Risolubilità per radicali delle equazioni algebriche. Aspetti storici e didattici
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12/10/2022
Matematiche elementari da un PVS
a.a. 2022-2023
Risolubilità per radicali delle
equazioni algebriche.
Aspetti storici e didattici - parte 3
Momenti di storia dell’algebra classica
Dalla risoluzione delle equazioni di IV grado
fino al teorema di Ruffini-Abel
12 ottobre 2022
prof. Luigi Tomasi
La risoluzione delle equazioni algebriche di IV grado
2
1
12/10/2022
La formula risolutiva delle
equazioni di IV grado
La determinazione della formula risolutiva dell’equazione di
4°grado vede come protagonista il matematico bolognese
Lodovico Ferrari (1522-1565), allievo di Cardano.
Già intorno al Mille si trovano i primi esempi di soluzioni di
alcuni tipi di equazioni di 4° grado. Omar Khayyam risolve
alcune equazioni di 4° grado con i metodi di intersezione
tra coniche.
3
Ma torniamo alla storia della determinazione della formula
risolutiva dell’equazione di 4° grado.
La storia ha inizio nel 1535 con un quesito posto a Tartaglia da un
certo Maestro Zuanne Tonini da Coi, che è il Quesito XX riportato
nell’opera di Tartaglia “Quesiti et inventioni diverse” (1546) che si
traduce nel problema algebrico:
+ + = 20
∶ = ∶
= 8
dalle quali si ottengono le equazioni:
4 + 82 + 64 = 203
4 + 82 + 64 = 160.
6
212/10/2022
Maestro Zuanne era un ‘’maestro d’abaco’’ (i maestri
d’abaco erano dei pubblici docenti di matematica, si
direbbe oggi) di Brescia interessato a risolvere problemi
matematici, che nel 1535 propose a Tartaglia due
problemi con equazioni di IV grado, che lui stesso non
sapeva ancora risolvere, mettendo in imbarazzo gli
interlocutori e in particolare Tartaglia.
Tartaglia lo cita nella sua opera “Quesiti et inventioni
diverse” (1546).
7
Tartaglia rispose che era possibile risolverle, ma dopo tre
anni ancora non aveva dato la soluzione.
Maestro Zuanne allora propose il problema (e la sfida) ad
altri matematici, tra cui Cardano, e riuscì in questo modo a
prendere il posto di lettore di Matematica, che apparteneva a
Cardano, presso l’Università di Milano nel 1540.
La sfida di Maestro Zuanne fu raccolta da Lodovico Ferrari,
un allievo di Cardano, che risolse i quesiti con una regola
valida in generale. Questi risultati di Ferrari saranno anch’essi
pubblicati, citando l’autore, nell’Ars Magna (1545) di
Cardano.
8
312/10/2022
Lodovico Ferrari
(Bologna 1522 – ivi 1565)
Matematico, brillante allievo di
Cardano, ha trovato la formula
risolutiva delle equazioni di 4°
grado.
9
Vediamo il procedimento (di Lodovico Ferrari) per risolvere, per
esempio, la seguente equazione di IV grado
x4 + 6x2 + 36 = 60x,
riportata nell’Ars Magna di Cardano:
1) Aggiungere 6x2 ad ambo i membri:
x4 + 12x2 + 36 = 60x + 6x2
2) Aggiungere dei termini contenenti una nuova incognita y in
modo che il membro a sinistra resti un (altro) quadrato ed il
membro a destra lo diventi; vediamo cosa si deve aggiungere:
(x2 + y + 6)2 = x4 + y2 + 36 + 2x2y + 12x2 + 12y
(x2 + y + 6)2 = x4 + 12x2 + 36 + y2 + 2x2y + 12y.
10
412/10/2022
L’espressione da aggiungere è pertanto
2 + 22 + 12.
Tornando all’equazione iniziale si ha quindi:
2 + + 6 2 = 60 + 62 + 2 + 22 + 12
2 + + 6 2 = 2( + 3)2 + 60 + (2 + 12).
Questo vale per ogni .
3) Ora vogliamo (questa è la brillante idea di Ferrari) che l’espressione al
secondo membro sia un quadrato perfetto rispetto a y. Moltiplichiamo e
dividiamo per 2( + 3) gli ultimi tre termini nella seconda parte,
ottenendo:
4( + 3) + 120 + 3 + 2( + 3)( + 12)
++6 =
2( + 3)
11
Ora bisogna determinare in modo che il trinomio a destra
dell’espressione sia un quadrato perfetto; occorre quindi
imporre che:
2 + 3 2 + 12 = 30 = 900.
4) Svolgendo i calcoli, si ottiene la cubica:
3 + 152 + 36 = 450 ,
equazione che si risolve con il metodo risolutivo visto per
l’equazione di 3° grado. (Per si ottiene una soluzione reale
e due complesse coniugate, vedi figura seguente).
12
512/10/2022
Soluzioni dell’equazione risolvente di Ferrari
13
5) Si sostituisce la y, con i valori ottenuti alla espressione
precedente ottenuta nel secondo passaggio:
+ + 6 = 60 + 62 + 2 + 22 + 12
e si estrae la radice quadrata di entrambi i membri.
6) Il risultato è un’equazione di 2° grado che va risolta per trovare
il valore di x.
14
612/10/2022
L’equazione di 4° grado «risolta» graficamente
15
Molto ingegnoso,
ma non molto utile ai fini pratici!
Questo metodo comunque è del tutto generale ed è applicabile a
qualsiasi equazione della stessa forma.
Le trasformazioni algebriche che portano dal caso generale
dell’equazione di 4° grado a quello trattato da Ferrari sono
riportate da Cardano nell’ Ars Magna (cap. XXXIX).
Tuttavia, la prima esposizione completa ed esauriente della
risoluzione delle equazioni di 4° grado si trova nell’Algebra
(1672) di Rafael Bombelli.
16
712/10/2022
Procedimento di Ferrari in generale
Ferrari procede prima di tutto effettuando un cambiamento di
variabile nell’equazione generale di 4° grado per eliminare il
termine di 3° grado. Se la nostra equazione è
+ + + + = 0
allora con la sostituzione = + risulta l’equazione
+ + + = 0
per opportuni , , . Ora riscriviamo l’equazione come segue:
+ = − − + .
2 2
17
Procedimento generale di Ferrari
Aggiungendo una quantità " all’espressione interna alla parentesi
nella prima parte dell’equazione, otteniamo l’identità
+ + " = − − + + 2" + " + "
2 2
che vale per ogni ".
Ora l’idea (notevole!) di Ferrari è quella di determinare una
costante ", che dipende da e da , che renda la seconda parte
un quadrato perfetto di un polinomio di 1° grado in . Il polinomio
nella seconda parte, ordinato secondo le potenze decrescenti di
, è:
2" − + " + " − +
4 18
812/10/2022
Procedimento generale di Ferrari
Per fare in modo che sia un quadrato perfetto occorre porre il
discriminante ∆= 0. Si ha:
− 8" " + " − + =0
4
− 8" − 8 " + 8 " − 2 " = 0
Si ottiene quindi l’equazione cubica in ":
8" + 8 " + 2 − 8 " − = 0
" + " + − "− =0
4 8
che può essere risolta con la formula di Cardano. 19
Procedimento generale di Ferrari
Si può dimostrare che una volta trovati i valori di ", si ricavano
quelli di con la seguente formula:
& "% & "% $
=$ ± − − − & ,
2 2 2 2 2"%
con ε = ±1
dove "% è una delle soluzioni della cubica vista in precedenza.
Trovati i valori di si possono trovare le soluzioni
dell’equazione di 4° grado completa.
20
912/10/2022
Un esempio «semplice» in Bombelli
Un esempio semplice presente nell’Algebra di Bombelli:
+ 20 = 21.
Teniamo presente che si vede subito una soluzione (qual è?).
Ragioniamo però come nel Cinquecento…
Possiamo scrivere l’equazione nel seguente modo:
= 21 − 20
Vogliamo aggiungere un termine " in modo da ottenere un
quadrato perfetto sia nella prima che nella seconda parte:
+ " = 21 − 20 + 2" + "
+ " = 2" − 20 + 21 + " 21
Un esempio «semplice» in Bombelli
Vogliamo che il polinomio nella seconda parte sia un quadrato
perfetto:
+ " = 2" − 20 + 21 + "
2" − 20 + 21 + "
Questo succede se ∆= 0, ossia
100 − 2" 21 + " = 0
Con il metodo di Ferrari, abbiamo trovato la risolvente:
" + 21" = 50
che ha la soluzione " = 2 (e altre due che nel Cinquecento
venivano ignorate).
22
1012/10/2022
Un esempio «semplice» in Bombelli
Sostituendo " = 2 nella equazione trovata in precedenza:
+ " = 2" − 20 + 21 + "
si ha:
+ 2 = 4 − 20 + 21 + 4
+ 2 = 4 − 20 + 25
+ 2 = 2 − 5
+ 2 = ± 2 − 5
Risolvendo queste due equazioni di 2° grado, si trovano le
&
soluzioni: 1, −3, 1 ± ) 6.
23
Radici nell’esempio «semplice» in Bombelli
24
1112/10/2022
Un esempio «laborioso» in Bombelli
Un altro esempio presente nell’Algebra di Bombelli:
+ 4 + 15 + 4 = 64
Bombelli stesso dice che il procedimento è molto laborioso…
Con il metodo di Ferrari, Bombelli trova la risolvente:
15
+ 68 = 354 +
2
che ha la soluzione = 6. Sostituendo, l’equazione diventa
+ 2 + 6 = + 10
+ 2 + 6 = ± + 10
con le soluzioni…..
25
Soluzioni: esempio «laborioso» in Bombelli
26
1212/10/2022
Equazioni di 4° grado
a coefficienti reali
Se l’equazione
+ + + + * = 0
è a coefficienti reali, allora ci possono essere
• quattro soluzioni reali
• due soluzioni reali e due soluzioni complesse coniugate
• quattro soluzioni complesse: due coppie di numeri
complessi coniugati tra loro.
27
Equazione di IV grado biquadratica
Si noti che se nell’equazione ridotta (senza il termine di
terzo grado):
+ + + = 0
si ha anche = 0, si ottiene l’equazione (detta
biquadratica)
+ + = 0 ,
che si risolve trasformandola in un’equazione di secondo
grado, ponendo = .
Se i coefficienti sono reali, ci possono essere 4 soluzioni
reali (due coppie di soluzioni) opposte, 2 soluzioni reali
opposte, oppure nessuna soluzione reale. 28
1312/10/2022
Equazione di IV grado biquadratica
L’equazione biquadratica:
+ + = 0 ,
che si risolve trasformandola in un’equazione di secondo
grado, ponendo = . Si ottiene:
+ + = 0 .
Utilizzando la regola dei segni di Cartesio è possibile
prevedere immediatamente quante soluzioni reali e
complesse ci sono.
Esempio. Dire quante soluzioni reali hanno le equazioni
biquadratiche, senza risolverle: + 2 − 3 = 0;
−5 + 4 = 0; + 5 + 4 = 0. 29
Esercizi con GeoGebra
In GeoGebra nella vista Grafici usare l’istruzione (nella riga di
inserimento):
RadiciComplesse().
Il polinomio deve essere a coefficienti reali.
Esempi:
RadiciComplesse( − 16)
RadiciComplesse( + 9)
RadiciComplesse( + 3 − 4)
RadiciComplesse( + 3 − − 4)
RadiciComplesse( − 3 + − 6)
RadiciComplesse(2 − 6 + 2 + 1)
RadiciComplesse( + + + + 1) 30
1412/10/2022
Esempio con GeoGebra
31
Esempio con GeoGebra
32
1512/10/2022
L’Algebra dopo…
gli algebristi italiani del Cinquecento
33
Ricerca delle formule risolutive per le
equazioni di grado superiore al IV
Dopo questi grandi risultati con le equazioni cubiche e
quartiche, gli algebristi delle epoche successive si
affannarono nel tentativo di trovare soluzioni generali per
radicali delle equazioni di grado superiore al 4°, in particolare
per quelle di 5° grado.
Qui i progressi furono molto lenti... Mentre furono sviluppati
altri metodi risolutivi per le equazioni cubiche e quartiche,
nessuno di essi risultò valido per le equazioni algebriche di 5°
grado.
35
1612/10/2022
1572 - 1770: un periodo di transizione
nella Storia dell’Algebra classica
Il periodo che va dalla pubblicazione dell’Algebra di
Bombelli (1572) alla pubblicazione dell’opera di Lagrange
Rèflexions sur la rèsolution algèbrique des équations
(1770) può essere considerato di transizione.
In esso vengono determinati dei risultati parziali legati
alla risoluzione di alcuni tipi di equazioni di grado
superiore al quarto.
36
François Viète (1540-1603)
Tra i matematici più eminenti del periodo va ricordato
François Viète (1540-1603) il quale come abbiamo già detto
è stato importante nello sviluppo dell’algebra simbolica ed
inoltre comprese il legame tra il caso irriducibile
dell’equazione di 3° grado ed il problema della trisezione
dell’angolo.
37
1712/10/2022
François Viète
Per quanto riguarda le equazioni di 4° grado Viète ha
trovato un metodo risolutivo particolarmente elegante per
le equazioni del tipo:
4 + 22 = – .
Inoltre ha determinato alcune della relazioni che
intercorrono tra i coefficienti e le radici del polinomio,
formule note oggi con il nome «formule di Viète-Girard»,
poiché la formulazione chiara di queste relazioni è opera
soprattutto di Albert Girard (Invention nouvelle en
l'Algèbre, 1629).
38
Formule di Viète (o di Viète-Girard)
• Caso particolare - = .. Un polinomio di secondo grado
monico si può scrivere nella forma
− / +
dove
/ = 0 + e = 0 .
• Caso particolare - = 1. Un polinomio di terzo grado
monico si può scrivere nella forma
− / + −
dove
/ = 0 + + , = 0 + 0 + 0 , = 0 .
39
1812/10/2022
Formule di Viète (o di Viète-Girard)
In generale, dato il polinomio monico di grado 2:
= 4 + 0 450 + 45 + ⋯ + 450 + 4
con le radici 0 , , , … , 4 , ossia si scompone in:
= − 0 − − … − 450 − 4
si ha
0 = − 0 + + … + 4 ,
= 0 + 0 + 0 + … + 450 4
…….
4 = −1 4 0 … 4 .
40
Cartesio (1596-1650)
Un ruolo importante anche nella storia dell’algebra è
svolto da Cartesio (René Descartes, 1596-1650) con la sua
opera La Géométrie (1637) pubblicata come appendice del
Discorso sul Metodo.
Con Cartesio il formalismo algebrico raggiunse il suo
massimo sviluppo, in esso troviamo le prime lettere
dell’alfabeto latino per i parametri e le ultime lettere per le
incognite, come è nell’uso comune oggi.
41
1912/10/2022
Cartesio e le equazioni algebriche
Il Libro III de La Géométrie (1637) è interamente dedicato alla
teoria delle equazioni algebriche.
In esso Cartesio considera sia le radici positive che chiama
“vere” sia quelle negative che chiama “false”; riconosce
inoltre che il numero delle radici non può superare il grado
dell’equazione, ma non fa alcun cenno al fatto che esiste
almeno una radice.
Egli nella trattazione algebrica ha sempre in mente il legame
con la geometria ed usa alcuni metodi grafici per la
risoluzione di alcuni tipi di equazioni particolari di 5°e di
6° grado.
42
Eulero e la risoluzione
delle equazioni di IV grado
Eulero propose un nuovo metodo per risolvere l’equazione di
IV grado che ricalca quello di Tartaglia per l’equazione di III grado.
Sia data l’equazione generale di IV grado completa
+ + + + * = 0 (∗)
9
e poniamo = − .
Sostituendo si ottiene l’equazione ridotta:
+ + + = 0 .
Perciò, nota una radice di questa equazione, la corrispondente
9
radice dell’equazione (*) data sarà: = − .
44
2012/10/2022
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Nell’equazione ridotta:
+ + + = 0 (*)
Eulero pone
="+:+;
e cerca di determinare queste incognite in modo che soddisfino
l’equazione ridotta (*).
Elevando al quadrato = " + : + ;, , si ottiene:
= " + : + ; + 2 ": + "; + :;
ovvero, trasportando al primo membro il primo termine:
− " + : + ; = 2 ": + "; + :; 45
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Dalla identità
− " + : + ; = 2 ": + "; + :;
elevando al quadrato, otteniamo
− " + : + ; = 4 ": + "; + ";
e infine l’identità:
− 2 " + : + ; + " + : + ;
=
= 4 " : + " ; + : ; + 8":; " + : + ; .
46
2112/10/2022
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Riscriviamo questa uguaglianza:
− 2 " + : + ; + " + : + ;
= 4 " : + " ; + : ; + 8":; " + : + ; .
nel seguente modo
− 2 " + : + ; − 8":; +
+ " + : + ;
− 4 " : + " ; + : ; = 0
e la confrontiamo con l’equazione: + + + = 0 .
47
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Dal confronto con l’equazione ridotta si deduce che deve essere
" + : + ; = −
2
" : +" ; +: ; = −
16 4
":; = −
8
Se (", :, ;) è una soluzione di questo sistema, allora
= " + : + ; è una soluzione dell’equazione ridotta di 4° grado. 48
2212/10/2022
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Quindi = " + : + ; è una soluzione dell’equazione.
Elevando al quadrato l’ultima equazione del sistema, si ottiene il
sistema:
2 2 2 p
u + v + w = −
2
2 2 2 2 2 2 p2 r
u v + u w + v w = −
16 4
2 2 2 q2
u v w =
64
49
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Poiché dei numeri " , : e ; conosciamo la somma, il prodotto
e la somma dei prodotti a due a due, per le formule di Viète essi
sono le radici della seguente equazione di III grado
+ + − − =0
2 16 4 64
che è detta risolvente di terzo grado (di Eulero) dell’equazione di
IV grado data.
Ottenute le soluzioni di questa equazioni, mediante estrazioni di
radici quadrate si otterranno ", :, ;.
50
2312/10/2022
Risoluzione delle equazioni di IV grado -
metodo di Eulero
Ottenute quindi " , : e ; , estraendo la radice quadrata si
trovano ", :, ;, con i segni tali che
":; = −
8
da cui si hanno le radici dell’equazione (ridotta) data:
0 = "% + :% + ;%
= "% − :% − ;%
= −"% + :% − ;%
= −"% − :% + ;%
51
Eulero (1707-1783) fece altri tentativi per risolvere le equazioni di
grado superiore al IV.
Egli nella nota De formis radicum aequationum cuiusque ordinis
coniectatio del 1732 ipotizzò che ogni equazione di grado 2
ammettesse una risolvente di grado 2 − 1 e propose per le radici
dell’equazione da risolvere la forma:
x = n A1 + n A2 +.... + n An−1
dove le Ai sono le radici della risolvente.
In effetti, tale risolvente esiste per i casi 2 = 2, 3, 4 ed Eulero trattò
solo questi casi, trovando una risoluzione unitaria delle tre equazioni.
53
2412/10/2022
In seguito, nella nota (1762-63) “De resolutione aequationum
cuiusvis gradus” propose una nuova formula per le radici:
x = w+ A n ν + B n ν 2 +.... + Q n ν n−1
dove ; è un numero razionale, A, B, ...,Q sono numeri
razionali o numeri che non contengono radici di grado 2 e < è
una radice della risolvente di grado 2 − 1.
Nuovamente, mostrò la validità di questa formula per i casi
2 = 2, 3, 4 , manifestando la fiducia che fosse valida per
ogni 2.
54
L’Algebra di Eulero (1770-72)
Nella storia dell’algebra è di notevole importanza anche
l’opera di divulgazione fatta da Eulero con il suo manuale
Algebra (scritto negli anni 1770-72).
Infatti, il secondo volume dell’opera è dedicato alla teoria
delle equazioni algebriche e si può considerare una prima
esposizione sistematica delle equazioni indeterminate di 1°
e 2° grado e dei metodi standard di risoluzione delle
equazioni algebriche di 2°, 3° e 4° grado.
55
2512/10/2022
1770: un anno importante nella
Storia dell’Algebra
I continui insuccessi nella ricerca di formule risolutive per
radicali delle equazioni algebriche di grado uguale o
superiore al 5°, fecero di questo uno dei problemi cruciali
dell’algebra nella seconda metà del Settecento.
Non fu dunque per caso che nel 1770 tre matematici, in
modo indipendente l’uno dell’altro, pubblicarono
pressoché contemporaneamente i loro risultati sulla
difficile questione.
56
1770: un anno importante nella Storia
dell’Algebra
Si tratta di:
•Reflexions sur la résolution algébrique des équations
di Lagrange, pubblicata nel 1770 negli Atti
dell’Accademia di Berlino
•Meditationes Algebricae (1770) di Edward Waring
•Mémoire sur la résolution des équations di Alexandre-
Théophil Vandermonde, letta all’Accademia delle
Scienze di Parigi nel 1770 e pubblicata nel 1774.
2612/10/2022
Lagrange, Reflections sur la résolution
algébrique des équations
L’opera principale delle tre citate è quella di Giuseppe
Luigi Lagrange (1736-1813).
Nella Reflexions sur la résolution algébrique des
équations (1770) Lagrange si proponeva di esaminare i
metodi trovati fino a quel momento per la risoluzione
algebrica delle equazioni, di ridurli a dei principi generali e
di far vedere a “priori” perché tali metodi funzionano per il
3° e 4° grado e invece vengono meno per i gradi successivi.
60
L’analisi dei casi delle equazioni di 3° e 4° grado
portarono Lagrange a concludere che i metodi risolutivi si
basano sulla ricerca di opportune equazioni ausiliarie, che
Lagrange chiamò ridotte e che oggi vengono dette
risolventi, le cui radici sono espressioni razionali delle
radici 1, … , 2 dell’equazione.
Nel caso del 3° e 4° grado il grado della risolvente si
poteva ricondurre ad un grado minore al 3° o minore al 4°,
nel caso generale Lagrange dimostrò che il grado
dell’equazione ausiliaria è 2! (o un suo sottomultiplo).
61
2712/10/2022
In questa maniera si trova enunciato il “Teorema di
Lagrange” che in termini moderni afferma che in un
gruppo finito l’ordine di ogni sottogruppo divide l’ordine
del gruppo. Egli, data un’equazione di grado n:
02 + 1 450 + … . + 2 = 0
e indicate con 1, … . , 2 le radici, costruì la risolvente
come segue.
Sia >(1, … . , 2) un’espressione razionale delle radici
dell’equazione, essa può avere n! valori distinti. Siano
>1, … , >2! tali valori; allora l’equazione
( – >1) ( – >2) … . ( – >4! ) = 0
è la risolvente di Lagrange. 62
L’importanza del contributo di Lagrange alla teoria delle
equazioni algebriche risiede soprattutto nelle considerazioni
conclusive, in cui egli afferma che nello studio delle equazioni è
necessario esaminare espressioni della forma >(1, … . , 2) e
studiare le loro proprietà per le permutazioni delle radici
1, … . , 2.
Per quanto riguarda le equazioni di 5°grado, benché sia
probabile che Lagrange fosse intimamente convinto che la
soluzione per radicali non esistesse, lasciò la questione aperta.
Egli concludeva il lavoro dicendo che era sufficiente per il
momento aver posto i fondamenti di una teoria che pare nuova
e generale.
63
2812/10/2022
I contributi di Gauss
alla teoria delle equazioni algebriche
Nel 1799, nella sua tesi di laurea, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
dimostrava in modo nuovo e rigoroso il Teorema fondamentale
dell’Algebra:
Un’equazione algebrica di grado 2 > 0, a coefficienti complessi,
ammette almeno una radice complessa.
Come conseguenza si ha:
un’equazione algebrica di grado 2 nel campo complesso ha
esattamente 2 radici complesse (ogni radice va contata con la sua
molteplicità).
64
Equazioni algebriche a coefficienti reali
I polinomi a coefficienti reali irriducibili sono quelli di
1°grado e i polinomi di grado 2,
+ + , con ∆= − 4 < 0.
Un’equazione algebrica a coefficienti reali di grado
2 dispari, se ha una radice complessa, ha anche come
radice la sua coniugata (dimostrazione?).
Un’equazione algebrica a coefficienti reali di grado
2 dispari ha almeno una radice reale (dimostrazione?).
65
2912/10/2022
Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1801)
Gauss nel 1801, nelle Disquisitiones Arithmeticae, risolve in modo
definitivo il problema della ciclotomia, cioè il problema della
risolubilità delle equazioni 2 – 1 = 0 e conseguentemente della
costruibilità con riga e compasso dei poligoni regolari di n lati,
dimostrando che ciò era possibile per i numeri primi della forma
A
= 2 + 1 (primi di Fermat).
Infatti, solo per tali valori l’equazione ciclotomica
450 + 45 + ⋯ + + 1
si riduce al prodotto di polinomi di 2°grado. Pertanto, come
conseguenza si ha che il poligono regolare di 17 lati è costruibile,
mentre - per esempio - quello di 19 lati non lo è.
66
Paolo Ruffini (1765-1822)
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Paolo Ruffini (1765-1822)
Sempre nel 1799 il matematico e medico modenese
(anche se nato nei pressi di Viterbo), Paolo Ruffini (1765-
1822) pubblicava il trattato:
Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra
impossibile la soluzione algebraica delle equazioni
generali di grado superiore al quarto.
In esso Ruffini dimostrava che era impossibile risolvere
per radicali le equazioni generali di grado superiore al
quarto.
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P. Ruffini, Teoria generale delle
equazioni… (1799)
Ruffini dichiarava apertamente di ispirarsi a Lagrange e
indagando le proprietà del gruppo di sostituzioni su
2 lettere (nozione che non si trova in modo esplicito in
Ruffini) individuava concetti come la primitività e la
transitività, che applicati al caso di 5 elementi lo
portarono a concludere che non esiste una funzione di
cinque elementi che assume, per ogni loro permutazione
possibile, solo 8, 4 o 3 valori distinti.
In termini moderni: il gruppo totale delle sostituzioni su 5
lettere non possiede sottogruppi di indice 8, 4, o 3.
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P. Ruffini, Teoria generale delle
equazioni… (1799)
Ruffini per dimostrare questo teorema fu costretto ad
elencare tutte le 120 permutazioni di 5 elementi e ad
analizzarle.
Questo era il teorema essenziale, grazie al quale Ruffini
dimostrava l’impossibilità (in generale) della
risoluzione per radicali delle equazioni di grado
superiore al quarto.
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P. Ruffini, Teoria generale delle
equazioni… (1799)
L’importanza e la novità del teorema suscitò la diffidenza e
lo scetticismo dei contemporanei. Egli ne mandò una copia
a Lagrange, ma non ottenne alcuna risposta; gliene spedì
anche una seconda copia, ma non ebbe esito migliore.
Del contenuto del teorema, Ruffini ne diede quattro
pubblicazioni, l’ultima delle quali è del 1813.
Una di queste riedizioni venne spedita all’Institut de
France.
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P. Ruffini, Teoria generale delle
equazioni… (1799)
Questa memoria fu affidata ad una commissione
presieduta da Lagrange che però non stilò mai “le rapport”
finale, ma si limitò a far sapere indirettamente a Ruffini che
non aveva stilato il rapporto per evitare polemiche e che
c’erano troppe imprecisioni nelle dimostrazioni per essere
sicuri dell’esattezza dei risultati.
Solo dopo la morte di Lagrange, nel 1815 Cauchy
apprezzerà i risultati di Ruffini. Ma né questo, né la nomina
a Presidente della «Società Italiana delle Scienze»
bastarono a far avere a Ruffini un pubblico riconoscimento.
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Ruffini, Teoria generale delle
equazioni… (1799)
I ragionamenti di Ruffini, per quanto riguarda la
risolubilità per radicali di equazioni di grado superiore al
IV, erano talmente complicati da renderne difficile la
lettura e quindi anche la diffusione presso i matematici
europei;
tanto è vero che un giovane matematico norvegese, Niels
H. Abel (1802-1829), vent’anni dopo la pubblicazione
dell’opera di Ruffini Teoria generale delle equazioni… sulle
equazioni algebriche, tentava ancora di dimostrare una
formula per radicali per la risoluzione dell’equazione
generale di 5° grado. 73
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Niels Henrik Abel (1802-1829)
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Niels Henrik Abel (1802-1829)
Nel 1823 Niels Henrik Abel (1802-1829) si illuse di aver
trovato una risolvente per l’equazione di 5° grado. Egli però
si accorse dell’errore e nel 1824 pubblicò una memoria in cui
dimostrava l’impossibilità di risolvere per radicali l’equazione
generale di 5° grado.
In una nota dal titolo Memoire sur une classe particulière
d’équations resolubles algébriquement, pubblicata nel 1829,
Abel individua una classe generale di equazioni risolubili per
radicali, dette oggi abeliane.
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Bibliografia
• C.B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano.
• E. Carruccio, Matematiche elementari da un punto di vista superiore,
Pitagora Editore, Bologna, 1972 (seconda edizione, a cura di B.
D’Amore).
• L. Catastini, F. Ghione, R. Rashed, Algebra. Origini e sviluppi tra mondo
arabo e mondo latino, Carocci, Roma, 2016.
• R. Franci, L. Toti Rigatelli, Storia della teoria delle equazioni algebriche,
Mursia, Milano, 1979.
• S. Maracchia, Storia dell’algebra, Liguori, Napoli 2005.
• F. Toscani, La formula segreta, Sironi, Milano 2009.
• https://matematica.unibocconi.it/articoli/cardano-e-le-equazioni-di-
terzo-grado 76
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