Il pensiero proporzionale: dai problemi all' attivita in classe
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Il pensiero proporzionale:
dai problemi all’ attività in classe
Maria Mellone* e Ciro Minichini**
maria.mellone@unina.it, c.minichini@indire.it
*Dipartimento di Matematica e Applicazioni “R.Caccioppoli
Università Federico II
** Istituto Nazionale Documentazione Innovazione Ricerca Educativa INDIRE
Pisa
20 Febbraio 2018
Ringraziamenti: Paolo Guidoni, Olga Mautone, Serena Sorrentino …
“Che colpa abbiamo, io e voi, se le parole, per sé, sono vuote? Vuote, caro mio. E voi le riempite del senso vostro, nel dirmele; e io nell'accoglierle, inevitabilmente, le riempio del senso mio. Abbiamo creduto d'intenderci, non ci siamo intesi affatto.” (Pirandello, Uno nessuno e centomila, 1925) In situazioni non standard si tende a dare rilevanza a fattori altri non legati al ragionamento matematico.
La mamma aggiunge 2 cucchiai di zucchero al
succo di 10 limoni per fare la limonata.
Quanti limoni sono necessari se sono usati 6
cucchiai di zucchero?
Questo problema è stato presentato a diversi bambini di
terza classe primaria.
Circa il 50% dei bambini attuava un ragionamento del tipo: se per
due cucchiai di zucchero ho bisogno di 10 limoni, per 6 cucchiai di
zucchero, considerabili come (2+4) cucchiai, ho bisogno di 10+4
limoni.
Applicavano la struttura additiva in un contesto proporzionale.
(Van Dooren, De Bock,Gillard e Verschaffel, 2011)
Giulia e Elena corrono alla stessa velocità su
una pista atletica. Giulia è partita prima, nel
momento in cui ha fatto 9 giri, Elena ne ha
fatti 3. Quanti giri avrà fatto Giulia quando
Elena ne avrà fatti 15?
Questo problema è stato proposto a 33 futuri
maestri.
Tutti, tranne uno, hanno risolto il problema cercando la
risposta attraverso l’equazione
9 x
= ⇒ x = 45giri
3 15
(Cramer, Post, Currier, 1993)
Problema dei giri Problema della limonata
Giulia e Elena corrono alla La mamma aggiunge 2 cucchiai di
stessa velocità su una pista zucchero al succo di 10 limoni per
atletica. Giulia è partita prima. fare la limonata.
Nel momento in cui ha fatto 9 Quanti limoni sono necessari se
giri, Elena ne ha fatti 3. Quanti sono usati 6 cucchiai di zucchero?
giri avrà fatto Giulia quando
Elena ne avrà fatti 15?
……Riconoscere strutture aritmetiche
…..un bel problema
L’operazione che ci dice che
operazione dobbiamo fare non
esiste!!!
Progettare attività complesse
su tempi lunghi
Le frazioni sono difficili (K. Hart, 1985) Una delle cause è certamente legata al fatto che i numeri razionali sono suscettibili di almeno sette significati diversi: frazioni, numeri decimali, classi di equivalenza di frazioni, rapporti, operatori moltiplicativi, elementi di un campo quoziente infinito ordinato, misure o punti sulla retta numerica. Durante gli anni della scuola elementare i bambini incontrano più volte i numeri razionali, ovviamente solo secondo alcune di queste accezioni, ma, come quando un attore sapientemente truccato diventa irriconoscibile, i bambini non riescono a riconoscerli, non riescono da soli a rendersi conto che c’è una sola astrazione matematica sottostante.
… Sulle rappresentazioni dei numeri razionali
Fenomeni di Bias: alcuni processi di funzionamento (ordinamento, densità,
algoritmi) validi nell’insieme dei numeri naturali vengono trasportati
erroneamente anche all’insieme dei numeri razionali.
(cfr. ad esempio Van Hoof, Degrande, Ceulemans, Verschaffel, Van
Dooren, 2018, Towards a mathematically more correct understanding of
rational numbers: A longitudinal study with upper elementary school
learners , Learning and Individual Differences 61, 99-108)
… Sui contesti di significato dei numeri razionali Kieren identifica cinque contesti di significato per la frazione: 1) Misura, 2) Rapporto (disomogeneo), 3) Quoziente, 4) Operatore, 5) Relazione parte-tutto
(Charalambous e Pitta-Pantazi, 2005)
La molla K=(l-l0)/p
PROBLEMA DI ACQUA E ZUCCHERO Il ricercatore versa quattro bicchieri d’acqua in una bottiglia e poi vi versa quattro bustine di zucchero e mescola. Il ricercatore riempie il bicchiere d’acqua e vi versa due bustine di zucchero e mescola. Vengono poste le seguenti domande: - è più dolce l’acqua del bicchiere o quella della bottiglia? - Se si, come si fa per renderli dolci uguali? - che somiglianza c’è tra questo problema ed il funzionamento della molla?
Ripartiamo dall’osservazione di Lucia:
“non sono sicura che la dolcezza venga valutata
attraverso i sensi in termini di rapporto numerico tra
acqua e zucchero!!!”PROBLEMA DI ACQUA E COLORANTE
confronta e ordina le 6 soluzioni per intensità di colore
6 bicchieri riempiti rispettivamente di
3ml di colorante 4ml di colorante 5ml di colorante
in in in
200 ml di acqua 250 ml di acqua 300 ml di acqua
5ml di colorante 6ml di colorante 7ml di colorante
in in in
200 ml di acqua 250 ml di acqua 300 ml di acqua
C’è differenza tra immaginare questa situazione e lavorarci concretamente?Un percorso sperimentale
tratto dalla tesi di laurea in Scienze della Formazione Primaria
«Parole, disegni e numeri per un modello fisico»
di Serena Sorrentinoprima esplorazione fenomenologica
emergere delle grandezze
Nel bicchiere A il colore si è squagliato di meno, nel bicchiere B un po’ di più, nel bicchiere C molto più tanto ed è
stato molto più veloce, la B di meno e la A molto più lento. Osservazione numero 2: messi i dischetti, A si squaglia
pianissimo, B un po’ più veloce, C velocissimo, diventano di colore rosso. […] nella A l’acqua è colorata di meno di
rosso, la B un po’ di più, nella C l’acqua è proprio rosso rosso. (André)
Nell’acqua fredda il dischetto di carta si scioglieva più lentamente perché l’acqua è più fredda, quindi la carta
crespa viene raffreddata. Ora vi faccio un esempio: il ghiaccio nell’acqua fredda si scioglie velocemente? No! Si
scioglie lentamente! Fate quest’esempio con le altre temperature. L’acqua fredda è molto importante per
mantenere freddo e compatto il ghiaccio. L’acqua fredda fa espandere il colore più lentamente dell’acqua tiepida
e calda. (Camilla)prima esplorazione fenomenologica
emergere delle grandezze
La carta crespa ha scaricato altro colore rosso dentro l’acqua fredda perciò l’acqua fredda è più opaca. (Eva)
Secondo me l’acqua si colora perché nella carta crespa ci sono dei coloranti che nell’acqua si sciolgono di più
quando l’acqua è più calda. (Zoe)
Una prima interpretazione
microscopicaordinamenti e conservazione
grandezze per confrontare e ordinare
Zoe: perché il colore è già tutto sceso, su quelli della tiepida ce ne sono un po' in più, su quello della calda ce ne
sono molti perché il colore è tutto nell'acqua.
Claudia: perché si era scaricato il colore. Ho usato la carta nel bicchiere C per far capire che si era consumato
tutto il colore del dischetto.
Claudia Zoeordinamenti e conservazione
grandezze per confrontare e ordinare
Andrea: visto che dite di aver contato la quantità del
colore, secondo me non è così! Hanno contato la diversità
del colore! Quantità del colore non significa il colore più
chiaro e più scuro! Quantità è la quantità, non è la
diversità. Per esempio se nell’acqua calda ce n’è così,
questa è la quantità! Quantità non significa colore diverso!
Camilla: sì, ma l’acqua non era tutta rossa.
Andrea: la quantità per me non vuol dire che un colore è
più chiaro o più scuro.
Camilla: no, per me è la stessa cosa.
Camilla e Diana
Andrea: secondo me quella si chiama la diversità dei colori.
Camilla: no, noi qui abbiamo fatto più scuro, quindi
abbiamo usato più colore!
André: io credo che Camilla dice la quantità di colore nel
bicchiere, nel rosso. Infatti nella fredda la quantità di
colore è di meno, nella calda di più.ordinamenti e conservazione
grandezze per confrontare e ordinare
Lorenzo: io l’ho fatto con il nastro verde. Al contrario di Camilla io ho
contato la quantità di colore, no il colore, la velocità di come scende.
Non ho fatto più colore, ho fatto più cose dello stesso colore.
Francesco: è la stessa cosa. Lorenzo ha messo i
nastri e Zoe ha messo i semi. Serena, ho capito
una cosa. Tutti e due stanno rappresentando,
Lorenzo non il colore, ma la quantità del colore.
Andrea: tutti i due modelli stanno
rappresentando la quantità. Però a questo di
Prima introduzione dell’idea di Lorenzo manca una cosa. In Zoe ci stanno i
dischetti con meno semini, perché hanno
grandezza come quantità scaricato più colore.ordinamenti e conservazione
grandezze per confrontare e ordinare
Diana Zoe Andrea
Trasferimento, conservazione,
relazione d’ordineuniformità
configurazioni spaziali
Diana: l’acqua calda è come se ospitasse il colore.
Francesco: praticamente nell’acqua calda si è sciolto, quindi si espande. Nella
fredda si è ammucchiato sotto.
Acqua come contenitore
Colorante come contenutouniformità
una analogia
Serena: abbiamo pensato se questo gioco può essere simile all’esperimento.
Olga: la terra a cosa rassomiglia nell’esperimento?
Diego: all’acqua.
Zoe: i tubetti sono il colore.
Elementi per una rappresentazione,
mutuati da un altro contestouniformità
rappresentazione della distribuzione
Le parti di colorante così come sono
disposte nell’acqua freddauniformità
rappresentazione della distribuzione
Simone: Ci sono tanti modi di rappresentarla, basta m ettere un po’ sparsa.
Per esempio, io per fare l’acqua calda ho stabilito una regola.
Serena: quale regola?
Simone: la regola è contare. Un po’ più… ho messo prima, poi facevo così,
poi un altro, poi così, poi un altro.
Olga: per rappresentare cosa?
Simone: per rappresentare il colore che si espandeva, però non si nota va Diego
Simone
bene che c’era una r egola, perché quando l’ho fatto si vedeva che era
tutto sparso come nella calda, non si vedeva che c’era una regola.
Olga: qualcun altro ha usato una regola? Zoe, tu?
Zoe: a me c’è una r egola per ogni rigo. Qua ci stanno 3 e 3 e 2 quadretti di
distanza, qua ci stanno.
Olga: cioè ogni riga ha una regola diversa?
Zoe: sì!
Olga: Claudia, c’è una regola per te? Zoe André
Claudia: a me non è come Zoe, io li ho posizionati tutti i tubetti nella stessa
posizione. Per esempio, in orizzontale e in verticale ci sono sempr e du e
quadretti.
Simone: ah! Ecco perché era così perfetto il suo!
Olga: era perfetto, ma perché, tu cosa volevi rappresentare così?
Claudia: quando era finito l’esp erimento, perché si era distribuito in
maniera uguale. Eva
Claudiarappresentazioni
interpretazione e uso
Claudia: io vedo [n ella configurazione di Christian] che nel primo gruppo
c’è un tubetto, poi in tutta quella linea c’è un tubetto, però in posizioni
diverse.
Michele: c’è un po’ una regola, un poco però.
Claudia: non rappresenta uguale al mio, nella prima sì, ma dopo, qua non
ci sta niente, poi qua tre.
Serena: che significa nell’esperimento?
Simone: su o gni part e ci d eve star e un tub etto. Ci deve esser e alm eno una
regola.
Claudia: quello di Christian non c ’è una r egola, n ella prima parte c’è, ma
nelle ultime due no.
Serena: vorrei capire se quest e due configurazioni rappresentano lo stesso
modo di come il colore si è distribuito nell’acqua calda
Claudia: no! Perché in un punto ce ne sta di più, in un punto meno.
Olga: se veramente fosse così, che cosa ci dice questa?
Eva: il colore non è più sparso molto b en e, perché li sarà più scuro, là
meno scuro e là proprio bianco.rappresentazioni
distribuzione e correlazione
Simone: però dobbiamo tenere conto che cosi sarebbe sbagliato anche quello di Claudia, perché anche a lei mancano i
quadretti. Se da questo a un altro mancano due quadretti non può essere che l’acqua cambia in quel punto. Perché allora
anche quello di Claudia è sbagliato.
Claudia: sì, perché se avessi avuto tutti i tubetti di tutti i quadratini avrei messo ogni tubetto in ogni quadratino, perché io
volevo rappresentare l’acqua calda che era tutta rossa.
André: io volevo dire che il colorante è un liquido, quindi quando lo metti nell’acqua si espande e quindi non copre solo
quello spazio, ma un po’ di più.
Eva: comunque a Claudia è giusto, perché una tacca di colore si espande qua, questa si espande qua, questa qua [indica le
crocette disegnate sulla lavagna e il loro spazio di pertinenza in cui il colore si espande].
Ginevra: ma perché Christian in un blocco ha messo tre tubetti e in un blocco uno solo?
Olga: perché li ha messi sparsi senza una regola, ha detto Zoe che molti hanno fatto così.
Francesco: invece Claudia è l’unica che ha pensato. Il colore è uguale, l’acqua lascia sempre lo stesso spazio.
Michele: diciamo che la regola di Claudia, un tubetto, un blocco, riempie tutto.numeri e operazioni
divisione e misura
Serena: come possiamo fare per rispondere all’esigenza di Claudia?
Zoe: secondo me si può prendere una pasta più piccola e si può fare che ogni tubetto
vale nove di pasta piccola.
André: dobbiamo rompere i tubetti, tagliare.
Francesco: in quanti parti poi lo dobbiamo dividere?
Zoe: secondo me in nove!
Zoe: io e André è come se abbiamo detto la stessa cosa. Io dico che ogni tubetto vale
nove, e lui dice che dobbiamo dividere il tubetto in nove parti, quindi e come se
diciamo la stessa cosa.
Serena: possiamo dividere praticamente un tubetto in nove parti?
Voci: no!
Simone: facciamo valere un tubetto nove parti.
Voci: con la pastina.
Ginevra: se prendiamo il riso e invece di tagliare i tubetti, prendiamo nove chicchi.
Zoe: prendiamo un foglio in pezzi!numeri e operazioni
frazioni
Zoe: ho fatto così siccome qui ce ne sta uno solo, così in tutta la
fila. Però se andiamo qua, ci stanno due quadratini, è come se
Christian dice che in quel punto c’è più colore.
Serena: bene, tu quindi cosa hai fatto?
Zoe: ho messo questi nove. Però poi, dato che me ne avanzavano
nove, li ho messi e mi sono accorta che ne avevo messi due.
Serena: quindi lei si trova che c’ha due quadratini blu in ogni
spazio. Poi come hai fatto?
Zoe: qui non ho messo niente perché Christian non ha messo
nulla. Però qui che ce ne sono tre, allora io ne ho messi nove. Poi
però me ne restavano diciotto, quindi ho messo anche gli altri e
stavamo a due, poi ho messo anche l’altro e me ne sono
ritrovata tre. Io ho detto che ci sono tre pezzi piccoli in ogni
spazio.numeri e operazioni
frazioni
Zoe: lui deve prendere due e due dallo stesso quadrato, invece Due modi per rappresentare
la rappresentazione che ho fatto io deve prendere 1/9 da un
quadrato e un altro da un altro spazio! due noninumeri e operazioni
frazioni
Rappresentare
dieci nonicorrelazioni Due serie di soluzioni
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