Conoscere e affrontare difficoltà di apprendimento e DSA in matematica - Laboratorio del 29 aprile 2019
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Conoscere e affrontare difficoltà
di apprendimento e DSA in
matematica
Laboratorio del 29 aprile 2019
Lincei, Pisa 2019
Addizioni e sottrazioni con «le bolle»
45 + 23 = 60 +8 = 68
45 + 27 = 60 +12 = 72
75 – 32 = 40 +3 = 43
75 – 38 = 40 -3 = 37
Lincei, Pisa 2019
Lincei, Pisa 2019
Ha una certificazione DSA:
dislessia di entità moderata
disortografia di entità medio
grave.
Ha ripetuto la classe prima
perché non era riuscito a
leggere e a scrivere.
Gli è stato certificato un livello
cognitivo in area limite.
Significativa discrepanza fra le
abilità verbali e le abilità
pratico concrete a discapito
delle prime.
Memoria di lavoro e velocità
di elaborazione ridotte.
Lincei, Pisa 2019
Lincei, Pisa 2019
Lincei, Pisa 2019
Lincei, Pisa 2019
Lincei, Pisa 2019
Addizioni con numeri «con la virgola»
101 100 10-1 10-2
45,12 + 23,56 = 60 +8 +0,60 +0,08 = 68,68
5,62 + 24,56 = 20 +9 +1,10 +0,08
+10 +0,10
30 +0 +0,10 +0,08 = 30,18
Lincei, Pisa 2019Sottrazioni con numeri «con la virgola»
101 100 10-1 10-2
45,16 – 23,52 = 20 +2 -0,40 +0,04
20 +1 +0,60 +0,04 = 21,64
24,56 – 5,62 = 20 -1 -0,10 +0,04
10 +9 -0,10 +0,04
10 +8 +0,90 +0,04 = 18,94
Lincei, Pisa 2019Torniamo sulla divisione….
Scrittura di argomentazioni
Tom e Jerry discutono sul seguente problema
su numeri razionali e irrazionali.
Tom dice che il risultato di 23:43 è un numero
irrazionale, perché la sua calcolatrice dà
0.53488372 e non c’è un periodo.
Jerry non è d’accordo.
Scrivere un copione di dialogo tra i due studenti, con argomentazioni a favore di
entrambe le posizioni, che cerchino di convincere l’altro della propria
correttezza.
Usare esempi convincenti rispetto ad entrambe le posizioni.
Segnare nel proprio copione le argomentazioni e gli esempi usati da entrambi i
personaggi.
Lincei, Pisa 2019Torniamo sulla divisione….
Variante per una classe I secondaria di primo grado
Tom e Jerry discutono sul seguente problema:
Tom dice che il risultato di 6:7 è un numero irrazionale
perché il risultato è 0,857142 e non c’è periodo.
Jerry non è d’accordo perché a lui il risultato che viene
fuori è 0,8571428571.
Chi dei due ha ragione? Spiega le strategie risolutive
dei due personaggi.
Lincei, Pisa 2019Provate, a piccoli gruppi, a scrivere un copione della
discussione tra Tom e Jerry
Lincei, Pisa 2019RIFLESSIONI DELL’INSEGNANTE
1. Non conoscono il significato delle parole IRRAZIONALE
E PERIODO
2. Molti di loro eviteranno lo svolgimento della divisione
dicendo semplicemente non si può fare.
3. Coloro che svolgeranno la divisione lo faranno con il
metodo tradizionale.
4. Coloro che svolgeranno la divisione saranno in difficoltà
sul momento in cui fermarsi e quindi molti daranno
ragione a Tom, nonostante ho specificato nel problema
che devono dimostrare la strategia di entrambi.
Lincei, Pisa 2019ORGANIZZAZIONE DEL LAVORO
Damiana:
ho organizzato 7 gruppi di lavoro composti da 3 alunni. Ho dato loro la
possibilità di scegliere i compagni con cui lavorare.
Da appena una settimana è presente un bambino marocchino che parla
solo francese ed arabo e pochissimo italiano
HO SCRITTO IL TESTO ALLA LAVAGNA. NESSUNO DEI MIEI
ALUNNI HA AVUTO DIFFICOLTA’ A COPIARLO.
SOLTANTO A.G HA INVERTITO LE CIFRE DEL PERIODO, MA SI È
ACCORTA SUBITO DELL’ERRORE.
ABBIAMO LETTO IL PROBLEMA e le parole che creano più difficoltà
sono state PERIODO E IRRAZIONALE. CHIEDO AGLI ALUNNI DI
TROVARE LORO IL SIGNIFICATO
Lincei, Pisa 2019RISPOSTE DEI RAGAZZI
Due gruppi su 7 hanno un atteggiamento arrendevole e fanno di tutto per non approcciarsi
alla divisione. In entrambi i gruppi la domanda ricorrente è:
Gruppo 1-2 “ma devo fare per forza la divisione?”
Prof. : “credi ti possa essere utile ai fini della risoluzione?”
Gruppo 1: “non lo so sinceramente, perché i risultati già ce li abbiamo. Mi sembra tempo
inutile!”
Gruppo 2: “ma in pratica cosa dobbiamo fare, la pensiamo tutti in maniera diversa, ma non
sappiamo chi ha ragione!”
Discutendo con loro…
Uno del gruppo non è convinto allora provano a fare la divisione.
Gruppo 2… ci prova … Prima scrivono 7: 6.
Prof. “perché fate 7:6?
C.S: Perché fa 1 e qualche cosa … “
G.G: “Infatti prof io lo dico da un’ora che non va bene e che
bisogna fare 6:7, ma ci viene 0. Quindi non va bene lo stesso!”
Prof: “Perché 0 non bene? “
G:G “perché 0 è un po’ particolare. Però io ho trovato qualcosa!.
Lincei, Pisa 2019Gruppo 3: A.G, sbagliando a copiare i numeri dalla lavagna si accorge subito che una parte
del numero dopo la virgola si ripete.
Il suo gruppo costruisce questo schema (che sarà utilizzato dal resto della classe
successivamente quando sarà chiesto di contare il numero delle cifre del periodo).
Il gruppo 3 procede da solo senza ricorrere alla divisione. Mi accorgo che nel gruppo c’è un po’ di
imbarazzo quando si parla di divisione. Allora mi sento di chiedere: “Secondo voi può essere importante
risolvere la divisione?”
A.M: “prof io le divisioni le so fare ma 6:7 non so come partire non le abbiamo mai fatte alle elementari.
Posso fare 7:6?“
Prof.: “E’ utile fare 7:6?”
A.G: “eh no prof non serve a niente, quindi noi abbiamo evitato però abbiamo scritto!”
Mi mostra il quaderno sul quale argomentano :
“i numeri dei due personaggi sono uguali, anche se Jerry ne ha 4 in più, perché si erano ripetuti all’inizio
Lincei, Pisa 2019Nel gruppo 3 sono andati avanti e hanno provato a dare un significato alle parole non conosciute:
A.G: “periodo a me fa pensare al tempo, però qui non ha questo significato, non si parla di tempo.
Secondo me sono le cifre del numero dopo la virgola, quelle di Jerry che si ripetono.”
A.M: “per me irrazionale vuol dire infinito, quindi secondo noi Jerry ha ragione!”
Spulciando il quaderno di A.M scrive PERIODO: CIFRE DELLA DIVISIONE (857142) CHE SI
RIPETONO INFINITE VOLTE.
Due gruppi procedono nello stesso modo facendo la divisione.
V.C: “abbiamo pensato di fare una divisione…
aggiungeremo al 6 zeri fino a quando non
troveremo uno dei due risultati o nessuno
dei due.”
Prof: “pensi che i risultati possono essere
sbagliati?”
M.B: “io credo che siano giusti, ma vogliamo
verificarlo perché con lei Prof non possiamo
dare niente per scontato!”
La prof. sorride e lascia lavorare il gruppo.
Lincei, Pisa 2019V.C: “abbiamo aggiunto a 6 10 zeri tanti quanti sono i numeri decimali, nel
risultato di Jerry. Secondo noi Jerry ha ragione.
L’altro gruppo che ha proceduto nello stesso modo, approcciandosi con la
divisione, argomentano in questo modo: “noi facendo questa divisione
abbiamo notato che i numeri hanno un ritmo, perché quando arrivano al due
(si riferisce al sesto numero del periodo) iniziano ad essere uguali a quelli
di prima. 0,857142 8571 (da qui si ripete)
il risultato di 6:7 è un
numero irrazionale perché il
risultato è 0,857142 e non
c’è periodo
il risultato che viene fuori è
0,8571428571. Il risultato è
un numero razionale.
Lincei, Pisa 2019Gruppo 6. Composto da alunni poco creativi,
molto inquadrati, con la paura di osare per
sbagliare.
La parte impressionante è la riprova.
V. D:” nessuno dei due ha ragione!. Tom ha
resto 6, mentre Jerry resto 3.
Prof. “puoi spiegare meglio?”
V.D: perché Tom ha trovato il resto 6, mentre
Jerry ha trovato il resto 3”
Allora una compagna del suo gruppo prende la
parola:
G.B: “Secondo me ha ragione Jerry perché i
numeri vanno all’infinito, mentre Tom si ferma.
Tom ha sbagliato perché si è fermato a 2,
quando invece doveva continuare!”
Lincei, Pisa 2019E poi arriva quel gruppo, assortito un po’ a caso composto da un iperattivo da
un bambino appena arrivato dal Marocco, che parla solo francese e arabo e da
una bambina marocchina che è la nostra traduttrice.
Riporto tutto quello che ha scritto in francese poiché leggendo e traducendo è venuto fuori
che in francese la parola cifra e numero hanno due significati ben diversi.
Su questo i miei alunni in teoria sanno tutto, ma al momento di utilizzare un lessico specifico e
adeguato hanno forti cadute.
N, sostiene che Jerry ha ragione nel aver trovato il risultato della divisione ma doveva
specificare che alcune cifre si ripetono e che le cifre decimali che si ripetono lo fanno
all’infinito. (questa è la traduzione dal’arabo all’italiano).
Lincei, Pisa 2019Abbiamo continuato a discutere in classe su i seguenti aspetti:
1. Resto e periodo:
“le divisioni con resto hanno necessariamente quoziente con
parte decimale che si ripete? Cioè periodo
2. Le cifre del periodo.
Quante sono le cifre del periodo e perché?
3. Il resto sarà sempre infinito
Quale significato dobbiamo dare alla parola IRRAZIONALE
poiché la maggior parte della classe dà ragione a Jerry?
Lincei, Pisa 2019Un ripasso….
Divisione «TIX– »
2504 : 47 1) Scrivo alcuni multipli utili del
divisore 47 x 1 = 47
47 x 2 = 94
47 x 5 = 235
47 x 10 = 470
2) Imposto il diagramma
Lincei, Pisa 2019Divisione «TIx– »
. 3) Svolgo passaggi secondo
2504 47
-0 0 l’acronimo:
2 Taggo la prima cifra del dividendo
Inserisco il numero di volte che ci
sta il divisore
47 x 1 = 47 x moltiplico il divisore per il numero
47 x 2 = 94 trovato
47 x 5 = 235 – sottraggo
47 x 10 = 470
Lincei, Pisa 2019Divisione «TIx– »
.. .. 3) Svolgo passaggi secondo
2504 47
-0 0 0 5 3 l’acronimo:
25 Taggo la prima cifra del dividendo
-0
25 0 Inserisco il numero di volte che ci
- 235 sta il divisore
15 4
47 x 1 = 47 x moltiplico il divisore per il numero
- 141 47 x 2 = 94 trovato
13 47 x 5 = 235 – sottraggo
47 x 10 = 470 4) Ripeto TIx- fino a finire le cifre
del dividendo.
Lincei, Pisa 2019Divisione «TIx– »
.. ..
2504 47
-0 0 0 5 3
25 2504 = 47 x 53 + 13
-0
25 0
- 235
15 4
47 x 1 = 47
- 141 47 x 2 = 94
13 47 x 5 = 235
47 x 10 = 470
Lincei, Pisa 2019Divisione con «Tix – »
Ho libertà di variare la Poca: si propone un’applicazione «rigida»; eventualmente si può prevedere il numero
procedura quando la applico? di cifre effettive del risultato ed iniziare la procedura dal primo insieme di cifre (da
Quando? Come? sinistra) del dividendo in cui il divisore è contenuto un numero intero di volte.
Quali decisioni devo prendere Scegliere il multiplo più grande possibile del divisore ma minore della parte del
autonomamente? dividendo considerata. Uso calcolo a mente per ricavare il massimo multiplo dai
quattro multipli del divisore che sono scritti.
È difficile da ricordare? No, l’acronimo guida l’applicazione della procedura. La struttura guida molto.
Quanto sono guidato
(dall’eventuale struttura)?
Funziona sempre? Solo su Sì. Posso usare la stessa procedura per la divisione di numeri con la virgola,
particolari consegne? Quali? abbassando «zeri» dopo essere arrivato alla virgola del dividendo. Con poche
differenze anche nella divisione tra polinomi
Quanto è trasparente rispetto a È trasparente rispetto alla stima di multipli del divisore e al calcolo a mente usando
significati matematici? composizione di alcuni multipli fondamentali. Non è del tutto trasparente rispetto
alla notazione posizionale decimale. Anderebbe messa a confronto con altre
procedure.
Lincei, Pisa 2019Divisione con «Tix – »
Se volessi continuare e scrivere il risultato come numero decimale?
.. ....
2504 47
-0 0 0 5 3 ,2 7
25
-0
25 0 2504 = 47 x 53,27 + 0,31
- 235
15 4 47 x 1 = 47
- 141 47 x 2 = 94
130
- 94 47 x 5 = 235
36 0 10-1 47 x 10 = 470
- 329
31 10-2
Lincei, Pisa 2019Bolle e divisione
47 x 1 = 47
47 x 2 = 94
47 x 5 = 235
47 x 10 = 470Bolle e divisione
47 x 1 = 47
47 x 2 = 94
47 x 5 = 235
47 x 10 = 470Bolle e divisione
È più trasparente rispetto alla
notazione posizionale
decimale
(numeri scritti in somme di
multipli di potenze di dieci) 47 x 1 = 47
47 x 2 = 94
47 x 5 = 235
47 x 10 = 470Come funzionano le bolle per la divisione nel caso si voglia
esprimere il risultato come numero decimale?
Lincei, Pisa 2019L’esempio di Tom e Jerry
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6
6 : 7 = 0 + 0,8 + 0,05 + 0,007 + 0,0001 + 0,00004 + 0,000002
6
7*8*10-1 0,4
7*5*10-2 0,05 6 : 7 = 0,857142
7*7*10-3 0,001
7*1*10-4 0,0003
7*4*10-5 0,00002
7*2*10-6 0,000006
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