Fondamenti della matematica - Sesta lezione - Presentazione standard di PowerPoint

Fondamenti della
 matematica
 Sesta lezione

Il primo ampliamento:

i numeri interi

Un po’ di storia
 (tratto da: ‘Breve storia dei numeri relativi’)
• La presenza dei numeri negativi nella storia dell'uomo si può
 far risalire alle civiltà antiche in cui si svilupparono i commerci:
 essi servivano per contrassegnare il debito o la spesa in modo
 diverso rispetto al guadagno o ricavo.
• Ma la presenza di numeri con segno rimase a lungo ‘confinata’
 nell’aritmetica pratica : l'idea che numeri di questo genere,
 potessero essere accettati come soluzioni di problemi o
 manipolati con regole ben precise compatibili con quelle degli
 altri numeri ‘normali’ si affermò a fatica nel corso dei secoli.
• L’accettazione dei numeri negativi è legata anche
 all’accettazione dello zero: intendere zero come numero,
 porta immediatamente all’idea dei numeri negativi ed
 all’accettazione di sottrazioni nelle quali il minuendo è minore
 del sottraendo

• Intorno al 600 dopo Cristo alcuni matematici indiani
 compresero le regole algebriche fondamentali per
 trattare i numeri negativi ma rimase una diffidenza di
 fondo che si tramandò, insieme al loro uso, ai
 matematici arabi, che con i loro trattati fusero le
 conoscenze del mondo greco con quelle delle culture
 orientali, tramandandole ai matematici europei del
 medioevo.
• Famoso fra questi fu Leonardo Pisano detto Fibonacci
 (circa 1170 - circa 1250) che con i suoi trattati introdusse
 la notazione numerica arabo-indiana in Occidente e con
 essa anche i numeri che indicavano debiti e crediti,
 facendone uso nei calcoli ma scartando ancora le
 soluzioni negative dei problemi.

• Il primo matematico moderno a concepire numeri
 relativi come soluzioni di equazioni fu l'italiano Rafael
 Bombelli (1526-1572) che mostrò come i numeri
 negativi potessero avere un significato anche nella vita
 di tutti i giorni se si da loro la giusta interpretazione.
• Contraddizioni e dispute sulla loro definizione rigorosa,
 sul loro uso e sul loro ruolo e legame con gli altri
 insiemi numerici, si risolveranno solo nell'Ottocento e
 agli inizi del Novecento.
• Gradualmente sempre più i numeri relativi svelarono le
 loro potenzialità, ed entrarono a far parte della
 Matematica a pieno diritto grazie ai trattati di Eulero
 (1707-1783) e Gauss (1777-1855).

Perché i numeri relativi
• Esigenze pratiche:
-debiti, crediti
-temperature sopra o sotto lo zero
-altezze e profondità
-……
• Esigenze ‘matematiche’
-rendere la sottrazione un’operazione interna
-risoluzione delle equazioni
(es. l’equazione + 5 = 3 non ha soluzioni in )

La struttura algebrica dei numeri interi
Consideriamo × = , ; , ∈ 
Sia R una relazione tra le coppie dell’insieme così definita:
 , , ↔ + = + 
Dimostriamo che è una relazione di equivalenza
E’ riflessiva
• , , perchè + = + 
(vale la proprietà commutativa tra i naturali)
E’ simmetrica
• Se , , vuol dire che + = + , ma poiché ne segue
 che + = + per la proprietà commutativa e per la proprietà
 simmetrica dell’uguaglianza ciò comporta che
 ( , ) ( , )

• È transitiva
 , , → + = + 
 , , → + = + 
Sommando membro a membro:
 + + + = + + + 
Cancelliamo gli elementi uguali
 + = + → , ( , )
La relazione è quindi di equivalenza e divide l’insieme × in
classi di equivalenza:
Es. 0,3 , 1,4 , 2,5 … 91,94 , …
 4,0 , 6,2 … . 18,14 … .
 0,0 , 3,3 … . 1000,1000 …

Ognuna di queste classi è un numero di , cioè un numero
relativo. Cioè = × / (insieme quoziente)
Noi conveniamo di scrivere tutti i numeri rappresentati
dalle coppie del tipo:
• 0, → − ∈ 
• , 0 → + 
Da qui, definendo in modo opportuno la somma e il
prodotto, si deducono le regole per operare con questi
nuovi numeri. Le regole verranno qui presentate nel modo
usuale
Due numeri interi si dicono concordi se hanno lo stesso
segno, discordi in caso contrario.

Ordinamento
Definiamo innanzitutto il valore assoluto di un numero.
Dato un numero relativo , il suo valore assoluto è rappresentato dal
numero senza il segno.
Es: −3 = 3; +3 = 3
Si può dire, di fatto che l’insieme dei valori assoluti dei numeri interi
coincide con i numeri naturali, quindi valgono per essi tutte le
proprietà dei naturali
Chiamiamo opposti due numeri che hanno stesso valore assoluto e
segno diverso.

Relazione d’ordine in Z:
• 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero
 positivo
• Ogni numero negativo è sempre minore di ogni numero positivo
• Dati , ∈ , se i due numeri sono positivi ≥ ≥ 
• Dati , ∈ , se i due numeri sono negativi ≥ ≤ 

L’ordinamento dei numeri relativi può essere efficacemente
rappresentato sulla retta orientata

Somma e sottrazione
• La somma di due numeri interi concordi è un intero
 che ha
 - segno uguale a quello degli addendi
 - valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due
 numeri
• La somma di due numeri interi discordi è un intero
 che ha
 - segno uguale a quello dell’ addendo con valore assoluto
 maggiore
 - valore assoluto uguale alla differenza tra il valore assoluto
 maggiore e quello minore.
• La differenza tra due interi è la somma del minuendo
 con l’opposto del sottraendo: − = + (− )

Come conseguenze si ha che, negli interi
• anche la sottrazione è una operazione interna
• non si parla più di addizione e sottrazione, ma
 di somma algebrica
• ogni equazione del tipo
 + = 
 ha sempre una e una sola soluzione in .

Regole pratiche
• Se il numero è positivo si può omettere il segno. Es.
 5 = +5
• Se davanti ad una parentesi abbiamo:
- il segno più: si toglie la parentesi lasciando inalterati i
 segni.
- Il segno meno: si toglie la parentesi cambiando tutti i
 segni.
- Es.: −3 + −2 + 5 − 1 = −3 − 2 + 5 − 1
 5 − −4 + 7 − 2 + 5 = 5 + 4 − 7 + 2 − 5

Somma algebrica: proprietà
 È una operazione interna:
 ∀ , ∈ , + ∈ 

 Vale la proprietà associativa:
 ∀ , , ∈ , + + = + ( + )
 Vale la proprietà commutativa:
 ∀ , ∈ + = + 
 Neutralità dello 0:
 ∀ ∈ , + = + = 
 Simmetrizzabilità:
 ∀ ∈ , ∃ ′ ∈ : + ′ = 

 ’ si chiama elemento simmetrico di e nel nostro caso è esattamente
l’opposto di 

Moltiplicazione e divisione
• Il prodotto di due numeri interi è un numero intero
 che ha:
 - valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori
 - segno positivo se i numeri sono concordi e negativo se i numeri
 sono discordi
• Il quoziente di due numeri interi, con il divisore
 diverso da 0, quando è possibile, è un numero che
 ha:
 - valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del
 dividendo e del divisore
 - segno positivo se i numeri sono concordi e negativo se i numeri
 sono discordi

Per moltiplicazione e divisione tra gli interi rimangono
valide tutte le proprietà che sono valide nei naturali.
Vale anche la proprietà distributiva di moltiplicazione e
divisione rispetto alla somma algebrica.

È possibile giustificare il fatto che
 − ∙ − = + ?

Il secondo ampliamento:

i numeri razionali

Un po’ di storia
(tratto da: ‘Numeri razionali e misure’ di Andrea Gorini)

• L’esigenza di indicare delle quantità non intere accompagna la
 storia dell’uomo, perché è legata alla necessità di misurare.
• Già nelle iscrizioni egiziane si incontrano frazioni aventi come
 numeratore l’unità.
• Nella matematica babilonese, il cui sistema di numerazione era
 misto e a base 60, venivano usate le frazioni con denominatore 60.
• Nel mondo greco esistevano i rapporti tra numeri naturali, ma tali
 rapporti non erano considerati numeri.
• Le frazioni decimali ( cioè con denominatore 10 o potenza di 10)
 furono inizialmente usate in Cina, a partire dal quarto secolo a. C.,
 ma non sembra che tale uso sia stato trasmesso ad altre civiltà.

• L’affermarsi delle frazioni decimali è stato un
 processo lungo che ha avuto un importante impulso
 tra la fine del Cinquecento e l’inizio del Seicento, ad
 opera soprattutto di François Viète e Simon Stevin (
 seconda metà del XVI secolo).
• Conseguentemente all’uso delle frazioni decimali,
 verso la fine dello stesso secolo, diventò comune
 anche l’uso della virgola.
• La diffusione dei numeri decimali, anche con
 l'invenzione della virgola, contribuì all’introduzione
 del sistema metrico decimale, un sistema di misure
 universale, che superasse i sistemi di misure
 particolari.

Perché i numeri razionali
• Esigenze pratiche:
- misure
- denaro
- ……
• Esigenze ‘matematiche’
-rendere la divisione un’operazione interna
-risoluzione delle equazioni
(es. l’equazione 4 + 5 = 3 non ha soluzioni in )

La struttura algebrica dei numeri razionali
L’insieme dei razionali si costruisce a partire dagli interi,
in modo analogo a quello utilizzato per questi ultimi.
Si considera il prodotto cartesiano × 0 , e su di esso
si costruisce una relazione:
 , , ↔ × = × 
Si dimostra che è una relazione di equivalenza.
Le coppie sono, di fatto, le ‘nostre’ frazioni e la
relazione è quella che definisce l’equivalenza tra
frazioni.
 
Infatti × = × ↔ =
 

Quindi = × 0 / 
La relazione quindi raggruppa tutte le frazioni tra loro
equivalenti in classi, ognuna delle quali è un numero
razionale.
Lo stesso numero quindi può essere espresso in infiniti
 1 2 3
modi: = = = ⋯
 2 4 6
Per operare con i numeri razionali, quindi, noi
utilizziamo uno degli infiniti modi con cui si
rappresenta, magari il più conveniente per
quell’operazione: è importante tenerlo sempre
presente.

La relazione di equivalenza, di fatto, esprime la
proprietà invariantiva della divisione; su tale
proprietà si basa la possibilità di semplificare
una frazione e di ridurla nella sua forma
essenziale, quando cioè numeratore e
denominatore sono primi tra loro.

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini
quando numeratore e denominatore sono primi
tra loro

Somma algebrica
Due frazioni possono essere sommate se hanno lo stesso
denominatore, se non lo hanno è necessario, tramite la proprietà
invariantiva, ( cioè utilizzando la relazione di equivalenza) ridurle
allo stesso denominatore scelto opportunamente. Risulta subito
evidente che il denominatore più opportuno è il minimo comune
multiplo dei denominatori (abbreviato con minimo comun
denominatore)
 3 5 1 36 50 15 36−50+15 1
Es.: 5
 − 6 + 4 = 60 − 60 + 60 = 60
 = 60

In generale, utilizzando le ben note regole pratiche, si salta
direttamente il secondo passaggio, ma è importante ricordare
che si lavora con frazioni equivalenti.

Proprietà della somma algebrica
Vengono mantenute tutte le proprietà della
somma tra gli interi:
• associativa
• commutativa
• 0 è elemento neutro
• simmetrizzabilità (esiste sempre l’opposto)

Moltiplicazione
Il prodotto tra due frazioni è molto semplice:
 × 
 × =
 × 
Utilizzando la proprietà invariantiva si fanno, nel
calcolo, le opportune semplificazioni
 3 4 1 1 1
Es.: ×
 8
 − 15 = ×
 2
 −5 = − 20

Proprietà della moltiplicazione
Vengono mantenute tutte le proprietà della moltiplicazione tra
gli interi:
• associativa
• commutativa
• 1 è elemento neutro
E si conquista una nuova proprietà:
• Simmetrizzabilità: infatti data una qualunque frazione
 diversa da 0, esiste sempre un’altra frazione che moltiplicata
 per la prima da come risultato 1
 
 × =1
 
La frazione
 
 si chiama reciproca di
 
 .

Quoziente
 
Date due frazioni , ( ≠ 0)
 
 : = ×
 
La divisione si trasforma in moltiplicazione; quindi è sempre
possibile; anche il quoziente diventa una operazione interna, ma
non è ne commutativa, ne associativa; vale la proprietà
invariantiva.
Si possono unificare le operazioni di moltiplicazione e divisione
nella operazione prodotto, ma con un distinguo fondamentale:
Mentre l’operazione ∙ può sempre essere eseguita,
 1
∀ , ∈ , l’operazione : = × richiede che sia ≠ 0
 

Continua a valere inoltre la proprietà
distributiva del prodotto rispetto alla
somma

 ∀ , , ∈ ∙ + = ∙ + ∙ 

Nei razionali non ha più senso introdurre i concetti di
multiplo e di divisore.
 Perché?

Potenze con esponente negativo
Nell’insieme si possono definire le potenze con
esponente intero negativo:
 1
Dato > 0 − =
 
Perché tale definizione sia consistente deve essere
 ≠ 0.
Se si vuole quindi che l’esponente della potenza sia
∀ ∈ , è necessario che la base della potenza sia
diversa da zero.
Anche per le potenze con esponente intero valgono
tutte le proprietà introdotte in .

Ordinamento
Rimane valido che:
• 0 è maggiore di ogni numero negativo e minore di
 ogni numero positivo
• ogni numero negativo è sempre minore di ogni
 numero positivo
• dati , ∈ , se i due numeri sono positivi
 ≥ ≥ 
• dati , ∈ , se i due numeri sono negativi
 ≥ ≤ 

Ma come confrontare i valori assoluti di due numeri razionali,
cioè le frazioni che li rappresentano?
Due frazioni si possono confrontare solo se hanno lo stesso
denominatore: è maggiore, ovviamente, quella che ha
numeratore maggiore.
Occorre sfruttare la relazione di equivalenza.
 5 4
Es.: Confrontiamo 
 12 9
1) Riduzione allo stesso minimo comun denominatore:
 5 15 4 16
 = ; =
 12 36 9 36
2) Confronto dei numeratori :
 5 4
 15 < 16 → <
 12 9

Si può anche applicare una regola pratica, che, senza
esplicitarlo, assume come denominatore comune il
prodotto dei denominatori:
 5 4
Confrontiamo sempre 
 12 9
1) Eseguiamo il prodotto in croce
 5 4
 12 9
 45 48
 5 4
 <
 12 9

Una riflessione

• Con l’introduzione dei razionali cosa si guadagna?
 Le operazioni di somma e prodotto sono complete:
 sono operazioni interne e godono di tutte le
 proprietà; si può risolvere quindi qualunque
 equazione del tipo:
 ∙ + = ( ≠ 0)
• Cosa si perde?
 Non esiste più il successivo di un numero: tra due
 numeri razionali distinti c’è sempre almeno un
 altro razionale ( di fatto ce ne sono infiniti)

Dimostrazione
 + 
∀ , ∈ , < , il numero ∈ .
 2
 + + + + 
 Ma < < → <

Frazioni decimali
Una frazione si dice decimale se ha per denominatore 10 o una
potenza di 10; essa si può esprimere come ‘numero con la virgola’,
estendendo la scrittura posizionale ai decimi, centesimi, millesimi… e
ampliando così anche la scrittura polinomiale alle potenze di 10 con
esponente negativo.
 15
Es.: = 1,5 = 1 × 100 + 5 × 10−1
 10
3124
 = 31,24 = 3 × 101 + 1 × 100 + 2 × 10−1 + 4 × 10−2
 100
 15 3 3124 781
Ma poiché
 10
 = 2 100
 = 25
 si può dire che:
una frazione si dice decimale se il denominatore ammette come fattori
primi solo 2 e/o 5 ( ed è quindi riconducibile ad una potenza di 10)

Frazione come quoziente: calcoliamo
La divisione decimale di due numeri interi ha
sempre termine?
1 1 1
2
 = 0,5 3
 = 0,3333 … 4
 = 0,25
 1 1
 5
 = 0,2 = 0,16666 …
 6
1 1
 = 0,142857142857 … . = 0,125
7 8
1 1 1
 = 0,111 … . = 0,1 = 0,090909 … . .
9 10 11
 1
 = 0,08333 …
12
Come interpretare questi risultati?

I calcoli svolti giustificano le seguenti affermazioni
- se il denominatore contiene soltanto i fattori primi 2
 e/o 5, la frazione genera un numero decimale finito
- se il denominatore non contiene né il fattore 2 né il
 fattore 5, la frazione genera un numero decimale
 periodico semplice (la ripetizione di cifre, cioè il
 periodo, inizia subito dopo la virgola) ;
- negli altri casi la frazione genera un numero decimale
 periodico misto (c’è almeno una cifra dopo la virgola
 e prima del periodo).

Un numero razionale, quindi, può essere espresso
anche in forma decimale.
Il numero decimale può essere
• finito (cioè avere un numero finito di cifre dopo la
 virgola)
• illimitato periodico.
Dato un numero razionale, per passare dalla sua
rappresentazione frazionaria alla forma decimale basta
eseguire una divisione.
E il contrario?

Dal numero decimale alla frazione
• La frazione generatrice di un numero decimale finito ha per
 numeratore il numero scritto senza la virgola e per denominatore il
 numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del
 numero dato.
 275 11
 Es. : 2,75 = =
 100 4
• La frazione generatrice di un numero decimale periodico ha:
- per numeratore la differenza tra tutto il numero e la parte del
 numero prima del periodo
- per denominatore, tanti 9 quante sono le cifre del periodo
 seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
 321−3 318 106 235−23 212 106
 Es. : 3, 21 = = = 2,35 = = =
 99 99 33 90 90 45

La percentuale è una frazione
La percentuale è una delle possibili rappresentazioni numeriche del rapporto tra
due quantità (a e b), in cui una (a) viene espressa in centesimi (centesime parti)
dell'altra (b).
Essa si ottiene moltiplicando per 100 il quoziente (a/b) della divisione tra le due
quantità.
Es.: Percentuale di crescita dei contagiati in provincia di Macerata

 11 marzo
 6 55
 ≅ 0,55 = = 55%
 11 100

 22 marzo
 55
 ≅ 0,23 = 23%
 238

Con le percentuali si può quindi lavorare così
come si lavora con le frazioni!!!
Esempi
1) Su un televisore dal costo di 650 euro viene
applicato uno sconto del 34%. Quanto costa il
televisore?
2) Il prezzo scontato di una giacca è 125 euro. Se
lo sconto applicato era del 30%, quanto costava
all’origine la giacca?

Esercizi lezione 6
 10
1) Scrivere cinque frazioni equivalenti a
 6
 330
2) Ridurre ai minimi termini la frazione . Quanti interi sono
 45
 contenuti in tale frazione?

3) Disporre in ordine crescente i seguenti numeri, fornendo
adeguate motivazioni:
 2 2 5 7 5 1 4
 , − , −2, , − , 3, , − , 1,
 3 5 6 3 2 4 3
 3 9
4) Inserire almeno 4 numeri razionali tra e
 5 4
 1 1
5) Inserire almeno 2 numeri razionali tra e
 5 4

3
6) Trovare due frazioni la cui somma(algebrica) sia -
 5
 8
7) Trovare due frazioni il cui prodotto sia -
 15
8) È dato il seguente problema:
 « Antonio va a scuola in bicicletta e a piedi; va in bicicletta fino
all’ufficio del padre, poi lascia la bici e prosegue a piedi. Se il tratto
 3
a piedi è lungo 300 m e quello in bici è i del totale, quanta strada
 5
fa Antonio in bicicletta?»
Costruirne una rappresentazione e corredarla con la sua risoluzione

9) Portare esempi di equazioni risolvibili
 a) solo nei razionali b) nei razionali e negli interi, ma non nei
 naturali
 c) anche nei naturali.
10) Cosa si può dire della risolubilità delle equazioni di secondo
grado?

11)

12)

13)

 14)

15)

16)

17)

18)

19) Carlo e Maria praticano due sport diversi: equitazione il primo e
nuoto la seconda. Nel corso dell’anno Carlo ha vinto 7 gare su 20,
mentre Maria ne ha vinte 10 su 25.
Chi dei due è stato più abile?
20) Disporre in ordine crescente i seguenti numeri:
 3 11 7 5 11
 1,15 ; ; ; 0,035; 2,48; ; ; 0,75; 2,7;
 100 10 8 4 4
 3 2
21) Senza calcolare, stabilire se + è maggiore o minore di 2
 2 3
22) Trasformare in frazioni i seguenti numeri decimali e poi disporle
in ordine crescente:
 3 2230
2,03; 1,4 − ; 0,753; 6,04 − ; 0,043; 2,043 −
 10 1000
 224
0,12; 5,12; 7,8 −
 100
23)Un oggetto ha un prezzo iniziale di 100 euro; prima viene
aumentato del 10% , poi viene diminuito del 10% del prezzo
raggiunto. Il prezzo finale è uguale all’inizio? E se inverto l’ordine
delle operazioni?