FISICA GENERALE MODULO A CORSO H - BARI - Gravitazione - Corsi di Base

FISICA GENERALE
 MODULO A
 CORSO H – BARI

 Gravitazione

 Dott. Giannuzzi Giuseppe

Argomenti della lezione

Gravitazione (cenni):

- Forze centrali: proprietà e leggi di conservazione
- La forza gravitazionale: Leggi di Keplero
- Massa inerziale e gravitazionale
- Campo e potenziale gravitazionale
- Moto di un corpo soggetto alla forza gravitazionale

Forze centrali
Definiamo forza centrale una forza agente in una regione di spazio con la
caratteristica che in ogni punto di spazio:
- la direzione della forza è diretta sempre per un punto fisso O detto centro (o polo)
 della forza
- il modulo della forza è funzione solo della distanza tra il punto O ed il punto 
 di applicazione della forza, ovvero = 
- verso: diretta verso O se attrattiva, viceversa se repulsiva
Tra le forze centrali vi sono la forza elastica, quella gravitazionale e quelle elettriche
(Modulo B).

Nella regione di spazio in cui agisce una
forza centrale si stabilisce quello che si chiama
un campo di forza.

Proprietà delle forze centrali
Se calcoliamo il momento della forza centrale rispetto al polo
O centro della forza, si ha:
 
 = × = ෞ × ෞ = 0
 
per cui
 = × = × = 
In un campo di forze centrali il momento angolare rispetto
al centro della forza si conserva.
Di conseguenza il moto di una particella soggetta a forze
centrali deve giacere nel piano (fisso) definito da e (il
moto è piano) ed è costante ed ortogonale ad e .
Dal momento che il moto è piano verifichiamo una proprietà
del moto risultante, scomponendo nelle componenti polari
 = × = × + = × 
da cui
 2
 
 = = = 
 
e la costanza di implica quindi che lo sia il termine 2 .

Proprietà delle forze centrali
Se consideriamo una porzione infinitesima della generica
traiettoria definita dal punto nel suo movimento, possiamo
definire l’area infinitesima spazzata dal raggio vettore tra i
punti O e P, approssimandola ad un triangolo di base
 = e altezza , l’area risulterà
 1 2
 = 
 2
per cui possiamo definire la velocità areale, la rapidità con la
quale viene spazzata l’area dal vettore 
 1 2 
 = =
 2 2 
Quindi nel moto in un campo di forze centrali la velocità areale
è costante. La costanza del momento angolare comporta la
costanza della velocità aerale.
Se la traiettoria è chiusa (area ) come per i pianeti, allora il
periodo impiegato a percorrerla:
 2 
 = = ⟹ = ⟹ = 
 2 

Le forze centrali sono conservative
Tutte le forze centrali sono conservative infatti
se calcoliamo il lavoro

 ℒ = ℒ = න ∙ = න ෞ
 ∙ 
 
Ma ෞ
 ∙ = quindi
 
 ℒ = න = − 
 
ovvero dipende solo dalle coordinate di A e B e
non dal percorso effettuato.

Leggi di Keplero
Nel sistema solare è il Sole il principale attrattore gravitazionale:
il sistema solare costituisce un campo gravitazionale centrato nel Sole ed essendo un
campo di forza centrale il moto dei pianeti è piano.
Si hanno le seguenti leggi (leggi cinematiche del moto dei pianeti):
• I Legge di Keplero: il moto dei pianeti avviene su orbite ellittiche attorno al Sole,
 di cui il Sole occupa uno dei fuochi dell’ellisse
• II Legge di Keplero, Legge delle aree: il raggio vettore che collega il Sole ad un
 
 pianeta descrive aree uguali in tempi uguali = 
• III Legge di Keplero, il quadrato del periodo di rivoluzione di ogni pianeta è
 proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse: 2 = 3

La forza gravitazionale
Dalle leggi di Keplero si può dedurre la legge di
gravitazione universale:
approssimando le orbite ellittiche ad orbite circolari
( = ), dalla seconda legge di Keplero si ha:
 1 2 
 = = ⇒ = 
 2 

quindi il moto è circolare uniforme.
Di conseguenza l’accelerazione è solo centripeta
(componente tangenziale nulla).
La forza che agisce sul pianeta si scrive (f. a distanza):
 2
 2 
 = = 2 = 
 
con periodo di rivoluzione e utilizzando la terza legge di Keplero che per la
circonferenza è 2 = 3 :
 4 2 4 2 4 2 
 = 2 = =
 3 2
La forza esercitata dal Sole sui pianeti, che incurva la loro orbita, è inversamente
 proporzionale al quadrato della distanza dal Sole.

La forza gravitazionale
Nel sistema Terra-Sole, la forza esercitata dal Sole
sulla Terra è
 4 2 
 − = 2
Viceversa, la forza esercitata dalla Terra sul Sole è
 4 2 
 − = 2
uguali in modulo per il terza legge della dinamica,
principio di azione e reazione:
 4 2 4 2 
 − = − ⇒ = ⇒ = 
 2 2
Definendo la costante di proporzionalità
 4 2 4 2
 = =
 
Il modulo della forza Terra-Sole (la direzione è data dalla congiungente Terra-Sole)
 
 = 
 2
Legge di gravitazione universale, Newton 1687, formula universale valida per
 qualsiasi coppia di corpi.

Legge di gravitazione universale
Date due masse qualsiasi, di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza mutua,
tra di esse agisce una forza attrattiva diretta lungo la retta congiungente le due
masse, il cui modulo dipende direttamente dal prodotto delle masse e inversamente
dal quadrato della distanza.

 1 2
 = − ෞ 
 2
 1 2
 = 
 2 2
 −11 
con la distanza tra le masse 1 e 2 e = 6.67 10 è una costante
 2
universale, caratteristica dell’interazione gravitazionale.

Gravità vicino la Terra
Quando siamo sulla Terra, approssimandola ad una sfera di
raggio , otteniamo che la forza gravitazionale è data da
 
 = 2
 
se l’oggetto di massa m è lasciato libero di cadere esso è
soggetto ad accelerazione per cui
 
 = ⟹ = 2 = 
 
con = 5.98 1024 e = 6400 
 
Questa accelerazione ( = 9.81 2 ) è indipendente dalla
massa .

Deviazioni dalla costanza di g sono dovute a:
1. la Terra non è omogenea
2. la Terra non è sferica
3. la Terra ruota su se stessa

Massa inerziale e massa gravitazionale
 
Nell’equazione = 2 , la forza dipende da una caratteristica dei corpi che
 
partecipano all’interazione e che abbiamo indicato con e e che chiamiamo
masse gravitazionali.
A priori non c’è alcuna ragione per cui tali masse gravitazionali siano uguali alle
masse inerziali che compaiono nella seconda legge della dinamica, l’inerzia dei
corpi al moto indotto da una forza.
Per un corpo in caduta libera sulla superficie terrestre vale l’equazione:
 , 
 = 
 2
(pedici I e G per inerziale e gravitazionale)
 , 
 = 2
 
vera per qualunque corpo, quindi per qualsiasi corpo è pari ad una costante, le
 
due masse sono tra loro proporzionali.
Poiché non c’è un modo diretto per misurare tale rapporto, si considera pertanto
l’ipotesi che le due masse siano uguali tra loro: = 

Energia potenziale gravitazionale
 
 ℒ = 12 ∙ = − 2 ෞ
 ∙ 
 
Il prodotto scalare ෞ
 ∙ = 
 
 ℒ = − 2 
 
Avendo posto la costante arbitraria = 0 per ⟶ ∞
Quando m si avvicina ad M, la forza gravitazionale compie un lavoro positivo, m
acquista energia cinetica e poiché la forza è conservativa, l’energia meccanica deve
conservarsi, quindi l’energia potenziale deve diminuire.

Velocità di fuga
Per la conservazione dell’energia meccanica = + = consideriamo
allora il caso di un razzo da sparare per allontanarlo definitivamente dalla Terra. La
minima velocità che un corpo sulla superficie terrestre deve possedere per
allontanarsi indefinitamente dalla Terra è detta velocità di fuga.
 + , = + , 
il punto finale si deve trovare ad ∞ ( = 0) con una velocità ≥ 0
 1 2
 1 2
 − + = 
 2 2
e nella situazione di minima , deve essere fermo = 0, quindi , = 0
 1 2
 − + =0 ⟹
 2
 2 
 = 2 
 
 2
 
( 2 = ⟹ = ) = 2 = 2 
 
valore che dipende dalla massa della Terra ed è = 11.2 
(la velocità di fuga cambia a seconda della massa dell’astro di partenza)

Il moto dei satelliti
Un satellite di massa m descrive un’orbita circolare intorno un pianeta di massa M; il
raggio dell’orbita è ed il periodo . Calcolare il valore di M del pianeta e l’energia
del satellite.
 2 
Abbiamo dalla legge di Newton = = 2 , dove =
 
 2
 4 
 2 = 2 
 
Da cui
 4 2 3
 = 2
 
L’energia meccanica totale del satellite è = + , quindi
 1 
 = 2 − 
 2 
 2 
e poiché 2 = ⟹ 2 = ⟹Possiamo esprimere in funzione di 
 1 1 
 = − =− 

Satelliti terrestri
Assumendo = 5.98 1024 , = 6.38 106 e per un satellite di massa
 = 1000 , calcolare il periodo in funzione del raggio dell’orbita supposta
circolare intorno alla Terra.

Usando gli stessi passaggi precedenti
 4 2 3
 2 = 2 ⇒ = 2 
 
In genere si considera la quota sopra la superficie della Terra per i satelliti, che di
solito si trovano tra i 100 km e i 300 km.
Se = 100 + = 6.48 ⇒ = 86.5 
Se = 300 + = 6.68 ⇒ = 90 
 3 2
Se il satellite è invece geostazionario allora = 24ℎ per cui si ricava da = 4 2
 = 42300 

Moto di un corpo nel campo gravitazionale (in generale)
Orbite
Il moto in un campo di forze centrali è sempre
piano. Si può inoltre dimostrare che il moto di
un corpo sottoposto all’accelerazione
gravitazionale è descritto da una conica
(ellisse, iperbole, parabola) a seconda
dell’energia totale della particella.

Supponiamo di considerare una massa m sotto
l’azione gravitazionale di una massa M.
L’energia totale di m è data da = + .
Nel caso di orbite aperte (iperbole, parabola)
 ≥ 0 ed m non è gravitazionalmente legata:
m si allontana indefinitamente da M
assumendo energia potenziale nulla.
Nel caso < 0 la traiettoria ha un’orbita
ellittica e m risulta gravitazionalmente legato.

Orbite ellittiche
 2 2
Nel caso delle orbite ellittiche si può definire eccentricità dell’orbita = 1 − 2
con semiasse maggiore e semi asse minore dell’ellisse descritta.
 < 1 ed è uguale a zero nel caso della circonferenza ( = ).
Abbiamo visto che nei sistemi legati

 = − 
 2 

ma si può dimostrare che l’energia dipende dal solo semiasse maggiore

 = − 
 2 
e che il momento angolare risulta

 2 2
 2
 
 = 1 − 2
 + 
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