Casi di studio per fogli di calcolo: la richiesta di un mutuo
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Casi di studio per fogli di calcolo:
la richiesta di un mutuo
Marco Corazza, Stefania Funari, Raffaele Pesenti∗
DMA – Dipartimento di Matematica Applicata, Università Ca’ Foscari Venezia.
1 Introduzione
In questo documento sono presentate delle tipiche “condizioni economiche dell’operazione o del servizio” legate
a un’erogazione di un mutuo. Vengono quindi proposti degli esercizi in cui è richiesto di utilizzare le funzioni e
gli strumenti dei fogli elettronici al fine di calcolare i costi, i tassi di interesse e gli altri valori caratteristici dei
mutui.
2 Ripasso matematico e definizioni
Un mutuo è un contratto con il quale il mutuante consegna in un dato istante temporale al mutuatario un deter-
minato ammontare di denaro A, avendo quest’ultimo l’obbligo di restituire l’ammontare stesso (quote capitale)
insieme agli interessi (quote interessi ) entro una certa data successiva. La restituzione avviene attraverso n rate
pagate periodicamente agli istanti k = 1, 2, . . . , n. Il mutuatario, oltre a dovere pagare gli interessi, è soggetto
a ulteriori oneri sia al momento dell’erogazione del mutuo (spese di istruttoria, di apertura credito, . . . ), che al
pagamento delle rate.
Un mutuo è caratterizzato da un Tasso Annuo Nominale (TAN)1 a da un Indicatore Sintetico di Costo (ISC)
come descritto nel seguente paragrafo tratto dal sito della Banca d’Italia2 .
Il costo complessivo di un’operazione di finanziamento è influenzato da diversi parametri, e
quindi è di norma superiore rispetto al mero tasso d’interesse richiesto dal soggetto finanzia-
tore, e cioè il TAN. Per consentire ai clienti una più rapida e agevole comparabilità del costo
complessivo di diverse operazioni di finanziamento, deve essere comunicato alla clientela un
indicatore di costo (ISC o TAEG) delle operazioni stesse. Le categorie di operazioni per le
quali deve essere riportato l’ISC sono:
1. mutui;
2. anticipazioni bancarie (escluse quelle regolate in c/c);
3. altri finanziamenti (ad esempio: prestiti personali e finalizzati). Per le operazioni
di credito al consumo, il parametro di riferimento individuato dalla legge è invece il
TAEG (Tasso Annuale Effettivo Globale). Le modalità di calcolo sono analoghe per i
due indicatori.
∗ Corresponding author, E-Mail: pesenti@unive.it
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1 Il TAN è il tasso interno di costo di un’operazione di finanziamento senza considerare le eventuali spese aggiuntive previste dal
contratto quali, ad esempio, commissione e spese di apertura della pratica
2 http://www.bancaditalia.it/servizi pubbl/conoscere/trasparenza/info.
1
Nella formula di calcolo dell’ISC e del TAEG rientrano parametri ulteriori rispetto al solo
rimborso del capitale e degli interessi. Ad esempio, oltre agli oneri relativi al rimborso del
capitale, sono presi in considerazione quelli relativi a:
1. spese d’istruttoria;
2. spese di revisione del finanziamento;
3. spese d’apertura e chiusura della pratica di credito;
4. spese di riscossione dei rimborsi e d’incasso delle rate (se previste contrattualmente);
5. spese di assicurazione o garanzia, imposte dal creditore intese ad assicurare il rimborso
totale o parziale del credito;
6. costo dell’attività di mediazione svolta da un terzo (se necessaria per l’ottenimento del
credito);
7. ogni altra spesa, contrattualmente prevista, connessa con l’operazione di finanziamento.
La normativa consente in ogni caso alcuni spazi di discrezionalità nel calcolo degli
indicatori di costo. Ad esempio, le spese assicurative, se facoltative, e non imposte
quindi dal creditore, possono essere escluse dal calcolo dell’ISC e del TAEG.
L’ISC e il TAEG devono essere inseriti nel contratto e nel documento di sintesi che de-
vono essere consegnati al cliente. Gli indicatori, espressi in percentuale sull’ammontare del
prestito concesso, vanno indicati in relazione alla durata del finanziamento e alla diversa
periodicità delle rate di rimborso del finanziamento.
In realtà non tutte le spese sono considerate nel calcolo dell’ISC. Ad esempio, a volte non sono inclusi gli
interessi che maturano durante il preammortamento tecnico3 e in genere non sono inclusi: le polizze facoltative,
la perizia esterna, le spese di tenuta conto, oltre che la parcella del notaio.
Il TAN è utilizzato per determinare l’ammontare delle rate pagate dal mutuatario attraverso il Principio
di Equivalenza Finanziaria (PEF). Il PEF impone che i valori delle prestazioni (prestiti) e controprestazioni
(rimborsi/pagamenti) delle parti si equivalgano se riferiti a uno stesso istante. La seguente relazione esprime il
PEF, espresso rispetto all’istante iniziale k = 0, per mutuo di ammontare A rimborsato con rate Rk periodiche
posticipate
Xn
A= Rk (1 + i)−k . (1)
k=1
In (1) il tasso di interesse i coincide con il T AN nel caso di singoli pagamenti annuali mentre, seguendo la prassi
operativa, diventa i = T AN/r nel caso di r pagamenti annuali. Nel caso di rate R costanti posticipate la (1)
diventa
X n
1 − (1 + i)−n 1 − (1 + i)−n
A=R (1 + i)−k = R(1 + i)−1 −1
=R . (2)
1 − (1 + i) i
k=1
La relazione (1) può non apparire equa al mutuatario. Egli riceve effettivamente un ammontare di denaro
A−K, dove K rappresenta l’importo complessivo delle spese iniziali, e paga periodicamente un importo Rk +sk ,
dove sk rappresenta le spese sostenute al pagamento della rata k. Dal punto di vista del mutuatario il PEF va
riscritto come
Xn
A−K = (Rk + sk )(1 + î)−k . (3)
k=1
Il tasso di interesse î percepito dal mutuatario della (3) è maggiore del tasso i della (1). Infatti, il mutuatario
riceve meno di A, poiché A − K < A, e paga più che l’ammontare della rata, poiché Rk + sk > Rk . L’ISC è
una misura dell’interesse percepito dal mutuatario. La normativa infatti definisce l’ISC come il valore effettivo
(annuo) del tasso percepito dal mutuatario e quindi ISC = (1+ î)r −1 dove r è il numero dei pagamenti annuali.
Si noti che, seguendo la terminologia della prassi operativa, l’ISC è un tasso effettivo e quindi nel suo calcolo
si tiene conto della composizione degli interessi negli r periodi di capitalizzazione per anno. Differentemente,
il TAN è un tasso nominale e quindi nel suo calcolo non si tiene conto della composizione degli interessi. Ne
consegue che anche in assenza di spese, cioè î = i, l’ISC è maggiore del TAN nel caso di r > 1 pagamenti annuali
poiché (1 + i)r − 1 > ri. In generale il tasso effettivo di un TAN è uguale a (1 + T AN/r)r − 1 > T AN .
3 Il preammortamento tecnico è il periodo di tempo che intercorre dalla data di erogazione del mutuo e la data in cui si paga la
prima rata di ammortamento.
2Durata anni min Durata anni max Costi lordi
0 5 1,60
6 10 3,20
11 15 4,80
16 20 6,40
21 30 9,60
Tabella 1: Tassi lordi per ogni 1.000,00 Euro per polizza assicurativa immobile, imposte comprese
3 Condizioni economiche dell’operazione o del servizio: Mutuo a
tasso fisso
In questa e nella seguente sezione sono riportate delle tipiche condizioni di un’operazione di mutuo.
3.1 Caratteristiche generali
Destinazione: Acquisto di immobile ad uso abitativo.
Massimale finanziabile: Prima casa fino al 90%, seconda casa fino al 70% del valore dell’immobile.
Durata: 5-10-15-20-30 anni.
Periodicità rate: Mensile, trimestrale, semestrale.
Condizioni di accesso: Apertura conto corrente e età massima 55 anni.
Garanzie richieste: Ipoteca di primo grado sull’immobile oggetto del finanziamento pari al 250% del valore del
mutuo. Polizza assicurazione incendio, rischi accessori e responsabilità civile sul bene oggetto di garanzia
(vedi Tab. 1). Polizza da pagare una sola volta all’accensione del mutuo.
3.2 Tassi di interesse
Tasso annuo nominale applicato: Interest Rate Swap (IRS) di durata del mutuo a tasso fisso, oppure Tasso
Ufficiale di Riferimento (TUR), rilevato il primo del mese più spread annuo.
Spread annuo massimo applicato: 1,60% per IRS, 2,60% per TUR.
Interessi di mora: Maggiorazione 3,15% dalla data di scadenza della rata.
Tipologia piano di ammortamento: Francese con rate posticipate comprensive di capitale e di interessi.
Criterio di calcolo interessi: Anno civile (365 giorni).
3.3 Spese e Commissioni
Spese di istruttoria: da corrispondere all’atto dell’erogazione 0,30% dell’importo del mutuo.
Commissione per estinzione anticipata 1,50% sul capitale residuo i primi 5 anni, 1,00% sul capitale residuo
per gli anni seguenti, 0,00% sul capitale residuo per gli ultimi tre anni.
Spese di cancellazione ipoteca: Non previste
Spese di accollo mutuo: Euro 232,41 fisse.
Spese per invio avviso di scadenza rata: Con addebito in conto Euro 2,00 mensili indipendentemente dal
numero di rate pagate.
3.4 Altre spese
Invio delle comunicazioni di certificazioni interessi: Euro 5,00 annuali
Invio altre comunicazioni: Gratuite.
33.5 Altri oneri a carico del cliente
Imposta sostitutiva: Nella misura stabilita dalla legge: 0,25% dell’importo del mutuo per la prima casa,
2,00% dell’importo del mutuo per altri immobili.
Perizia dell’immobile: minimo Euro 300,00
Oneri notarili: minimo euro 100,00
Tenuta conto: minimo euro 40,00 trimestrali comprensive di bollo e altri oneri.
4 Condizioni economiche dell’operazione o del servizio: Mutuo a
tasso variabile
4.1 Caratteristiche generali
Destinazione: Acquisto di immobile ad uso abitativo.
Massimale finanziabile: Fino al 75% del valore dell’immobile.
Durata: 5-10-15-20-30 anni.
Periodicità rate: Mensile, trimestrale.
Condizioni di accesso: Apertura conto corrente e età massima 45 anni.
Garanzie richieste: Ipoteca di primo grado sull’immobile oggetto del finanziamento pari al 200% del valore
del mutuo. Polizza assicurazione incendio e scoppio pari al valore del mutuo (vedi Tab. 1). Polizza da
pagare una sola volta all’accensione del mutuo.
4.2 Tassi di interesse
Tasso annuo nominale applicato: Euribor a 1 o 3 mesi, oppure TUR, più spread.
Spread annuo massimo applicato: 2,00% per Euribor, 3,00% per TUR.
Indicizzazione: Parametrizzata alla media Euribor a 1 o 3 mesi oppure al TUR della Banca Centrale Europea.
L’indicizzazione avviene ogni mese o ogni trimestre, rispettivamente per i mutui con rata mensile o con
rata trimestrale. Ad ogni variazione del tasso indice, il piano d’ammortamento viene ricalcolato in funzione
del nuovo tasso e mantenendo la durata residua.
Interessi di mora: Maggiorazione 3,15% dalla data di scadenza della rata.
Tipologia piano di ammortamento: Francese con rate posticipate comprensive di capitale e di interessi.
Criterio di calcolo interessi: Anno civile.
4.3 Spese e Commissioni
Spese di istruttoria: da corrispondere all’atto dell’erogazione 0,30% dell’importo del mutuo.
Commissione per estinzione anticipata 1,50% sul capitale residuo i primi 5 anni, 1,00% sul capitale residuo
per gli anni seguenti, 0,00% sul capitale residuo per gli ultimi tre anni.
Spese di cancellazione ipoteca: Non previste
Spese di accollo mutuo: Euro 232,41 fisse.
Spese per invio avviso di scadenza rata: Con addebito in conto Euro 2,00 mensili indipendentemente dal
numero di rate pagate.
4Calcolo da eseguire Funzione da utilizzare Formula matematica
(1+i)k −1
Calcolare l’ammontare Ak pagato (debito estinto) fino alla rata k. CAP.CUM Ak = A (1+i)n −1
Dato inom , calcolare ief f .
Calcolare l’ammontare dell’interesse Ik pagato fino alla rata k.
Calcolare la quota interessi pagata alla rata k.
Dato ief f , calcolare inom .
Dato l’ammontare della rata R, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n.
Calcolare la quota capitale pagata alla rata k.
Calcolare la rata R del mutuo.
Dato l’ammontare della rata R, oltre a A e n, calcolare il tasso i.
Dato l’ammontare della rata R, oltre a i e n,
calcolare il valore attuale della totalità delle rate.
Dato l’ammontare della rata R, oltre a i e n,
calcolare il valore futuro della totalità delle rate.
Tabella 2: Tabella da completare per Es. 1
4.4 Altre spese
Invio delle comunicazioni di certificazioni interessi: Euro 5,00 annuali
Invio altre comunicazioni: Gratuite.
4.5 Altri oneri a carico del cliente
Imposta sostitutiva: Nella misura stabilita dalla legge: 0,25% dell’importo del mutuo per la prima casa,
2,00% dell’importo del mutuo per altri immobili.
Perizia dell’immobile: minimo Euro 300,00
Oneri notarili: minimo euro 100,00
Tenuta conto: minimo euro 40,00 trimestrali comprensive di bollo e altri oneri.
5 Esercizi
Possibili soluzioni degli esercizi proposti in questa sezione si trovano nella “cartella (di fogli di calcolo) soluzione”
allegata a questo documento.
Il lettore deve svolgere gli esercizi nel seguente modo: osservi la struttura dei fogli di calcolo proposti nella
cartella soluzione senza guardare le funzioni utilizzate; cerchi quindi di realizzare dei fogli di calcolo che abbiano
la stessa struttura e restituiscano gli stessi valori dei fogli soluzione.
Gli esercizi proposti hanno lo scopo di fare familiarizzare il lettore con le funzioni finanziarie. Alcuni esercizi
potrebbero forse essere risolti più facilmente con delle macro. Questi esercizi sono però rivolti a utilizzatori di
fogli elettronici e non a programmatori. Infatti, le soluzioni proposte per questi esercizi dimostrano che con le
funzioni e gli strumenti dei fogli di calcolo è possibile ottenere molti dei risultati di interesse senza la necessità
di sapere programmare.
Negli esercizi seguenti, quando non specificato diversamente, si supporrà che si voglia contrarre un mutuo a
tasso fisso per prima casa con le seguenti caratteristiche: importo 100.000,00 Euro, durata ventennale, perio-
dicità 12 rate annuali costanti posticipate, IRS uguale a 5,090%, spread e altri costi uguali a quelli riportati
nella Sezione 3. In particolare lo spread applicato è quello massimo, mentre gli altri costi applicati sono quelli
minimi.
1. Siano detti: A l’ammontare del mutuo, inom il tasso nominale annuo, r il numero delle rate pagate
annualmente, ief f il tasso effettivo annuo di inom date r rate, i il tasso di interesse per periodo (i = inom /r),
n il numero complessivo delle rate, k l’ultima rata pagata. Si completi la Tab. 2 a partire dall’equazione (2).
2. Si supponga di volere contrarre un mutuo a tasso fisso alle condizioni riportate nella Sezione 3. Si realizzi
un foglio elettronico che
• abbia come dati: destinazione (una tra le parole PrimaCasa, SecondaCasa), importo del mutuo, dura-
ta in anni, numero di rate annuali, IRS, spread annuo applicato, percentuale per spese di istruttoria,
tassi lordi per ogni 1.000,00 Euro per polizza assicurativa immobile (una tabella strutturata come
Tab. 1);
5• calcoli: TAN, numero di rate totali, rata a regime, spese di istruttoria, imposta sostitutiva, costo
dell’assicurazione, importo effettivamente erogato, ISC (nell’ipotesi che tale indice tenga conto solo
delle seguenti spese che vengono pagate al momento dell’erogazione del mutuo: spese di istruttoria,
costo dell’assicurazione, imposta sostitutiva), il totale del capitale e degli interessi pagati al momento
dell’estinzione del mutuo.
Si verifichi quindi che, per una prima casa, un mutuo ventennale di 12 rate annuali e di un importo di
100.000,00 Euro ha una rata a regime di 756,80 Euro e un ISC uguale al 7,062%.
3. Si modifichi il foglio elettronico realizzato per rispondere all’esercizio precedente in modo da tenere conto
di tutti gli oneri, spese e costi a carico del cliente previsti nella Sezione 3.
Si verifichi quindi che se nell’ISC vengono considerati tutti i costi, spese, commissioni e oneri, esso risulta
essere uguale al 7,443%. Si verifichi inoltre che, se si tiene conto di tutte le spese iniziali, l’importo
erogato risulta essere di 98.177,59 Euro. Si verifichi, infine, che il valore attuale del mutuo risulta essere
di 96.115,79 Euro se si conteggiano anche le altre spese periodiche che si dovranno sostenere per tutta la
durata del mutuo stesso.
4. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all’esercizio precedente e utilizzando lo strumento
ricerca obiettivo, si determini l’importo che si deve richiedere affinché vengano effettivamente erogati
100.000,00 Euro alle condizioni della Sezione 3.
5. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all’Es. 3 e utilizzando lo strumento tabella dati,
si realizzi una tabella che visualizzi l’importo della rata a regime per valori dell’IRS che variano dal 3,00%
all’8,00% con una passo di 0,50%. Si aggiunga quindi alla tabella appena realizzata una colonna che riporti
anche il valore dell’ISC in funzione dei differenti valori dell’IRS.
6. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all’Es. 3 e utilizzando lo strumento tabella dati,
si determini l’importo della rata a regime per valori del TAN che variano dal 4,00% all’8,00% con una
passo di 0,50% e per durate del mutuo uguali a 5-10-15-20-30 anni. Si realizzi quindi una seconda tabella
di struttura analoga alla precedente ma che riporti il totale degli interessi.
7. A partire dal foglio elettronico realizzato per rispondere all’Es. 3, si determini quanto si dovrà pagare se
si vuole estinguere anticipatamente il mutuo alla fine di ogni dato anno. Il foglio deve restituire anche il
totale del capitale rimborsato e degli interessi pagati fino al momento dell’estinzione del mutuo. Si verifichi
che dopo 10 anni si sarà ripagato poco più di un terzo del capitale. Si giustifichi il perché la quota del
capitale ripagato dopo 10 anni decresce all’aumentare del TAN.
8. Si realizzi un piano di ammortamento con un foglio elettronico come in Fig. 1. Si indichi come sono stati
calcolati i contenuti delle celle B9, B10 e B12. Nelle celle da B14 a B19 si visualizzino il tasso per periodo,
il tasso effettivo, il tasso nominale, il numero delle rate, il valore attuale delle rate e il valore futuro delle
rate usando le funzioni indicate nelle celle da A14 a A19. Si dimostri che le formule presenti nelle celle da
E4 a I4 e da E5 a I5 determinano veramente quanto indicato nelle celle da E2 a I2. Si copino le formule
da E5 a I5 nelle celle sottostanti per ottenere i dati indicati nelle celle da E2 a I2 per tutte le 120 rate del
mutuo. Infine, nelle celle da J4 a M4 e in tutte le rimanenti celle sottostanti, si usino le funzioni indicate
nelle celle da J2 a M2 al fine di ottenere gli stessi valori riportati nelle celle da E4 a H4 e sottostanti.
9. Si modifichi il foglio elettronico realizzato per rispondere all’Es. 2 esprimendo l’ammontare del mutuo in
funzione della rata e non viceversa. Si usi quindi lo strumento tabella dati per determinare l’importo
effettivamente erogato per valori della rata che variano da 600,00 a 1000,00 Euro con una passo di 50,00
Euro e per durate del mutuo uguali a 5-10-15-20-30 anni. Si realizzino quindi due grafici a dispersione. Il
primo grafico consideri un mutuo con rata di 900,00 Euro e visualizzi come varia l’importo effettivamente
erogato in funzione degli anni di durata. Il secondo grafico consideri un mutuo di durata decennale e
visualizzi come varia l’importo effettivamente erogato in funzione dell’ammontare della rata. Si osservi
che nel primo grafico l’importo erogato è meno che proporzionale alla durata del mutuo mentre, nel
secondo grafico, l’importo erogato è proporzionale alla rata. Si utilizzi la formula (2) per verificare che
l’ammontare del mutuo per una rata fissata a 900,00 Euro (e tutte le altre condizioni come in Sezione 3)
non può superare i 162.000,00 Euro, qualunque sia la durata del mutuo stesso.
10. Si ripeta l’Es. 2 applicando un piano di ammortamento italiano (ovvero rate con quota capitale costante e
quota interessi variabili). Essendo le rate variabili, si calcoli la rata media al posto della rata a regime. Si
realizzi inoltre una tabella come quella delle colonne da E a I dell’Es. 8 della Fig. 1; si aggiunga poi una
colonna che riporti l’ammontare complessivo della rata periodo per periodo. Si commenti perché la rata
6Figura 1: Dati per Es. 8
Calcolo da eseguire Formula matematica
k
Calcolare l’ammontare Ak pagato (debito estinto) fino alla rata k. Ak = A n
Calcolare l’ammontare dell’interesse Ik pagato fino alla rata k.
Calcolare la quota interessi pagata alla rata k.
Dato l’ammontare della rata media R̄, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n.
Calcolare la quota capitale pagata alla rata k.
Calcolare la rata R del mutuo.
Calcolare la rata media R̄ del mutuo.
Calcolare il tasso i.
Tabella 3: Tabella da completare per Es. 12
media e il totale degli interessi pagati con un ammortamento all’italiana sono inferiori rispettivamente alla
rata a regime e al totale degli interessi pagati con un ammortamento alla francese.
11. Si ripeta l’Es. 7 per il mutuo dell’esercizio precedente.
12. Si completi la Tab. 3 per un mutuo con ammortamento all’italiana.
13. Si supponga di contrarre un mutuo il primo di gennaio e che in tale anno si abbia un dato stipendio
netto mensile (ad esempio di 2000,00 Euro). Si supponga che il reddito aumenti di una data percentuale
all’anno (ad esempio il 3.0%). Utilizzando lo strumento tabella si realizzi la seguente tabella a due
colonne e con tante righe quanti sono gli anni di durata del mutuo. Per ogni anno, la prima colonna della
tabella deve riportare il rapporto percentuale tra l’ammontare della prima rata dell’anno del mutuo con
ammortamento francese considerato nell’Es. 2 e lo stipendio mensile; la seconda colonna deve riportare il
rapporto percentuale tra l’ammontare della prima rata dell’anno del mutuo con ammortamento italiano
dell’Es. 8 e lo stipendio mensile. Applicando la funzione CONFRONTA sui dati della tabella si determini
all’inizio di quale anno tali percentuali saranno inferiori a una data soglia. Analogamente si determini
all’inizio di che anno il rapporto percentuale tra rata e stipendio nell’ammortamento italiano sarà inferiore
al corrispondente rapporto percentuale tra rata e stipendio nell’ammortamento francese.
14. Si determini la quotazione odierna dell’indice IRS (detto anche Eurirs) che trovate nell’Osservatorio Tassi
de Il Sole 24 Ore.
15. Si determini la quotazione media del Euribor a un mese e a tre mesi utilizzando le serie storiche disponibili
sul Statistical Data Warehouse dell’European Central Bank all’url http://sdw.ecb.europa.eu/ (selezionate
Money, Banking and Financial Markets, quindi Market Indices). Si determini inoltre il valore corrente del
Tasso Ufficiale di Riferimento.
16. Il 1 gennaio 1999 si è contratto un mutuo di 100.000,00 Euro con le seguenti caratteristiche: durata
decennale, periodicità 12 rate annuali posticipate a tasso variabile, spread e altri costi uguali a quelli
riportati nella Sezione 4. In particolare lo spread applicato è quello massimo, mentre gli altri costi applicati
sono quelli minimi. Si realizzi una tabella che riporti l’ammortamento realizzato. In particolare la tabella
deve riportare i seguenti dati in corrispondenza di ogni rata: tasso Euribor utilizzato nel calcolo degli
interessi, TAN, ammontare rata, quota interessi, quota capitale, debito estinto, totale interessi pagati,
debito residuo.
71999 1,58%
2000 2,56%
2001 2,67%
2002 2,44%
2003 2,45%
2004 1,99%
2005 1,71%
2006 2,00%
2007 1,72%
2008 3,40%
Tabella 4: Tassi di inflazione per Es. 20
1970 5,08% 1980 21,15% 1990 6,10% 2000 2,56%
1971 5,00% 1981 18,70% 1991 6,41% 2001 2,67%
1972 5,62% 1982 16,34% 1992 5,41% 2002 2,44%
1973 10,37% 1983 14,99% 1993 4,20% 2003 2,45%
1974 19,44% 1984 10,58% 1994 3,94% 2004 1,99%
1975 17,17% 1985 8,60% 1995 5,35% 2005 1,71%
1976 16,52% 1986 6,10% 1996 3,90% 2006 2,00%
1977 18,10% 1987 4,62% 1997 1,73% 2007 1,72%
1978 12,45% 1988 4,96% 1998 1,80% 2008 3,40%
1979 15,74% 1989 6,61% 1999 1,58%
Tabella 5: Indici FOI per Es. 21
17. Si modifichi il foglio soluzione dell’esercizio precedente in modo da determinare il valore attuale di ognuna
delle rate. Si determini inoltre il valore attuale complessivo delle rate e si verifichi che esso è uguale
all’ammontare del mutuo erogato. Si commenti perché non si può utilizzare la funzione VA per rispondere
a questo esercizio.
18. Utilizzando la funzione TIR.COST si determini il tasso di sconto annuo costante equivalente (TAN equi-
valente) per il mutuo dell’esercizio precedente. Si ricordi che un tasso equivalente è un tasso che se fosse
stato utilizzato per attualizzare il valore delle rate avrebbe prodotto lo stesso valore attuale complessivo
delle rate.
19. Si determini, usando lo strumento ricerca obiettivo, quale TAN fisso avrebbe condotto a pagare gli stessi
interessi totali che si sono pagati per il mutuo all’Es. 16. Si commentino le differenze tra tale valore e
il TAN equivalente determinato nell’Es. 18. Si determini inoltre la rata corrispondente al TAN fisso e si
conti quante volte tale rata sarebbe stata superiore alla rata del mutuo a tasso variabile.
20. Si modifichi il foglio soluzione dell’esercizio precedente per confrontare le rate di due mutui: il mutuo
a tasso variabile dell’Es. 18 e un mutuo con caratteristiche analoghe ma a tasso fisso con TAN uguale
all’Euribor medio del gennaio 1999 più il 2,50%. In particolare si confrontino i due mutui rispetto al totale
degli interessi e al valore attuale delle rate calcolate al tasso di aumento reale dei redditi del mutuatario nel
1999 (e non al TAN imposto dal mutuante). Si definisca il tasso di aumento reale dei redditi del mutuatario
come la differenza tra il tasso di incremento annuale dei redditi del mutuatario (come riportato nel foglio
elettronico) e il tasso di inflazione. Un simile tasso serve a misurare il peso che ha avuto l’ammontare
delle rate sui redditi del mutuatario durante gli anni in cui ha pagato il mutuo. Si supponga che i tassi
di inflazione siano stati quelli riportati nella Tab. 4 e che il tasso di incremento annuale dei redditi del
mutuatario sia rimasto costante nel tempo.
21. L’1 gennaio 1970 un mutuatario contrasse un mutuo di 10.000,00 Euro con le seguenti caratteristiche:
durata trentennale, periodicità annuale con rata posticipata, tasso variabile con indicizzazione rispetto
agli indici nazionali dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati (FOI) riportati nella Tab. 5
(alternativamente si sarebbe potuto usare il tasso unitario di sconto, in ogni caso all’epoca l’Euribor non
esisteva), spread e altri costi uguali a quelli usati nell’ Es. 16. Si realizzi una tabella che riporti i seguenti
dati in corrispondenza di ogni rata: tasso utilizzato nel calcolo degli interessi, TAN, ammontare della
rata, quota interessi, quota capitale, debito estinto, totale interessi pagati, debito residuo. Si determini
quindi di quanto aumentò al massimo la rata rispetto alla rata iniziale. Il mutuatario, dopo avere svolto
gli esercizi precedenti, si era convinto che il tasso variabile fosse più conveniente rispetto a quello fisso e
aveva scartato l’ipotesi di un mutuo a tasso fisso con TAN uguale all’indice FOI del 1970 più uno spread
del 4,00%. Determinate quanti interessi in più ha pagato il mutuatario scegliendo il mutuo a tasso variabile
rispetto al mutuo a tasso fisso.
822. La Fig. 2 riporta parte di un volantino pubblicitario di una finanziaria. Si determino i TAN dei prestiti
personali e dei mutui proposti nel volantino. Si verifichi, usando i dati in Fig. 3, se il TAEG massimo
supera la soglia del tasso d’usura valido all’epoca del volantino, ovvero gennaio 2009. Si ricalcolino le rate
dei prestiti utilizzando i seguenti tassi: la soglia di usura (solo per i prestiti superiori ai 5000,00 euro), il
TAEG minimo e il TAEG massimo indicati dal volantino. Si determini inoltre la variazione percentuale
dell’ammontare di queste ultime rate rispetto a quelle del volantino.
Nel caso del mutuo di 150.000,00 euro, si determini di quanto può essere il valore attuale massimo delle
spese aggiuntive affinché il TAEG non superi la soglia di usura.
Figura 2: Volantino per Es. 22
23. La Fig. 4 riporta parte di un manifesto pubblicitario comparso all’inizio del 2009. Si determino i TAN dei
prestiti personali riportati sul manifesto. Si verifichi se qualcuno di questi TAN coincide con il TAN al 4%
indicato nel cuoricino che compare sulla tabella. Si giustifichi il significato della freccia rossa presente sul
manifesto a sottolineare le condizioni del prestito di 24.000,00 Euro.
Il manifesto pubblicitario non riporta le caratteristiche base del “MutuoLight, il mutuo a rate super
leggere”. Dati i tassi di interesse del 2009 riportati nella Tab. 6, e sapendo che difficilmente le banche
applicano spread inferiori allo 0,60%, dedurre: la tipologia del prestito (fisso o variabile), la durata minima
in anni del prestito, la periodicità delle rate.
Si calcoli la differenza assoluta e percentuale tra l’ammontare della rata del MutuoLight del manifesto
pubblicitario e di una rata mensile di un mutuo trentennale con TAN al 2,87% (migliore TAN trovato
dagli autori).
24. Leggendo i caratteri in piccolo del manifesto pubblicitario dell’esercizio precedente si scopre che:
9Tassi anti-usura validi dal 1° Gennaio 2009 al 31 Marzo 2009
CLASSI DI IMPORTO (in TASSI MEDI SOGLIA
CATEGORIE DI OPERAZIONI
euro) (su base annua) USURA
fino a 5.000 12,270 18,405
Aperture di credito in conto corrente
oltre 5.000 9,120 13,680
Anticipi, sconti commerciali e altri fino a 5.000 6,890 10,335
finanziamenti alle imprese effettuati dalle
banche oltre 5.000 6,220 9,330
fino a 50.000 7,010 10,515
Factoring
oltre 50.000 6,280 9,420
Crediti personali e altri finanziamenti alle
9,930 14,895
famiglie effettuati dalle banche
Anticipi, sconti commerciali, crediti fino a 5.000 14,690 22,035
personali e altri finanziamenti
effettuati dagli intermediari non bancari oltre 5.000 11,100 16,650
Prestiti contro cessione del quinto dello fino a 5.000 13,330 19,995
stipendio oltre 5.000 9,520 14,280
fino a 5.000 12,340 18,510
oltre 5.000 fino a 25.000 9,070 13,605
Leasing
oltre 25.000 fino a 50.000 8,010 12,015
oltre 50.000 6,820 10,230
fino a 1.500 16,290 24,435
Credito finalizzato all'acquisto rateale oltre 1.500 fino a 5.000 16,290 24,435
oltre 5.000 10,130 15,195
a tasso fisso 5,390 8,085
Mutui
a tasso variabile 5,450 8,175
Figura 3: Tassi usura per Es. 22
Tasso ufficiale di riferimento 2,00%
Euribor 1 mese 1,78%
Euribor 3 mesi 2,13%
Euribor 6 mesi 2,22%
IRS 5 anni 3,03%
IRS 10 anni 3,66%
IRS 15 anni 3,94%
IRS 20 anni 3,92%
IRS 25 anni 3,77%
IRS 30 anni 3,63%
IRS 40 anni 3,43%
IRS 50 anni 3,33%
Tabella 6: Tassi di interesse del 2009 per Es. 23
• le proposte indicate sono “esempi di prestito con cessione del quinto dello stipendio comprensivi di
coperture assicurative, riferiti ad una dipendente pubblica con 35 anni di età e 15 anni di servizio.
TAN 4%, TAEG min 7,26% max 8,20% riferiti agli esempi nella tabella.”;
• inoltre “La rata del MutuoLight è riferita ad un’operazione trentennale con maxi rata finale uguale
al 27% del capitale erogato. Parametro di indicizzazione IRS a 30 anni più spread dell’1%. TAN =
4.60%, TAEG = 5,00% riferiti all’esempio”.
Si realizzi un foglio di calcolo con cui: per quanto riguarda i prestiti personali, si determini il costo annuale
dell’assicurazione, se il TAN del prestito è uguale al 4,00% pubblicizzato; per quanto riguarda il mutuo, si
determini l’ammontare della maxi rata finale, il valore della rata con il TAN dichiarato, il TAN del prestito
alla rata pubblicizzata sul manifesto, il TAN se la maxi rata fosse pagata all’inizio. Con lo stesso foglio
di calcolo, dato un tasso nominale di interesse a cui si suppone di potere fare fruttare i propri risparmi
annualmente, si determini quanto si deve risparmiare mensilmente per potere pagare la maxi rata finale.
Si commenti quante sono le dipendenti pubbliche di 35 anni con 15 anni di anzianità. A tal fine si contino
quante tra le proprie conoscenti di 20 anni sono dipendenti pubbliche. Le dipendenti pubbliche in tali
condizioni alla data della pubblicità potevano ottenere prestiti con cessione del quinto dello stipendio presso
l’INPDAP (l’ente assistenziale dei dipendenti pubblici) ad un TAEG al 4,50%. Si commentino infine i
rischi associati a mutuo con una maxi rata finale. Nel fare ciò si tenga presente il decreto Tremonti appena
convertito in legge n.185/2009 alla data della pubblicità recita che “il limite di importo di cui all’articolo 76,
10Figura 4: Pubblicità per Es. 23
comma 1, del decreto del Presidente della Repubblica 29 settembre 1973, n. 602, è ridotto a cinquemila
euro”. In quel decreto del ’73, c’era scritto cosı̀: “Il concessionario può procedere all’espropriazione
immobiliare se l’importo complessivo del credito per cui si procede supera complessivamente ottomila
euro. Tale limite può essere aggiornato con decreto del ministero delle Finanze”.
6 Commenti alle soluzioni di alcuni degli esercizi
In questa sezione vengono riportate le soluzioni degli esercizi teorici e vengono commentati alcuni fogli di calcolo
presenti nella cartella soluzione.
• (1) La Tab. 7 indica come doveva essere completata la Tab. 2.
• (2) Nel foglio Domanda02 vengono usate le funzioni RATA, TASSO, EFFETTIVO, CAP.CUM, INT.CUMUL,
CERCA.VERT. La funzione RATA determina l’ammontare di pagamenti periodici costanti a un tasso di
interesse costante, secondo uno schema di ammortamento alla francese. Si noti che il tasso di interesse
applicato deve essere quello periodico, ovvero T AN/r dove r è il numero di pagamenti annui.
La funzione TASSO viene utilizzata per determinare il tasso di interesse periodico i di un mutuo fittizio
il cui ammontare è uguale all’importo effettivamente erogato dal mutuante e la cui rata corrisponde
all’ammontare effettivamente pagato periodicamente dal mutuatario. Noto i si può calcolare il valore
dell’ISC. Poiché l’ISC è un tasso effettivo vale la condizione ISC = (1 + i)r − 1 e non ISC = ri. L’ISC è
quindi calcolato attraverso la funzione EFFETTIVO che trasforma un tasso nominale annuo, nel caso ri,
nel corrispondente tasso effettivo annuo, l’ISC.
11Calcolo da eseguire Funzione da utilizzare Formula matematica
(1+i)k −1
Calcolare l’ammontare Ak pagato (debito estinto) fino alla rata k. CAP.CUM Ak = A (1+i)n −1
inom r
Dato inom , calcolare ief f . EFFETTIVO ief f = (1 + r
) − 1 = (1 + i)r −1
1+ki(1+i)n −(1+i)k
Calcolare l’ammontare dell’interesse Ik pagato fino alla rata k. INT.CUMUL Ik = A (1+i)n −1
(1+i)n −(1+i)k−1
Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. INTERESSI QIk = iA (1+i)n −1
1
Dato ief f , calcolare inom . NOMINALE inom = ((1 + ief³f ) r − ´1)r = ir
R−iA
log R
Data la rata R, oltre a A e i, calcolare il numero di rate n. NUM.RATE n=− log(i+1)
(1+i)k−1
Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. P.RATA QCk = iA (1+i)n −1 = R(1 + i)k−1−n
(1+i)n
Calcolare la rata R del mutuo. RATA R = iA (1+i)n −1
Dato l’ammontare della rata R, oltre a A e n, calcolare il tasso i. TASSO i : R((1 + i)n − 1) = iA(1 + i)n
P
Dato l’ammontare della rata R, oltre a i e n, VA VA=R n k=1 (1 + i)
−k =
(1+i)n −1
calcolare il valore attuale della totalità delle rate. = R i(1+i)n
P
Dato l’ammontare della rata R, oltre a i e n, VAL.FUT VF = n n−k
k=1 Rk (1 + i) n =
n (1+i) −1
calcolare il valore futuro della totalità delle rate. = V A(1 + i) = R i
Tabella 7: Tabella completa per Es. 1
Le funzioni CAP.CUM e INT.CUMUL determinano gli importi (non attualizzati) complessivi delle quote
capitale e delle quote interesse pagate tramite le rate in un determinato intervallo di tempo. In questo
contesto si ricordi che le rate pagate periodicamente sono composte da una quota interesse e una quota
capitale. La quota interesse serve a coprire gli interessi sul capitale residuo maturati nell’intervallo tra
due pagamenti successivi delle rate. La quota capitale corrisponde alla parte del capitale restituito con la
parte residua della rata.
Infine, la funzione CERCA.VERT viene usata per cercare un valore all’interno di una tabella organizzata
per righe.
• (3) Nel foglio Domanda03 viene usata la funzione VA. La funzione VA restituisce il valore attuale di una
serie di pagamenti periodici futuri costanti a un tasso di interesse costante. La funzione VA è infatti
utilizzata per determinare il valore delle spese periodiche per il pagamento delle rate e per la gestione del
mutuo. Poiché queste spese avvengono con periodicità diverse, i loro valori attuali devono essere calcolati
separatamente da due differenti istanze della funzione VA.
• (4) Nel foglio Domanda04 viene usato lo strumento ricerca obiettivo. In particolare si deve imporre che il
contenuto della cella che contiene l’importo effettivamente erogato sia uguale a 100.000,00 facendo variare
il valore della cella che contiene l’ammontare del mutuo.
• (5 - 6) I fogli Domanda05 e Domanda06 mostrano i risultati ottenuti tramite l’utilizzo dello strumento
tabella dati. Le tabelle permettono di eseguire un’analisi di sensibilità dei risultati di una funzione al
variare dei valori di uno o due argomenti dei suoi argomenti principali. A sua volta l’analisi di sensibilità
permette di determinare quali sono gli elementi particolarmente critici che devono essere presi in consider-
azione nell’eseguire una scelta. Ad esempio dalla prima tabella del foglio si può dedurre che la variazione
marginale della rata è di circa 60,00 euro per ogni punto percentuale del tasso ISC.
• (8) Scopo del foglio Domanda08 è mostrare come vengono calcolate le funzioni INTERESSI, P.RATA,
CAP.CUM e INT.CUMUL dai fogli elettronici. Esse non fanno altro che eseguire ricorsivamente semplici
operazioni.
−n
• (9) Dal calcolo del limn→∞ R 1−(1+i) i = Ri si deduce che, a rata e a tasso di interesse costanti, l’am-
montare del mutuo ottenibile non può superare una soglia limite, indipendentemente dagli anni di du-
rata dello stesso. Viceversa, sempre dalla formula (2) si deduce che l’ammontare del mutuo ottenibile è
proporzionale alla rata che si è disposti a pagare.
• (10) Nel foglio Domanda10 vengono calcolati i vari termini di un piano di ammortamento all’italiana. Si
noti che non possono essere usate le funzioni INTERESSI, P.RATA, CAP.CUM e INT.CUMUL poiché
esse fanno riferimento a piani di ammortamento alla francese.
La rata media e il totale degli interessi pagati con un ammortamento all’italiana sono inferiori rispetti-
vamente alla rata a regime e al totale degli interessi pagati con un ammortamento alla francese poiché
con l’ammortamento all’italiana è maggiore la quota capitale pagata nelle rate iniziali. In questo modo
una maggior parte di capitale è restituita negli anni iniziali e quindi sono complessivamente pagati meno
12Calcolo da eseguire Formula matematica
k
Calcolare l’ammontare Ak pagato (debito estinto) fino alla rata k. Ak = A n
Calcolare l’ammontare dell’interesse Ik pagato fino alla rata k. Ik = iAk(1 − k−1
2n
)
Calcolare la quota interessi pagata alla rata k. QIk = iA(1 − k−1n
)
A(i+2)
Dato l’ammontare della rata media R̄, oltre a A e i, calcolare in numero di rate n. n= 2R̄−iA
Calcolare la quota capitale pagata alla rata k. QCk = A n
i(n+1−k)+1
Calcolare la rata R del mutuo. Rk = A n
i(n+1)+2
Calcolare la rata media R̄ del mutuo. R̄ = A 2n
Pn i(n+1−k)+1
Calcolare il tasso i. i: 1= k=1 n
(1 + i)−k
Tabella 8: Tabella completa per Es. 12
interessi. A parità di tasso di interesse, l’ammortamento all’italiana è finanziariamente vantaggioso anche
nel caso in cui si voglia estinguere il mutuo anticipatamente. Infatti si deve pagare un capitale residuo
inferiore che nell’ammortamento alla francese (vedi Es. 11).
Si noti però che nell’ammortamento all’italiana le rate sono decrescenti e non costanti. L’ammontare
delle rate iniziali è quindi maggiore che nell’ammortamento alla francese. Questa situazione può essere
svantaggiosa per il mutuatario che durante l’età più giovane ha tipicamente meno disponibilità finanziarie.
• (12) La Tab. 8 indica come doveva essere completata la Tab. 3.
• (13) Nel foglio Domanda13 viene usata la funzione CONFRONTA. La funzione CONFRONTA restituisce
la posizione in cui si trova l’elemento di una matrice che corrisponde a un valore specificato. Si noti
la differenza tra CONFRONTA e le funzioni CERCA.VERT e CERCA.ORIZZ, queste ultime funzioni
riportano infatti il valore dell’elemento invece che la posizione.
• (16) Nel foglio Domanda16 vengono calcolati i vari termini di un piano di ammortamento in cui i tassi
di interesse non sono costanti. Anche in questo caso non possono essere usate le funzioni CAP.CUM e
INT.CUMUL poiché esse fanno riferimento tassi di interesse costanti. Differentemente, le funzioni RATA,
INTERESSI e P.RATA vengono utilizzate per il calcolo delle rate e delle quote interessi e capitale. Si noti
però che, per tenere conto della variabilità degli interessi, ogni rata, assieme alle sue rispettive componenti,
viene calcolata come se fosse la prima rata di un muto di ammontare uguale al capitale residuo, di durata
uguale al tempo residuo e con tasso di interesse costante uguale al tasso del mese corrente.
• (17 - 18) Nel foglio Domanda17&18 vengono calcolati i valori attuali delle rate in presenza di tassi variabili.
La variabilità dei tassi impedisce di utilizzare la funzione VA. Si deve quindi attualizzare ogni rata at-
Rk
traverso la formula valore attuale rata = (1+i1 )(1+i2 )···(1+ik−1 )(1+ik )
. Nel caso di tassi di interesse costanti,
Rk
la formula precedente si riduce all’usuale valore attuale rata = (1+i) k . Nel foglio Domanda17&18, l’in-
verso del fattore di attualizzazione (1 + i1 )(1 + i2 ) · · · (1 + ik−1 )(1 + ik ) è calcolato ricorsivamente. Se
in una cella è calcolato il fattore di attualizzazione al periodo k − 1, nella cella sottostante il fattore di
attualizzazione al periodo k è calcolato moltiplicando il valore della cella sovrastante per (1 + ik ).
La funzione TIR.COST è utilizzata per calcolare il TAN equivalente. La funzione TIR.COST restituisce
il tasso di rendimento interno per una serie di flussi di cassa che occorrono a intervalli regolari. Nel caso
di un mutuo i flussi di cassa sono l’erogazione del mutuo (flusso positivo o in entrata) e i pagamenti delle
rate (flussi negativi o in uscita). La funzione TIR.COST determina il proprio risultato per tentativi; è
quindi opportuno fornire un valore iniziale da cui iniziare i tentativi. Tale valore deve essere scelto vicino
a quello che, a spanne, si ritiene essere il TIR cercato. Nel caso considerato nel foglio di calcolo è stato
scelto come valore iniziale il valore medio dei tassi periodici applicati. Il valore iniziale è un argomento
facoltativo per la funzione TIR.COST, ma senza di esso la funzione rischia di non riuscire a trovare il
valore desiderato. Questa situazione, per esempio, accade per il piano d’ammortamento considerato.
• (19) Nel foglio Domanda19 si utilizzano i risultati degli esercizi precedenti per calcolare gli interessi totali
per l’ammortamento a tasso variabile. Si usano invece le funzioni RATA e INT.CUMUL per calcolare
la rata e gli interessi dell’ammortamento a TAN fisso. Per determinare il valore del tasso di interesse
fisso, si parte da un valore arbitrario e quindi si applica lo strumento ricerca obiettivo. In particolare,
attraverso la ricerca obiettivo si fa variare il valore del TAN fisso fino a quando l’ammontare degli interessi
totali dell’ammortamento a TAN fisso sia uguale a quello degli interessi totali dell’ammortamento a tasso
variabile.
In questo foglio viene utilizzata la funzione CONTA.SE per contare quante volte la rata corrispondente al
TAN fisso sarebbe stata superiore alla rata del mutuo a tasso variabile. Si osservi che si deve usare una
13stringa (un testo) per passare alla funzione CONTA.SE la condizione che determina quali celle verranno
contate. Nel caso in questione tale condizione viene realizzata usando la funzione CONCATENA. La
funzione CONCATENA semplicemente unisce due stringhe o una stringa e un numero in un’unica stringa.
• (20) Nel foglio Domanda20 vengono usate le funzioni ANNO e MATRICE.SOMMA.PRODOTTO. La fun-
zione ANNO restituisce l’anno di una determinata data. La funzione MATRICE.SOMMA.PRODOTTO
in questo caso è utilizzata per eseguire il prodotto scalare tra due vettori. In particolare, la funzione
MATRICE.SOMMA.PRODOTTO viene utilizzata per calcolare il totale dei valori attuali delle rate
eseguendo la somma dei singoli prodotti tra i valori delle rate e dei corrispondenti fattori di attualizzazione.
• (21) Nel foglio Domanda21 viene usata la funzione MIN per determinare l’ammontare massimo di una
rata. Questo apparente paradosso è giustificato dal fatto che gli importi delle rate sono espressi come
valori negativi.
• (23) Tutti gli esempi di rate proposte dalla pubblicità riportata nella Fig. 4 hanno un TAN superiore al
4%. Non si capisce inoltre cosa la pubblicità intenda sottolineare con la freccia rossa. Infatti, anche il
prestito puntato dalla freccia ha un TAN superiore al 4%.
• (24) Nel foglio Domanda24 viene usata la funzione RATA per determinare l’ammontare della rata del
mutuo e dell’importo da risparmiare mensilmente per pagare la maxi rata finale. In entrambe i casi si
deve tenere cono del valore futuro da pagare (maxi rata). Il valore della maxi rata deve essere indicato
con un numero negativo in quanto è un flusso in uscita.
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