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Apprendere la matematica:
dal problema al modello e dal modello all’astrazione
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Perché la matematica è
difficile?
Basi scientifiche per una didattica
inclusiva
Relatore: Anna Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 2015
HOTEL SAVOIA REGENCY
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine
(e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici
• Fattori affettivi
• Fattori cognitivi
• Fattori didattici
e sociali
Bologna, 20 Aprile 3
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine
(e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici
• Fattori affettivi
• Fattori cognitivi
• Fattori didattici
e sociali
Bologna, 20 Aprile 4
2015
Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank
Dati raccolti attraverso lo strumento narrativo
Io e la matematica:
il mio rapporto con la matematica
(dalle elementari ad oggi)
Ad oggi Pietro Di Martino e Rosetta Zan hanno
raccolto e analizzato più di 2000 temi
Bologna, 20 Aprile 5
2015
Fattori Affettivi A. Baccaglini-Frank
Dai temi emerge:
Prevalenza di emozioni negative
Gli indifferenti emozionalmente nei confronti della
matematica sono quasi esclusivamente persone
che non hanno avuto problemi con la
matematica!
Chi ha difficoltà vive molto spesso una
situazione di profondo disagio
Bologna, 20 Aprile 6
2015
Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Alcuni fattori che contribuiscono a far
“vivere male” la matematica
Successo in matematica = non fare errori
Successo in matematica = essere veloci
(prendere tempo per pensare è visto come una
debolezza)
Imporre la velocità crea ansia.
Questo è molto dannoso per l’apprendimento di
tutti gli studenti.
Bologna, 20 Aprile 7
2015
Fattori affettivi – alcune radici cognitive A. Baccaglini-Frank
• La memoria di lavoro gioca un ruolo chiave (più se
ne ha più è alto il potenziale di successo)
• Sotto stress l’ansia blocca la memoria di lavoro
(sensazione di annebbiamento o vuoto di memoria)
• L’ansia in matematica blocca soprattutto gli
studenti con buona capacità di ML che sono quelli
con più alto potenziale.
(Beilock)
Bologna, 20 Aprile 8
2015
Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Come ti ha fatto sentire il test di oggi?
(4° elementare)
• “Preoccupato che non sarei riuscito a finire”
• “nervosa: so bene i fatti ma mi fa paura che
potrei prendere un brutto voto”
• “nervosa perché non mi piacciono molto i tests”
• “nervoso perché ho paura che non finirò o che
farò errori”
• “sotto pressione”
Bologna, 20 Aprile 9
2015
Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Come ti ha fatto sentire il test di oggi?
(2° elementare)
• “non bene”
• “agitata”
• “nervosa”
• “che faccio schifo in matematica”
• “triste”
Bologna, 20 Aprile 10
2015
Fattori affettivi A. Baccaglini-Frank
Attenzione:
Pensare in modo profondo richiede tempo!
“Ero sempre molto incerto sulla mia capacità intellettuale; pensavo di
essere non-intelligente. E certo era vero che ero, e sono ancora, lento
a pensare. Mi ci vuole tempo per afferrare le cose perché le devo
capire a fondo.
...Alla fine della scuola superiore ho deciso che la velocità non ha una
relazione precisa con l’intelligenza. Quello che importa è capire a fondo
le cose e le loro relazioni con altre. Qui sta l’intelligenza. Il fatto di
essere veloci o lenti non ha importanza. Ovviamente aiuta essere
veloci e avere buona memoria. Ma non è necessario né sufficiente per
il successo intellettuale.”
Lauren Schwartz
‘A Mathematician Grappling with his Century’
Bologna, 20 Aprile 11
2015
Il ruolo dell’essere motivati A. Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 12
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
This research examined how motivation (perceived
control, intrinsic motivation, and extrinsic motivation),
cognitive learning strategies (deep and surface
strategies), and intelligence jointly predict long-term
growth in students’ mathematics achievement over 5
years. [...] Results showed that the
• initial level of achievement was strongly related to
intelligence, with motivation and cognitive
strategies explaining additional variance.
• In contrast, intelligence had no relation with the
growth of achievement over years,
• whereas motivation and learning strategies were
predictors of growth.
These findings highlight the importance of motivation
and learning strategies in facilitating adolescents’
development of mathematical competencies.
Bologna, 20 Aprile 13
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine
(e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici
• Fattori affettivi
• Fattori cognitivi
• Fattori didattici
e sociali
Bologna, 20 Aprile 14
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Come funziona il nostro cervello rispetto
ai numeri?
Nel nostro cervello vi è un organo preposto
alla percezione e alla rappresentazione delle quantità
numeriche; le sue caratteristiche lo collegano senza
dubbio alle facoltà proto-aritmetiche presenti
nell'animale e nei bambini molto piccoli:
può codificare con precisione solo gli insiemi
il cui numero cardinale non superi il 3 e,
più i numeri sono grandi e vicini tra loro, maggiore è
la facilità con cui li confonde. Dehaene, 2010
Bologna, 20 Aprile 15
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
a
Analogico
S-m
D΄
D
C΄
C
Verbale
visivo
udi0vo
B
arabico
«se2e»
A
7
MODELLO DEL TRIPLO CODICE
(Dehaene, 1992)
Bologna, 20 Aprile 16
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Mapping brain dysfunction in Dyscalculia
«Access» hypothesis : «Core Deficit» hypothesis:
Deficit Exact Number Representation Deficit in the Approximate
and the link between Arabic – Magnitude system
Magnitude Representation (Butterworth, 1999; Gersten & Chard,
(Rouselle & Noël, 2007, 2011) 1999; Wilson & Dehaene, 2007)
Left hemisphere Right hemisphere
Bologna, 20 Aprile 17
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Defining DD is challenging...
A constraint on the depth of our knowledge in this
area stems from the paucity of research on DD,
particularly relative to research on other learning
disorders... A related obstacle is the lack of
universal classification criteria for DD, leading
to inconsistent composition of DD samples across
studies... Until recently, assessment-based cut-
off scores used to define DD samples were
also highly variable.
Mazzocco (2005), Mazzocco & Pekka Räsänen (2013)
Bologna, 20 Aprile 18
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Ipotesi (tipica) di fondo della psicologia
cognitiva e delle neuroscienze
Le abilità matematiche sono innate o stabili, spesso
anche con sviluppo tipico “predefinito”.
Dunque le difficoltà dipendono da una disabilità,
probabilmente causata da certi deficit neurologici o
sviluppo atipico (potenzialmente causato dai deficit).
(e.g., Butterworth, 2005; Shalev et al., 2001; Augustyniak,
Murphy, & Phillips, 2005; Fuchs et al., 2007)
Bologna, 20 Aprile 19
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
L’esposizione culturale gioca un ruolo
fondamentale
Attenzione che per quanto ci possano essere delle
predisposizioni con cui si nasca, non è pensabile
che da solo un bambino possa scoprire da solo
tutta la matematica nell’arco della sua vita.
Bologna, 20 Aprile 20
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Si possono ri-organizzare le principali
ipotesi avanzate in psicologia e
neuroscienze per studiare i “profili di
apprendimento matematico” degli
studenti.
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014)
Bologna, 20 Aprile 21
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Modello delle componenti cognitive dei ‘profili di
apprendimento matematico’
(Karagiannakis, Baccaglini-Frank & Papadatos, 2014;
Karagiannakis, Baccaglini-Frank, & Roussos, under review)
Bologna, 20 Aprile 22
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
11.
Mental
calcula-ons
Student
1
12.
Equa-ons
Reasoning
13.
Word
problems
Student
2
8.
Number
Lines
0-‐1000
9.
Maths
terms
10.
Calcula-ons
principles
Memory
5.Mul-plica-on
facts
retrieval
4.
Addi-on
fact
retrieval
Core
3.Dots
magnitude
comparison
number
1.Subi-zing-‐Enumera-on
2.
Number
magnitude
comparison
7.
Ordinality
Visual-‐spa0al
6.
Number
Lines
0-‐100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Performance
(Stanine
scale)
Bologna, 20 Aprile 23
2015
Fattori cognitivi A. Baccaglini-Frank
Stile “lombrico” e stile “grillo”
Stile lombrico: attaccato alle formule, procedurale,
sequenziale, bisogno di documentare tutto
Stile grillo: olistico, intuitivo, oppongono resistenza
alla richiesta di documentare il loro pensiero.
(Marolda & Davidson, 2000; Chinn, 2012)
Bologna, 20 Aprile 24
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Fonti principali di origine
(e di incremento) delle difficoltà in matematica
• Fattori epistemologici
• Fattori affettivi
• Fattori cognitivi
• Fattori didattici
e sociali
Bologna, 20 Aprile 25
2015
Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
In generale, tali fattori vengono studiati
sempre di più con quadri teorici di
riferimento socio-culturali.
Si tende ad un superamento dei modelli
“multi-deficit”, inquadrando il fallimento dello
studente in una dimensione collettiva che
include l’insegnante e il “milieu” sociale.
(per es., Frade, Acioly-Régnier & Jun, 2013; Ben-Yehuda, Lavy,
Linchevski & Sfard, 2005; Solomon, 2007; Heyd-Metzuyanim, 2012)
Bologna, 20 Aprile 26
2015
Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
Uno studio di Einat Heyd-
Metzuyanim
Lo studio offre una prospettiva innovativa
sulle difficoltà di apprendimento in
matematica, descrivendo la costruzione di
un’identità di fallimento in matematica
dovuta a meccanismi nell’interazione
intercorsa tra una studentessa e
l’insegnante durante un processo di
insegnamento-apprendimento durato diversi
mesi.
Bologna, 20 Aprile 27
2015
Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
Un (necessario)
cambiamento di paradigma
Non c’è “disfunzione” da “recuperare/compensare” perché
uno studente con MLD possa essere incluso nel curriculum
progettato per studenti “normali” e “rimanere al passo”.
L’obiettivo della didattica dovrebbe essere quello di
massimizzare il potenziale di ciascuno studente di
sviluppare un linguaggio matematico (in senso lato).
(Santi & Baccaglini-Frank, 2015)
Bologna, 20 Aprile 28
2015
Fattori didattici e sociali A. Baccaglini-Frank
strategie
due
approcci
al
intervento
in
compensa-ve
problema
delle
difficoltà
di
profondità
che
(rapide
da
apprendimento
può
portare
insegnare)
per
in
matema-ca
anche
ad
una
sopravvivere
revisione
del
alla
programma
matema-ca
didaTco
scolas-ca
Bologna, 20 Aprile 29
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Esempi di proposte didattiche
Nel progetto PerContare (tra il 2011 e il 2014),
grazie ad un lavoro congiunto tra didattici della
matematica e psicologi cognitivi, abbiamo
sviluppato varie attività per un buon avvio
all’aritmetica, a partire dalla transizione dalla
scuola dell’infanzia alla scuola primaria.
(altre informazioni a percontare.asphi.it)
Bologna, 20 Aprile 30
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Entità stimata del fenomeno
“falsi positivi”
Bologna, 20 Aprile 31
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Fondamenta teoriche delle pratiche
didattiche elaborate
Alcuni elementi chiave ripresi dalla letteratura in
didattica della matematica, psicologia cognitiva e
neuroscienze sono:
• lo sviluppo di “number sense”;
• i canali privilegiati per l’accesso e la produzione
dell’informazione;
• l’uso di artefatti nella didattica laboratoriale;
• la Teoria della Mediazione Semiotica.
Bologna, 20 Aprile 32
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Gli elementi chiave per lo sviluppo di
“number sense”
• potenziamento di alcune abilità componenti del
“number sense” legate anche all’uso delle dita:
gnosia digitale, subitizing (Butterworth, 1999; Gracia-
Baffaluy & Noël 2008; Baccaglini-Frank & Maracci, in press);
• consapevolezza della relazione parte-tutto, o
“complementarità” (Resnick et al., 1991; Schmittau, 2011);
• consapevolezza di “struttura” in ambito numerico
(Mulligan & Mitchelmore, 2013).
Bologna, 20 Aprile 33
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Canali
di
accesso
e
di
produzione
dell’informazione
Udi-vo
Visivo
non
Si
impara
Si
impara
sulla
verbale
ascoltando
base
di
una
memoria
visiva.
Cineste-co-‐
taTle
Visivo-‐verbale
A-‐B-‐C
informazione
Si
impara
facendo
Si
impara
leggendo
(Stella
e
Grandi,
2012)
Bologna, 20 Aprile 34
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Canali
di
accesso
e
di
produzione
dell’informazione
Udi-vo
Visivo
non
Si
impara
Si
impara
sulla
verbale
ascoltando
base
di
una
memoria
visiva.
Cineste-co-‐
taTle
Visivo-‐verbale
A-‐B-‐C
informazione
Si
impara
facendo
Si
impara
leggendo
(Stella
e
Grandi,
2012)
Bologna, 20 Aprile 35
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 36
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
I contenuti delle guide didattiche:
classe prima
ATTIVITA’ INDICE GRAFICO DEI PERCORSI
PRIME
Introduzione numeri 1-9
I numeri con le mani
I numeri con contamani
COMPLEMENTARIETA’ DEI NUMERI
Complementarietà gioco
Introduzione scomposizioni
Scomposizioni numeri 1-9
Introduzione 10 Introduzione 10
BUONE ABITUDINI
NOTAZIONE DECIMALE POSIZIONALE
Gioco per la decina Gioco per la decina
BEE-BOT E SPAZIO
Introduzione 10 con linea num. Introduz. 10 con linea num.
Rappresentaz. Numeri con mani
Giochi mani e contamani Giochi mani e contamani
Gioco intro segno +
Gioco intro segno -
AVVIO AL CALCOLO
Relazione complementarietà
Linea num. finestra scorrevole Rappres. numeri cannucce
PROBLEMI CON
Avanti-indietro linea num.
VARIAZIONE
Confrontare i numeri Confronto numeri Pari e dispari
Bee-bot e linea numeri Cannucce e scatole trasp. Calcolo a mente
Scopriamo pascalina
Approfondiamo pacalina
Gioco con pascalina Gioco pascalina Add. e sott. con pascalina
Intro abaco e b.abaco
Lavoro con abaco o b.abaco Lavoro con abaco o
b.abaco
Bologna, 20 Aprile 37
2015
Guida Classe prima Progetto PerContareEsempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
I contenuti delle guide didattiche:
classe seconda
INDICE GRAFICO DEI PERCORSI
Gioco con la pascalina *
BUONE ABITUDINI CON
GLI STRUMENTI(*)
Introduzione abaco o
b.abaco
Lavoriamo con abaco o
b.abaco
Confronto strumenti
Confronto fra strumenti
Lavoriamo con abaco e
b.abaco *
Viaggiando fra i numeri * Calcolo a mente *
Numeri oltre 20 * Addizione e sottraz. 1 Introduzione misura bee-
NUMERI FINO A 100
bot
Gioco con la pascalina * Addizione e sottraz. 2
Avvio calcolo in colonna
Moltiplicaz- diagrammi
Da diagrammi a operaz. 1
CALCOLO
MISURA
Tavolona pitagorica
Posizione tavola pitagorica
La simmetria
Completare buchi
Numeri pari e dispari 1 Multipli: linea e cannucce
Numeri pari e dispari 2 Misura quantità continue 1
Misura quantità continue 2
Misura quantità continue 3
Operazioni contestualizzate
Bologna, 20 Aprile 38
2015
Guida Classe seconda Progetto PerContareEsempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 39
2015
Esempi di proposte didattiche - PerContare A. Baccaglini-Frank
Dati di uno studio longitudinale
Percentuali
di
bambini
“a
rischio”
o
con
diagnosi
(in
classe
terza)
di
DE
pura
o
in
comorbidità
anno
di
Classi
Sperimentali
Classi
di
Controllo
entrata
nel
proge2o
Primo
Anno
4%
7%
(2011)
Secondo
Anno
(ancora)
ND
(ancora)
ND
(2012)
• varietà
nelle
strategie
• elevata
accuratezza
(da
• strategie
“standardizzate”
subito)
• accuratezza
minore
• nessun
bambino
non
• vari
bambini
non
rispondono
nel
calcolo:
risponde
• tempi
più
lunghi
(di
ca
3
m)
di
automa-zzazione
dei
faT
(Baccaglini-Frank & Scorza, in preparazione)
Bologna, 20 Aprile 40
2015
Esempi di proposte didattiche A. Baccaglini-Frank
Idee per una didattica inclusiva nella scuola secondaria
• la costruzione e il recupero del significato delle nozioni algebriche e
geometriche si possono realizzare tramite un registro di
rappresentazione di tipo visuo-spaziale piuttosto che di tipo
prevalentemente verbale.
• L’approccio visuo-spaziale, che caratterizza l’idea didattica più
innovativa, sembra essere efficace sia per attribuire significato ai concetti
algebrici (variabile, espressioni, equazioni, ecc.) sia alle procedure
manipolative (legate, per esempio, alla soluzione delle equazioni e
realizzate tramite l’applicazione di regole e proprietà).
• Ciò suggerisce l’importanza, dal punto di vista didattico, delle modalità,
degli strumenti e dei contesti con i quali i concetti matematici vengono
proposti. Gli strumenti (siano essi carta e penna, abaco, software…)
possono mediare l’introduzione di una nuova nozione matematica in
modi diversi fornendone, di fatto, diverse rappresentazioni sulla base
delle quali elaborare immagini e modelli mentali.
Bologna, 20 Aprile 41
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 42
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Tangente e derivata
Alice e Filippo non hanno ben chiaro il
legame tra le nozioni di tangente e derivata
e discutono tra di loro.
Bologna, 20 Aprile 43
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Senti Filippo, io ho studiato le definizioni di
derivata e di tangente, e so anche le regole
per calcolare la derivata di molte funzioni…
ma alla fine non so bene che cosa
immaginarmi quando parlo di derivata.
Invece quando penso alla tangente di una
funzione mi vedo una retta che è tangente al
grafico...ma che cosa c'entra con la
derivata? Che confusione…
Bologna, 20 Aprile 44
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Beh, non sono la persona migliore per
parlarti di teoria, ma la prima cosa che io
visualizzo per aiutarmi a legare la
tangente alla derivata è proprio la "m"
della retta tangente, cioè il coefficiente
angolare, e questo te lo dà, per ogni
punto, la derivata.
Bologna, 20 Aprile 45
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
È una questione molto
interessante! Vale la pena di
approfondirla. Vi ho costruito
questo file (funz_tg.ggb) perché
possiate rifletterci ancora un po`.
La funzione nel file è
1-x2
f(x)= -----------
x2+x+2
Cercate di capire che cosa
rappresenta la traccia del punto
B.
Bologna, 20 Aprile 46
2015
Esempi di proposte didattiche – Risorse BES A. Baccaglini-Frank
Bologna, 20 Aprile 47
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Grazie per l’attenzione.
Bologna, 20 Aprile 48
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia
ASPHI (2011). Il progetto PerContare. All’indirizzo percontare.asphi.it
Augustyniak, K., Murphy, J., & Phillips, D. K. (2005). Psychological perspectives in assessing
mathematics learning needs. Journal of Instructional Psychology, 32, 277–286.
Baccaglini-Frank, A. (2013a). Analisi delle Potenzialità di Applicazioni Multi-Touch per la Costruzione
del Significato di Numero Naturale. Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 36 A N.
3, 237-262.
Baccaglini-Frank, A. (2013b). Cap. 13, L’uso di ambienti digitali per l’apprendimento. In Elisabetta
Genovese, Enrico Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e
strumenti per uno studio efficace. (153 -158) Erickson Editore. Baccaglini-Frank, A. (2013c). Cap. 14,
Agevolare la costruzione di significati matematici con l'uso di software. In Elisabetta Genovese, Enrico
Ghidoni, Giacomo Guaraldi (a cura di), Discalculia nei giovani adulti Indicazioni e strumenti per uno
studio efficace. (159-190). Baccaglini-Frank, A. (2014). Trattamento dello zero nel progetto PerContare.
L’Insegnamento della Matematica e delle Scienze Integrate, 37 A N.3, 257-282.
Baccaglini-Frank, A. e Gamberini, F (2014a). Guida alle attività per la matematica classe prima.
Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it
Baccaglini-Frank, A. e Gamberini,F (2014b). Guida alle attività per la matematica classe seconda.
Disponibile online presso l’indirizzo percontare.asphi.it
Baccaglini-Frank, A. & Scorza, M. (2013a). Il Progetto PerContare – pratiche per una “buona didattica”
e metodi per la rilevazione di bambini con difficoltà in matematica. Al convegno “Incontri con la
matematica XXVII”, Castel S. Pietro Terme, 8-9-10 novembre 2013.
Bologna, 20 Aprile 49
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia
Baccaglini-Frank, A. e Scorza, M. (2013b). Gestire gli studenti con DSA in classe uso delle mani e della
linea dei numeri nel progetto PerContare. In C. Cateni, C. Fattori, R. Imperiale, B. Piochi, e P. Vighi,
Quaderni GRIMeD n. 1, 183-190.
Baccaglini-Frank, A. e Robotti, E. (2013). Gestire Studenti con DSA in Classe - Alcuni Elementi di un
Quadro Comune, In: ‘Atti del XVIII Convegno Nazionale GRIMeD, 23 - 24 Marzo 2013’, Bologna:
Pitagora ed.
Butterworth, B. (2005). Developmental dyscalculia. In: J. D. Campbell (Ed.), Handbook of mathematical
cognition. New York and Hove, East Sussex: Psychology Press (p. 455–67).
Chinn, S. (2012). The trouble with maths. Second Edition. London: Routledge.
Dehaene, S. (2010), Il pallino della matematica. Scoprire il genio dei numeri che è in noi. Raffaello
Cortina Editore, Milano.
Fuchs, L. S., Compton, D. L., Fuchs, D., Paulsen, K., Bryant, J. D., & Hamlett, C. L. (2005). The
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Gelman, R., & Gallistel, L.C.R. (1978). The child’s understanding of number. Cambridge, MA: Harvard
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Karagiannakis, G., Baccaglini-Frank, A., & Papadatos, Y. (2014). Mathematical learning difficulties
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Karagiannakis, G., & Baccaglini-Frank, A. (2014). The DeDiMa Battery: A Tool for Identifying Students’
Mathematical Learning Profiles. Health Psychology Review, 2(4), doi: 10.5114/hpr.2014.46329
Bologna, 20 Aprile 50
2015
Perché la matematica è difficile? A. Baccaglini-Frank
Bibliografia
Lucangeli, D. (2005). National survey on learning disabilities. Rome: Italian Institute of Research on
Infancy.
Marolda, M.R. & Davidson, P.S. (2000). Mathematical learning profiles and differentiated teaching
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Santi, G., & Baccaglini-Frank, A. (2015). Possible forms of generalization we can expect from students
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Bologna, 20 Aprile 51
2015
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