La storia anarchica delLA MATEMATICA - "Niente di matematico deve essere insegnato - Unibas

la storia anarchica
     delLA MATEMATICA

"Niente di matematico deve essere insegnato
     per costrizione all'uomo libero"
      (Platone, Respublica, 536 e 1-2).
                   Luigi Borzacchini
    (Dipartimento di Matematica, Università di Bari)

Che ha a che fare la matematica
          con la libertà?
   • La disciplina meno amata, pesante e
superficiale, arida, non formativa, una divinità
                ostile, un moloch
  • il suo studio è autoritario, mnemonico,
 formale, ridotto a un duro addestramento su
         formule, dimostrazioni e regole.
• E’ una insufficienza didattica? E’ il limite di
una generazione di studenti incapaci? E’ colpa
     della TV, dei telefonini e di facebook?

• No, credo sia una questione più profonda.
  • Nel XX secolo la concezione dominante -
  anche nella opinione pubblica - è stata che la
   scienza sia sostanzialmente empirica, e che
      la matematica e la logica siano solo un
     indispensabile strumento linguistico, un
     metodo di compressione dati, lo sfondo
          comune di scienze e tecnologie.
• La matematica non è cultura, ma un insieme
       di tecniche e competenze ‘utili’ nelle
         applicazioni e per trovare lavoro.
            • Una materia di ‘servizio’.
       •

La non-storia della non-cultura
 una non-cultura possiede solo una non-storia, gli
    strumenti (il martello, il coltello) hanno solo la
     ‘cronaca’ lineare del loro perfezionamento, e
   quindi la storia della matematica non ha niente a
           che fare con la storia della cultura.
è solo la storia (noiosa) dalle tenebre della semplice
    evidenza intuitiva alla luce del crescente rigore
                      logico formale,
   che appare come una potenza estranea e ostile,
    anche se potente e indispensabile: il paradosso
     fatale di una civiltà fondata sulla matematica!

No. La storia della matematica è invece tutta dentro la
  storia della cultura, legata all’arte, alla musica, alla
                   religione, al linguaggio.
   Il rapporto con la filosofia: storie autonome ma
    intrecciate, l’Accademia Platonica, la Rivoluzione
         Scientifica. E un continuo interscambio:
       la filosofia naturale e la logica. La musica.
 • La matematica è la scienza unica e unitaria della
 struttura del mondo reale e di tutti i mondi possibili,
    la cornice intuitiva e teorica (e non solo la forma
    logico-linguistica con cui scriverla) in cui tutta la
               conoscenza empirica si iscrive.

è la matematica la vera 'cultura generale'.
• Cultura è sapere la data della nascita di Napoleone
  o che cosa è la ‘funzione’? Non solo la definizione,
   ma anche il suo rapporto con le idee di macchina,
         di intelligenza algoritmica, di calcolo, di
  proposizione logica, di legge naturale, di causalità.
   •  La più antica e universale delle discipline.
         • Eterna e universale perché banale?
• Benedetto Croce: le “ricette di cucina” (meccanica
   relativistica e quantistica, la metamatematica e i
  teoremi di Gödel, il computer, il DNA e la genetica,
  etc.), e gli “ingegni minuti” (Einstein, Bohr, Hilbert,
                       Turing, etc.)  Catarella

• Ma quando è apparso questo isolamento
          culturale della matematica? Fino
  all’Illuminismo la matematica era stata vista
      come portatrice di verità e libertà (dal
      bisogno, dalle malattie, dall’ignoranza)
  • dalla seconda metà del Settecento, con
   Rousseau, e poi Goethe e il Romanticismo,
nasce l’idea delle due culture e l’anti-scienza.
• E la nuova matematica appare sempre più
      formale e astratta, specialistica, con un
    linguaggio algebrico simbolico, culla della
           grande matematica moderna,
   • Ma incombe uno spettro  il rigore!

• Esiste un ‘principio’ originario del pensiero
  matematico, assoluto, fuori della storia e del
                linguaggio? Un’archè?
         • Il mondo delle idee? (Platone)
    • La categoria della quantità? Il metodo
         deduttivo? (Aristotele ed Euclide)
• L’intuizione e i giudizi sintetici a-priori (Kant)
• Il rigore formale e la logica matematica? (da
               Frege e Hilbert ad oggi)
     • Oppure la storia della matematica è
                      anarchica?

1. La Logica e il Mondo

• Ma tra il rigore logico e il mondo c’è
   un abisso, abbiamo bisogno di un
       ponte per collegarle: una
  grammatica/sintassi e un metodo.

La vulgata su matematica e rigore
   • 1. La matematica è fondata sul rigore,
    altrimenti non sarebbe vera scienza, ma
                 solo tecnica pratica.
• 2. La storia della scienza matematica è una
       storia dalle tenebre alla luce, dove le
  tenebre sono l’evidenza intuitiva e la luce è
             il crescente rigore logico.
• 3. Il metodo logico rigoroso è già di per sé il
   ‘motore immobile’ di tutta la matematica
                       possibile.

• Il rigore e il pensiero formale: la deduzione, il
       ‘ragionare senza comprendere’, la regola
         deduttiva, la manipolazione sintattica.
• , , quindi .
• ,  quindi
Nel primo la deduzione si appoggia anche su un
     contenuto, nel secondo è solo sintattica:
 , , quindi ,
La regola è qualcosa di estraneo che ci costringe

Il rigore algoritmico
• L’altro rigore. 
   64 = 24.
• Fino all’Ottocento la logica e il calcolo erano due
  cose opposte: la prima filosofica e geometrica, la
  seconda aritmetica e pratica (roba da mercanti!)
• All’inizio del Novecento si fondono: ogni
  dimostrazione è un calcolo, ogni calcolo è una
  dimostrazione. Di qui la teoria degli algoritmi e la
  scienza del computer.
• Il rigore algoritmico rientra nel rigore logico. Tutto il
  rigore formale si traduce nella deduzione logica e
  algoritmica, di cui il computer è il totem.

I Principia Mathematica di Russell e Whitehead.

    «Se ci vogliono 27
equazioni per provare che
1 è un numero, quante ce
     ne vorranno per
    dimostrare un vero
  teorema?» (Poincarè).

 I teoremi matematici
come ‘compressione’ di
     teoremi logici.

2. La Logica e la Matematica

 • La dimostrazione viene intesa
   come fatto sintattico formale.
    • Ma cosa garantisce il suo
       rapporto con la verità?

Le stagioni della logica
 • La logica nasce dal fatto che la nostra descrizione e
    conoscenza del mondo è fatta in forma linguistica.
        • Ci sono state tre età auree della logica:
  • La logica antica della physis, da Pitagorici ed Eleati
    ad Archimede, il rigore logico di Aristotele e quello
                    geometrico di Euclide
 • La logica tardo medievale (aristotelica e terminista)
           del testo – la Bibbia – nella Scolastica.
• La logica moderna della matematica, legata al
   formalismo e alla teoria degli insiemi. I due
   interludi: i secoli bui e … la scienza moderna!

Cosa c’era prima della dimostrazione euclidea?

                                            E’ meno rigorosa?
                                            NC3. se da uguali sono
                                            sottratti uguali, i resti
                                            sono uguali

la costruzione, che assume in Euclide la ‘forma’ linguistica: da
      costruzione evidente di soluzioni particolari, a metodo
                generale di dimostrazione logica:
         - una procedura sintattica e deduttiva generale,
   - più capace di evitare costruzioni ingannevoli (pseudaria)
     - con un maggiore potere espressivo (sequenze infinite,
                   dimostrazione per assurdo).
    Euclide crea un nuovo linguaggio matematico.

Il mondo logico della scienza greca
   • Proposizioni: , , 
• Oggetto: filosofia naturale, come scienza qualitativa
               delle cause e degli universali.
   • Deduzione: il sillogismo + i principi formali: non
               contraddizione, terzo escluso
  • Limiti e paradossi: senza individui, senza negativi
     (infinito) e senza relazioni: da  non si deduce ,
     • I paradossi dei Sofisti. Il mentitore: «io sto
                         mentendo»

La logica relazionale e infinitaria di Frege
  • Proposizioni: Predicato(t1, t2, ….. tn), per trattare gli
     individui e le relazioni: regala(Anna, Michele, libro).
  • Esistenza e universalità diventano quantificatori su
                       variabili individuali.
• Dimostrazione: una sequenza di formule ciascuna delle
  quali o è già nota (assioma o teorema già dimostrato) o
    si ricava dalle formule precedenti mediante regole di
      inferenza sintattiche, ad esempio da A e A B puoi
                            inferire B.
 • Distinzione e autonomia di sintassi (dimostrazione) e
            semantica (verità): “in ogni triangolo …”
  • Oggetto: la matematica. Il formalismo matematico
   sostituirà l’idea di ‘verità’ con l’idea di ‘dimostrazione’,
       che appare ormai come un ‘calcolo’ meccanico, si
     oppone e si sostituisce alla verità come intelligenza

la deduzione formale
                        • Il sillogismo: due proposizioni con un
                           termine comune e una conclusione.
                          «tutti gli umani sono mortali» + «tutti i
                          greci sono umani» «tutti i greci sono
                          mortali». Oppure «alcuni ateniesi sono
                        biondi» + «tutti i biondi sono robusti» 
                               «alcuni ateniesi sono robusti».
                         • Ma da «alcuni ateniesi sono alti» +
                        «alcuni ateniesi sono robusti» non si può
      Aristotele
                           dedurre niente di rilevante su ‘alti’ e
                                          ‘robusti’.
 I Libri Analitici di Aristotele sono la costruzione di un nuovo
 frammento del linguaggio greco, creato artificialmente con
una sua sintassi. E come si realizza oggi la stessa deduzione?

• «tutti gli umani sono mortali», «tutti i greci sono
  umani» e quindi «tutti i greci sono mortali». Oppure
  «alcuni ateniesi sono biondi» e «tutti i biondi sono
  robusti» e quindi «alcuni ateniesi sono robusti».
•
•       mortali          G  U UM               robusti    BR AB ≠ Ø
•        umani              GM      ateniesi      biondi     AR ≠ Ø
•          greci

•

• «nessun umano è immortale», «tutti gli dei sono
  immortali», e quindi «nessun umano è un dio»,
•          umani
•                                 dei           UI=Ø DI
•                                immortali         UD=Ø

•   …. ed anche qui ….

• «alcuni ateniesi sono robusti», «alcuni ateniesi
  sono alti», …..?
•             ateniesi          AtR ≠ Ø       AtAlti ≠ Ø      ateniesi
•                                          ?
•
•   robusti
•                        alti                    robusti             alti

• «nessun umano è immortale», «qualche
  immortale è biondo», …..?

•               immortali         UI=Ø        IB ≠ Ø                      immortali
umani                                      ?

                  biondi                                     umani           biondi

3. La Matematica dei Greci e
     la fine del Medioevo
• L’infinito, e l’opposizione tra discreto e
         continuo segnano il confine
   insuperabile della matematica antica.
                     E poi?

L’infinito e la teoria degli insiemi
 • Nella costruzione evidente non c’era spazio per l’infinito.
  Per i Greci in matematica era lecito solo l’infinito potenziale
        (puoi sempre aggiungere qualcosa: ogni intervallo è
       prolungabile a piacere) e non quello attuale (non puoi
           aggiungere più nulla: esiste la retta infinita non
           ulteriormente prolungabile, o il piano infinito).
  • La matematica moderna è costruita invece sull’infinito.
• Il finito si può descrivere elencandone gli elementi, l’infinito
      può solo essere rappresentato da un simbolo, e così gli
  insiemi nascono per trattare moltitudini infinite. Emerge un
      linguaggio simbolico, che tratti l’infinito anche attuale,
                   legato alla teoria degli insiemi.

Il continuo e l’infinito
           l’infinito e il continuo in Euclide.
Zenone, l’infinito e il moto (la rota Aristotelis), il
   confronto fra infiniti (il principio di Hume in
  aritmetica e l’assioma euclideo in geometria).
    Il cerchio blu e quello
    rosso appaiono uguali        1 - 2 - 3 - 4 - 5…
                                 1 – 4 – 9 – 16 – 25 - …
    A                A
    B                B

l’opposizione tra quantità continue e discrete, tra
  geometria e aritmetica: l’incommensurabilità 
 continuo e discreto si fondono nel numero reale e
    nella geometria analitica (Stevin, Descartes)

La quantità e le relazioni
• La matematica non è più la ‘scienza della quantità’.
       «I matematici non studiano gli oggetti, ma le
  relazioni tra oggetti» (Poincarè): per i greci gli interi
     e le figure erano aggettivi, mentre i numeri reali
     sono rapporti tra grandezze, le curve/equazioni
  sono relazioni tra variabili, la misura è una relazione
         rispetto all’unità campione: la scienza e la
    matematica moderne sono basate sulle relazioni.
   • Opposizione tra quantità continue e discrete,
 grandezze e numeri, tra geometria e aritmetica (con
   il numero reale, 3 +10/71< p < 3+1/7: un numero
  compreso fra due numeri e non un rapporto in una
                  relazione tra grandezze).

I NUMERI REALI E I NUMERI INTERI
               3.14159…….
                             il numero reale è una
                      grandissima invenzione (Stevin,
                         Galileo, Descartes) ma è del
                         tutto eterogeneo rispetto ai
                      numeri interi! 2 non è ‘uguale’ a
                            2.00000000000000….!
                     Che hanno in comune il numero
                          intero e il numero reale?
   e qui?
                        Praticamente serve il metro-
                        campione. E teoricamente?
   Due stelle e un   Alla fine dell’Ottocento Dedekind
   ventricolo?         assiomatizza entrambi, ma in
                          modo totalmente diverso.

Il labirinto del continuo (Leibniz)
• Il continuo era per Leibniz un ‘labirinto’, in cui la
   mente si perde. Per costruirlo occorre una divisione
   infinita attuale, e per questo i Greci non credevano
   nella esistenza reale dei punti. Se la retta è composta
   di infiniti punti (di dimensione 0) come può una
   somma di infiniti 0 essere diversa da 0? Sarà il
   calcolo integrale la risposta.
E qual è il punto subito a destra di un
punto dato? (il minimo numero reale
Positivo?). L’infinitesimo è la via di
uscita dal labirinto: x + dx è
il punto immediatamente a destra di
x: il linguaggio dissolve il paradosso

… e anche per i numeri interi.
• Perché le cifre indo-arabe sono una
  rivoluzione aritmetica?
• Per il carattere posizionale? Per lo zero?
• Il concetto di algoritmo, nel quale i segni
  numerici sono un ingrediente essenziale della
  operazione, sono ‘vivi’, mentre nella
  matematica dell’abaco i segni servivano solo
  per registrare, erano ‘morti’.
• Le cifre indo-arabe non sono più ‘rigorose’,
  sono un nuovo linguaggio

4. La cultura matematica e
 la Storia della Matematica

• La formazione matematica non è
   un sistema di competenze ma è
     cultura che si legge nella sua
    storia e la cui familiarità nasce
 con la creatività dei suoi linguaggi

Breve storia dell’Algebra
algebra aritmetica e simbolica
                                             FORMULE E ALGORITMI

                                                     matematica moderna

  NEWTON
 DESCARTES     gli algebristi italiani del
               Cinquecento
               Fibonacci e Jordanus, i
               maestri d'abbaco,
               al-Khwarizmi,
               Diofanto,                                matematica greca
algebra geometrica

INTUIZIONE GEOMETRICA

La figura e la formula
• L’algebra geometrica (II libro degli Elementi)
•      a         b              Non solo è evidente e
   a a2         a·b             generalizzabile, ma ci
                               porta anche a scoprire
                               i limiti dell’approccio
        a·b                    geometrico e la
    b                 b2       necessità dell’approccio
                               simbolico.
                               Ancora una creazione
                               linguistica, estendere
•                              Le capacità della
•   (a+b)2 = a2 + b2 + 2 a·b   Intelligenza matematica

Estrazione della radice quadrata
     a              A                   Q è il quadrato, A la
                                        sua radice
                                        approssimata.
                                        Q = (A + a)2
                                        = A2 + a2 + 2 a·A
                                        ≈ A2 + 2 a·A
                                        se l’approssimazione è
                                        buona. Da cui
                                        a ≈ (Q- A2)/ 2A. E allora
                                        A+a = A’ è la nuova
                                        radice approssimata.
Si può facilmente generalizzare alla estrazione della radice
cubica. Ma per la radice quarta occorre usare
(A+a)4 = A4 + 4 A3a + 6 A2a2 + 4 Aa3 +a4 ≈ A4 + 4 A3a .

… in conclusione …

  • dove sta il rigore?
 • dove sta la cultura?

Il rigore matematico
• Per noi molte dimostrazioni euclidee non sono del
  tutto rigorose (l’uno non è un numero, mancano lo
         zero, l’idea matematica di continuità e il
     trattamento di enti infinitari come il piano o lo
                        spazio, etc.)
 • Per i Greci il rigore era solo un effetto collaterale
  della verità, e sarebbero apparse loro non rigorose
    molte idee della matematica moderna (l’infinito
  attuale, la retta composta dai suoi punti, il numero
                        reale, etc.).
   • Il nostro ‘rigore’ matematico è più ‘rigoroso’?

• Trattare l’infinito oltre che il finito oggi è necessario,
    ma, sapendo che nel mondo non esiste niente di
               infinito, è anche più rigoroso?
 • Considerare gli enti matematici come enti astratti
    (relazioni) è oggi indispensabile, ma è anche più
      rigoroso che considerarli come attributi reali
             (aggettivi: molteplicità e figure)?
  • Immergere il discreto nel continuo, pur essendo
   molto dubbio, è molto utile per molte applicazioni
          scientifiche, ma è anche più rigoroso?
     • Ridurre la verità a dimostrazione formale è
  necessario - ad esempio per trattare l’infinito - ma è
         pure rigoroso, dopo i teoremi di Gödel?

formule, calcolo,
            algoritmi,              Il computer
            dimostrazioni formali

                intuizione,
                evidenza,           L’uomo
                familiarità
                cultura

  La matematica ha sempre avuto fondamenta
intuitive evidenti ed è sempre stata rigorosa, ma
  intuizione e rigore sono cambiate nei secoli.
   E oggi il computer ha automatizzato solo la
punta dell’iceberg della intelligenza matematica

• Il ‘rigore formale’ è una esigenza dei linguaggi
       formali, e non l’essenza della intelligenza
 matematica, che è invece basata soprattutto sulla
            ‘familiarità’ con quei linguaggi.
  • Il matematico è un creatore, trasformatore e
               padrone di quei linguaggi.
   • E la storia della matematica non è la marcia
trionfale del Rigore che emerge dalle tenebre della
  evidenza ingenua, è piuttosto la storia anarchica
della inaudita potenza e libertà del pensiero umano
nel creare e trattare linguaggi formali sempre nuovi
             più espressivi e più potenti …

… la matematica è la più antica, universale
     e profonda cultura dell’Uomo …

             GRAZIE