere che:
                ci sono gruppi equonumerosi di mele
               se mettiamo insieme le mele di tutti i gruppi scopro quante
               sono le mele
               è come negli schieramenti

                 Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018    30
Come poter disegnare le mele in modo da contarle con facilità?
Basta togliere le mele dai piatti e formare con esse
                              5 righe ciascuna con 3 mele

                                                                     In questo schieramento si
                                                                     mette in evidenza la
                                                                     presenza di 5 righe
                                                                     ciascuna di 3 mele, perciò
                                                                     si può scrivere:

                                                                               3  5 = 15

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IN MEZZO AL MAR
6 pesci palla di grossa taglia ballano in tondo un bel girotondo.
Ad ogni nota di RE-BEMOLLE da ogni bocca escono 5 bolle.

Disegna le bolle che escono dalla bocca dei pesci e scopri quante sono
se le mettiamo tutte insieme tutte insieme.

                                               Quante bolle fa ogni pesce palla?

                                               Quanti sono i pesci palla?

                                               Quante sono tutte le bolle?

                                               Operazione: ……………………………

              Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   32
8.3 Risoluzione di problemi di incroci
             Dal conteggio all’operazione aritmetica
L’utilizzo degli incroci in ambito aritmetico ha uno scopo
essenzialmente quantitativo:
stabilire il legame operativo tra la coppia ordinata dei numeri di
linee che si incrociano e il numero dei punti intersezione
ottenuti.
Per riprendere o introdurre i problemi di incroci si può proporre,
ricostruita sul pavimento, la mappa di un quartiere nel quale le
strade sono di due tipi: due strade di uno stesso tipo sono tra loro
parallele, mentre ogni strada di un tipo è perpendicolare ad ogni
strada dell’altro tipo. Le strade possono essere tracciate con nastri
trasparenti di colore diverso, così che il punto in cui due strade si
incontrano ha entrambe le colorazioni.

              Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   33
8.3 Risoluzione di problemi di incroci
Esempio
Si supponga che nel quartiere le strade di un tipo siano 3 e quelle dell’altro tipo siano
2; la vista dall’alto della rete stradale sarà per esempio:

                          nastro blu                                            nastro giallo
                                               Si fanno evidenziare gli incroci con dei bollini
                                               adesivi e si fa rappresentare la situazione sul
                                               quaderno:

    “3 strade blu si incrociano con 2 strade gialle e abbiamo 6 incroci”
    Con i numeri si può scrivere:
                                      (3, 2)       6

 I bollini che evidenziano gli incroci sono disposti secondo uno schieramento:
                                   2 file di 3 bollini ciascuna.
 Il numero complessivo degli incroci è, dunque, risultato di una moltiplicazione:
                                               32=6

                   Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018          34
8.3 Risoluzione di problemi di incroci
Gli incroci consentono di dare significato intuitivo anche alle moltiplicazioni
a x 1, per la quale anche gli schieramenti sono idonei, e, in particolare, a x 0.

  Esempio 1
  Se si continua con la modalità di lavoro dell’esempio precedente, tracciando sul
  pavimento 3 strade rosse e nessuna gialla non si ottengono incroci

                     La verbalizzazione della situazione è dunque:
                     “3 strade rosse incrociano 0 strade gialle; si formano 0 incroci”.
                     Con i numeri si avrà perciò:
                                                           (3, 0)           0
                     ossia
                                                              3x0=0

                             Se almeno uno dei numeri della coppia è 0 il risultato è
      conclusione
                             della moltiplicazione è 0.

                Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   35
8.3 Risoluzione di problemi di incroci
Esempio 2
Sul pavimento dell’aula si tracciano 4 strade rosse e 1 gialla.

                     La descrizione della situazione è dunque:
                     “4 strade rosse incrociano 1 strada gialla; si formano 4 incroci”.
                     Con i numeri si avrà perciò:
                                                           (4, 1)           4
                     ossia
                                                             4x1=1

                             Se almeno uno dei numeri della coppia è 1 il risultato è
     conclusione             della moltiplicazione è uguale all’altro numero della
                             coppia.

               Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   36
LA CITTÀ DI STRADOPOLI
Cinque strade principali, tra loro parallele, attraversano la città di Stradopoli, che è divisa in
quattro quartieri A, B, C e D.
In alcuni quartieri vi sono delle strade secondarie; ognuna di esse incontra tutte e cinque le
strade principali.
In ogni quartiere quanti sono gli incroci?

           Quartiere A

                                                 Le strade principali sono

                                                 Le strade secondarie sono

                                                 Gli incroci sono

                                                 Operazione: ……………………………

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Quartiere B

                                   Le strade principali sono

                                   Le strade secondarie sono

                                   Gli incroci sono

                                   Operazione: ……………………………

Quartiere C

                                Le strade principali sono

                                Le strade secondarie sono

                                Gli incroci sono

                                Operazione: ……………………………

       Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   38
Quartiere D

                                   Le strade principali sono

                                   Le strade secondarie sono

                                   Gli incroci sono

                                   Operazione: ……………………………

       Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   39
ATTENZIONE AGLI INCROCI
Completa come nell'esempio, disegnando ciò che manca.

     DISEGNO                        STRADE                           INCROCI
                                       (3,2)                              6

                                       (6,3)                          ………

                                    ……….                              ……….

                                     ………                                  15

              Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo        40
                                      aprile 2018
8.3 Risoluzione di problemi di combinatoria
                 Dal conteggio all’operazione aritmetica

La moltiplicazione tra numeri naturali può essere fondata ricorrendo a una particolare
operazione tra insiemi finiti, in analogia con quanto fatto per l’addizione e la
sottrazione: si considerino due insiemi finiti A e B, di cardinalità rispettivamente a e b,
e sia c la cardinalità dell’insieme prodotto cartesiano A  B, costituito da tutte e sole le
coppie ordinate aventi il primo elemento in A e il secondo elemento in B;
  si definisce prodotto cartesiano l’operazione che associa alla coppia
                                        (a, b) il numero c.

 Del prodotto cartesiano si ritengono significativi i problemi di tipo combinatorio,
 nei quali è necessario descrivere tutti i casi possibili di abbinamento di elementi
 appartenenti in genere a due insiemi distinti, per cui è opportuno procedere con
 un certo ordine al fine di essere certi di non avere trascurato alcuna coppia o
 averne ripetute altre.
 La disposizione ottenuta tramite una tabella a doppia entrata rimanda
 facilmente agli schieramenti, quindi alla moltiplicazione .

                  Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   41
Si suggerisce di partire con l’esperienza diretta dei bambini e con un numero ridotto di
elementi per poter controllare tutte le combinazioni possibili e rappresentarle nei vari
modi.
Esempio 1
Si individuano 3 bambini della classe (siano Marco, Elena e Giorgia) e si mettono a
disposizione 2 attrezzi della palestra (palla e funicella). La situazione dei dati viene
rappresentata alla lavagna.
Disegnare a sinistra del foglio 3 bambini in colonna: Marco, Elena, Giorgia; a destra del
foglio una palla e una funicella in colonna

                       Marco

                       Elena

                       Giorgia

                 Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo              42
                                         aprile 2018
Per stabilire in quali e quanti modi può giocare ogni bambino è necessario
procedere con ordine, per esempio aiutandosi con frecce:

       Marco

                                                                        Si sono formate le
       Elena
                                                                        coppie:
                                                                        (Marco, palla)
                                                                        (Marco, funicella)
       Giorgia

                 Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018       43
Marco                                                         Si sono formate le
                                                              coppie:
Elena                                                         (Elena, palla)
                                                              (Elena, funicella)
Giorgia

 Marco
                                                          Si sono formate le
                                                          coppie:
 Elena
                                                          (Giorgia, palla)
                                                          (Giorgia, funicella)
 Giorgia

           Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   44
Si fa porre l’attenzione dei bambini sul numero di coppie
ottenute nella distribuzione dei giochi:
            – (Marco, palla)
            – (Marco, funicella)
            – (Elena, palla)
            – (Elena, funicella)
            – (Giorgia, palla)
            – (Giorgia, funicella)

• Si fa descrivere ai bambini la situazione sia a parole:
   “Con 3 bambini e 2 attrezzi abbiamo ottenuto 6 coppie”, sia con i
   numeri:

                                (3, 2)                   6

               Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   45
Rappresentare sinteticamente tutte le coppie distinte ottenute con una
tabella a doppia entrata.

             Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   46
L’analisi della struttura della tabella consente di ritrovare uno
schieramento: per ogni bambino è stata ottenuta una riga della tabella e
per ogni gioco una colonna, quindi le coppie ottenute sono tante quante
le posizioni in uno schieramento formato da 3 righe e 2 colonne.
Dato che interessa non il tipo di coppie, ma il loro numero, si sostituisce
ciascuna di esse con un simbolo e se ne mette in evidenza la struttura
ordinata:

                                                      Questa rappresentazione consente di
                                                      formalizzare la situazione
                                                      problematica di tipo combinatorio con
                                                      la moltiplicazione:
                                                                          32=6

              Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018     47
Diagramma ad albero
Il diagramma ad albero può essere esteso a contesti combinatori con più di due
insiemi.

                                   M                         G

                                                  E

        p               f                                                 p               f
                                       p                 f

     M,p             M,f                                            G,p                 G,f
                                  E,p                    E,f

I rami dell’albero corrispondono a come possono essere abbinati i bambini con
i giochi; la moltiplicazione 3  2 = 6 può, dunque, essere interpretata come la
descrizione della struttura dell’albero:
3 rami, da ognuno dei quali partono altri 2 rami, portano a 6 uscite.
                Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018         48
AL GHIOTTONE
Al ristorante "Il ghiottone" il cuoco Gastone ha preparato, per il pranzo
di lavoro, il seguente menu del giorno:

    PRIMI PIATTI
                                                       SECONDI PIATTI
    •Pasta al ragù
                                                       •Scaloppina al limone
    •Spaghetti al pomodoro
                                                       •Trota alla mugnaia
    •Ravioli in brodo
                                                       •Arrosto di vitello
    •Gnocchi alla romana

 Quante possibili ordinazioni può fare un cliente che vuole prendere un
 primo ed un secondo?

              Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   49
AL GHIOTTONE

  PRIMI PIATTI
                                                      SECONDI PIATTI
  •Pasta al ragù
                                                      •Scaloppina al limone
  •Spaghetti al pomodoro
                                                      •Trota alla mugnaia
  •Ravioli in brodo
                                                      •Arrosto di vitello
  •Gnocchi alla romana

Traccia tra i due "menù" tutte le frecce necessarie per scoprire tutti i diversi
abbinamenti che si possono ottenere.

             Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   50
AL GHIOTTONE
Completa un diagramma ad albero che rappresenta le possibilità di scelta
del cliente

 Quanti primi piatti?                               Quanti abbinamenti?

 Quanti secondi piatti?                             Operazione ……………..

                 Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018   51
9o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO                         Prima prova gennaio - febbraio 2001

1. LE CARAMELLE DI CARLETTO (Cat. 3, 4)
Carletto è un bambino molto goloso.
Per il suo compleanno ha ricevuto in regalo una
scatola con 28 caramelle.
Ogni giorno ne mangia il doppio del giorno
precedente.
In tre giorni Carletto le ha mangiate tutte.
Quante caramelle ha mangiato Carletto in
ciascun giorno?
Spiegate come l’avete scoperto.

          Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018               52
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica (numerazione, addizione, doppio)
- Logica: ragionamento deduttivo, formulazione di ipotesi
Analisi del compito:
- Risoluzione per tentativi organizzati: scelto il numero di caramelle del primo
giorno (inferiore a 28:3), calcolarne il doppio per il secondo giorno e il doppio del
doppio per il terzo. Verificare ogni volta se la somma di tutte le caramelle
mangiate è 28.
- Risoluzione con l'uso delle parti: il 1° giorno mangia 1 parte, il 2° ne mangia 2
e il 3° ne mangia 4, in totale 7 parti.
- Concludere che Carletto ha mangiato 4 caramelle il primo giorno, 8 il secondo
e 16 il terzo.
Attribuzione dei punteggi:
4 Risposta corretta (4-8-16) con spiegazione esauriente che denota tentativi
organizzati o ragionamento coerente
3 Risposta corretta che evidenzia tentativi anche se non organizzati
2 Risposta errata causata da errori di calcolo ma ogni numero doppio del
precedente
1 Risposta errata: i numeri non sono uno il doppio dell’altro , ma la somma è 28
0 Incomprensione del problema o nessuna soluzione

                Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo               53
                                        aprile 2018
8o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO                              finale - maggio 2000

                           1. L'ACQUARIO (cat. 3, 4)

Paolo ha comprato dei pesci rossi che vuole mettere in un acquario
da 36 litri.
Per riempire l’acquario, va a prendere dell’acqua.
Egli ha a disposizione due brocche, una da 3 litri e una da 5 litri.
Ad ogni viaggio sceglie una sola brocca, la riempie fino all’orlo, e la
vuota del tutto nell’acquario.
Quanti viaggi, al minimo, dovrà fare per riempire
esattamente il suo acquario?

Spiegate la vostra soluzione.

           Patrizia Dova Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo aprile 2018         54
ANALISI A PRIORI
Ambito concettuale:
- Aritmetica : le quattro operazioni
Analisi del compito:
- Comprendere che ci sono più possibilità per riempire l’acquario e che bisogna
     cercare quella che necessita del minor numero di viaggi
- Comprendere che non ci deve essere resto
- Comprendere che con la brocca da 5 litri occorrono 8 viaggi e che ci saranno 4 litri di
     troppo –
- Trovare che si possono fare 6 viaggi da 5 litri e 2 viaggi da 3 litri e che questo è il
     minimo
Valutazione:
4 Risultato ottimale, 8 viaggi, con dettagli del numero dei viaggio da 3 litri (2) e da 5 litri
(6)
3 Risultato ottimale con spiegazione poco chiara, mostrando tuttavia che sono state
utilizzate le due brocche 2
Risultato non ottimale con le due brocche: 10 viaggi (3 da 5 litri e 7 da 3 litri) con
spiegazione
1 Risultato "8 viaggi senza alcuna spiegazione" o risultato “8 viaggi da 5 litri”, “12 viaggi
da 3 litri” o altre soluzioni che non rispettano tutte le consegne
0 Incomprensione del compito

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