GAME THEORY E RETI Vincenzo Auletta - STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI
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STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI
GAME THEORY E RETI
Vincenzo Auletta
Università di SalernoGAME THEORY E NETWORKS
Autunno 2012
¢ Fino ad ora abbiamo visto
La struttura delle reti
Game theory classica
Struttura delle Reti Sociali
Evolutionary game theory
¢ Proviamo a combinare insieme le reti e la Game
Theory
Come si sceglie la strada da percorrere in funzione del
traffico esistente?
Come vengono istradati i pacchetti in una rete di
comunicazione in funzione della congestione della rete?
1IL PROBLEMA DEL TRAFFICO
Autunno 2012
¢ Perché il traffico dovrebbe essere descritto
utilizzando il ragionamento strategico?
Gli individui non scelgono la rotta da percorrere in
Struttura delle Reti Sociali
isolamento
Tengono conto delle decisioni degli altri individui e
considerano il traffico sui vari percorsi
¢ Cosa scopriremo utilizzando la teoria dei giochi?
In alcuni casi aggiungendo capacità ad una rete
otteniamo un rallentamento complessivo del traffico
In ogni caso il rallentamento non è mai drammatico
2ROUTING NETWORKS
Autunno 2012
¢ Il traffico vuole fluire da una sorgente ad una destinazione
In questo caso le persone vogliono andare da s a t
x / 10
Struttura delle Reti Sociali
s t
1
¢ Gli archi hanno una latenza o ritardo
Tempo impiegato a percorrere quei collegamenti
¢ La latenza può dipendere dalla strada e dalla quantità di altri
individui che stanno percorrendo la stessa strada (congestione
o traffico)
Latenza dell’arco superiore dipende dal traffico
3
Latenza dell’arco inferiore fissaROUTING GAMES
Autunno 2012
¢ Tuttigli autisti prendono delle decisioni autonome
per scegliere la strada da percorrere
I giocatori sono tantissimi ed ognuno vuole minimizzare
Struttura delle Reti Sociali
la latenza del proprio percorso
Ognuno di loro ragiona strategicamente cercando di
prevedere che strada sceglieranno gli altri autisti
4ROUTING GAMES
Autunno 2012
¢ Definizione di un Routing Game come gioco
strategico
N giocatori (n molto grande)
Struttura delle Reti Sociali
Ogni giocatore ha come possibili strategie tutti I percorsi
che lo portano dalla sua sorgente alla destinazione
Il costo di un giocatore è dato dal suo tempo di
percorrenza nella rete
¢ I routing games sono problemi di costo
Ogni giocatore vuole minimizzare il suo tempo di
percorrenza
5ROUTING GAMES
Autunno 2012
¢ Come ragionano gli autisti se ci sono solo 10 auto sulla
strada?
x / 10
Struttura delle Reti Sociali
s t
1
Nella peggiore delle ipotesi il percorso superiore costa 1 e non è
mai peggiore di quello inferiore
¢ E se ce ne sono 100?
Il percorso superiore conviene solo se lo utilizzano poche auto
¢ Proviamo a chiederci
6
Come è fatto il traffico nell’Equilibrio Nash?UN ALTRO ESEMPIO
Autunno 2012
Struttura delle Reti Sociali
¢ Due percorsi alternativi per andare da A a B
Le latenze sono segnate sugli archi
¢ Supponiamo che 4.000 auto devono andare da A a B
Quale sarà il tempo medio di viaggio?
7UN ALTRO ESEMPIO
Autunno 2012
Struttura delle Reti Sociali
¢ Se tutti prendono il percorso superiore
Ogni auto impiega 85 per giungere a destinazione
¢ Se tutti prendono il percorso inferiore
Ogni auto impiega 85 per giungere a destinazione
¢ Se si dividono in parti uguali
Ognuno impiegherà 65
Nessun autista è incentivato a cambiare (Equilibrio Nash) 8
¢ Esistono altri Equilibri Nash?CARATTERIZZAZIONE DI SOLUZIONI IN
EQUILIBRIO NASH
Autunno 2012
¢ Unasoluzione è in Equilibrio Nash se e solo se i
tempi di attraversamento di tutti i percorsi
sorgente-destinazione utilizzati sono uguali
Struttura delle Reti Sociali
¢ Seesistesse un percorso con tempo di
attraversamento inferiore ci sarebbe almeno un
autista incentivato a cambiare percorso
¢ Nell’esempiodella slide precedente esiste un solo
Equilibrio Nash
9PARADOSSO DI BRAESS (1968)
Aggiungiamo una nuova velocissima autostrada alla rete
Autunno 2012
¢
Struttura delle Reti Sociali
¢ Cosa succederà alla rete?
È ragionevole supporre che i tempi di percorrenza
diminuiranno
In realtà .... ognuno sceglie il nuovo percorso A-C-D-B e tutti
pagheranno 80
¢ L’aggiunta di una nuova strada ha peggiorato i tempi di
percorrenza di tutti gli autisti!!! 10CONSIDERAZIONI SUL PARADOSSO DI BRAESS
Autunno 2012
¢ Ci sono molte situazioni in cui l’aggiunta di nuove alternative
provoca una perdita di utilità per tutti i giocatori
Nel Dilemma del Prigioniero se tutti i giocatori avessero come
unica alternativa di non confessare otterrebbero tutti un beneficio
Struttura delle Reti Sociali
¢ E’ possibile ridurre o eliminare l’effetto del paradosso di
Braess disincentivando l’utilizzo del link che fa da attrattore
Per esempio inserendo dei pedaggi
¢ La scoperta del paradosso di Braess ha dato il via a numerose
ricerche ad esso collegate
Di quanto può può aumentare il tempo di percorrenza in un
Equilibrio Nash dopo l’inserimento di un nuovo link in una rete
arbitraria?
Roughgarden e Tardos hanno dimostrato che, se le latenze sono
lineari, i tempi di percorrenza possono al massimo aumentare di 11
4/3.PROBLEMI LEGATI AL PARADOSSO DI BRAESS
Autunno 2012
¢ Come si possono costruire reti in cui non si possono
verificare equilibri inefficienti?
Struttura delle Reti Sociali
¢ Come devono essere definiti i pedaggi per evitare
che si verifichino equilibri inefficienti?
¢ Chiè interessato può far riferimento alla tesi di
PhD di Tim Roughgarden su modelli di teoria dei
giochi per descrivere il traffico di una rete
12COSTO SOCIALE DI UN PATTERN DI
TRAFFICO
Autunno 2012
¢ Il paradosso di Braess è un aspetto di un fenomeno più
generale
Struttura delle Reti Sociali
¢ Un pattern di traffico è una configurazione di traffico
prodotta quando ogni giocatore ha scelto un percorso per
andare dalla sua sorgente alla sua destinazione
Sorgenti e destinazioni possono differire tra I giocatori
¢ Il costo sociale di un pattern di traffico è dato dalla
somma dei tempi di percorrenza di tutti i giocatori
¢ Il costo sociale di un traffico in equilibrio può essere non ottimale
¢ Di quanto il costo sociale di un pattern di traffico in
equilibrio può essere peggiore di quello di un traffico 13
definito centralmente da un autorità unica?MISURE DI QUALITÀ DELLE SOLUZIONI IN
EQUILIBRIO
Autunno 2012
¢ Per descrivere in maniera la qualità delle soluzioni in equilibrio
per un dato gioco sono state introdotte due quantità
¢ PoA (Price of Anarchy)
Struttura delle Reti Sociali
max{tutte le soluzioni in equilibrio A} cost(A)/cost(OPT)
¢ PoS (Price of Stability)
min{tutte le soluzioni in equilibrio A} cost(A)/cost(OPT)
¢ Il PoA misura la massima perdita di efficienza che può essere
indotta dalla mancanza di un coordinamento centrale
Se PoA è piccolo non è importante avere un autorità centrale
Se PoA è grande è opportuo intervenire nel gioco per evitare gli equilibri
più cattivi
¢ Il PoS misura la perdita di efficienza che dobbiamo mettere in
conto per la mancanza di un coordinamento
Se PoS è piccolo esistono soluzioni in equilibrio efficienti che, se proposte 14
ai giocatori, sono ritenute accettabiliUN ESEMPIO
8.3. ADVANCED MATERIAL: THE SOCIAL COST OF TRAFFIC AT EQUILIBRIUM251
Autunno 2012
C
C
5
x
Struttura delle Reti Sociali
5
x
0
A B
0
A B
5
x
5
x
D
D
Social
(a) costoptimum.
The social = 28 Social
(b) cost
The Nash = 32
equilibrium.
Pattern socialmente ottimo Pattern in Equilibrio Nash
Figure 8.4: A version of Braess’s Paradox: In the socially optimal tra⇤c pattern (on the
left), the social cost is 28, while in the unique Nash equilibrium (on the right), the social
¢ Per
cost is 32.una rete generica
Esiste sempre un pattern di traffico in Equilibrio Nash?
Come troviamo i pattern di traffico in Equilibrio Nash? 15
pattern? We have seen examples in Chapter 6 of games where equilibria do not exist using
Qual èand
purestrategies, il PoA per
it is not questio
a priori gioco?
clear that they should always exist for the tra⇤c game
we’ve defined here. However, we will find in fact that equilibria always do exist. The second
main question is whether there always exists an equilibrium tra⇤c pattern whose social costBEST-RESPONSE DYNAMICS E EQUILIBRI
NASH
Autunno 2012
¢ Una best-response dynamics è una procedura che parte
da una soluzione arbitraria e
Finché esiste un giocatore x che ha un’alternativa migliore di
Struttura delle Reti Sociali
quella giocata nella soluzione corrente
Cambia la strategia giocata da x scegliendo la migliore
alternativa possibile (date le scelte degli altri giocatori)
¢ Quando la best-response dynamics termina la soluzione
trovata è un Equilibrio Nash
¢ Se riusciamo a dimostrare che la best-response dynamics
termina sempre
abbiamo provato che il problema ha un Equilibrio Nash puro 16
Abbiamo fornito un algoritmo che permette di trovarne unoMETODO DEL POTENZIALE
Autunno 2012
¢ Un metodo per provare che best-response dynamics
convergono è trovare una funzione Φ definita su
tutte le soluzioni del problema tale che
Struttura delle Reti Sociali
Ogni volta che un giocatore cambia la sua strategia
migliorando il suo payoff il valore di Φ diminuisce
Poiché la funzione Φ può assumere solo un numero finito
di valori e non può mai assumere due volte lo stesso
valore dopo un numero finito di passi deve
necessariamente terminare
¢ Una funzione Φ è una funzione potenziale tale che per ogni
soluzione x e per ogni giocatore i
¢ Φ(xi, x-i) - Φ(x’i, x-i) = ui(x’i, x-i) - ui(xi, x-i)
¢ Ogni volta che un giocatore fa una mossa che incrementa il suo
17
payoff fa diminuire il valore del potenzialeFUNZIONE POTENZIALE PER IL ROUTING
GAME
Autunno 2012
¢ Il
costo sociale di un pattern di traffico non è una
funzione potenziale
Un giocatore può diminuire il suo tempo di
Struttura delle Reti Sociali
attraversamento a spese degli altri (vedi par. Braess)
¢ Funzione potenziale
Φ(x) = Σe Φe(x)
Φe(x) = te(1)+te(2)+ … te(xe)
dove te() è la funzione latenza dell’arco e xe è il numero di
percorsi che in x attraversano l’arco e
¢ Lafunzione potenziale non ha nessun significato
particolare e serve solo a misurare il progrsso della 18
best-response dynamics254 CHAPTER 8. MODELING NETWORK TRAFFIC USING GAME THEORY
UN ESEMPIO
Autunno 2012
energy = 1+2 energy = 5+5
C energy = 1+2 energy = 5
C
5
x 5
x
Struttura delle Reti Sociali
0
A B 0
A B
5 5
x x
D D
energy = 5+5 energy = 1+2 energy = 5+5 energy = 1+2+3
(a) The initial traffic pattern. (Potential energy is (b) After one step of best-response dynamics. (Po-
26.) tential energy is 24.)
energy = 1+2 C energy = 0
energy = 1+2+3 C energy = 0
5
x 5
x
0
A B 0
A B
5
x 5
x
D
19
D
energy = 5+5 energy = 1+2+3+4
energy = 5 energy = 1+2+3+4
(c) After two steps. (Potential energy is 23.) (d) After three steps. (Potential energy is 21.)
energy = 1+2+3+4 C energy = 0BOUND SUL POA
Autunno 2012
¢ Φe(x) = te(1)+te(2)+ … te(xe)
¢ Tempo complessivo di attraversamento dell’arco e è
¢ Total-travel-time(e) = xete(xe)
Struttura delle Reti Sociali
¢ ½ Total-travel-time(e) ≤ Φe(x) ≤ Total-travel-time(e)
¢ Sommando su tutti gli archi abbiamo
¢ ½ social-cost(x) ≤ Φ(x) ≤ social-cost(x)
¢ social-cost(x’)
≤ 2Φ(x’) ≤ 2Φ(x) ≤ 2 social-cost(x)
¢ Quindi PoA ≤ 2 20Puoi anche leggere
